Aula 16 - Raízes de Equações - Método Regula Falsi - Cálculo Numérico UFOP

Universidade Federal de Ouro Preto Cálculo Numérico BCC760 Aula 16 Raízes de equações Método RegulaFalsi Profa Dra Andrea G C Bianchi andreabianchiufopgmailcom Site da disciplina httpwwwmoodlepresencialufopbrmoodleloginindexphp Raízes de Equações Método de Confinamento Método Bisseção Método RegulaFalsi Método Aberto Método de Newton Método da Secante Método da Iteração do Ponto Fixo 2 1 2 3 y x x s tal que fs 0 Raízes de equações algébricas e transcendentes Fases na determinação de raízes Fase 1 Isolamento das raízes É feita a delimitação a enumeração e a separação das raízes com o objetivo de determinar intervalos que contenham cada um uma única raiz Fase 2 Refinamento São utilizados métodos numéricos com precisão préfixada para calcular cada raiz Todos eles pertencem à classe dos métodos iterativos Método da bisecção Raízes de equações algébricas e transcendentes Raízes de Equações Método de Confinamento identifica um intervalo que inclui a solução os pontos finais do intervalo são os limites superior e inferior da solução o tamanho do intervalo é reduzido sucessivamente até que a distância entre os pontos seja menor que a precisão desejada para a solução sempre convergem para uma solução Método da Bisseção a idéia básica é verificar os valores de f a e f b se elas possuírem sinais contrários então existe pelo menos uma raíz no intervalo entre a b xk xk Resolução de Equações Não lineares Fase 2 Refinamento Método da Bisseção k 1 2 3 2 b a x k 1 k 1 k Método da Falsa Posição Método da Falsa Posição Seja y fx uma função contínua em um intervalo ab que contém uma e só uma raiz da equação fx 0 O Método da Falsa Posição consiste em dividir de forma sucessiva o intervalo a b no ponto em que a reta que passa por a fa e b fb intercepta o eixo das abscissas Método da Falsa Posição Resolução de Equações Não lineares Fase 2 Refinamento Método da Falsa Posição b a a1 x2 a2 x1 b1 x y Interpretação geométrica b2 Resolução de Equações Não lineares Fase 2 Refinamento Método da Falsa Posição b a a1 x2 a2 x1 b1 y Interpretação geométrica b2 Intervalos fa0 e fb0 Iteração 1 fa 0 fx1 0 e fb0 fafx1 0 fx1fb 0 fa1fx2 0 a2x2 Iteração 2 fa10 fx2 0 e fb10 fa1fx2 0 fx2fb1 0 fafx1 0 a1x1 Equação da reta k 1 2 fa fb xk afb bfa 1 Função de iteração 2 Determina novo intervalo 3 Critério de parada O processo iterativo é finalizado quando fxk é menor ou igual a uma precisão pré estabelecida e então então xk é tomado como uma estimativa para a raiz ou quando for atingido um número máximo de iterações previamente estabelecido 𝒇𝒙𝒌 𝒑𝒓𝒆𝒄𝒊𝒔ã𝒐 𝜺 4 Critério de convergência 𝒇 𝒂 𝒇 𝒃 𝟎 𝒆𝒙𝒊𝒔𝒕𝒆 𝒖𝒎𝒂 𝒓𝒂𝒊𝒛 𝒏𝒐 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒓𝒗𝒂𝒍𝒐 Resolução de Equações Não lineares Fase 2 Refinamento Método da Falsa Posição k 1 2 fa fb xk afb bfa Resolução de Equações Não lineares Fase 2 Refinamento Método da Falsa Posição Exemplo Seja estimar a raiz de fx x3 9x 3 0 contida no intervalo 0 1 com precisão 0065 Resolução de Equações Não lineares Fase 2 Refinamento Método da Falsa Posição fx x3 9x 3 0 k 1 2 fa fb xk afb bfa k a b fa fb xk fxk 1 0 1 3 5 0375 2 Precisão Resolução de Equações Não lineares Fase 2 Refinamento Método da Falsa Posição fx x3 9x 3 0 k a b fa fb xk fxk 1 0 1 3 5 0375 0322 2 Precisão xk 1 0 0 0 0 fx x3 9x 3 0 k a b fa fb xk fxk 1 0 1 3 5 0375 0322 2 0 0375 3 0322 Resolução de Equações Não lineares Fase 2 Refinamento Método da Falsa Posição Precisão fx x3 9x 3 0 k a b fa fb xk fxk 1 0 1 3 5 0375 0322 2 0 0375 3 0322 0339 0012 0065 O valor da raíz é 0339 Resolução de Equações Não lineares Fase 2 Refinamento Método da Falsa Posição Precisão Exemplo Considere o intervalo da maior raiz entre 2025 k a b fa fb xk fxk 1 20 25 Exemplo k a b fa fb xk fxk 1 20 25 2 1563 2281 1029 xk 25 20 0 0 0 Exemplo k a b fa fb xk fxk 1 20 25 2 1563 2281 1029 2 2281 25 xk 25 20 0 0 0 Exemplo k a b fa fb xk fxk 1 20 25 2 1563 2281 1029 2 2281 25 1029 1563 2368 0231 Xk 2368 25 2281 0 0 0 Exemplo k a b fa fb xk fxk 1 20 25 2 1563 2281 1029 2 2281 25 1029 1563 2368 0231 3 2368 25 24 25 2281 0 0 0 Xk 2368 Exemplo k a b fa fb xk fxk 1 20 25 2 1563 2281 1029 2 2281 25 1029 1563 2368 0231 3 2368 25 0231 1563 2385 0041 24 Xk2385 25 2 368 0 0 0 Exemplo k a b fa fb xk fxk 1 20 25 2 1563 2281 1029 2 2281 25 1029 1563 2368 0231 3 2368 25 0231 1563 2385 0041 4 2385 25 Xk2385 25 2 368 0 0 0 Exemplo k a b fa fb xk fxk 1 20 25 2 1563 2281 1029 2 2281 25 1029 1563 2368 0231 3 2368 25 0231 1563 2385 0041 4 2385 25 0041 1563 2388 0005 Exemplo k a b fa fb xk fxk 1 20 25 2 1563 2281 1029 2 2281 25 1029 1563 2368 0231 3 2368 25 0231 1563 2385 0041 4 2385 25 0041 1563 2388 0005 Encontre uma das raízes do polinômio abaixo Exercício 16 𝑓 𝑥 2𝑥3 5𝑥2 𝑥 3 a Utilize o método de Regula Falsi para encontrar a raiz positiva no intervalo 23 com precisão de 001 ou 7 iterações Utilize 4 casas decimais