Análise de Estruturas de Nós Móveis e Processo de Cross

Hiperestática Processo de Cross A B C D Processo de Cross estruturas de nós móveis Nas estruturas de nós móveis os graus de liberdade independentes dos seus nós incluem deslocamentos de translação e não apenas rotações 𝒅𝟐 𝒅𝟏 𝒅𝟑 A Para aplicar o processo de Cross nas estruturas de nós móveis utilizase um sistema base estrutura com os graus de liberdade de translação impedidos o que a transforma em uma estrutura de nós fixos A B C D Hiperestática Processo de Cross A B C D A p B C D 𝚫 𝑭𝟎𝟏 Considerase então a seguinte sobreposição de efeitos Estado E0 Estado E1 𝑭𝟏𝟏 𝜶𝟏 Equação de equilíbrio 𝑭𝟎𝟏 𝜶𝟏 𝑭𝟏𝟏 𝟎 A p B C D 𝚫 D pode ter um valor qualquer pode ser 1 mas não tem que ser 1 Da resolução da equação de equilíbrio calculase a1 Os efeitos finais na estrutura esforços reações são obtidos por sobreposição 𝑬𝒇 𝑬𝟎 𝜶𝟏 𝑬𝟏 Processo de Cross estruturas de nós móveis A análise dos estados E0 e E1 é feita utilizando o processo de Cross o sistema base é uma estrutura de nós fixos Hiperestática Processo de Cross A B C D A EI EI A B C 50 m D EI 30 m 10 kNm Processo de Cross estruturas de nós móveis Exercício 1 Grau de indeterminação cinemática d d3 A d1 dh BC d2 qB d3 qC Desprezar a deformabilidade axial das barras A estrutura de nós móveis 𝒅𝟐 𝒅𝟏 𝒅𝟑 Hiperestática Processo de Cross Processo de Cross estruturas de nós móveis 2 Sistema base estrutura com os graus de liberdade de translação bloqueados 3 Coeficientes de distribuição nó barra coef rigidez Ki coef distribuição Ci B AB BC soma 𝑲𝑩𝑨 𝟒 𝑬𝑰 𝑳 𝟒 𝑬𝑰 𝟑 𝟏 𝟑𝟑𝟑 𝑬𝑰 𝑲𝑩𝑪 𝟒 𝑬𝑰 𝑳 𝟒 𝑬𝑰 𝟓 𝟎 𝟖 𝑬𝑰 𝚺𝑲𝒊 𝟐 𝟏𝟑𝟑 𝑬𝑰 𝑪𝑩𝑨 𝑲𝑩𝑨 𝚺 𝑲𝒊 𝟏 𝟑𝟑𝟑 𝟐 𝟏𝟑𝟑 𝟎 𝟔𝟐𝟓 𝑪𝑩𝑪 𝑲𝑩𝑪 𝚺 𝑲𝒊 𝟎 𝟖 𝟐 𝟏𝟑𝟑 𝟎 𝟑𝟕𝟓 𝚺𝑪𝒊 𝟏 𝟎𝟎𝟎 em cada nó cuja rotação é um grau de liberdade independente da estrutura calcular o coeficiente de distribuição para as várias barras ligadas a esse nó C BC CD soma 𝑲𝑪𝑩 𝟒 𝑬𝑰 𝑳 𝟒 𝑬𝑰 𝟓 𝟎 𝟖 𝑬𝑰 𝑲𝑪𝑫 𝟒 𝑬𝑰 𝑳 𝟒 𝑬𝑰 𝟑 𝟏 𝟑𝟑𝟑 𝑬𝑰 𝚺𝑲𝒊 𝟐 𝟏𝟑𝟑 𝑬𝑰 𝑪𝑪𝑩 𝑲𝑪𝑩 𝚺 𝑲𝒊 𝟎 𝟖 𝟐 𝟏𝟑𝟑 𝟎 𝟑𝟕𝟓 𝑪𝑪𝑫 𝑲𝑪𝑫 𝚺 𝑲𝒊 𝟏 𝟑𝟑𝟑 𝟐 𝟏𝟑𝟑 𝟎 𝟔𝟐𝟓 𝚺𝑪𝒊 𝟏 𝟎𝟎𝟎 A B C D Hiperestática Processo de Cross A B C D 10 kNm Processo de Cross estruturas de nós móveis consultar as tabelas das forças de fixação para calcular os momentos nas extremidades de cada barra 4 Análise do Estado E0 𝒑𝑳𝟐 𝟏𝟐 p A B L 𝒑 𝑳𝟐 𝟏𝟐 𝟏𝟎 𝟑𝟐 𝟏𝟐 𝟕 𝟓 𝒌𝑵 𝒎 𝟕 𝟓 𝒌𝑵 𝒎 𝟕 𝟓 𝒌𝑵 𝒎 𝒑𝑳𝟐 𝟏𝟐 41 Momentos de fixação estado E0 Hiperestática Processo de Cross A B C D Processo de Cross estruturas de nós móveis 42 Processo de Cross estado E0 𝟎 𝟔𝟐𝟓 𝟎 𝟑𝟕𝟓 𝟎 𝟓 𝟎 𝟐 𝟖𝟏 𝟎 𝟑𝟕𝟓 𝟎 𝟓 𝟕 𝟓 𝟕 𝟓 𝟒 𝟔𝟗 𝟐 𝟑𝟓 𝟎 𝟎𝟗 𝟎 𝟏𝟕 𝟎 𝟎 𝟐 𝟔𝟒 𝟎 𝟗𝟏 𝟗 𝟗𝟒 𝟐 𝟔𝟒 𝟎 𝟔𝟐𝟓 𝟎 𝟓 𝟏 𝟒𝟏 𝟎 𝟐𝟕 𝟎 𝟓𝟑 𝟎 𝟖𝟖 𝟎 𝟒𝟒 𝟎 𝟏𝟎 𝟎 𝟎𝟓 𝟎 𝟎𝟏 𝟎 𝟎𝟐 𝟎 𝟎𝟑 𝟎 𝟎𝟐 𝟎 𝟒𝟔 𝟎 𝟗𝟏 𝟎 Hiperestática Processo de Cross A B C D Processo de Cross estruturas de nós móveis 𝟎 𝟗𝟏 𝒌𝑵 𝒎 𝟐 𝟔𝟒 𝒌𝑵 𝒎 𝟎 𝟗𝟏 𝒌𝑵 𝒎 𝟗 𝟗𝟒 𝒌𝑵 𝒎 𝟐 𝟔𝟒 𝒌𝑵 𝒎 𝟎 𝟒𝟔 𝒌𝑵 𝒎 43 Esforços no Estado E0 e cálculo de F01 M M 𝑽𝑨 𝟐 𝟔𝟒 𝟗 𝟗𝟒 𝟑 𝟏𝟎 𝟑 𝟐 𝟐 𝟒𝟑 𝟏𝟓 𝟏𝟕 𝟒𝟑 𝒌𝑵 𝑽𝑩 𝟐 𝟒𝟑 𝟏𝟓 𝟏𝟐 𝟓𝟕 𝒌𝑵 barra AB 𝑴𝑨 𝟗 𝟗𝟒 𝒌𝑵 𝒎 𝑴𝑩 𝟐 𝟔𝟒 𝒌𝑵 𝒎 𝑽𝑩 𝑽𝑪 𝟎 𝟗𝟏 𝟐 𝟔𝟒 𝟓 𝟎 𝟕𝟏 𝒌𝑵 barra BC 𝑴𝑩 𝟐 𝟔𝟒 𝒌𝑵 𝒎 𝑴𝑪 𝟎 𝟗𝟏 𝒌𝑵 𝒎 𝑽𝑪 𝑽𝑫 𝟎 𝟒𝟔 𝟎 𝟗𝟏 𝟑 𝟎 𝟒𝟔 𝒌𝑵 barra CD 𝑴𝑪 𝟎 𝟗𝟏 𝒌𝑵 𝒎 𝑴𝑫 𝟎 𝟒𝟔 𝒌𝑵 𝒎 A B C D 𝑭𝟎𝟏 𝟏𝟕 𝟒𝟑 𝒌𝑵 𝟏𝟐 𝟓𝟕 𝒌𝑵 𝟎 𝟕𝟏 𝒌𝑵 𝟎 𝟕𝟏 𝒌𝑵 𝟎 𝟒𝟔 𝒌𝑵 𝟎 𝟒𝟔 𝒌𝑵 𝑭𝟎𝟏 𝟏𝟐 𝟓𝟕 𝟎 𝟒𝟔 𝟏𝟑 𝟎𝟑 𝒌𝑵 Hiperestática Processo de Cross A B C D Processo de Cross estruturas de nós móveis consultar as tabelas de cálculo da matriz de rigidez para calcular os momentos nas extremidades das barras 5 Análise do Estado E1 𝑴 𝟔 𝑬 𝑰 𝑳𝟐 𝚫 𝚫 𝑳𝟐 𝟔 𝑬 𝑰 𝟏𝟎𝟎 𝟏𝟎𝟎 𝒌𝑵 𝒎 𝟏𝟎𝟎 𝒌𝑵 𝒎 51 Momentos de fixação estado E1 𝟏𝟎𝟎 𝒌𝑵 𝒎 𝟏𝟎𝟎 𝒌𝑵 𝒎 𝚫 𝚫 𝑴 𝟔 𝑬 𝑰 𝑳𝟐 𝚫 𝑳 𝚫 O deslocamento D pode ter qualquer valor pode ser D 1 ou por exemplo 𝑴 𝟔 𝑬 𝑰 𝑳𝟐 𝚫 𝟔 𝑬 𝑰 𝑳𝟐 𝑳𝟐 𝟔 𝑬 𝑰 𝟏𝟎𝟎 𝟏𝟎𝟎 𝒌𝑵 𝒎 Neste caso Hiperestática Processo de Cross A B C D Processo de Cross estruturas de nós móveis 52 Processo de Cross estado E1 𝟎 𝟔𝟐𝟓 𝟎 𝟑𝟕𝟓 𝟎 𝟓 𝟎 𝟑𝟕 𝟓 𝟎 𝟑𝟕𝟓 𝟎 𝟓 𝟏𝟎𝟎 𝟏𝟎𝟎 𝟔𝟐 𝟓 𝟑𝟏 𝟐𝟓 𝟒 𝟕𝟔 𝟗 𝟓𝟐 𝟏𝟎𝟎 𝟏𝟎𝟎 𝟒𝟕 𝟑𝟔 𝟒𝟕 𝟒𝟑 𝟕𝟑 𝟔𝟖 𝟒𝟕 𝟑𝟔 𝟎 𝟔𝟐𝟓 𝟎 𝟓 𝟏𝟖 𝟕𝟓 𝟏𝟓 𝟐𝟒 𝟑𝟎 𝟒𝟕 𝟓𝟎 𝟕𝟖 𝟐𝟓 𝟑𝟗 𝟓 𝟕𝟐 𝟐 𝟖𝟔 𝟎 𝟓𝟒 𝟏 𝟎𝟕 𝟏 𝟕𝟗 𝟎 𝟗𝟎 𝟕𝟑 𝟕𝟏 𝟒𝟕 𝟒𝟑 𝟎 𝟎 𝟐𝟎 𝟎 𝟏𝟎 𝟎 𝟏𝟕 𝟎 𝟑𝟒 Hiperestática Processo de Cross A B C D Processo de Cross estruturas de nós móveis 𝟒𝟕 𝟒 𝒌𝑵 𝒎 𝟒𝟕 𝟒 𝒌𝑵 𝒎 𝟒𝟕 𝟒 𝒌𝑵 𝒎 𝟕𝟑 𝟕 𝒌𝑵 𝒎 𝟒𝟕 𝟒 𝒌𝑵 𝒎 𝟕𝟑 𝟕 𝒌𝑵 𝒎 53 Esforços no Estado E1 e cálculo de F11 M M 𝑽𝑨 𝑽𝑩 𝟒𝟕 𝟒 𝟕𝟑 𝟕 𝟑 𝟒𝟎 𝟑𝟕 𝒌𝑵 barra AB 𝑴𝑨 𝟕𝟑 𝟕 𝒌𝑵 𝒎 𝑴𝑩 𝟒𝟕 𝟒 𝒌𝑵 𝒎 𝑽𝑩 𝑽𝑪 𝟒𝟕 𝟒 𝟒𝟕 𝟒 𝟓 𝟏𝟗 𝟎𝟖 𝒌𝑵 barra BC 𝑴𝑩 𝟒𝟕 𝟒 𝒌𝑵 𝒎 𝑴𝑪 𝟒𝟕 𝟒 𝒌𝑵 𝒎 𝑽𝑪 𝑽𝑫 𝟕𝟑 𝟕 𝟒𝟕 𝟒 𝟑 𝟒𝟎 𝟑𝟕 𝒌𝑵 barra CD 𝑴𝑪 𝟒𝟕 𝟒 𝒌𝑵 𝒎 𝑴𝑫 𝟕𝟑 𝟕 𝒌𝑵 𝒎 A B C D 𝑭𝟏𝟏 𝟒𝟎 𝟑𝟕 𝒌𝑵 𝟒𝟎 𝟑𝟕 𝒌𝑵 𝟏𝟗 𝟎𝟖 𝒌𝑵 𝟏𝟗 𝟎𝟖 𝒌𝑵 𝟒𝟎 𝟑𝟕 𝒌𝑵 𝟒𝟎 𝟑𝟕 𝒌𝑵 𝑭𝟏𝟏 𝟒𝟎 𝟑𝟕 𝟒𝟎 𝟑𝟕 𝟖𝟎 𝟕𝟒 𝒌𝑵 Hiperestática Processo de Cross Processo de Cross estruturas de nós móveis 6 Cálculo de a1 barra AB 𝑴𝑨 𝟗 𝟗𝟒 𝟎 𝟏𝟔𝟏𝟒 𝟕𝟑 𝟕 𝟐𝟏 𝟖𝟒 𝒌𝑵 𝒎 𝑴𝑩 𝟐 𝟔𝟒 𝟎 𝟏𝟔𝟏𝟒 𝟒𝟕 𝟒 𝟓 𝟎𝟏 𝒌𝑵 𝒎 barra BC barra CD 𝑭𝟎𝟏 𝜶𝟏 𝑭𝟏𝟏 𝟎 𝑬𝒇 𝑬𝟎 𝜶𝟏 𝑬𝟏 𝟏𝟑 𝟎𝟑 𝜶𝟏 𝟖𝟎 𝟕𝟒 𝟎 𝜶𝟏 𝟎 𝟏𝟔𝟏𝟒 7 Esforços e reações de apoio finais 𝑽𝑨 𝟏𝟕 𝟒𝟑 𝟎 𝟏𝟔𝟏𝟒 𝟒𝟎 𝟑𝟕 𝟐𝟑 𝟗𝟓 𝒌𝑵 𝑽𝑩 𝟏𝟐 𝟓𝟕 𝟎 𝟏𝟔𝟏𝟒 𝟒𝟎 𝟑𝟕 𝟔 𝟎𝟓 𝒌𝑵 𝑴𝑩 𝟐 𝟔𝟒 𝟎 𝟏𝟔𝟏𝟒 𝟒𝟕 𝟒 𝟓 𝟎𝟏 𝒌𝑵 𝒎 𝑴𝑪 𝟎 𝟗𝟏 𝟎 𝟏𝟔𝟏𝟒 𝟒𝟕 𝟒 𝟔 𝟕𝟒 𝒌𝑵 𝒎 𝑽𝑩 𝑽𝑪 𝟎 𝟕𝟏 𝟎 𝟏𝟔𝟏𝟒 𝟏𝟗 𝟎𝟖 𝟐 𝟑𝟕 𝒌𝑵 𝑴𝑪 𝟎 𝟗𝟏 𝟎 𝟏𝟔𝟏𝟒 𝟒𝟕 𝟒 𝟔 𝟕𝟒 𝒌𝑵 𝒎 𝑴𝑫 𝟎 𝟒𝟔 𝟎 𝟏𝟔𝟏𝟒 𝟕𝟑 𝟕 𝟏𝟏 𝟒𝟒 𝒌𝑵 𝒎 𝑽𝑪 𝑽𝑫 𝟎 𝟒𝟔 𝟎 𝟏𝟔𝟏𝟒 𝟒𝟎 𝟑𝟕 𝟔 𝟎𝟓 𝒌𝑵 𝑴𝒎á𝒙 𝟐𝟏 𝟖𝟒 𝟐 𝟑𝟗𝟓 𝟐𝟑 𝟗𝟓 𝟐 𝟔 𝟖𝟒 𝒌𝑵 𝒎 𝒙 𝟐𝟑 𝟗𝟓 𝟏𝟎 𝟐 𝟑𝟗𝟓 𝒎 Hiperestática Processo de Cross A B C D V kN 605 605 2395 237 Processo de Cross estruturas de nós móveis 7 Esforços e reações de apoio finais X2395m A B C D M kNm 501 2184 501 684 674 674 1144 Hiperestática Processo de Cross A B C D 10 kNm Processo de Cross estruturas de nós móveis 7 Esforços e reações de apoio finais 𝑴𝑨 𝟐𝟏 𝟖𝟔 𝒌𝑵 𝒎 𝑹𝑨𝒚 𝟐 𝟑𝟕 𝒌𝑵 𝑴𝑫 𝟏𝟏 𝟒𝟒 𝒌𝑵 𝒎 𝑹𝑨𝒚 𝟐 𝟑𝟕 𝒌𝑵 𝑴𝑨 𝟐𝟏 𝟖𝟔 𝒌𝑵 𝒎 𝑹𝑨𝒙 𝟐𝟑 𝟗𝟓 𝒌𝑵 𝑹𝑨𝒙 𝟐𝟑 𝟗𝟓 𝒌𝑵 𝑹𝑫𝒙 𝟔 𝟎𝟓 𝒌𝑵 𝑹𝑫𝒙 𝟔 𝟎𝟓 𝒌𝑵 𝑹𝑫𝒚 𝟐 𝟑𝟕 𝒌𝑵 𝑵𝑨 𝑵𝑩 𝟐 𝟑𝟕 𝒌𝑵 barra AB 𝑵𝑩 𝑵𝑪 𝟔 𝟎𝟓 𝒌𝑵 barra BC 𝑵𝑪 𝑵𝑫 𝟐 𝟑𝟕 𝒌𝑵 barra CD 𝑹𝑫𝒚 𝟐 𝟑𝟕 𝒌𝑵 𝑴𝑫 𝟏𝟏 𝟒𝟒 𝒌𝑵 𝒎 A B C D 605 237 N kN 237 Hiperestática Processo de Cross A C D B E F Processo de Cross estruturas de nós móveis 𝒅𝟑 𝒅𝟏 𝒅𝟒 A A p C D B E F 𝒅𝟓 𝒅𝟐 𝒅𝟔 d6 A d1 dh CD d2 dh EF d3 qC d4 qD d5 qE d6 qF estrutura de nós móveis SIX a ae Hiperestatica Processo de Cross Se ENGENHARIACIVIL BRAS Processo de Cross estruturas de nos moveis Estado EO F Estado E1 F Estado E2 F E F 02 E F 21 E A F A 22 o I 1 Ne Cc D 01 A 11 12 re 1 ac q a2 A B A B A B A e A podem ter um valor qualquer pode ser 1 mas nao tem que ser 1 A analise dos estados EO Ete E2 é feita utilizando o processo de Cross o sistema base é uma estrutura de nos fixos Sistema de equacées de equilibrio rot 1 F41 2Fy2 0 Fo2 a4 WF o4 a2 F 45 0 Foi F11 Fiz 41 0 a r Lr r Pal 7 lol Da resolucgao do sistema de equacoes de equilibrio calculase co e az Os efeitos finais na estrutura esforcos reagdes sao obtidos por sobreposicao Ey Eo a4 Eyt a2 E