Calculo Numerico - Integracao Numerica - Regra de Simpson e Trapezios

Universidade Federal de Ouro Preto Cálculo Numérico BCC760 Aula 12 Integração Primeira Regra de Simpson Profa Dra Andrea G C Bianchi andreabianchiufopgmailcom Site da disciplina httpwwwmoodlepresencialufopbrmoodleloginindexphp Integração Numérica 1 Introdução 2 Fórmulas de NewtonCotes 21 Regra dos Trapézios 22 Primeira Regra de Simpson 23 Segunda Regra de Simpson 24 Grau de exatidão 3 Considerações finais Integração Numérica 1 Introdução 2 Fórmulas de NewtonCotes 21 Regra dos Trapézios 22 Primeira Regra de Simpson 23 Segunda Regra de Simpson 24 Grau de exatidão 3 Considerações finais Notese que I é a área do trapézio de altura h x1 x0 e de bases y0 e y1 f x y 0 y 1x b 0x a y px 1 y 2 Fórmulas de NewtonCotes 21 Regra dos Trapézios Esta regra é obtida fazendose n igual a um ou seja integrandose o polinômio interpolador de grau um 211 Fórmula Simples É calculada a integral Como y0 y1 y0 1 0 0 0 z y dz h y I 2 y h y y 2 z h zy I 0 0 1 0 0 2 0 1 0 y 2 y h I Fórmula simples da Regra dos Trapézios 2 Fórmulas de NewtonCotes 21 Regra dos Trapézios 212 Fórmula Composta Para melhorar o resultado o intervalo de integração é dividido em n partes de tamanho h e aplicase a fórmula simples em cada uma delas h x0 a n 1 x x1 2 x b xn In 1 nI 2I 1I y x 2 Fórmulas de NewtonCotes 21 Regra dos Trapézios Fazendo a soma I I1 I2 In Logo 𝐼 ℎ 2 𝑦0 𝑦1 ℎ 2 𝑦1 𝑦2 ℎ 2 𝑦𝑛1 𝑦𝑛 I1 I2 In n n y y y y h y I 1 2 1 0 2 2 2 2 Fórmula composta da Regra dos Trapézios 2 Fórmulas de NewtonCotes 21 Regra dos Trapézios Fórmula composta Integração Numérica 1 Introdução 2 Fórmulas de NewtonCotes 21 Regra dos Trapézios 22 Primeira Regra de Simpson 23 Segunda Regra de Simpson 24 Grau de exatidão 3 Considerações finais 2 Fórmulas de NewtonCotes Sabese como fazer um polinômio 0 n 0 3 0 2 0 0 0 y n n 1 1 z zz y 3 2 1z zz y 2 1 zz y z y x hz p 2 Fórmulas de NewtonCotes 22 Primeira Regra de Simpson Fórmula simples Esta regra é obtida fazendose n igual a dois ou seja integrandose o polinômio interpolador de grau dois 221 Fórmula Simples É calculada a integral 2 0 0 2 0 0 2 1 dz y z z z y y h I 2 0 0 2 2 3 0 2 0 y 4 z 6 z 2 y z yz h I 2 Fórmulas de NewtonCotes 22 Primeira Regra de Simpson Fórmula simples O resultado é Como y0 y1 y0 e 2y0 y2 2y1 y0 Então 2 0 0 2 2 3 0 2 0 y 4 z 6 z 2 y z yz h I 2 1 0 4 3 y y h y I Fórmula simples da Primeira Regra de Simpson 0 2 2 3 0 2 0 0 2 2 3 0 2 0 4 0 6 0 2 0 0 4 2 6 2 2 2 2 y y y y y y h I 2 Fórmulas de NewtonCotes 22 Primeira Regra de Simpson Fórmula simples Como não conhecemos o valor de o erro cometido é estimado através do cálculo do erro de truncamento máximo Erro da Primeira Regra de Simpson 180 0 4 5 0 1 n n S x x f n x x E n n S x x f n x x E 0 4 5 0 1 max 180 2 Fórmulas de NewtonCotes 22 Primeira Regra de Simpson Exemplo O PROCON tem recebido reclamações com relação ao peso dos pacotes de açúcar de 5kg Com a finalidade de verificar a validade das reclamações foi coletada uma amostra de 100 pacotes Com isto chegouse à conclusão de que para determinar a probabilidade de um pacote de açúcar pesar menos do que 5kg deve ser avaliada a expressão a seguir F0512π 180 ex²2 dx Estime essa probabilidade e o erro de truncamento máximo cometido utilizando a Primeira Regra de Simpson Integral180 ex²2 dx Exemplo i xi yi ci 0 00 1 1 1 09 06670 4 2 18 01979 1 2 1 0 y 4y 3 y h I 01979 3 1 4 0 6670 90 I 11597 I 11597 2 1 50 F 0 9627 F Integral yi Erro da Primeira Regra de Simpson 𝐸 1805 18024 3 00196 n n S x f n x x E 0 4 5 0 1 max 180 2 Fórmulas de NewtonCotes 22 Primeira Regra de Simpson 222 Fórmula Composta Dividese o intervalo de integração em n partes de tamanho h e aplicase a fórmula simples de forma repetida Representação geométrica x0 a n 1 x x1 x2 b xn nI 2 2I 1I x3 x4 n 2 x y f x y x 2 Fórmulas de NewtonCotes 22 Primeira Regra de Simpson Fórmula composta 2 Fórmulas de NewtonCotes Primeira Regra de Simpson Fazendo a soma I I1 I2 In2 𝐼 ℎ 3 𝑦0 4𝑦1 𝑦2 ℎ 3 𝑦2 4𝑦3 𝑦4 ℎ 3 𝑦𝑛2 4𝑦𝑛1 𝑦𝑛 I1 I2 In A fórmula composta é y y4 y2 y2 y4 y2 y4 3 y h I n n 1 n 2 4 3 2 1 0 n número de intervalos Atenção n deve ser par 2 Fórmulas de NewtonCotes 22 Primeira Regra de Simpson Fórmula simples Exemplo O PROCON tem recebido reclamações com relação ao peso dos pacotes de açúcar de 5kg Com a finalidade de verificar a validade das reclamações foi coletada uma amostra de 100 pacotes Com isto chegouse à conclusão de que para determinar a probabilidade de um pacote de açúcar pesar menos do que 5kg deve ser avaliada a expressão a seguir F0512π 180 ex²2 dx Estime essa probabilidade e o erro de truncamento máximo cometido utilizando a Primeira Regra de Simpson Divida o intervalo de integração em 6 partes e faça os cálculos com 4 casas decimais Exemplo y y4 y2 y2 y4 y2 y4 3 y h I n n 1 n 2 4 3 2 1 0 Integral yi 2 2 4 2 4 3 6 5 4 3 2 1 0 y y y y y y y h I Exemplo i xᵢ yᵢ cᵢ 0 00 1 1 1 03 09560 4 2 06 08353 2 3 09 06670 4 4 12 04868 2 5 15 03247 4 6 18 01979 1 Ih3 Σi0 a 6 cᵢyᵢ I033116325 I11633 F0512π11633 F09640 fᴵⱽxex²2x⁴6x²3 fᴵⱽ03 ES1 180⁵1806⁴3 ES1 0000243 Um fluido atravessa a secção circular de um tubo com velocidade vr 3 1 rr017 onde r é a distância radial ao centro da secção e r0 4 cm é o raio da secção Determine a quantidade de fluido por unidade de tempo que atravessa esta secção dada por Q 2π 0r0 r vr dr No cálculo utilize 5 pontos igualmente espaçados no intervalo 0 2 e 6 pontos igualmente espaçados no restante intervalo Use as fórmulas numéricas de integração mais apropriadas para cada caso Q 2π 0r0 r vr dr Resolução É necessário definir os valores de r utilizados no cálculo do integral de acordo com as indicações fornecidas Verificase quais os valores pretendidos para integrar e calculase r vr Assim r 0 05 1 15 2 24 28 32 36 4 vr 3 2943315 2879207 2805183 2717171 2631920 2525947 2383792 2159057 0 rvr 0 1471657 2879207 4207775 5434342 6316608 7072653 7628135 7772605 0 Existem dois grupos de pontos com espaçamentos distintos aos quais são associadas diferentes fórmulas de integração 04 rvr dr 02 rvr dr 24 rvr dr h05 h04 0 2 02 rvr dr 4 subintervalos h 05 fórmula composta de Simpson 02 rvr dr S05 053 0 41471657 22879207 44207775 5434342 5651747 2 4 24 rvr dr 5 subintervalo h 04 fórmula composta do Trapézio 24 rvr dr T04 042 5434342 26316608 27072653 27628135 27772605 0 12602869 Assim o resultado do integral será 04 rvr dr 5651747 12602869 18254616 A quantidade de fluido por unidade de tempo é igual a Q 2π 04 rvr dr 2π 18254616 114697135 Exercício 12 න 2 32 ln 𝑥 2 1 aUse a primeira regra de Simpson Simples bUse a primeira regra de Simpson Composta com 6 intervalos c Calcule o erro de truncamento máximo para o item b 𝑓 𝑥 6 𝑥 24