Lista 3 - Dinâmica de Corpo Rígido - Fundamentos de Mecânica 2022 2

LISTA 3 Dinâmica de Corpo Rígido 1. Calcule os momentos de inércia do sistema composto por duas massas m localizadas em (0, y0, z0) e (0, y0, -z0) (ver figura) em relação aos eixos x, y e z. Resp: Ix=2m(yo2+z02),Iz=2myo2, Iy=2mz02. 2. Três massas m são colocadas nas posições (0, 0, 0), (L, 0, 0) e (0, L, 0). Calcule o momento de inércia em relação aos eixos (x, y, z). 3. Mostre que, para uma figura plana colocada no plano (x,z), seu momento de inércia Iyy=Ixx+Izz 4. Calcule o momento de inércia de uma chapa fina de lado 2b girando em torno de um eixo perpendicular à chapa, que passa pelo seu centro de massa. 5. Considere o pêndulo duplo da figura abaixo composto por uma haste rígida de comprimento b com uma massa m1 em sua extremidade. Uma massa m2 é colocada na metade da haste. Calcule o momento angular do sistema. Use o sistema de eixos (e1, e2, e3) indicados na figura. Resp: L=(m1+m2/4)b2 d𝛳/dt 6. O disco de 80 kg é suportado por um pino em A. Se ele é solto a partir do repouso na posição da figura, calcule os valores das reações no pino. O raio do disco é de 1,5 m. Resp.: Ax=0, Ay=262N 7. O disco da figura tem massa M e raio R. Se um bloco de massa m está ligado à corda, calcule a aceleração do bloco quando é abandonado do repouso. Resp.: a=2mg/(M+2m) 8. Em um plano inclinado que faz um ângulo de 𝜃 graus com a horizontal, solta-se do repouso um cilindro de massa M e raio R, e uma esfera de mesma massa e mesmo raio. Se os dois corpos descem o plano sem escorregar, qual chegará primeiro? Dados: momento de inercia esfera = ⅖ MR2, disco = ½ MR2 9. O rolo de papel, com 20 kg, tem raio de giração kA = 900 mm em relação a um eixo que passa no ponto A e é suportado em ambas as extremidades por hastes AB ligadas a pinos. Se o rolo se apoia contra a parede sob um coeficiente de atrito cinético 𝝁 = 0,2 e uma força vertical F = 30 N é aplicada a extremidade do papel, determine a aceleração angular do rolo à medida que o papel se desenrola.Resp.: 𝜶 = 7,3 rad/s 10. Suponha que um ioiô de massa m, tenha a geometria dada pela figura. Se ele é solto do repouso, calcule sua aceleração linear. Qual é a tensão na corda nesse instante? Dados I=½ mR2. 11. A figura abaixo mostra o diagrama de forças de um corpo rígido sujeito a uma rotação em torno de um eixo que passa por O (fora de seu centro de massa). Mostre que IG𝜶 pode ser eliminado das equações se movermos os vetores m(aG)t e m(aG)n para o ponto P, localizado a uma distância rGPk2G/rOG do centro de massa, sendo que kG representa o raio de giração do corpo em relação a G. O ponto P recebe o nome de ponto de percussão. 1) Pela definição, \, I = \sum_{i} m_i \, r_i^2 \, . \, Logo, \, Temos: I_x = \sum_{i} m_i \, (y_i^2 + z_i^2) = m(y_0^2 + z_0^2) + m(y_0^2 + (-z_0)^2) I_x = 2 \, m \, (y_0^2 + z_0^2). \, Além disso, I_y = \sum_{i} m_i \, (x_i^2 + z_i^2) = 2 \, m \, z_0^2 \, , \, pois \, x_i = 0 \, , \text{por definição,} I_z = \sum_{i} m_i \, (x_i^2 + y_i^2) = 2 \, m \, y_0^2 \, , \, pois \, x_i = 0 2) Novamente, vamos usar a definição: I_x = \sum_{i} m_i \, (y_i^2 + z_i^2 ) = 0 + 0 + mL^2 = m \, L^2 I_y = \sum_{i} m_i \, (x_i^2 + z_i^2 ) = 0 + mL^2 + 0 = m \, L^2 I_z = \sum_{i} m_i \, (x_i^2 + y_i^2 ) = 0 + mL^2 + mL^2 = 2m \, L^2 3) Pela definição, I_x = \int (y^2 + z^2) \, dm \, ; \, I_y = \int (x^2 + z^2) \, dm \, ; \, I_z = \int (x^2 + y^2) \, dm \, . De a figura se encontra no plano xz, logo y = 0 e \, I_x = \int z^2 \, dm \, , \, I_z = \int x^2 \, dm \, , \, de modo que \, I_y = \int x^2 \, dm \, + \int z^2 \, dm \, = I_x + I_z 4) Vamos assumir que a massa esta distribuida de maneira uniforme. Logo, dm = \rho \, dA = \frac{M}{4b^2} \, dx \, dy O momento de inércia é : \, I_z = \int (x^2 + y^2) \rho \, dA = \frac{M}{4b^2} \int_{-b}^{b} \int_{-b}^{b} (x^2 + y^2) \, dx \, dy I_z = \frac{M}{4b^2} \int_{-b}^{b} \frac{2b^3}{3} + 2b \, y^2 \, dy = \frac{M}{4b^2} \left( \frac{4b^4}{3} + \frac{4b^4}{3} \right) I_z = \frac{2 \, M \, b^2}{3} 5) Sabemos que \, L = I \, w \, , \, com \, w = \frac{d\theta}{dt} Precisamos calcular I : \, Sabemos que para uma coleção pontual de \text{massa}, \, I = \sum_{i} m_i \, r_i^2 = m_1 \, b^2 + m_3 \, \frac{b^2}{4} = b^2 \left( m_1 + \frac{m_3}{4} \right), pois \, r_1 = b \, e \, r_2 = \frac{b}{2} Logo, \, L = b^2 \left( m_1 + \frac{m_3}{4} \right) \frac{d\theta}{dt} 6) Na Horizontal: \, \sum F_x = m \, a_x - a_x = 0 \, e \, então \, a \, reação \, é \, 0. Na vertical: \, \sum F_y = m \, a_y = A_y - m \, g = - m \, r \, a \, , \, onde \, a \, é \, a \, aceleração \, angular. Para calcularmos a aceleração, usamos que Στ = Iα → Torque mgτ = \frac{3}{2}mτ²a → a=\frac{9,81}{1,5·1,5} a=\frac{4,36 rad}{s²}. Usamos que I=\frac{3}{2}mr² para um eixo na extremidade do disco. Por fim, Ay = mg - mτa = 80(9,81 - 1,5·4,36) Ay = 262 N 7) Para o bloco, mg - T = ma. Para a polia, Tr = \frac{Mτ²αc}{2} → T = \frac{Mτac}{2}. Logo, como ac = \frac{a}{τ}, então T = \frac{Ma}{2}, e, substituindo : mg - \frac{Ma}{2} = ma → mg = a(m + \frac{M}{2}) = a(\frac{2m + M}{2}) a = \frac{2mg}{2m + M} A aceleração pode ser calculada: O torque é devido à gravidade; Στ = Iαc → mg r sinΘ = \frac{Iα}{r} \frac{mgr² sinΘ}{I} = a. Como I = kmr², a = \frac{g sinΘ}{k}. Logo, como k = \frac{2}{5} para a esfera e \frac{1}{2} para o disco, a_{esfera} > a_{disco} e a esfera chega primeiro. Na Horizontal: ΣFx = ma_x Nk - Tab cosΘ = 0. Mas, Θ = tan^{-1}(\frac{300}{125}) = 67,38º. Logo, Nk = 0,38 Tab. Na vertical: ΣFy = ma_y Tab senΘ - μ Nk - mg - F = 0 0,92 Tab - 0,2 Nk - 192,2 - 30 = 0 Para o torque: Στ = Iαc = mk^2αc -0,2 Nc · 0,125 + 30 · 0,125 = 20 · 0,9^2 αc Resolvendo as duas primeiras equações para Nc, temos: Nc = 103 N. Logo, αc = \frac{3,75 - 2,575}{20 · 0,9^2} = 0,073 \frac{rad}{s²} A resposta daria 7,3 \frac{rad}{s²} se kA fosse 90 mm. 10) Por conservação de energia, temos, após o objeto percorrer uma altura y: mgy = \frac{mv^2}{2} + \frac{Iu^2}{2} Como I = \frac{mR^2}{2} e u = \frac{v}{r}, temos: mgh = \frac{mv^2}{2}\left(1 + \frac{R^2}{2r^2}\right) \Rightarrow v^2 = \frac{2gh}{1 + \frac{R^2}{2r^2}} Por Torricelli, v^2 - v_i^2 = 2ay. \text{Como} v_i = 0, day = v^2 \Rightarrow a = \frac{g}{1 + \frac{R^2}{2r^2}} Para a Tensão, vemos que \sum F_y = T - mg = ma T = -ma + mg = -m \frac{g}{1 + \frac{R^2}{2r^2}} + mg = mg\left(1 - \frac{1}{1 + \frac{R^2}{2r^2}}\right) T = mg\left(1 - \frac{2r^2}{2r^2 + R^2}\right) = mg\left(\frac{R^2}{2r^2 + R^2}\right) = mg\frac{R^2}{2}\frac{1}{r^2 + R^2/2} Temos, pela imagem, m(a_g)_t r_{og} + I_g \alpha = m (a_g)_t r_{og} + m k_g^2 \alpha Mas, se k_g^2 = r_{gp} r_{og} e \alpha = \frac{(a_g)_t}{r_{og}}, então m(a_g)_t r_{og} + I_g \alpha = m (a_g)_t r_{og} + m r_{gp} r_{og} \cdot \frac{(a_g)_t}{r_{og}} Por fim, m(a_g)_t r_{og} + I_g \alpha = m(a_g)_t (r_{og} + r_{gp}), de modo que I_g \alpha pode ser eliminado por essa igualdade.