Aula 17 - Cálculo Numérico: Método de Newton-Raphson para Raízes de Equações

Universidade Federal de Ouro Preto Cálculo Numérico BCC760 Aula 17 Raízes de equações Método de Newton Raphson Profa Dra Andrea G C Bianchi andreabianchiufopgmailcom Site da disciplina httpwwwmoodlepresencialufopbrmoodleloginindexphp 1 2 3 y x x s tal que fs 0 Raízes de equações algébricas e transcendentes Fases na determinação de raízes Fase 1 Isolamento das raízes É feita a delimitação a enumeração e a separação das raízes com o objetivo de determinar intervalos que contenham cada um uma única raiz Fase 2 Refinamento São utilizados métodos numéricos com precisão préfixada para calcular cada raiz Todos eles pertencem à classe dos métodos iterativos Raízes de equações algébricas e transcendentes Raízes de Equações Método de Confinamento Método Bisseção Método RegulaFalsi Método Aberto Método de NewtonRaphson Método da Secante Método da Iteração do Ponto Fixo 4 Raízes de Equações Método de Confinamento identifica um intervalo que inclui a solução ab os pontos finais do intervalo são os limites superior e inferior da solução o tamanho do intervalo é reduzido sucessivamente até que a distância entre os pontos seja menor que a precisão desejada para a solução sempre convergem para uma solução Método da Bisseção a idéia básica é verificar os valores de f a e f b se elas possuírem sinais contrários então existe pelo menos uma raíz no intervalo entre a b xk xk Resolução de Equações Não lineares Fase 2 Refinamento Método da Bisseção 1 Função de iteração ponto médio 2 Determina novo intervalo 3 Critério de parada O processo iterativo é finalizado quando se obtém um intervalo cujo tamanho é menor ou igual a uma precisão préestabelecida e então qualquer ponto nele contido pode ser tomado como uma estimativa para a raiz ou quando for atingido um número máximo de iterações previamente estabelecido bk ak 𝒑𝒓𝒆𝒄𝒊𝒔ã𝒐 𝜺 4 Critério de convergência 𝒇 𝒂 𝒇 𝒃 𝟎 𝒆𝒙𝒊𝒔𝒕𝒆 𝒖𝒎𝒂 𝒓𝒂𝒊𝒛 𝒏𝒐 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒓𝒗𝒂𝒍𝒐 k 1 2 3 2 b a x k 1 k 1 k Raízes de Equações Método de Confinamento Método Bisseção Método RegulaFalsi Método Aberto Método de NewtonRaphson Método da Secante Método da Iteração do Ponto Fixo 8 Resolução de Equações Não lineares Fase 2 Refinamento Método da Falsa Posição b a a1 x2 a2 x1 b1 x y Interpretação geométrica b2 1 Função de iteração 2 Determina novo intervalo 3 Critério de parada O processo iterativo é finalizado quando fxk é menor ou igual a uma precisão pré estabelecida e então então xk é tomado como uma estimativa para a raiz ou quando for atingido um número máximo de iterações previamente estabelecido 𝒇𝒙𝒌 𝒑𝒓𝒆𝒄𝒊𝒔ã𝒐 𝜺 4 Critério de convergência 𝒇 𝒂 𝒇 𝒃 𝟎 𝒆𝒙𝒊𝒔𝒕𝒆 𝒖𝒎𝒂 𝒓𝒂𝒊𝒛 𝒏𝒐 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒓𝒗𝒂𝒍𝒐 Resolução de Equações Não lineares Fase 2 Refinamento Método da Falsa Posição k 1 2 fa fb xk afb bfa Raízes de Equações Método de Confinamento Método Bisseção Método RegulaFalsi Método Aberto Método de NewtonRaphson Método da Secante Método da Iteração do Ponto Fixo 11 Raizes de equações Fase 2 Refinamento Método de NewtonRaphson Seja y fx uma função contínua em um intervalo a b que contém uma e só uma raiz da equação fx 0 e que nele f x e f x devem existir ser contínuas e com sinal constante neste intervalo e não se anulam O Método de NewtonRaphson consiste em atribuir uma estimativa inicial x0 a b para uma raiz de fx 0 gerar uma sequência de estimativas xk k 1 2 3 onde cada ponto é a interseção da reta tangente a y fx em xk fxk com o eixo das abscissas Método de NewtonRaphson b a x0 x1 x y Interpretação geométrica x2 x0 fx0 x1 fx1 Raizes de equações Fase 2 Refinamento b a x0 x1 x y x0 fx0 x1 fx1 Raizes de equações Fase 2 Refinamento Obtendo o ponto 𝑥𝑖1 𝑡𝑔 𝛼 𝑡𝑔 α 𝑓𝑥𝑖 𝑥𝑖 𝑥𝑖1 𝑓 𝑥 𝑓𝑥0 𝑥0 𝑥1 𝑥1 𝑥0 𝑓𝑥0 𝑓 𝑥 Função de iteração Critério de parada O processo iterativo é finalizado quando é obtido xk k 1 2 tal que xk xk1 é menor ou igual a uma precisão estabelecida e então xk é tomado como uma estimativa para a raiz ou quando for atingido um número máximo de iterações estabelecido k 1 2 x f fx x x 1 k k 1 k 1 k Método de NewtonRaphson Raizes de equações Fase 2 Refinamento xk xk1 𝒑𝒓𝒆𝒄𝒊𝒔ã𝒐 𝜺 Teorema Seja y fx uma função contínua em um intervalo a b que contém uma e só uma Se f x e f x forem não nulas e preservarem o sinal em ab tal que f x0 f x0 0 é possível construir pelo método de NewtonRaphson uma sequência de valores xk que convirja para uma raiz Critério de convergência condições suficientes i o valor inicial x0a b for tal que fx0 f x0 0 Em geral afirmase que o método gera uma sequência convergente desde que x0 seja escolhido suficientemente próximo da raiz Ou ainda que o valor inicial de x0 deve ser um ponto no qual a função tenha o mesmo sinal de sua derivada de segunda ordem Método de NewtonRaphson Raizes de equações Fase 2 Refinamento Exercício Encontre a raíz da equação abaixo usando o método de NewtonRaphson no intervalo 34 escolha o valor do 𝑥0 de acordo com o critério de convergência Tem raíz 𝑓 𝑥 692 196𝑥 393𝑒05𝑥 𝑓 3 1653 𝑓 4 14505 Exercício Encontre a raíz da equação abaixo usando o método de NewtonRaphson no intervalo 34 escolha o valor do 𝑥0 de acordo com o critério de convergência Determinar o valor de 𝑥0 pelo critério de convergência 𝑥0 3 𝑓 3 1653 e 𝑓 3 21867 ou 𝑥0 4 𝑓 4 14505 e 𝑓 4 13263 i Convergência o valor inicial x0a b for tal que fx0 f x0 0 𝑥0 4 𝑓 𝑥 98𝑒05𝑥 𝑓 𝑥 692 196𝑥 393𝑒05𝑥 Exercício k 1 2 x f fx x x 1 k k 1 k 1 k 𝑓 𝑥 692 196𝑥 393𝑒05𝑥 𝑓 3 1653 𝑓 4 14505 𝑓 𝑥 98𝑒05𝑥 𝑓 𝑥 196𝑒05𝑥 1 k xk fx fx xkxk1 0 4000 14505 16947 Exercício k 1 2 x f fx x x 1 k k 1 k 1 k k xk fx fx xkxk1 0 4000 14505 16947 1 3144 0561 15530 0856 Exercício k 1 2 x f fx x x 1 k k 1 k 1 k k xk fx fx xkxk1 0 4000 14505 16947 1 3144 0561 15530 0856 2 3108 0004 15457 0036 Exercício k 1 2 x f fx x x 1 k k 1 k 1 k k xk fx fx xkxk1 0 4000 14505 16947 1 3144 0561 15530 0856 2 3108 0004 15457 0036 3 3108 0000 𝒙 𝟑 𝟏𝟎𝟖 Considerações finais Os três métodos podem ser comparados quanto à existência e velocidade de convergência e também quanto ao esforço computacional de modo a facilitar a escolha do mais adequado para cada situação Raízes de equações O método mais simples exige pouco esforço computacional e robusto é o da bisseção que apresenta como grande vantagem o fato de sempre gerar uma sequência convergente É contudo um método de baixa velocidade de convergência apresentando como curiosidade o fato de gerar uma sequência que converge para a raiz sempre com a mesma velocidade Pela sua robustez é bom como método preliminar para a obtenção de um intervalo de pequeno tamanho dentro do qual se encontra uma raiz da equação Raízes de equações O método da falsa posição também é uma técnica robusta que apresenta a vantagem de gerar uma sequência que sempre converge e além disto mais rapidamente do que o método da bisseção Entretanto quando a convergência para a raiz só se faz a partir de um dos extremos do intervalo esta se torna lenta podendo igualarse à do método da bisseção O método de NewtonRaphson é sem dúvida o método que proporciona a maior velocidade convergência Apresenta entretanto algumas desvantagens Raízes de equações As condições de convergência são mais restritivas Obriga o cálculo em cada iteração do valor numérico da função e da sua primeira derivada Se a derivada tiver uma forma analítica complicada a sua avaliação pode exigir muito esforço computacional Se o valor da primeira derivada for grande a convergência será lenta Para os casos em que a utilização do método de NewtonRaphson se mostrar inviável podese recorrer ao método da Falsa Posição Raízes de equações Delimite as raízes do seguinte polinômio Exercício 17 𝑓 𝑥 𝑥4 3𝑥3 6𝑥2 2 a Delimite a região da menor raiz negativa do polinômio acima b Utilize o método de NewtonRaphson para encontrar a menor raiz negativa para a equação acima com precisão de 0001 ou 7 iterações Utilize 4 casas decimais Cálculo Numérico Final do curso Muito obrigado