Cálculo Numérico - Integração Numérica - Regra de Simpson e Trapézios

Universidade Federal de Ouro Preto Cálculo Numérico BCC760 Aula 13 Integração Segunda Regra de Simpson Profa Dra Andrea G C Bianchi andreabianchiufopgmailcom Site da disciplina httpwwwmoodlepresencialufopbrmoodleloginindexphp Integração Numérica 1 Introdução 2 Fórmulas de NewtonCotes 21 Regra dos Trapézios 22 Primeira Regra de Simpson 23 Segunda Regra de Simpson 24 Grau de exatidão 3 Considerações finais 1 INTRODUÇÃO Ideia básica Aproximar substituir a função a ser integrada y fx por outra cuja integral seja fácil de avaliar Substituise então y fx pelo polinômio que a interpola em um conjunto de pontos xi yi i 01 n pertencentes ao intervalo de integração a b Notese que I é a área do trapézio de altura h x1 x0 e de bases y0 e y1 f x y 0 y 1x b 0x a y px 1 y 2 Fórmulas de NewtonCotes 21 Regra dos Trapézios Esta regra é obtida fazendose n igual a um ou seja integrandose o polinômio interpolador de grau um 211 Fórmula Simples É calculada a integral Como y0 y1 y0 1 0 0 0 z y dz h y I 2 y h y y 2 z h zy I 0 0 1 0 0 2 0 1 0 y 2 y h I Fórmula simples da Regra dos Trapézios 2 Fórmulas de NewtonCotes 21 Regra dos Trapézios 212 Fórmula Composta Para melhorar o resultado o intervalo de integração é dividido em n partes de tamanho h e aplicase a fórmula simples em cada uma delas h x0 a n 1 x x1 2 x b xn In 1 nI 2I 1I y x 2 Fórmulas de NewtonCotes 21 Regra dos Trapézios Fazendo a soma I I1 I2 In Logo 𝐼 ℎ 2 𝑦0 𝑦1 ℎ 2 𝑦1 𝑦2 ℎ 2 𝑦𝑛1 𝑦𝑛 I1 I2 In n n y y y y h y I 1 2 1 0 2 2 2 2 Fórmula composta da Regra dos Trapézios 2 Fórmulas de NewtonCotes 21 Regra dos Trapézios Fórmula composta 2 Fórmulas de NewtonCotes 22 Primeira Regra de Simpson Fórmula simples O resultado é Como y0 y1 y0 e 2y0 y2 2y1 y0 Então 2 0 0 2 2 3 0 2 0 y 4 z 6 z 2 y z yz h I 2 1 0 4 3 y y h y I Fórmula simples da Primeira Regra de Simpson 0 2 2 3 0 2 0 0 2 2 3 0 2 0 4 0 6 0 2 0 0 4 2 6 2 2 2 2 y y y y y y h I 2 Fórmulas de NewtonCotes 22 Primeira Regra de Simpson Fórmula simples 222 Fórmula Composta Dividese o intervalo de integração em n partes de tamanho h e aplicase a fórmula simples de forma repetida Representação geométrica x0 a n 1 x x1 x2 b xn nI 2 2I 1I x3 x4 n 2 x y f x y x 2 Fórmulas de NewtonCotes 22 Primeira Regra de Simpson Fórmula composta Fazendo a soma I I1 I2 In2 𝐼 ℎ 3 𝑦0 4𝑦1 𝑦2 ℎ 3 𝑦2 4𝑦3 𝑦4 ℎ 3 𝑦𝑛2 4𝑦𝑛1 𝑦𝑛 I1 I2 In A fórmula composta é y y4 y2 y2 y4 y2 y4 3 y h I n n 1 n 2 4 3 2 1 0 n número de intervalos Atenção n deve ser par 2 Fórmulas de NewtonCotes 22 Primeira Regra de Simpson Fórmula simples Integração Numérica 1 Introdução 2 Fórmulas de NewtonCotes 21 Regra dos Trapézios 22 Primeira Regra de Simpson 23 Segunda Regra de Simpson 24 Grau de exatidão 3 Considerações finais 2 Fórmulas de NewtonCotes Sabese como fazer um polinômio Esta regra é obtida fazendose n igual a três ou seja integrandose o polinômio interpolador de grau três 0 n 3 0 2 0 0 0 0 y n 1 n 1 z zz y 3 2 1z zz y 2 1 zz y z y x hz p 2 Fórmulas de NewtonCotes 23 Segunda Regra de Simpson Usando o polinômio interpolador de grau três 231 Fórmula Simples É calculada a integral Como y0 y1 y0 2y0 y2 2y1 y0 3y0 y3 3y2 3y1 y0 dz y 3 2 1z zz y 2 1 zz y z y h I 3 0 0 3 0 2 0 0 3 2 1 0 y 3y 3y 8 y 3h I Fórmula simples da Segunda Regra de Simpson Exemplo Simpson Simples Estime o valor da integral utilizando a Segunda Regra de Simpson Simples i xi yi ci 0 0 1 1 1 06 08352 3 2 12 04867 3 3 18 01978 1 01978 3 0 4867 1 3 0 8352 8 60 3 I 11618 I 0 9635 F 3 2 1 0 3 3 8 3 y y y h y I 11618 2 1 50 F 2 Fórmulas de NewtonCotes 23 Segunda Regra de Simpson 232 Fórmula Composta Dividese o intervalo de integração em n partes de tamanho h e aplicase a fórmula simples de forma repetida 𝐼 3ℎ 8 𝑦0 3𝑦1 3𝑦2 𝑦3 3ℎ 8 𝑦3 3𝑦4 3𝑦5 𝑦6 3ℎ 8 ሾ𝑦𝑛3 3𝑦𝑛2 3𝑦𝑛1 3 3 2 3 3 2 3 3 8 3 1 2 6 5 4 3 2 1 0 n n n y y y y y y y y y h y I Atenção n deve ser múltiplo de três Como não conhecemos o valor de o erro cometido é estimado através do cálculo do erro de truncamento máximo 2 Fórmulas de NewtonCotes 23 Segunda Regra de Simpson Erro de truncamento 80 3 0 4 5 0 2 x x f n x x E n S n n S x f n x x E 0 4 5 0 2 max 80 Considerações finais Ordem de convergência é a velocidade com a qual uma sucessão converge para o seu limite Comparando as expressões dos erros verificase que as fórmulas de Simpson têm ordem de convergência n4 enquanto que a Regra dos Trapézios é da ordem n2 x x f n 80 x x E n 0 IV 4 5 0 n S2 n 0 2 3 0 n T x x f n 12 x x E x x f n 180 x x E n 0 IV 4 5 0 n S1 Considerações finais Portanto as regras de Simpson convergem para o resultado exato da integral com a mesma velocidade e mais rapidamente do que a regra dos Trapézios quando h 0 x x f n 80 x x E n 0 IV 4 5 0 n S2 n 0 2 3 0 n T x x f n 12 x x E x x f n 180 x x E n 0 IV 4 5 0 n S1 Regra Simples pontos Simples intervalo Composta intervalo Erro Trapézio 2 n1 Qualquer n2 Primeira de Simpson 3 n2 n é par n4 Segunda de Simpson 4 n3 n é múltiplo de três n4 x x f n 80 x x E n 0 IV 4 5 0 n S2 n 0 2 3 0 n T x x f n 12 x x E x x f n 180 x x E n 0 IV 4 5 0 n S1 Exemplo Simpson Composto R5m r01m h h 10 m h 0 m dt 25 h2 001 1962h 5 dh t from 10 to 1 25 h2 001 1962h 5 dh from i0 to 9 ci yi 144356 Nove intervalos h 1 Tendo em vista que t 3 h 8 y0 3 y1 3 y2 2 y3 3 y4 3 y5 2 y6 3 y7 3 y8 y9 t 3 h 8 from i0 to 9 ci yi t 3 1 8 144356 t 54134 s Exemplo Estime o valor da integral utilizando a Segunda Regra de Simpson Composta com nove intervalos n9 Estime o erro x x f n 80 x x E n 0 IV 4 5 0 n S2 i xi yi ci 0 0 1 1 1 1 02 0980199 3 2940596 2 04 0923116 3 2769349 3 06 083527 2 167054 4 08 0726149 3 2178447 5 10 0606531 3 1819592 6 12 0486752 2 0973505 7 14 0375311 3 1125933 8 16 0278037 3 0834112 9 18 0197899 1 0197899 y y3 y3 y2 y3 y3 y2 y3 y3 8 y 3h I n n 1 n 2 6 5 4 3 2 1 0 h 02 I 11632 F 09640 𝐸 1805 8084 3 00001 n n S x f n x x E 0 max 80 4 5 0 2 Sendo e considerando a segunda regra de Simpson composta pedese Exercício 13 𝑓 𝑥 𝑒𝑥 1 aEstimar o valor da sua integral utilizando 6 subintervalos de integração e 4 casas decimais bDetermine o número mínimo de intervalos necessários para avaliar esta integral com erro de truncamento máximo 1010 𝑓 𝑥 𝑒𝑥