Exercícios - Fundamentos de Mecânica 2022 2

O centro de massa (CM) é definido como o ponto médio do sistema onde toda a massa pode ser considerada concentrada para fins de análise de movimento. Para que o CM esteja em repouso, a velocidade total do sistema deve ser igual a zero. Portanto, podemos escrever a seguinte equação: m1v1+m2v2+m3v3=0 onde m1, m2 e m3 são as massas das partículas, v1, v2 e v3 são suas velocidades e a soma é realizada para as três partículas. Substituindo os valores fornecidos: 3kg⋅6+2kg⋅8cos (−30° )+5kg⋅v3=0 Simplificando e resolvendo para v3: 18 + 16 + 5v3 = 0 5v3 = -34 v3 = −6,8 m s Portanto, a terceira partícula deve estar se movendo com uma velocidade de 6,8 m/s na direção oposta à velocidade das outras duas partículas para que o CM esteja em repouso. Para determinar a velocidade do centro de massa (CM), podemos usar a seguinte fórmula: V CM=m1v 1+m2v 2 m1+m2 Substituindo os valores fornecidos: m1=2kg,v 1=10m/snadireção doeixo x m2=3kg,v 2=8m/s formandoumângulode120 grauscomoeixo V CM=(2kg x10 m s +3kg x 8 m s cos (120°)) (2kg+3kg) V CM=2,6 m s nadireção doeixo x Agora, para determinar o momento de cada partícula em relação ao CM, podemos usar a seguinte fórmula: piCM=mi(vi−V CM ) onde piCM é o momento da partícula i em relação ao CM, mi é a massa da partícula i e vi é sua velocidade. Para a primeira partícula: m1=2kg,vi=10m/snadireção doeixo x p1CM=2kg(10m/s−2,6m/s)=15,2kgm/snadireção doeixo x Para a segunda partícula: m2=3kg,vi=8m/s formandoumângulode120 grauscomoeixo x p2CM=3kg(8m/scos(120°)−2,6m/s)=−9,9kgm/snadireção doeixo x O momento angular em relação ao CM pode ser calculado usando a seguinte fórmula: LCM=r x pCM onde LCM é o momento angular em relação ao CM, r é o vetor posição da partícula em relação ao CM e pCM é o momento da partícula em relação ao CM. Podemos calcular o vetor posição da primeira partícula em relação ao CM como: r1=(0,0,1)−(0,0,0)=(0,0,1) E o vetor posição da segunda partícula em relação ao CM como: r2=(−1,0,2)−(0,0,0)=(−1,0,2) Substituindo os valores de p1CM , p2CM ,r1er2: LCM=(0,0,1)x(15,2,0,0)+(−1,0,2)x(−9,9,0,0) LCM=(0,−15,2,0)+(0,19,8,0) LCM=(0,4 ,6,0) Portanto, o momento angular em relação ao CM é de 4,6 kg m²/s na direção do eixo y. Alternativamente, podemos calcular o momento angular em relação à origem usando a fórmula: L = r x p onde L é o momento angular em relação à origem, r é o vetor posição da partícula em relação à origem e p é o momento da partícula em relação à origem. Podemos calcular o vetor posição da primeira partícula em relação à origem como: r1=(0,0,1) E o vetor posição da segunda partícula em relação à origem como: r2=(−1,0,2) Substituindo os valores de p1, p2,r1er2: L=(0,0,1)x(2 x10,0,0)+(−1,0,2)x(3 x 8cos(120°),3 x 8cos(120°)) L=(0,−20,0)+(24 ,−18,0) L=(24 ,−38,0) Portanto, o momento angular em relação à origem é de 24 kg m²/s na direção do eixo x e -38 kg m²/s na direção do eixo y. Note que o momento angular em relação à origem e em relação ao CM possuem a mesma magnitude, mas direções diferentes, como esperado pela conservação do momento angular. Após a explosão, um dos fragmentos cai verticalmente, então podemos ignorar sua contribuição para o alcance. O outro fragmento continuará se movendo na mesma direção e sentido do projétil original, com a mesma velocidade e mesma altura em relação ao solo. Depois da explosão: Altura máxima: h = 8.157 m (mesma altura do ponto mais alto antes da explosão) Velocidade inicial: v0 = 200 m/s (metade da velocidade original) Ângulo de lançamento: θ = 60° (mesmo ângulo do lançamento original) Podemos então calcular o alcance desse fragmento usando a mesma fórmula do lançamento oblíquo: R= v0 2∗sen (2θ) g =200 2∗sen (120° ) 9,81 ≈721,5m Portanto, o fragmento cai a uma distância de aproximadamente 721.5 metros do ponto de partida. Para calcular a energia liberada na explosão, precisamos fazer algumas suposições sobre a natureza da explosão, já que não temos informações detalhadas sobre ela. Vamos assumir que a explosão liberou uma energia cinética igual à energia cinética do projétil antes da explosão, ou seja: Ec=1 2∗m∗v0 2 Onde m é a massa do projétil (e dos fragmentos). Como não temos informações sobre a massa, vamos deixar a resposta em termos de energia cinética: Ec ≈16.000.000 J (aproximadamente16megajoules) Para mostrar as expressões para as velocidades após a colisão e a diferença entre as energias cinéticas, vamos usar as leis de conservação da quantidade de movimento e da energia cinética. Conservação da quantidade de movimento: Antes da colisão, a quantidade de movimento total do sistema é dada por: p=m1v1+m2v2 onde m1e m2 são as massas das esferas e v1e v2são as velocidades iniciais. Depois da colisão, a quantidade de movimento total do sistema também deve ser conservada: p'=m1v1 ' +m2v2 ' onde v1 ' e v2 ' são as velocidades finais das esferas. Conservação da energia cinética: Antes da colisão, a energia cinética total do sistema é dada por: K=( 1 2)m1v1 2+( 1 2)m2v2 2 Depois da colisão, a energia cinética total do sistema também deve ser conservada: K '=( 1 2)m1(v1 ' ) 2+( 1 2)m2(v2 ' ) 2 Usando a expressão dada para o coeficiente de restituição, podemos escrever as velocidades finais em termos das iniciais: (v1)'−(v2)'=e((v1)−(v2)) Reorganizando, temos: (v1)'=(1+e)(v1)−e (v2) (v2)'=(1+e)(v2)−e(v1) Substituindo essas expressões na conservação da quantidade de movimento, temos: m1v1+m2v2=m1 (1+e) v1'−m1e v2'+m2 (1+e) v2'−m2e v1' Isolando as velocidades finais, obtemos as expressões pedidas: (v1) »= (v1)((m1)−(m2)e+(v2)(m2) (1−e)) (m1)+(m2) (v2) »= (v2)((m2)−(m1)e+(v1)(m1) (1−e)) (m2)+(m1) A diferença entre as energias cinéticas é dada por: Q = K' - K Substituindo as expressões para as velocidades finais, temos: Q=( 1 2)m1((v1) ' 2−v1 2)+( 1 2)m2((v2) ' 2−v2 2) Substituindo as expressões para as velocidades finais, obtemos: Q=−( 1 2)(1−e 2)m1m2 ((v1)(v2)) 2 (m1)+(m2) Portanto, as expressões para as velocidades finais e a diferença entre as energias cinéticas são dadas por: (v1)'=((v1)((m1)−m2e+(v2)(m2) (1−e) (m1)+(m2) (v2)»=( (v2)((m2)−(m1)e+(v1)(m1) (1−e)) (m2)+(m1) Q=−( 1 2)(1−e 2)m1m2 ((v1)(v2)) 2 (m1)+(m2) Essas expressões mostram como as velocidades finais das esferas após uma colisão frontal são relacionadas às suas velocidades iniciais e massas, através do coeficiente de restituição. O valor do coeficiente de restituição e as massas das esferas afetam a energia cinética perdida ou ganha na colisão, que é representada pela diferença entre as energias cinéticas inicial e final. O sinal negativo de Q indica que a energia cinética total do sistema diminuiu após a colisão. Para determinar as velocidades após a colisão, podemos aplicar a conservação do momento linear e a conservação da energia cinética. Vamos chamar a velocidade da partícula de massa m após a colisão de v2 e a velocidade da partícula de massa 2m após a colisão de v3 . Conservação do momento linear: Antes da colisão, temos que a única partícula em movimento é a de massa m, e a sua velocidade é v1. A outra partícula está em repouso, então o momento linear total antes da colisão é: pi=m v1+0 pi=m v1 Depois da colisão, o momento linear total das duas partículas deve ser o mesmo: pf=m v2+2m v3 Aplicando a conservação do momento linear, temos: pi=pf m v1=m v2+2m∗v3 v1=v2+2v3 Conservação da energia cinética: A energia cinética total antes da colisão é dada por: Ei=( 1 2)m v1 2+0 Depois da colisão, a energia cinética total é dada por: Ef=( 1 2)m v2 2+( 1 2)2m v3 2 Aplicando a conservação da energia cinética, temos: Ei=Ef ( 1 2)m v1 2=( 1 2)m v2 2+( 1 2)2m v3 2 v1 2=v2 2+2v3 2 Agora podemos usar as equações de conservação do momento linear e da energia cinética para encontrar as velocidades v2 e v3 em termos de v1 e do coeficiente de restituição e, em seguida, encontrar os valores numéricos das velocidades. O coeficiente de restituição Q é definido como a razão entre a velocidade relativa das partículas após a colisão e a velocidade relativa das partículas antes da colisão: Q= v3−v2 v1−0 Q= v3−v2 v1 Q v1=v3−v2 v2+v1Q=v3 Substituindo essa equação na equação de conservação do momento linear, temos: v1=v2+2(v2+Q v1) v1=3 v2+v21Q (1−2Q)∗v1=3 v2 v2=(1−2Q )∗v1 3 Substituindo essa equação na equação de conservação da energia cinética, temos: v1 2=( (1−2Q)∗v1 3 ) 2 +2v3 2 v1 2=(1−4Q+4Q 2 )∗v1 2 9 +4 v3 2 Agora podemos substituir a expressão para v_2 em termos de v_1 na equação de conservação do momento linear para encontrar v_3 em termos de v_1 e Q: v1=3 v2+2Q v1 v1=3 (1−2T ) v1 3 +2Q v1 v1=(1−2Q) v1+2Q v1 v1=v1−2T∗v1+2v1+2Q v1 v1=v1 Isso significa que a velocidade v1 não muda após a colisão. Agora podemos usar a expressão que encontramos para v3 em termos de v1e Q para encontrar a velocidade final da partícula de massa 2m: v3 2=(5−4Q )∗v1 2 v3 2=(5−4Q)∗v1 2 v3=±√( (5−4Q)∗v1 2 2 ) Como a partícula de massa 2m estava inicialmente em repouso, sua velocidade final é positiva e é dada por: v3=√( (5−4Q)∗v1 2 2 ) Portanto, as velocidades após a colisão são: v2= (1−2Q )∗v1 3 v3=√( (5−4Q)∗v1 2 2 ) Para encontrar a frequência de pequenas oscilações de uma placa homogênea com formato de triângulo equilátero, podemos usar a equação de onda da mecânica: ∇ 2u−( 1 c 2)∗∂ 2u ∂t 2 =0 Onde u é a amplitude da vibração, c é a velocidade da onda e ∇² é o operador laplaciano. No caso em que o pivô está no ponto médio de um dos lados do triângulo, podemos considerar que a placa vibra apenas em uma dimensão, ao longo desse lado. Podemos então usar a equação de onda unidimensional: ∂ 2u ∂ x 2−( 1 c 2)∗∂ 2u ∂t 2 =0 Onde x é a posição ao longo do lado da placa. As condições de contorno são que a amplitude da vibração é zero nos pontos fixos do pivô e nos extremos do lado. Podemos assumir que a amplitude da vibração segue a equação: u( x ,t )=A∗sin(kx)∗cos(ωt ) Onde A é a amplitude máxima da vibração, k é o número de onda e ω é a frequência angular da vibração. Aplicando as condições de contorno, encontramos que: k=nπ L Onde n é um número inteiro (o modo de vibração) e L é o comprimento do lado do triângulo. A frequência angular ω é dada por: ω = ck Substituindo k, obtemos: ω = nπc/L Assim, a frequência de pequenas oscilações da placa com pivô no ponto médio de um dos lados é dada por: f = ω 2π =n∗c 2 L No caso em que o pivô está em um dos vértices do triângulo, podemos considerar que a placa vibra em duas dimensões, em torno desse vértice. Podemos então usar a equação de onda bidimensional: ∂ 2u ∂ x 2 + ∂ 2u ∂ y 2−( 1 c 2)∗∂ 2u ∂t 2 =0 As condições de contorno são que a amplitude da vibração é zero nos pontos fixos do pivô e nas bordas da placa. Podemos assumir que a amplitude da vibração segue a equação: u( x , y ,t )=A∗sin(kx)∗sin(ky )∗cos(ωt ) Onde A é a amplitude máxima da vibração, k é o número de onda e ω é a frequência angular da vibração. Aplicando as condições de contorno, encontramos que: k = nπ/L Onde n é um número inteiro (o modo de vibração) e L é o comprimento do lado do triângulo. A frequência angular ω é dada por: ω=c√k 2+l 2 Onde l é o número de onda na direção y. Substituindo k e l, obtemos: ω=nπc L ∗√2 Assim, a frequência de pequenas oscilações da placa com pivô em um dos vértices é dada por: f = ω 2π = n∗c 2 L√2 Portanto, a frequência de pequenas oscilações de uma placa homogênea com formato de triângulo equilátero depende da velocidade da onda c e do comprimento do lado do triângulo L, bem como da posição do pivô. Se o pivô está no ponto médio de um dos lados, a frequência é proporcional ao modo de vibração n e inversamente proporcional ao comprimento do lado L. Se o pivô está em um dos vértices, a frequência é proporcional ao modo de vibração n e inversamente proporcional ao comprimento do lado L, mas também é multiplicada por um fator adicional de √2. Para resolver este problema, podemos usar o princípio de conservação de energia. Se o cubo é levemente perturbado, ele começará a se mover e eventualmente atingirá o chão com uma das suas faces. Vamos calcular a energia potencial e cinética do cubo em diferentes momentos durante este processo. Inicialmente, o cubo está em repouso e sua energia potencial é máxima. A energia potencial gravitacional do cubo pode ser calculada como Ep = mgh, onde m é a massa do cubo, g é a aceleração da gravidade e h é a altura do centro de massa do cubo acima do chão. Como o cubo está apoiado em uma das arestas, podemos considerar que seu centro de massa está a uma altura de h = I/2 em relação ao chão. Portanto, a energia potencial inicial do cubo é Ep = (1/2)mgI. Quando o cubo começa a se mover, ele ganha energia cinética. A energia cinética do cubo pode ser calculada como Ec=( 1 2)I w 2, onde I é o momento de inércia do cubo em relação ao eixo de rotação (que passa pelo centro de massa e é perpendicular à face que está em contato com o chão) e w é a velocidade angular do cubo. O momento de inércia de um cubo de massa M e aresta I em relação a um eixo que passa pelo centro de massa é dado por I=( 1 6)M I 2 . Quando o cubo atinge o chão com uma de suas faces, ele para de se mover. Neste momento, toda a energia cinética é convertida em energia potencial elástica na deformação da face que entrou em contato com o chão. A energia potencial elástica pode ser calculada como Ee=( 1 2)k x 2, onde k é a constante elástica da face e x é a deformação da face em relação à sua posição de equilíbrio. Se a aresta permanece fixa, a face que atinge o chão é a que está oposta à aresta apoiada. Neste caso, podemos considerar que a constante elástica da face é k = 2Mg/I, onde M é a massa do cubo. A deformação da face pode ser calculada como x = I/2. Portanto, a energia potencial elástica é Ee=( 1 2)( 2 Mg I )( I 2) 2 =( 1 8)MgI . Se a aresta desliza sem atrito, a face que atinge o chão é a que está em contato com a aresta. Neste caso, podemos considerar que a constante elástica da face é k = 5Mg/2I, onde M é a massa do cubo. A deformação da face pode ser calculada como x=( I 2)cos (45º )=( I 2)√ (2) 2 . Portanto, a energia potencial elástica é Ee=( 1 2)( 5 Mg 2 I )( I 2 √ (2) 2 ) 2 =( 5 32)MgI . Como a energia mecânica do sistema é conservada, podemos igualar a energia potencial inicial à soma das energias potencial elástica e cinética no momento em que o cubo atinge o chão. Ep = Ee + Ec Substituindo as expressões para Ep, Ee e Ec, obtemos: ( 1 2)mgI=( 1 8)MgI +( 1 2)I w 2 (aresta fixa) ou ( 1 2)mgI=( 5 32)MgI +( 1 2)I w 2 (arestadeslizando sematrito) Para encontrar o tensor de inércia, primeiro precisamos encontrar os momentos de inércia em relação aos eixos principais. Em seguida, podemos usar esses momentos de inércia para construir o tensor de inércia. Começamos encontrando o centro de massa do sistema de partículas: rcm=m1r 1+m2r 2+m3∗r 3 m1+m2+m3 onde m1=3m,m2=4 me m3=2m,er 1=(b,0,b),r 2=(b,b,−b)er 3=(−b,b,0). rcm=(3mb,0,3mb)+(4 mb,4 mb,−4 mb)+−2mb,2mb,0 3m+4 m+2m rcm=( mb 3 , 2mb 3 , mb 3 ) Em seguida, precisamos encontrar os produtos de inércia em relação ao centro de massa. O produto de inércia em relação aos eixos x, y e z é dado por: I xy=−∑mi (xi−xcm)( yi− ycm) I xz=−∑mi (xi−xcm)(zi−zcm) I yz=−∑mi ( yi− ycm)(zi−zcm) onde xi, yi e zi são as coordenadas das partículas e x_cm, y_cm e z_cm são as coordenadas do centro de massa. I xy=−(3m)((b−mb 3 )(0−2mb 3 )+(b−mb 3 )(b−2mb 3 )+(−b+ mb 3 )(b−2mb 3 )) −(4 m)((b−mb 3 )(b−2mb 3 )+(b−mb 3 )(b−2mb 3 )+(−b+ mb 3 )(−b+ mb 3 )) −(2m)((−b+ mb 3 )(0−2mb 3 )+(−b+ mb 3 )(b−2mb 3 )+(b−mb 3 )(b−2mb 3 )) ¿2mb ² I xz=−(3m)((b−mb 3 )(b−mb 3 )+(b−mb 3 )(b−mb 3 )+(−b+ mb 3 )(0−mb 3 )) −(4 m)((b−mb 3 )(−b+ mb 3 )+(b−mb 3 )(−b+ mb 3 )+(−b+ mb 3 )(b−2mb 3 )) −(2m)((−b+ mb 3 )(b−mb 3 )+(−b+ mb 3 )(b−mb 3 )+(b−mb 3 )(0−mb 3 )) ¿0 I yz=−(3m)((0−2mb 3 )(b−mb 3 )+(b−2mb 3 )(b−mb 3 )+(b−2mb 3 )(0−mb 3 )) −(4 m)(b−2mb 3 )(b−mb 3 )+(b−2mb 3 )(−b+ mb 3 )+(−b+ mb 3 )(−b+ mb 3 I yz=−(3m)((0−2mb 3 )(b−mb 3 )+(b−2mb 3 )(b−mb 3 )+(b−2mb 3 )(0−mb 3 )) −(4 m)((b−2mb 3 )(b−mb 3 )+(b−2mb 3 )(−b+ mb 3 )+(−b+ mb 3 )(−b+ mb 3 )) −(2m)(( 2b 3 −mb 3 )(b−mb 3 )+( 2b 3 −mb 3 )(b−mb 3 )+( −2b 3 + mb 3 )(0−mb 3 )) ¿−2mb 2 Com os produtos de inércia em relação ao centro de massa, podemos calcular os momentos de inércia em relação aos eixos principais. Para isso, precisamos resolver a equação característica da matriz de momento de inércia, que é dada por: det(I - λI) = 0 onde I é a matriz de momento de inércia, λ é o autovalor e I é a matriz identidade. A matriz de momento de inércia é dada por: I = Ixx Ixy Ixz Ixy Iyy Iyz Ixz Iyz Izz Substituindo os valores dos produtos de inércia, obtemos: A equação característica é dada por: det( I−λI )=0 det[ 8 3mb 2−λ2mb 20] [ 2mb 22¿ 3mb 2 −λ2mb 2] [0 2mb 210 3mb 2 −λ]=0 Expandindo essa equação, obtemos: λ 3− 18 λ 2 3mb 2 + 76 λ 3m 2b 4−64 27 b 6=0 Resolvendo essa equação, obtemos três autovalores: λ1= 4 3mb 2 λ2= 4 3mb 2 λ3= 10 3mb 2 Os momentos de inércia em relação aos eixos principais são dados pelos autovalores multiplicados pela massa total: I 1=λ1 (m1+m2+m3)=( 4 3mb 2)(3m+4 m+2m)= 20 3mb 2 I 2=λ2 (m1+m2+m3)=( 4 3mb 2) (3m+4 m+2m)= 20 3mb 2 I 3=λ3 (m1+m2+m3)=( 10 3mb 2)(3m+4 m+2m)= 50 3mb 2 Por fim, podemos usar esses momentos de inércia para construir o tensor de inércia: I tensor = I 1 0 0 0 I 2 0 0 0 I 3 O tensor de inércia de um cone com a origem no vértice é dado por: I=( 3 10)M R 2+( 3 20)M h 2 onde M é a massa do cone. Para encontrar o tensor de inércia com a origem no centro de massa, é necessário usar o Teorema dos Eixos Paralelos, que relaciona o tensor de inércia em relação a um eixo com o tensor de inércia em relação a outro eixo paralelo que passa pelo centro de massa. Os momentos de inércia em relação aos eixos x, y e z com origem no centro de massa são: Ix=( 3 5)M R 2+( 1 4)M h 2 Iy=Ix Iz=( 3 10)M R 2