Aula 11 - Integração Numérica: Regra do Trapézio - UFOP

Universidade Federal de Ouro Preto Cálculo Numérico BCC760 Aula 11 Integração Regra do trapézio Profa Dra Andrea G C Bianchi andreabianchiufopgmailcom Site da disciplina httpwwwmoodlepresencialufopbrmoodleloginindexphp Integração Numérica 1 Introdução 2 Fórmulas de NewtonCotes 21 Regra dos Trapézios 22 Primeira Regra de Simpson 23 Segunda Regra de Simpson 24 Grau de exatidão 3 Considerações finais Integração Numérica 1 Introdução 2 Fórmulas de NewtonCotes 21 Regra dos Trapézios 22 Primeira Regra de Simpson 23 Segunda Regra de Simpson 24 Grau de exatidão 3 Considerações finais Integração Numérica Na integração numérica estudamos métodos numéricos para o cálculo de integrais definidas As Fórmulas de NewtonCotes são um grupo de formulas para Integração numérica também chamadas de formulas de Quadratura Quadratura é um termo arcaico que significava a construção de um quadrado que possui a mesma área que uma figura curvilínea Historicamente representa o problema da quadratura do círculo de Arquimedes que fez os primeiros cálculos introduzindo o conceito de integral 1 Introdução Por que o estudo dos métodos de integração numérica Pode não ser fácil ou impossível expressar Fx por meio de uma combinação finita de funções elementares Há situações nas quais y fx é conhecida apenas em um conjunto discreto de pontos não se conhece a expressão analítica Nestas situações avaliase numericamente b a f x dx I 1 Introdução O Cálculo Diferencial e Integral ensina que se y fx é uma função contínua em a b então para se obter basta determinar uma primitiva isto é uma função Fx tal que Fx fx de forma que b a f x dx I F a Fb f x dx I b a Graficamente considerando a função f x 0 para todo x ϵ a b podemos relacionar a integral definida da função f x com a área A entre a curva e o eixo das abscissas f x y a f 1x b 0x a b f A 1 Integração na Engenharia Figura a calcular a área de um campo limitado por um riacho sinuoso e duas estradas b Área da seção transversal de um rio c Determinar força média de corrente de um vento não uniforme soprando contra o lado de um arranhacéu Chapra 2013 Outras aplicações na engenharia e na ciência média de uma função contínua calcular o centro de gravidade de objetos irregulares calcular a taxa total de transferência de energia através de um plano calcular a massa total de um composto químico em um reator etc 1 Integração na Engenharia 1 Introdução Ideia básica Aproximar substituir a função a ser integrada y fx por outra cuja integral seja fácil de avaliar Substituise então y fx pelo polinômio que a interpola em um conjunto de pontos xi yi i 01 n pertencentes ao intervalo de integração a b 2 Fórmulas de NewtonCotes As fórmulas de NewtonCotes são os esquemas mais comum de integração numérica e são baseadas na substituição da função complicada ou dados tabulados f x por outra função que possui integral mais fácil de ser calculada Serão estudadas as Fórmulas de NewtonCotes do tipo fechado Neste caso todos os pontos estão no intervalo de integração a b e a x0 e b xn são os extremos Estas fórmulas permitem calcular por aproximação uma integral definida substituindo a função a ser integrada pelo polinômio com diferenças finitas ascendentes que a interpola em um conjunto de pontos xi yi i 0 1 n Sendo assim é necessário que as abscissas dos pontos sejam equidistantes x y x0a xnb fx0 yfx ypx fxn 2 Fórmulas de NewtonCotes Seja f x definida em um conjunto de pontos xi yi i 0 1 n todos distintos e equidistantes no intervalo a b Seja também Pnx o polinômio interpolador da função f x tal que x0 a e xn b Considerando que f x é suficientemente diferençável temos da interpolação polinomial que 2 Fórmulas de NewtonCotes Assim Então Sabese como fazer um polinômio E que x x0 hz dx hdz Para x x0 Para x xn 0 n 0 3 0 2 0 0 0 y n n 1 1 z zz y 3 2 1z zz y 2 1 zz y z y x hz p h x x z 0 0 z h x x z 0 0 n z h nh h x x z 0 n 2 Fórmulas de NewtonCotes A integral que se deseja calcular é A integral que será efetivamente calculada é Este resultado constitui uma família de regras de integração ou de fórmulas de quadratura n 0 b a x b e I f x dx onde a x pzhdz n 0 I 2 Fórmulas de NewtonCotes pzdz h n 0 I 2 Fórmulas de NewtonCotes 21 Regra dos Trapézios Esta regra é obtida fazendose n igual a um ou seja integrandose o polinômio interpolador de grau um 211 Fórmula Simples É calculada a integral Como y0 y1 y0 1 0 0 0 z y dz h y I 2 0 0 2 1 1 2 0 2 0 0 2 0 1 0 0 2 0 y y y y h y z h zy I 1 0 2 y h y I Fórmula simples da Regra dos Trapézios 2 0 0 y h y I 2 Fórmulas de NewtonCotes 21 Regra dos Trapézios Fórmula simples Notese que Integral I é a área do trapézio de altura h x1 x0 e de bases y0 e y1 f x y 0 y f a 1x b 0x a y px 1 y f b Exemplo 1 Fórmula Simples x fx 1 1 7 17 Considere a função fx calcule o valor da integral no intervalo 1 a 7 Pelo método do trapézio simples 1 0 2 y h y I h71 6 7 1 2 1 6 I I 3 4286 Exemplo 1 Fórmula Simples Aproximação da integral ₁⁷ 1x dx utilizando a regra dos trapézios 2 Fórmulas de NewtonCotes 21 Regra dos Trapézios 212 Fórmula Composta Para melhorar o resultado o intervalo de integração é dividido em n partes de tamanho h e aplicase a fórmula simples em cada uma delas h x0 a n 1 x x1 2 x b xn nI n 1 I 2I 1I y x 2 Fórmulas de NewtonCotes 21 Regra dos Trapézios Generalizada Para melhorar o resultado vamos aplicar a regra dos trapézios generalizada Esta regra consiste na subdivisão do intervalo de integração a b em n subintervalos iguais cada qual de tamanho Aplicase a fórmula simples da regra dos trapézios em cada subintervalo a cada dois pontos consecutivos Fazendo a soma I I1 I2 In 𝐼 ℎ 2 𝑦0 𝑦1 ℎ 2 𝑦1 𝑦2 ℎ 2 𝑦𝑛1 𝑦𝑛 I1 I2 In Logo n n y y y y h y I 1 2 1 0 2 2 2 2 Fórmula composta da Regra dos Trapézios 2 Fórmulas de NewtonCotes 21 Regra dos Trapézios Fórm Composta 2 Fórmulas de NewtonCotes Assim Então 2 Fórmulas de NewtonCotes 21 Regra dos Trapézios Fórmula composta Erro do Trapézio Composto Como não conhecemos o valor de o erro cometido é estimado através do cálculo do erro de truncamento máximo n 0 2 3 0 n T x x f n 12 x x E n n T x f n x x E 0 2 3 0 x max 12 Exemplo 1 Fórmula Generalizada Considere a função fx calcule o valor da integral no intervalo 1 a 7 Pelo método do trapézio composto usando 6 subintervalos Calcule o erro da integral 0143 2 0167 2 20 2 0 25 2 0 33 2 50 2 1 1 I 2 0215 I x fx ci 1 1 1 2 05 2 3 0333 2 4 025 2 5 02 2 6 0167 2 7 0143 1 1 6 7 1 m a b h 6 5 4 3 2 1 0 2 2 2 2 2 2 y y y y y y h y I Exemplo 1 Fórmula Generalizada Considere a função fx calcule o valor da integral no intervalo 1 a 7 Pelo método do trapézio composto usando 6 subintervalos Calcule o erro da integral x fx ci 1 1 1 2 05 2 3 0333 2 4 025 2 5 02 2 6 0167 2 7 0143 1 Exemplo 1 Fórmula Generalizada Considere a função fx calcule o valor da integral no intervalo 1 a 7 Pelo método do trapézio composto usando 6 subintervalos Calcule o erro da integral x fx ci 1 1 1 2 05 2 3 0333 2 4 025 2 5 02 2 6 0167 2 7 0143 1 I 2 0215 Exemplo 1 Fórmula Generalizada Considere a função fx calcule o valor da integral no intervalo 1 a 7 Pelo método do trapézio composto usando 6 subintervalos Calcule o erro da integral Valor calculado usando Regra do trapézio composta Valor exato Erro relativo Exemplo 2 n n T x f n x x E 0 2 3 0 max 12 x32 f32 003698 Exemplo 2 I 024 2 ሾ ሿ 03863 2 04446 2 04996 2 05518 2 06014 06487 Exemplo 2 i0 to 5 cᵢyᵢ 52298 I h2 i0 to 5 cᵢyᵢ I 0242 52298 I 06276 Observação Utilizando o Cálculo Diferencial e Integral e quatro casas decimais é obtido o seguinte resultado I 2 to 32 lnx 2 1dx x 2lnx 1 1 x₂³² 06278 Exercício 11 Seja a função estime do valor da integral Ix usando a regra do trapézio composta de modo que o erro de truncamento máximo seja menor ou igual a 01 𝑓 𝑥 𝑒𝑥 𝐼 𝑥 න 0 2 𝑒𝑥 n n T x f n x x E 0 2 3 0 max 12 n T x f n E 0 2 3 max 12 0 2 73891 12 0 2 2 3 n ET 𝑒0 1 𝑒2 73891 7 3891 12 8 n2 ET 12 1128 59 n2 ET 12 591128 2 ET n 12 591128 2 ET n 7 0185 10 12 591128 n