Pilares em Concreto Armado II - Dimensionamento e Exercícios UFPEL

Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Estruturas em concreto Armado II Pilares Pilares Esforços 1 Tópicos dimensionamento Pilares Arranjos 1 Tópicos dimensionamento Pilares 1 Tópicos dimensionamento Nomeclatura Pilares 1 Tópicos dimensionamento 𝐾 𝜀𝑢 𝜀0 𝜀𝑢 𝑥 𝐴 𝜀𝑢 𝜀𝑢100𝑑1 Pilares Deformações das armaduras domínio 2 1 Tópicos dimensionamento Pilares Deformações das armaduras domínios 3 4 4a 1 Tópicos dimensionamento Pilares Deformações das armaduras domínio 5 1 Tópicos dimensionamento 𝐾 𝜀𝑢 𝜀0 𝜀𝑢 Pilares Tensões no aço 1 Tópicos dimensionamento Pilares Resultantes das tensões no aço 1 Tópicos dimensionamento Pilares Resultante de compressão no concreto 1 Tópicos dimensionamento Pilares Equilíbrio entre resultantes das tensões e esforços solicitantes 1 Tópicos dimensionamento Pilares Equilíbrio entre resultantes das tensões e esforços solicitantes Temos duas equações não lineares e duas incógnitas x e onde x é a profundidade da linha neutra e é a área de aço de uma camada Estamos considerando todas as camadas iguais 1 Tópicos dimensionamento Pilares Equilíbrio entre resultantes das tensões e esforços solicitantes Equações reescritas em função da área de aço total 1 Tópicos dimensionamento Pilares Equilíbrio entre resultantes das tensões e esforços solicitantes I 1 Tópicos dimensionamento Pilares Equilíbrio entre resultantes das tensões e esforços solicitantes Adimensionalisando 1 Tópicos dimensionamento Pilares Equilíbrio entre resultantes das tensões e esforços solicitantes Criando 1 Tópicos dimensionamento é função de Pilares Exercício 1 1 Tópicos dimensionamento Verifique se a profundidade da linha neutra da seção transversal abaixo está entre x1 cm e x 30 cm considerando Nk 410 kN e25 cm fck20 Mpa aço CA 50 Pilares Exercício 1 1 Tópicos dimensionamento Pilares Exercício 1 1 Tópicos dimensionamento Pilares Exercício 1 1 Tópicos dimensionamento Pilares Exercício 1 1 Tópicos dimensionamento Pilares Exercício 1 1 Tópicos dimensionamento Pilares Exercício 1 1 Tópicos dimensionamento Pilares Exercício 1 1 Tópicos dimensionamento Pilares Exercício 1 1 Tópicos dimensionamento Pilares Exercício 1 1 Tópicos dimensionamento Pilares Exercício 1 1 Tópicos dimensionamento Pilares Exercício 1 1 Tópicos dimensionamento Pilares Exercício 1 1 Tópicos dimensionamento Pilares Exercício 1 1 Tópicos dimensionamento Pilares 2 Tópicos não linearidade física Pilares 2 Tópicos não linearidade física Pilares não linearidade geométrica Equação diferencial dos pilares Pilares não linearidade geométrica Equação diferencial dos pilares Pilares não linearidade geométrica Equação diferencial dos pilares Eliminando os termos comuns na equação 112 113 Fazendo o equilíbrio dos momentos fletores em torno do ponto O 114 Então 115 Pode ser desprezado por ser um infinitésimo elevado ao quadrado Só aparece na configuração deformada Pilares não linearidade geométrica Equação diferencial dos pilares Diferenciando115 em relação a x 116 Substituindo 113 na equação 116 117 que é a equação diferencial do pilar na configuração deformada Essa equação é válida para qualquer material elástico ou não já que não foi feita nenhuma hipótese sobre a relação entre o momento fletor e a curvatura das seções transversais da barra Não linearidade geométrica Equação diferencial dos pilares Observase que a flecha varia de forma não linear com relação a carga P Essa não linearidade é uma consequência das deformações do eixo do pilar e é denominada não linearidade geométrica A relação PW é não linear porque o equilíbrio é garantido na configuração deformada do eixo do pilar Essa teoria é denominada teoria de segunda ordem Não linearidade geométrica Equação diferencial dos pilares A teoria de flexão de vigas na qual o equilíbrio é garantido na configuração indeformada da barra é denominada de teoria de primeira ordem O efeito da força normal nos deslocamentos e nos esforços solicitantes do pilar é conhecido como efeito de segunda ordem Não linearidade geométrica Exemplo nãolinearidade geométrica Não linearidade geométrica Exemplo nãolinearidade geométrica Pilares Pilares c momentos nas extremidades Pilares Pilares c momentos nas extremidades Como encontrar máximo ou máximo em uma seção intermediária Pilares Pilares c momentos nas extremidades Métodos aproximados item 158331 Método do pilarpadrão com curvatura aproximada é o momento de primeira ordem que aplicado nas duas extremidades do pilar situação 1 produz uma flecha máxima igual à flecha máxima das situações 2 e 3 também é o momento de primeira ordem que ocorre na altura 04 le ou 06 le do pilar próxima ao ponto da maior soma M1M2 ou e1e2 situação 2 e 3 Veja a figura Pilares Pilares c momentos nas extremidades Métodos aproximados item 158331 Método do pilarpadrão com curvatura aproximada Pilares Pilares c momentos nas extremidades Métodos aproximados item 158331 Método do pilarpadrão com curvatura aproximada então devese usar para e a convenção de sinais do item 1582 da NBR 6118 Pilares Pilares c momentos nas extremidades Métodos aproximados item 158331 Método do pilarpadrão com curvatura aproximada é o momento de segunda ordem situação 1 obtido com a excentricidade de segunda ordem supondo que a deformada do pilar é uma senoide é um valor aproximado é o momento total máximo em uma seção intermediária do pilar e2 Pilares Pilares c momentos nas extremidades Métodos aproximados item 158331 Método do pilarpadrão com curvatura aproximada Observar que referese a uma seção transversal situada a uma altura 04 le ou 06 le e ref erese a uma altura 05le Mesmo assim este método proporciona bons resultados Pilares Pilares c momentos nas extremidades Momento de segunda ordem Pilares Pilares c momentos nas extremidades Momento de segunda ordem Usamos uma função senoidal para a deformada do eixo do pilar Da Resistência dos Materiais Na seção central fazendo e as devidas substituições Pilares Pilares c momentos nas extremidades Momento de segunda ordem Assim o momento fletor de segunda ordem é dado por E o momento total é Expressão da NBR6118 para Pilares Nomeclatura para momentos e excentricidades Conforme NBR6118 𝑀 𝑘 𝑦𝑒𝑥 𝑁 𝑘 𝑀 𝑘 𝑥𝑒 𝑦 𝑁 𝑘 Pilares Exemplo Para o pilar da Fig745 encontre as excentricidades iniciais Considere fck20 Mpa aço CA50 le4m Fk875 kN Pilares Exemplo Para o pilar da Fig745 encontre as excentricidades iniciais Considere fck20 Mpa aço CA50 le4m Fk875 kN Pilares Exemplo Para o pilar da Fig745 encontre as excentricidades iniciais Considere fck20 Mpa aço CA50 le4m Fk875 kN Pilares Introdução são elementos preponderantemente comprimidos e dispostos normalmente na posição vertical são responsáveis pelo suporte de vigas e lajes conduzindo as cargas atuantes sobre estas até às fundações a relação entre as dimensões da seção transversal não deve exceder a 5 situação que caracteriza a categoria pilarparede Pilares Introdução Como os pilares são responsáveis pelo suporte de outros elementos estruturais sua importância ao equilíbrio é incontestável devendo receber um tratamento de maior cuidado no projeto e execução Pilares Dimensões NBR 61182014 item 1323 A seção transversal dos pilares e pilaresparede maciços qualquer que seja a sua forma não deve apresentar dimensão menor que 19 cm Em qualquer caso não se permite pilar com seção transversal de área inferior a 360 cm2 Pilares Dimensões NBR 61182014 item 1323 Em casos especiais é permitida a consideração de dimensões entre 19 cm e 14 cm desde que no dimensionamento se multipliquem os esforços solicitantes de cálculo por um coeficiente adicional Ɣn indicado na Tabela 131 da NBR 6118 Pilares Função na estrutura contraventados de contraventamento Subestrutura de contraventamento é a parte da estrutura cuja principal função é resistir às ações horizontais como exemplo de elementos estruturais de contraventamento temse os pórticos planos e as paredes estruturais e os pilaresparede das caixas dos elevadores e das escadas dos edifícios Pilares Função na estrutura contraventados de contraventamento Subestrutura de contraventamento deve possuir rigidez suficiente para garantir que os deslocamentos horizontais da estrutura sejam pequenos Se a rigidez for suficiente admitese que a estrutura é indeslocável ou de nós fixos na verdade quase indeslocável Nota sempre que possível devese tomar as providências necessárias para garantir que a estrutura possa ser considerada indeslocável Pilares Função na estrutura contraventados de contraventamento Nota sempre que possível devese tomar as providências necessárias para garantir que a estrutura possa ser considerada indeslocável Pilares Efeitos de segunda ordem Efeitos de segunda ordem esforços decorrente de deslocamentos Pilares Função na estrutura contraventados de contraventamento Subestrutura contraventada é a parte da estrutura cuja principal função é resistir às ações verticais Vamos estudar os pilares da subestrutura contraventada das estruturas indeslocáveis Esses pilares podem ser calculados como se fossem apoiados no nível das lajes dos pisos Pilares Estrutura indeslocável 156 Análise de estruturas de nós fixos Nas estruturas de nós fixos o cálculo pode ser realizado considerando cada elemento comprimido isoladamente como barra vinculada nas extremidades aos demais elementos estruturais que ali concorrem onde se aplicam os esforços obtidos pela análise da estrutura efetuada segundo a teoria de primeira ordem Pilares Posição na estrutura Pilar Intermediário Pilar de Extremidade Pilar de Canto Pilares Comprimento equivalente NBR 6118 156 Pilares Índice de Esbeltes NBR 6118 1582 comprimento equivalente calculado conforme 156 No caso de pilar engastado na base e livre no topo é igual a 2 raio de giração da seção bruta le i Pilares Índice de Esbeltes Para uma seção retangular 𝑎𝑦 𝑎𝑥 Pilares Índice de Esbeltes Exemplo Encontre e Pilares Índice de Esbeltes Exemplo Encontre e Pilares Índice de Esbeltes Exemplo Encontre e Pilares Exigências NBR 6118 para verificação da segurança de pilares Campos Filho 2014 Pilares Excentricidades excentricidade de 1ª ordem excentricidade de 2ª ordem excentricidade de fluência Ocorre no topo e na base Pilares Excentricidades NBR 6118 11334 excentricidade de 1ª ordem excentricidades acidentais decorrentes de imperfeições locais globais excentricidades iniciais intrínsecas do projeto Pilares Excentricidades excentricidade de 1ª ordem excentricidades acidentais Figura 111 Imperfeições geométricas globais Pilares Excentricidades excentricidade de 1ª ordem excentricidades iniciais Excentricidades iniciais são decorrentes dos esforços transmitidos por outros elementos estruturais Depende de vy e vx Pilares Excentricidades excentricidade de 1ª ordem excentricidades iniciais Para o dimensionamento do pilar podese substituir o momento de cálculo pela excentricidade de 1ª ordem adicional Pilares Excentricidades excentricidade de 1ª ordem excentricidades iniciais A viga V227 transmite ao pilar P2 o momento Pilares Excentricidades excentricidade de 1ª ordem excentricidades iniciais no topo no base em uma seção intermediária Pilares Excentricidades excentricidade de 1ª ordem excentricidades mínimas Efeito das imperfeições locais atendidos se e em metros Pilares Qdo considerar efeitos de 2ª ordem NBR 6118 1582 Esforços de 2ª ordem podem ser desprezados quando onde deve ser escolhido no item 1582 Pilares Excentricidades NBR 6118 15833 excentricidade de 2ª ordem Método do pilar padrão com curvatura aproximada item 15833 90 2le 1 e2 10 r 2 N le 0005 e 05 2 0 10 05h A f 0 c cd método exato 90 CONSIDERAÇÃO DA FLUÊNCIA PROCESSO SIMPLIFICADO Excentricidade por FLUÊNCIA ecc item 1584 obrigatório considerar para 90 N sg 2718 1 1 Ne N sg e e 10Eci I c cc e1 excentricidade de 1º ordem coeficiente de fluência 25 N onde e l 2 Ecj módulo de elasticidade tangente inicial do concreto e Ic momento de inércia da seção de concreto le comprimento de flambagem Pilares 4 EXCENTRICIDADES CONSIDERAÇÃO DA FLUÊNCIA PROCESSO SIMPLIFICADO Excentricidade por FLUÊNCIA ecc item 1584 Pilares 4 EXCENTRICIDADES Pilares Esforços para dimensionamento Ação Solicitação Fd e1 eœ Nd N 14N f e2 NSd Md F N d d Md Nde1 e2 eœ e1 excentricidades e2 excentricidades de 1ºordem de 2ºordem eœ excentricidade por fluência Nota Como regra geral todo o pilar está submetido à flexão oblíqua devido às excentricidades envoltórias Pilares Exemplo 1 Dimensionar a armadura longitudinal vertical do pilar mostrado na Figura 34 sendo conhecidos Nk 7857 kN seção transversal 20 x 50 Ac 1000 cm² comprimento equivalente de flambagem ℓex ℓey 280 cm Os seguintes dados são comuns em todos os exemplos concreto C20 aço CA50 d 40 cm coeficientes de ponderação γc γf 14 e γs 115 Pilares Exemplo 1 a esforços solicitantes tabela 132 Nd γm γf Nk 10 14 7857 1100 kN Por ser intermediário não existem excêntri cidades iniciais nas seções de extremi dades e na seção intermediária b Indice de esbelteza itens 1582 e 156 λx 346 lex hx 346 280 50 194 λy 346 ley hy 346 280 20 484 c excentricidades mínimos de 1 ordem item 113343 exmin 0015 003 hx exmin 0015 003 050 003 m ou 3 cm eymin 0015 003 hy eymin 0015 003 020 0021 m ou 2 cm Exe d esbeltez limite item 1582 λ1x 25 125 eixhx αb 35 λ1 90 λ1y 25 125 eiyhy αb e1 e a excentricidade de 1º ordem inicial não é a mínima αb é encontrado em 1582 λ1x 25 125 050 1 25 35 λ1y 25 125 020 1 25 35 Exem λx λ1x não há necessidade de calcular efeitos de segundo ordem na direção x l2x λy λ1y é necessario calcular l2y e cálculo de l2y item 158332 l2 le² 10 1 f V Nd Ac fcd 1f 0005 h v 05 0005 h Exemplo 1 V 1100 x 10³ 020 050 20 14 077 1f 0005 20 077 05 196 x 10⁴ 9005 20 l2y 280² 10 196 x 10⁴ 154 cm Pilares Ex SP SCx SCy topo Nd Nd Nd Nd 3cm 21 I 3cm 154 I 21 Nd Nd interior base 3cm 21 I Nd Pilares Exemplo 2 Nk 1110 kN M1dAy M1dBy 63 kNm seção transversal 20 x 70 Ac 1400 cm² comprimento equivalente ou de flambagem ℓex ℓey 460 cm coeficientes de ponderação γc γf 14 γs 115 Figura 45 Dimensões da seção transversal arranjo estrutural do pilar na planta de forma e momentos fletores de primeira ordem na direção x a esforços solicitantes Exen Nd 14 x 1 x 1110 kN 1554 kN lixA 631554 00405m ou 405cm lixB lixA liyA liyB 0 seção intermediária lix 06 lixA 04 lixB 04 lixA lix 06 405 04 405 081cm 04 405 162cm b índice de esbeltez página 60 λx 346 460 70 2273 λy 346 460 20 7958 c excentricidades mínimas e1xmin 0015 003 070 0036 m 36 cm e1ymin 0015 003 020 0021 m 21 cm d esbeltez límite página 108 e1x e1xmin λb 06 04 e1xB e1xA 04 λb 04 λ1x 25 125 405 70 04 6431 λ1y 25 125 0 20 1 25 35 λ7x λ1x dispensar e2x λy λ1y calcular e2y e e2y página 109 e2y e1y2 10 1η ν Nd A2 fcd 1554 020 x 070 x 20 14 x 103 ν 0777 1η 0005 hν 05 0005 h 1η 0005 020 0777 05 0005 020 1η 0019 0025 l2x 462 10 0019 00402 m 402 cm g seções críticas entre circuncortes Todo SP SC SC 405 405 21 inter 162 36 402 21 base 405 405 21 g seções críticas entre circuncortes h dimensionamento das seções críticas 1 dimensionamento hx 70 hy20 d1 hy 020 página 190 da tabela v 1554 x 103 070 x 020 x 085 x 2014 0914 M 1554 x 103 x 00612 070 x 0202 x 085 x 2014 027 972 020 02797 030 090 055 084 0914 w1 w3 w2 10 063 101 w1 055 063 055 01 0914 090 055 w2 094 101 094 01 0914 090 094 w3 055 094 055 01 02797 020 058 As w b h σcd fyd As 058 x 07 x 02 x 085 x 20 114 500 115 As 0002268 m² As 2268 cm² 120 16 2413 cm² 2º dimensionamento 70 20 405 d hx 4 70 0057 página 203 v 1554 x 10³ 020 x 07 x 085 x 20 14 0914 M 1554 x 10³ x 00405 020 x 07 x 085 x 20 14 00528 00 00528 01 090 00 0116 0914 w₁ w₃ w₂ 100 00 026 w₃ 00084 As 00084 x 02 x 07 x 085 x 20 114 500 115 As 0000033 m² ou 033 cm² 033 cm² 2413 cm² então já está dimensionado Pilares Exemplo 3 Exemplo retirado da apostila do Prof Paulo Sérgio Pilares Exemplo 3 a esforços solicitantes página 74 Nd 14 x 820 114800 KN l ix 2041 x 102 114800 00177m 177 cm l iy 1726 x 102 114800 00150 m 150 cm l ix inter 06 177 04 177 035 04 177 071 l iy inter 06 15 04 15 03 04 15 06 Pilares Exemplo 3 b índice de esbeltez λ x 346 x 280 020 4844 λ y 346 x 280 050 1937 Exemplo 3 c excentricidades mínimas página 60 e1xmin 0015 003hy e1amin 0015 003 x 02 0021m 21cm e1ymin 0015 003 hy e1ymin 0015 003 x 050 003 m 30 cm Exe d esbeltez limite página 107 λ1x 25 125 eixhx αb λ1x 25 125 177 20 1 2610 35 λ1y 25 125 eiyhy αb λ1y 25 125 150 50 1 2537 35 λx λ1x precisamos calcular e2x λy λ1y não precisamos calcular e2y Exemp e excentricidade e2x página 109 v Nd Ac fcd v 1148 x 103 02 x 05 x 2044 0180 1r 0005 02 08 05 0019 m1 0005 02 0025 1r 0005h l2x 2802 10 0019 00148 m 148 cm Exemp SP 15 Nd 177 SC 300 Nd 211 inter 06 Nd 071 30 Nd 211148 base 177 Nd 15 21 Nd 300 Pilares 7 Envoltórias M1dminyyNd0015003b M1dminxxNd0015003h Seção transversal M1dminxM1dminy M1dminxx M1dminyy M1dminxx M1dminyy Envoltória mínima de 1ª ordem Sendo M1dminxx e M1dminyy as componentes em flexão composta normal e M1dminx e M1dminy as componentes em flexão composta oblíqua Figura 113 Envoltória mínima de 1ª ordem Pilares 7 Envoltórias Seção transversal Flexão composta normal em torno de y Flexão composta normal em torno de x Envoltória mínima com 2ª ordem Sendo Mdtotminxx e Mdtotminyy as componentes em flexão composta normal e Mdtotminx e Mdtotminy as componentes em flexão composta oblíqua Figura 152 Envoltória mínima com 2ª ordem 7 Envoltórias 2 Envoltórias mínimas De acordo com os esforços calculados anteriormente as seguintes envoltórias mínimas ficam então definidas Figura 42 Figura 42 Envoltórias mínimas 7 Envoltórias 1725 Processo aproximado para o dimensionamento à flexão composta oblíqua Nas situações de flexão obliqua simples ou composta pode ser adotada a aproximação dada pela expressão de interação onde são as componentes do momento resistente de cálculo em flexão oblíqua composta segundo os dois eixos principais de inércia x e y da seção bruta com um esforço normal resistente de cálculo NRd igual à normal solicitante NSd Esses são os valores que se deseja obter são os momentos resistentes de cálculo segundo cada um dos referidos eixos em flexão composta normal com o mesmo valor de NRd Esses valores são calculados a partir do arranjo e da quantidade de armadura em estudo é um expoente cujo valor depende de vários fatores entre eles o valor da força normal a forma da seção o arranjo da armadura e de suas porcentagens Em geral pode ser adotado α 1 a favor da segurança No caso de seções retangulares podese adotar α 12