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Engenharia Civil ·
Hiperestática
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Hiperestática Método dos deslocamentos B A G C D E F B A G C D E F 20 m 40 m 30 m B 2EI 24 kNm A 20 m 2EI 20 m G C EI D 50 kN 30 kN E F 2EI 2EI 2EI Método dos deslocamentos ou da rigidez Exercício D5 1 Grau de indeterminação cinemática d 𝒅𝟐 𝒅𝟏 d3 A d1qB d2qF d3dV BF 𝒅𝟏 𝒅𝟐 𝒅𝟑 𝒅𝟓 𝒅𝟒 A barra BC d30 barra AB d1d30 barra DEF d60 barra FG d9d60 barra BF d4d7 Desprezar a deformabilidade axial das barras A 𝒅𝟗 𝒅𝟏𝟎 𝒅𝟔 𝒅𝟖 𝒅𝟕 𝒅𝟑 d2 não é independente d10 não é independente Hiperestática Método dos deslocamentos B 24 kNm A G C D 50 kN 30 kN E F Método dos deslocamentos ou da rigidez consultar tabelas das forças de fixação 𝑷 𝟐 𝑷 𝑳 𝟖 P D F L2 L2 E 𝑷 𝟐 𝑷 𝟐 𝟑𝟎 𝟐 𝟏𝟓 𝒌𝑵 𝑷 𝑳 𝟖 𝟑𝟎 𝟒 𝟖 𝟏𝟓 𝒌𝑵 𝒎 𝟏𝟓 𝒌𝑵 𝟏𝟓 𝒌𝑵 15 𝒌𝑵 𝒎 𝟔𝟎 𝒌𝑵 𝟓𝟎 𝒌𝑵 𝒎 𝟔𝟎 𝒌𝑵 F0 vetor de forças devidas às cargas aplicadas nas barras 𝑭𝟎𝟏 𝟓𝟎 𝒌𝑵 𝒎 𝑭𝒏𝟏 𝟎 2 Estado E0 estrutura bloqueada d10 d20 d30 𝒑𝑳 𝟐 𝒑𝑳 𝟐 𝒑 𝑳 𝟐 𝟐𝟒 𝟓 𝟐 𝟔𝟎 𝒌𝑵 𝒑 𝑳𝟐 𝟏𝟐 𝟐𝟒 𝟓𝟐 𝟏𝟐 𝟓𝟎 𝒌𝑵 𝒎 𝒑𝑳𝟐 𝟏𝟐 Fn vetor de forças diretamente aplicadas segundo os graus de liberdade independentes da estrutura 𝑭𝟎𝟐 𝟏𝟓 𝒌𝑵 𝒎 𝑭𝟎 𝟓𝟎 𝟏𝟓 𝟕𝟓 𝑭𝒏𝟐 𝟎 𝑭𝒏 𝟎 𝟎 𝟓𝟎 p B C L 𝑷 𝑳 𝟖 15 𝒌𝑵 𝒎 𝒑𝑳𝟐 𝟏𝟐 𝟓𝟎 𝒌𝑵 𝒎 𝑭𝟎𝟑 𝟏𝟓 𝟔𝟎 𝟕𝟓 𝒌𝑵 𝑭𝒏𝟑 𝟓𝟎 𝒌𝑵 Hiperestática Método dos deslocamentos B A G C D E F Método dos deslocamentos ou da rigidez consultar tabela da matriz de rigidez 3 Estado E1 d11 d20 d30 𝟔𝑬𝑰 𝑳𝟐 𝟒𝑬𝑰 𝑳 B C 𝟔𝑬𝑰 𝑳𝟐 𝟔𝑬𝑰 𝑳𝟐 𝟒𝑬𝑰 𝑳 F B 𝟔𝑬𝑰 𝑳𝟐 𝟔𝑬𝑰 𝑳𝟐 𝟔 𝟏𝟔 𝑬𝑰 𝟑 𝟖 𝑬𝑰 𝟒𝑬𝑰 𝑳 𝟒 𝟒 𝑬𝑰 𝑬𝑰 𝟏𝟐 𝟐𝟓 𝟏𝟐 𝟐𝟓 𝟒 𝟓 𝟔𝑬𝑰 𝑳𝟐 𝟔 𝟐𝟓 𝟐 𝑬𝑰 𝟏𝟐 𝟐𝟓 𝑬𝑰 𝟒𝑬𝑰 𝑳 𝟒 𝟓 𝟐 𝑬𝑰 𝟖 𝟓 𝑬𝑰 𝟑 𝟖 𝟏 𝟑 𝟖 EI 𝟏 𝟐 𝟐𝑬𝑰 𝑳 𝟐𝑬𝑰 𝑳 𝟐 𝟓 𝟐 𝑬𝑰 𝟒 𝟓 𝑬𝑰 1ª coluna da matriz de rigidez K 𝑲𝟏𝟏 𝟑 𝟐 𝑬𝑰 𝑬𝑰 𝟖 𝟓 𝑬𝑰 𝟒𝟏 𝟏𝟎 𝑬𝑰 𝑲𝟐𝟏 𝟏 𝟐 𝑬𝑰 𝟐𝑬𝑰 𝑳 𝟐𝑬𝑰 𝑳 𝟐 𝟒 𝑬𝑰 𝟏 𝟐 𝑬𝑰 𝟖 𝟓 𝟑𝑬𝑰 𝑳𝟐 𝟑𝑬𝑰 𝑳 A B 𝟑𝑬𝑰 𝑳𝟐 𝟑𝑬𝑰 𝑳𝟐 𝟑 𝟏𝟔 𝟐 𝑬𝑰 𝟑 𝟖 𝑬𝑰 𝟑𝑬𝑰 𝑳 𝟑 𝟒 𝟐 𝑬𝑰 𝟑 𝟐 𝑬𝑰 𝟑 𝟖 𝟑 𝟖 𝟑 𝟐 𝑲𝟑𝟏 𝟑 𝟖 𝑬𝑰 𝟏𝟐 𝟐𝟓 𝑬𝑰 𝟐𝟏 𝟐𝟎𝟎 𝑬𝑰 Hiperestática Método dos deslocamentos B A G C D E F Método dos deslocamentos ou da rigidez consultar tabela da matriz de rigidez 4 Estado E2 d10 d21 d30 𝟔𝑬𝑰 𝑳𝟐 𝟒𝑬𝑰 𝑳 D F 𝟔𝑬𝑰 𝑳𝟐 𝟔𝑬𝑰 𝑳𝟐 𝟐𝑬𝑰 𝑳 F B 𝟔𝑬𝑰 𝑳𝟐 𝟔𝑬𝑰 𝑳𝟐 𝟔 𝟏𝟔 𝑬𝑰 𝟑 𝟖 𝑬𝑰 𝟒𝑬𝑰 𝑳 𝟒 𝟒 𝑬𝑰 𝑬𝑰 𝟑 𝟒 𝟑 𝟒 𝟐 𝟔𝑬𝑰 𝑳𝟐 𝟔 𝟏𝟔 𝟐 𝑬𝑰 𝟑 𝟒 𝑬𝑰 𝟒𝑬𝑰 𝑳 𝟒 𝟒 𝟐 𝑬𝑰 𝟐 𝑬𝑰 𝟑 𝟖 𝟏 𝟑 𝟖 EI 𝟏 𝟐 𝟐𝑬𝑰 𝑳 𝟐𝑬𝑰 𝑳 𝟐 𝟒 𝟐 𝑬𝑰 𝑬𝑰 2ª coluna da matriz de rigidez K 𝑲𝟏𝟐 𝟏 𝟐 𝑬𝑰 𝑲𝟐𝟐 𝑬𝑰 𝟐 𝑬𝑰 𝟐 𝑬𝑰 𝟓 𝑬𝑰 𝟒𝑬𝑰 𝑳 𝟐𝑬𝑰 𝑳 𝟐 𝟒 𝑬𝑰 𝟏 𝟐 𝑬𝑰 𝟏 𝟑𝑬𝑰 𝑳𝟐 𝟑𝑬𝑰 𝑳 F G 𝟑𝑬𝑰 𝑳𝟐 𝟑𝑬𝑰 𝑳𝟐 𝟑 𝟗 𝟐 𝑬𝑰 𝟐 𝟑 𝑬𝑰 𝟑𝑬𝑰 𝑳 𝟑 𝟑 𝟐 𝑬𝑰 𝟐 𝑬𝑰 𝟐 𝟑 𝟐 𝟑 𝟐 𝑲𝟑𝟐 𝟑 𝟒 𝑬𝑰 𝟐 𝟑 𝑬𝑰 𝟏 𝟏𝟐 𝑬𝑰 Hiperestática Método dos deslocamentos B A G C D E F Método dos deslocamentos ou da rigidez consultar tabela da matriz de rigidez 5 Estado E3 d10 d20 d31 𝟏𝟐𝑬𝑰 𝑳𝟑 𝟔𝑬𝑰 𝑳𝟐 B C 𝟏𝟐𝑬𝑰 𝑳𝟑 𝟑 𝟖 𝟑 𝟖 𝟑 𝟒 𝟏𝟐𝑬𝑰 𝑳𝟑 𝟏𝟐 𝟏𝟐𝟓 𝟐 𝑬𝑰 𝟐𝟒 𝟏𝟐𝟓 𝑬𝑰 𝟔𝑬𝑰 𝑳𝟐 𝟔 𝟐𝟓 𝟐 𝑬𝑰 𝟏𝟐 𝟐𝟓 𝑬𝑰 𝟑 𝟖 EI 𝟔𝑬𝑰 𝑳𝟐 3ª coluna da matriz de rigidez K 𝑲𝟏𝟑 𝟑 𝟖 𝑬𝑰 𝟏𝟐 𝟐𝟓 𝑬𝑰 𝟐𝟏 𝟐𝟎𝟎 𝑬𝑰 𝑲𝟐𝟑 𝟑 𝟒 𝑬𝑰 𝟐 𝟑 𝑬𝑰 𝟏 𝟏𝟐 𝑬𝑰 𝟑 𝟒 𝟐 𝟗 𝟐 𝟗 𝟐 𝟑 𝑲𝟑𝟑 𝟑 𝟑𝟐 𝑬𝑰 𝟐𝟒 𝟏𝟐𝟓 𝑬𝑰 𝟑 𝟖 𝑬𝑰 𝟐 𝟗 𝑬𝑰 𝟑𝟏𝟕𝟖𝟕 𝟑𝟔𝟎𝟎𝟎 𝑬𝑰 𝟑𝑬𝑰 𝑳𝟑 𝟑𝑬𝑰 𝑳𝟐 𝟑𝑬𝑰 𝑳𝟑 𝟑𝑬𝑰 𝑳𝟑 𝟑 𝟔𝟒 𝟐𝑬𝑰 𝟑 𝟑𝟐 𝑬𝑰 𝟑𝑬𝑰 𝑳𝟐 𝟑 𝟏𝟔 𝟐𝑬𝑰 𝟑 𝟖 𝑬𝑰 𝟑 𝟑𝟐 𝟑 𝟑𝟐 𝟐𝟒 𝟏𝟐𝟓 𝟐𝟒 𝟏𝟐𝟓 𝟏𝟐 𝟐𝟓 𝟏𝟐 𝟐𝟓 𝟏𝟐𝑬𝑰 𝑳𝟑 𝟔𝑬𝑰 𝑳𝟐 D F 𝟏𝟐𝑬𝑰 𝑳𝟑 𝟏𝟐𝑬𝑰 𝑳𝟑 𝟏𝟐 𝟔𝟒 𝟐 𝑬𝑰 𝟑 𝟖 𝑬𝑰 𝟔𝑬𝑰 𝑳𝟐 𝟔 𝟏𝟔 𝟐 𝑬𝑰 𝟑 𝟒 𝑬𝑰 𝟔𝑬𝑰 𝑳𝟐 𝟑𝑬𝑰 𝑳𝟑 𝟑𝑬𝑰 𝑳𝟐 𝟑𝑬𝑰 𝑳𝟑 𝟑𝑬𝑰 𝑳𝟑 𝟑 𝟐𝟕 𝟐𝑬𝑰 𝟐 𝟗 𝑬𝑰 𝟑𝑬𝑰 𝑳𝟐 𝟑 𝟗 𝟐𝑬𝑰 𝟐 𝟑 𝑬𝑰 F B A B Hiperestática Método dos deslocamentos Método dos deslocamentos ou da rigidez 6 Equações de equilíbrio 𝑲 𝒅 𝑭𝟎 𝑭𝒏 𝒌𝟏𝟏 𝒌𝟏𝟐 𝒌𝟏𝟑 𝒌𝟐𝟏 𝒌𝟐𝟐 𝒌𝟐𝟑 𝒌𝟑𝟏 𝒌𝟑𝟐 𝒌𝟑𝟑 𝒅𝟏 𝒅𝟐 𝒅𝟑 𝑭𝟎𝟏 𝑭𝟎𝟐 𝑭𝟎𝟑 𝑭𝒏𝟏 𝑭𝒏𝟐 𝑭𝒏𝟑 𝑬𝑰 𝟒𝟏 𝟏𝟎 𝟏 𝟐 𝟐𝟏 𝟐𝟎𝟎 𝟏 𝟐 𝟓 𝟏 𝟏𝟐 𝟐𝟏 𝟐𝟎𝟎 𝟏 𝟏𝟐 𝟑𝟏𝟕𝟖𝟕 𝟑𝟔𝟎𝟎𝟎 𝒅𝟏 𝒅𝟐 𝒅𝟑 𝟓𝟎 𝟏𝟓 𝟕𝟓 𝟎 𝟎 𝟓𝟎 𝚫𝟏 𝟓𝟎 𝟎 𝟓 𝟎 𝟏𝟎𝟓 𝟏𝟓 𝟓 𝟎 𝟎𝟖𝟑𝟑 𝟏𝟐𝟓 𝟎 𝟎𝟖𝟑𝟑 𝟎 𝟖𝟖𝟑 𝟏𝟓𝟔 𝟑𝟐 𝒅𝟏 𝚫𝟏 𝚫𝒑 𝟏𝟓𝟔 𝟑𝟐 𝟏𝟕 𝟕𝟗 𝟖 𝟕𝟗 𝑬𝑰 𝐫𝐚𝐝 𝒅𝟐 𝚫𝟐 𝚫𝒑 𝟐𝟕 𝟑𝟖 𝟏𝟕 𝟕𝟗 𝟏 𝟓𝟒 𝑬𝑰 𝒓𝒂𝒅 𝑬𝑰 𝟒 𝟏 𝟎 𝟓 𝟎 𝟏𝟎𝟓 𝟎 𝟓 𝟓 𝟎 𝟎𝟖𝟑𝟑 𝟎 𝟏𝟎𝟓 𝟎 𝟎𝟖𝟑𝟑 𝟎 𝟖𝟖𝟑 𝒅𝟏 𝒅𝟐 𝒅𝟑 𝟓𝟎 𝟏𝟓 𝟏𝟐𝟓 𝚫𝟐 𝟒 𝟏 𝟓𝟎 𝟎 𝟏𝟎𝟓 𝟎 𝟓 𝟏𝟓 𝟎 𝟎𝟖𝟑𝟑 𝟎 𝟏𝟎𝟓 𝟏𝟐𝟓 𝟎 𝟖𝟖𝟑 𝟐𝟕 𝟑𝟖 𝚫𝟑 𝟒 𝟏 𝟎 𝟓 𝟓𝟎 𝟎 𝟓 𝟓 𝟏𝟓 𝟎 𝟏𝟎𝟓 𝟎 𝟎𝟖𝟑𝟑 𝟏𝟐𝟓 𝟐𝟒𝟗𝟕 𝚫𝒑 𝟒 𝟏 𝟎 𝟓 𝟎 𝟏𝟎𝟓 𝟎 𝟓 𝟓 𝟎 𝟎𝟖𝟑𝟑 𝟎 𝟏𝟎𝟓 𝟎 𝟎𝟖𝟑𝟑 𝟎 𝟖𝟖𝟑 𝟏𝟕 𝟕𝟗 𝒅𝟑 𝚫𝟑 𝚫𝒑 𝟐𝟒𝟗𝟕 𝟏𝟕 𝟕𝟗 𝟏𝟒𝟎 𝟑𝟖 𝑬𝑰 𝒎 Hiperestática Método dos deslocamentos Método dos deslocamentos ou da rigidez 7 Esforços e reações de apoio finais 𝑽 𝑽𝟎 𝒅𝟏 𝑽𝟏 𝒅𝟐 𝑽𝟐 𝒅𝟑 𝑽𝟑 V V 𝑽𝑨 𝟎 𝟖 𝟕𝟗 𝑬𝑰 𝟑 𝑬𝑰 𝟖 𝟏 𝟓𝟒 𝑬𝑰 𝟎 𝟏𝟒𝟎 𝟑𝟖 𝑬𝑰 𝟑 𝑬𝑰 𝟑𝟐 𝟗 𝟖𝟔 𝒌𝑵 barra AB 𝑽𝑩 𝟎 𝟖 𝟕𝟗 𝑬𝑰 𝟑 𝑬𝑰 𝟖 𝟏 𝟓𝟒 𝑬𝑰 𝟎 𝟏𝟒𝟎 𝟑𝟖 𝑬𝑰 𝟑 𝑬𝑰 𝟑𝟐 𝟗 𝟖𝟔 𝒌𝑵 𝑽𝑩 𝟔𝟎 𝟖 𝟕𝟗 𝑬𝑰 𝟏𝟐 𝑬𝑰 𝟐𝟓 𝟏 𝟓𝟒 𝑬𝑰 𝟎 𝟏𝟒𝟎 𝟑𝟖 𝑬𝑰 𝟐𝟒 𝑬𝑰 𝟏𝟐𝟓 𝟐𝟖 𝟖𝟑 𝒌𝑵 barra BC 𝑽𝑪 𝟔𝟎 𝟖 𝟕𝟗 𝑬𝑰 𝟏𝟐 𝑬𝑰 𝟐𝟓 𝟏 𝟓𝟒 𝑬𝑰 𝟎 𝟏𝟒𝟎 𝟑𝟖 𝑬𝑰 𝟐𝟒 𝑬𝑰 𝟏𝟐𝟓 𝟗𝟏 𝟏𝟕 𝒌𝑵 𝑽𝑩 𝟎 𝟖 𝟕𝟗 𝑬𝑰 𝟑 𝑬𝑰 𝟖 𝟏 𝟓𝟒 𝑬𝑰 𝟑 𝑬𝑰 𝟖 𝟏𝟒𝟎 𝟑𝟖 𝑬𝑰 𝟎 𝟐 𝟕𝟐 𝒌𝑵 barra BF 𝑽𝑭 𝟎 𝟖 𝟕𝟗 𝑬𝑰 𝟑 𝑬𝑰 𝟖 𝟏 𝟓𝟒 𝑬𝑰 𝟑 𝑬𝑰 𝟖 𝟏𝟒𝟎 𝟑𝟖 𝑬𝑰 𝟎 𝟐 𝟕𝟐 𝒌𝑵 𝑽𝑫 𝟏𝟓 𝟖 𝟕𝟗 𝑬𝑰 𝟎 𝟏 𝟓𝟒 𝑬𝑰 𝟑 𝑬𝑰 𝟒 𝟏𝟒𝟎 𝟑𝟖 𝑬𝑰 𝟑 𝑬𝑰 𝟖 𝟔𝟖 𝟖𝟎 𝒌𝑵 barra DEF 𝑽𝑬 𝟏𝟓 𝟖 𝟕𝟗 𝑬𝑰 𝟎 𝟏 𝟓𝟒 𝑬𝑰 𝟑 𝑬𝑰 𝟒 𝟏𝟒𝟎 𝟑𝟖 𝑬𝑰 𝟑 𝑬𝑰 𝟖 𝟑𝟖 𝟏𝟖 𝒌𝑵 𝒅𝟏 𝟖 𝟕𝟗 𝑬𝑰 𝐫𝐚𝐝 𝒅𝟐 𝟏 𝟓𝟒 𝑬𝑰 𝒓𝒂𝒅 𝒅𝟑 𝟏𝟒𝟎 𝟑𝟖 𝑬𝑰 𝒎 𝑽𝑭 𝟎 𝟖 𝟕𝟗 𝑬𝑰 𝟎 𝟏 𝟓𝟒 𝑬𝑰 𝟐 𝑬𝑰 𝟑 𝟏𝟒𝟎 𝟑𝟖 𝑬𝑰 𝟐 𝑬𝑰 𝟗 𝟑𝟎 𝟏𝟕 𝒌𝑵 barra FG 𝑽𝑮 𝟎 𝟖 𝟕𝟗 𝑬𝑰 𝟎 𝟏 𝟓𝟒 𝑬𝑰 𝟐 𝑬𝑰 𝟑 𝟏𝟒𝟎 𝟑𝟖 𝑬𝑰 𝟐 𝑬𝑰 𝟗 𝟑𝟎 𝟏𝟕 𝒌𝑵 Hiperestática Método dos deslocamentos Método dos deslocamentos ou da rigidez 7 Esforços e reações de apoio finais B A G C D E F V kN 9117 x 2883 986 272 6880 3880 3017 𝒙 𝟐𝟖 𝟖𝟑 𝟐𝟒 𝟏 𝟐𝟎 𝒎 Hiperestática Método dos deslocamentos Método dos deslocamentos ou da rigidez 7 Esforços e reações de apoio finais 𝑴 𝑴𝟎 𝒅𝟏 𝑴𝟏 𝒅𝟐 𝑴𝟐 𝒅𝟑 𝑴𝟑 𝑴𝑨 𝟎 𝟖 𝟕𝟗 𝑬𝑰 𝟎 𝟏 𝟓𝟒 𝑬𝑰 𝟎 𝟏𝟒𝟎 𝟑𝟖 𝑬𝑰 𝟎 𝟎 barra AB 𝑴𝑩 𝟎 𝟖 𝟕𝟗 𝑬𝑰 𝟑 𝑬𝑰 𝟐 𝟏 𝟓𝟒 𝑬𝑰 𝟎 𝟏𝟒𝟎 𝟑𝟖 𝑬𝑰 𝟑 𝑬𝑰 𝟖 𝟑𝟗 𝟒𝟔 𝒌𝑵 𝒎 𝑴𝑩 𝟓𝟎 𝟖 𝟕𝟗 𝑬𝑰 𝟖 𝑬𝑰 𝟓 𝟏 𝟓𝟒 𝑬𝑰 𝟎 𝟏𝟒𝟎 𝟑𝟖 𝑬𝑰 𝟏𝟐 𝑬𝑰 𝟐𝟓 𝟑𝟏 𝟒𝟒 𝒌𝑵 𝒎 barra BC 𝑴𝑪 𝟓𝟎 𝟖 𝟕𝟗 𝑬𝑰 𝟒 𝑬𝑰 𝟓 𝟏 𝟓𝟒 𝑬𝑰 𝟎 𝟏𝟒𝟎 𝟑𝟖 𝑬𝑰 𝟏𝟐 𝑬𝑰 𝟐𝟓 𝟏𝟐𝟒 𝟒𝟏 𝒌𝑵 𝒎 𝑴𝑩 𝟎 𝟖 𝟕𝟗 𝑬𝑰 𝑬𝑰 𝟏 𝟓𝟒 𝑬𝑰 𝑬𝑰 𝟐 𝟏𝟒𝟎 𝟑𝟖 𝑬𝑰 𝟎 𝟖 𝟎𝟐 𝒌𝑵 𝒎 barra BF 𝑴𝑭 𝟎 𝟖 𝟕𝟗 𝑬𝑰 𝑬𝑰 𝟐 𝟏 𝟓𝟒 𝑬𝑰 𝑬𝑰 𝟏𝟒𝟎 𝟑𝟖 𝑬𝑰 𝟎 𝟐 𝟖𝟓 𝒌𝑵 𝒎 𝑴𝑫 𝟏𝟓 𝟖 𝟕𝟗 𝑬𝑰 𝟎 𝟏 𝟓𝟒 𝑬𝑰 𝑬𝑰 𝟏𝟒𝟎 𝟑𝟖 𝑬𝑰 𝟑 𝑬𝑰 𝟒 𝟏𝟐𝟏 𝟖𝟐 𝒌𝑵 𝒎 barra DEF 𝑴𝑭 𝟏𝟓 𝟖 𝟕𝟗 𝑬𝑰 𝟎 𝟏 𝟓𝟒 𝑬𝑰 𝟐 𝑬𝑰 𝟏𝟒𝟎 𝟑𝟖 𝑬𝑰 𝟑 𝑬𝑰 𝟒 𝟗𝟑 𝟑𝟔 𝒌𝑵 𝒎 𝒅𝟏 𝟖 𝟕𝟗 𝑬𝑰 𝐫𝐚𝐝 𝒅𝟐 𝟏 𝟓𝟒 𝑬𝑰 𝒓𝒂𝒅 𝒅𝟑 𝟏𝟒𝟎 𝟑𝟖 𝑬𝑰 𝒎 𝑴𝑭 𝟎 𝟖 𝟕𝟗 𝑬𝑰 𝟎 𝟏 𝟓𝟒 𝑬𝑰 𝟐 𝑬𝑰 𝟏𝟒𝟎 𝟑𝟖 𝑬𝑰 𝟐 𝑬𝑰 𝟑 𝟗𝟎 𝟓𝟏 𝒌𝑵 𝒎 barra FG 𝑴𝑮 𝟎 𝟖 𝟕𝟗 𝑬𝑰 𝟎 𝟏 𝟓𝟒 𝑬𝑰 𝟎 𝟏𝟒𝟎 𝟑𝟖 𝑬𝑰 𝟎 𝟎 M M Hiperestática Método dos deslocamentos Método dos deslocamentos ou da rigidez 7 Esforços e reações de apoio finais B A G C D E F 4874 120 m 12182 M kNm 12441 3144 3946 285 802 9336 1578 9051 𝑴𝑬 𝟏𝟐𝟏 𝟖𝟐 𝟔𝟖 𝟖𝟎 𝟐 𝟏𝟓 𝟕𝟖 𝐤𝐍 𝐦 𝑴𝒎á𝒙 𝟑𝟏 𝟒𝟒 𝟐𝟖 𝟖𝟑 𝟏 𝟐 𝟐 𝟒𝟖 𝟕𝟒 𝐤𝐍 𝐦 Hiperestática Método dos deslocamentos B 24 kNm A G C D 50 kN 30 kN E F Método dos deslocamentos ou da rigidez 7 Esforços e reações de apoio finais 𝑹𝑨𝒚 𝟗 𝟖𝟔 𝒌𝑵 𝑹𝑪𝒙 𝟐 𝟕𝟐 𝒌𝑵 𝑴𝑪 𝟏𝟐𝟒 𝟒𝟏 𝒌𝑵 𝒎 𝑹𝑫𝒚 𝟔𝟖 𝟖𝟎 𝒌𝑵 𝟗𝟏 𝟏𝟕 𝒌𝑵 𝟗 𝟖𝟔 𝒌𝑵 𝟑𝟎 𝟏𝟕 𝒌𝑵 𝟏𝟐𝟒 𝟒𝟏 𝒌𝑵 𝒎 𝟐 𝟕𝟐 𝒌𝑵 𝑹𝑪𝒚 𝟗𝟏 𝟏𝟕 𝒌𝑵 𝟔𝟖 𝟖𝟎 𝒌𝑵 𝟏𝟐𝟏 𝟖𝟐 𝒌𝑵 𝒎 2 𝟕𝟐 𝒌𝑵 𝑹𝑫𝒙 𝟐 𝟕𝟐 𝒌𝑵 𝑴𝑫 𝟏𝟐𝟏 𝟖𝟐 𝒌𝑵 𝒎 𝑹𝑮𝒚 𝟑𝟎 𝟏𝟕 𝒌𝑵 Hiperestática Método dos deslocamentos Método dos deslocamentos ou da rigidez 7 Esforços e reações de apoio finais B A G C D E F 272 6897 N kN 272 𝑵𝑨 𝑵𝑩 𝟎 barra AB 𝑵𝑪 𝑵𝑩 𝟐 𝟕𝟐 𝒌𝑵 barra BC 𝑵𝑩 𝟓𝟎 𝟏𝟐𝟎 𝟗 𝟖𝟔 𝟗𝟏 𝟏𝟕 barra BF 𝑵𝑫 𝑵𝑬 𝑵𝑭 𝟐 𝟕𝟐 𝒌𝑵 barra DEF 𝑵𝑮 𝑵𝑭 𝟎 barra FG 𝑵𝑩 𝟔𝟖 𝟗𝟕 𝒌𝑵 𝑵𝑭 𝟔𝟖 𝟖𝟎 𝟑𝟎 𝟏𝟕 𝟑𝟎 𝑵𝑩 𝟔𝟖 𝟗𝟕 𝒌𝑵
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Hiperestática Método dos deslocamentos B A G C D E F B A G C D E F 20 m 40 m 30 m B 2EI 24 kNm A 20 m 2EI 20 m G C EI D 50 kN 30 kN E F 2EI 2EI 2EI Método dos deslocamentos ou da rigidez Exercício D5 1 Grau de indeterminação cinemática d 𝒅𝟐 𝒅𝟏 d3 A d1qB d2qF d3dV BF 𝒅𝟏 𝒅𝟐 𝒅𝟑 𝒅𝟓 𝒅𝟒 A barra BC d30 barra AB d1d30 barra DEF d60 barra FG d9d60 barra BF d4d7 Desprezar a deformabilidade axial das barras A 𝒅𝟗 𝒅𝟏𝟎 𝒅𝟔 𝒅𝟖 𝒅𝟕 𝒅𝟑 d2 não é independente d10 não é independente Hiperestática Método dos deslocamentos B 24 kNm A G C D 50 kN 30 kN E F Método dos deslocamentos ou da rigidez consultar tabelas das forças de fixação 𝑷 𝟐 𝑷 𝑳 𝟖 P D F L2 L2 E 𝑷 𝟐 𝑷 𝟐 𝟑𝟎 𝟐 𝟏𝟓 𝒌𝑵 𝑷 𝑳 𝟖 𝟑𝟎 𝟒 𝟖 𝟏𝟓 𝒌𝑵 𝒎 𝟏𝟓 𝒌𝑵 𝟏𝟓 𝒌𝑵 15 𝒌𝑵 𝒎 𝟔𝟎 𝒌𝑵 𝟓𝟎 𝒌𝑵 𝒎 𝟔𝟎 𝒌𝑵 F0 vetor de forças devidas às cargas aplicadas nas barras 𝑭𝟎𝟏 𝟓𝟎 𝒌𝑵 𝒎 𝑭𝒏𝟏 𝟎 2 Estado E0 estrutura bloqueada d10 d20 d30 𝒑𝑳 𝟐 𝒑𝑳 𝟐 𝒑 𝑳 𝟐 𝟐𝟒 𝟓 𝟐 𝟔𝟎 𝒌𝑵 𝒑 𝑳𝟐 𝟏𝟐 𝟐𝟒 𝟓𝟐 𝟏𝟐 𝟓𝟎 𝒌𝑵 𝒎 𝒑𝑳𝟐 𝟏𝟐 Fn vetor de forças diretamente aplicadas segundo os graus de liberdade independentes da estrutura 𝑭𝟎𝟐 𝟏𝟓 𝒌𝑵 𝒎 𝑭𝟎 𝟓𝟎 𝟏𝟓 𝟕𝟓 𝑭𝒏𝟐 𝟎 𝑭𝒏 𝟎 𝟎 𝟓𝟎 p B C L 𝑷 𝑳 𝟖 15 𝒌𝑵 𝒎 𝒑𝑳𝟐 𝟏𝟐 𝟓𝟎 𝒌𝑵 𝒎 𝑭𝟎𝟑 𝟏𝟓 𝟔𝟎 𝟕𝟓 𝒌𝑵 𝑭𝒏𝟑 𝟓𝟎 𝒌𝑵 Hiperestática Método dos deslocamentos B A G C D E F Método dos deslocamentos ou da rigidez consultar tabela da matriz de rigidez 3 Estado E1 d11 d20 d30 𝟔𝑬𝑰 𝑳𝟐 𝟒𝑬𝑰 𝑳 B C 𝟔𝑬𝑰 𝑳𝟐 𝟔𝑬𝑰 𝑳𝟐 𝟒𝑬𝑰 𝑳 F B 𝟔𝑬𝑰 𝑳𝟐 𝟔𝑬𝑰 𝑳𝟐 𝟔 𝟏𝟔 𝑬𝑰 𝟑 𝟖 𝑬𝑰 𝟒𝑬𝑰 𝑳 𝟒 𝟒 𝑬𝑰 𝑬𝑰 𝟏𝟐 𝟐𝟓 𝟏𝟐 𝟐𝟓 𝟒 𝟓 𝟔𝑬𝑰 𝑳𝟐 𝟔 𝟐𝟓 𝟐 𝑬𝑰 𝟏𝟐 𝟐𝟓 𝑬𝑰 𝟒𝑬𝑰 𝑳 𝟒 𝟓 𝟐 𝑬𝑰 𝟖 𝟓 𝑬𝑰 𝟑 𝟖 𝟏 𝟑 𝟖 EI 𝟏 𝟐 𝟐𝑬𝑰 𝑳 𝟐𝑬𝑰 𝑳 𝟐 𝟓 𝟐 𝑬𝑰 𝟒 𝟓 𝑬𝑰 1ª coluna da matriz de rigidez K 𝑲𝟏𝟏 𝟑 𝟐 𝑬𝑰 𝑬𝑰 𝟖 𝟓 𝑬𝑰 𝟒𝟏 𝟏𝟎 𝑬𝑰 𝑲𝟐𝟏 𝟏 𝟐 𝑬𝑰 𝟐𝑬𝑰 𝑳 𝟐𝑬𝑰 𝑳 𝟐 𝟒 𝑬𝑰 𝟏 𝟐 𝑬𝑰 𝟖 𝟓 𝟑𝑬𝑰 𝑳𝟐 𝟑𝑬𝑰 𝑳 A B 𝟑𝑬𝑰 𝑳𝟐 𝟑𝑬𝑰 𝑳𝟐 𝟑 𝟏𝟔 𝟐 𝑬𝑰 𝟑 𝟖 𝑬𝑰 𝟑𝑬𝑰 𝑳 𝟑 𝟒 𝟐 𝑬𝑰 𝟑 𝟐 𝑬𝑰 𝟑 𝟖 𝟑 𝟖 𝟑 𝟐 𝑲𝟑𝟏 𝟑 𝟖 𝑬𝑰 𝟏𝟐 𝟐𝟓 𝑬𝑰 𝟐𝟏 𝟐𝟎𝟎 𝑬𝑰 Hiperestática Método dos deslocamentos B A G C D E F Método dos deslocamentos ou da rigidez consultar tabela da matriz de rigidez 4 Estado E2 d10 d21 d30 𝟔𝑬𝑰 𝑳𝟐 𝟒𝑬𝑰 𝑳 D F 𝟔𝑬𝑰 𝑳𝟐 𝟔𝑬𝑰 𝑳𝟐 𝟐𝑬𝑰 𝑳 F B 𝟔𝑬𝑰 𝑳𝟐 𝟔𝑬𝑰 𝑳𝟐 𝟔 𝟏𝟔 𝑬𝑰 𝟑 𝟖 𝑬𝑰 𝟒𝑬𝑰 𝑳 𝟒 𝟒 𝑬𝑰 𝑬𝑰 𝟑 𝟒 𝟑 𝟒 𝟐 𝟔𝑬𝑰 𝑳𝟐 𝟔 𝟏𝟔 𝟐 𝑬𝑰 𝟑 𝟒 𝑬𝑰 𝟒𝑬𝑰 𝑳 𝟒 𝟒 𝟐 𝑬𝑰 𝟐 𝑬𝑰 𝟑 𝟖 𝟏 𝟑 𝟖 EI 𝟏 𝟐 𝟐𝑬𝑰 𝑳 𝟐𝑬𝑰 𝑳 𝟐 𝟒 𝟐 𝑬𝑰 𝑬𝑰 2ª coluna da matriz de rigidez K 𝑲𝟏𝟐 𝟏 𝟐 𝑬𝑰 𝑲𝟐𝟐 𝑬𝑰 𝟐 𝑬𝑰 𝟐 𝑬𝑰 𝟓 𝑬𝑰 𝟒𝑬𝑰 𝑳 𝟐𝑬𝑰 𝑳 𝟐 𝟒 𝑬𝑰 𝟏 𝟐 𝑬𝑰 𝟏 𝟑𝑬𝑰 𝑳𝟐 𝟑𝑬𝑰 𝑳 F G 𝟑𝑬𝑰 𝑳𝟐 𝟑𝑬𝑰 𝑳𝟐 𝟑 𝟗 𝟐 𝑬𝑰 𝟐 𝟑 𝑬𝑰 𝟑𝑬𝑰 𝑳 𝟑 𝟑 𝟐 𝑬𝑰 𝟐 𝑬𝑰 𝟐 𝟑 𝟐 𝟑 𝟐 𝑲𝟑𝟐 𝟑 𝟒 𝑬𝑰 𝟐 𝟑 𝑬𝑰 𝟏 𝟏𝟐 𝑬𝑰 Hiperestática Método dos deslocamentos B A G C D E F Método dos deslocamentos ou da rigidez consultar tabela da matriz de rigidez 5 Estado E3 d10 d20 d31 𝟏𝟐𝑬𝑰 𝑳𝟑 𝟔𝑬𝑰 𝑳𝟐 B C 𝟏𝟐𝑬𝑰 𝑳𝟑 𝟑 𝟖 𝟑 𝟖 𝟑 𝟒 𝟏𝟐𝑬𝑰 𝑳𝟑 𝟏𝟐 𝟏𝟐𝟓 𝟐 𝑬𝑰 𝟐𝟒 𝟏𝟐𝟓 𝑬𝑰 𝟔𝑬𝑰 𝑳𝟐 𝟔 𝟐𝟓 𝟐 𝑬𝑰 𝟏𝟐 𝟐𝟓 𝑬𝑰 𝟑 𝟖 EI 𝟔𝑬𝑰 𝑳𝟐 3ª coluna da matriz de rigidez K 𝑲𝟏𝟑 𝟑 𝟖 𝑬𝑰 𝟏𝟐 𝟐𝟓 𝑬𝑰 𝟐𝟏 𝟐𝟎𝟎 𝑬𝑰 𝑲𝟐𝟑 𝟑 𝟒 𝑬𝑰 𝟐 𝟑 𝑬𝑰 𝟏 𝟏𝟐 𝑬𝑰 𝟑 𝟒 𝟐 𝟗 𝟐 𝟗 𝟐 𝟑 𝑲𝟑𝟑 𝟑 𝟑𝟐 𝑬𝑰 𝟐𝟒 𝟏𝟐𝟓 𝑬𝑰 𝟑 𝟖 𝑬𝑰 𝟐 𝟗 𝑬𝑰 𝟑𝟏𝟕𝟖𝟕 𝟑𝟔𝟎𝟎𝟎 𝑬𝑰 𝟑𝑬𝑰 𝑳𝟑 𝟑𝑬𝑰 𝑳𝟐 𝟑𝑬𝑰 𝑳𝟑 𝟑𝑬𝑰 𝑳𝟑 𝟑 𝟔𝟒 𝟐𝑬𝑰 𝟑 𝟑𝟐 𝑬𝑰 𝟑𝑬𝑰 𝑳𝟐 𝟑 𝟏𝟔 𝟐𝑬𝑰 𝟑 𝟖 𝑬𝑰 𝟑 𝟑𝟐 𝟑 𝟑𝟐 𝟐𝟒 𝟏𝟐𝟓 𝟐𝟒 𝟏𝟐𝟓 𝟏𝟐 𝟐𝟓 𝟏𝟐 𝟐𝟓 𝟏𝟐𝑬𝑰 𝑳𝟑 𝟔𝑬𝑰 𝑳𝟐 D F 𝟏𝟐𝑬𝑰 𝑳𝟑 𝟏𝟐𝑬𝑰 𝑳𝟑 𝟏𝟐 𝟔𝟒 𝟐 𝑬𝑰 𝟑 𝟖 𝑬𝑰 𝟔𝑬𝑰 𝑳𝟐 𝟔 𝟏𝟔 𝟐 𝑬𝑰 𝟑 𝟒 𝑬𝑰 𝟔𝑬𝑰 𝑳𝟐 𝟑𝑬𝑰 𝑳𝟑 𝟑𝑬𝑰 𝑳𝟐 𝟑𝑬𝑰 𝑳𝟑 𝟑𝑬𝑰 𝑳𝟑 𝟑 𝟐𝟕 𝟐𝑬𝑰 𝟐 𝟗 𝑬𝑰 𝟑𝑬𝑰 𝑳𝟐 𝟑 𝟗 𝟐𝑬𝑰 𝟐 𝟑 𝑬𝑰 F B A B Hiperestática Método dos deslocamentos Método dos deslocamentos ou da rigidez 6 Equações de equilíbrio 𝑲 𝒅 𝑭𝟎 𝑭𝒏 𝒌𝟏𝟏 𝒌𝟏𝟐 𝒌𝟏𝟑 𝒌𝟐𝟏 𝒌𝟐𝟐 𝒌𝟐𝟑 𝒌𝟑𝟏 𝒌𝟑𝟐 𝒌𝟑𝟑 𝒅𝟏 𝒅𝟐 𝒅𝟑 𝑭𝟎𝟏 𝑭𝟎𝟐 𝑭𝟎𝟑 𝑭𝒏𝟏 𝑭𝒏𝟐 𝑭𝒏𝟑 𝑬𝑰 𝟒𝟏 𝟏𝟎 𝟏 𝟐 𝟐𝟏 𝟐𝟎𝟎 𝟏 𝟐 𝟓 𝟏 𝟏𝟐 𝟐𝟏 𝟐𝟎𝟎 𝟏 𝟏𝟐 𝟑𝟏𝟕𝟖𝟕 𝟑𝟔𝟎𝟎𝟎 𝒅𝟏 𝒅𝟐 𝒅𝟑 𝟓𝟎 𝟏𝟓 𝟕𝟓 𝟎 𝟎 𝟓𝟎 𝚫𝟏 𝟓𝟎 𝟎 𝟓 𝟎 𝟏𝟎𝟓 𝟏𝟓 𝟓 𝟎 𝟎𝟖𝟑𝟑 𝟏𝟐𝟓 𝟎 𝟎𝟖𝟑𝟑 𝟎 𝟖𝟖𝟑 𝟏𝟓𝟔 𝟑𝟐 𝒅𝟏 𝚫𝟏 𝚫𝒑 𝟏𝟓𝟔 𝟑𝟐 𝟏𝟕 𝟕𝟗 𝟖 𝟕𝟗 𝑬𝑰 𝐫𝐚𝐝 𝒅𝟐 𝚫𝟐 𝚫𝒑 𝟐𝟕 𝟑𝟖 𝟏𝟕 𝟕𝟗 𝟏 𝟓𝟒 𝑬𝑰 𝒓𝒂𝒅 𝑬𝑰 𝟒 𝟏 𝟎 𝟓 𝟎 𝟏𝟎𝟓 𝟎 𝟓 𝟓 𝟎 𝟎𝟖𝟑𝟑 𝟎 𝟏𝟎𝟓 𝟎 𝟎𝟖𝟑𝟑 𝟎 𝟖𝟖𝟑 𝒅𝟏 𝒅𝟐 𝒅𝟑 𝟓𝟎 𝟏𝟓 𝟏𝟐𝟓 𝚫𝟐 𝟒 𝟏 𝟓𝟎 𝟎 𝟏𝟎𝟓 𝟎 𝟓 𝟏𝟓 𝟎 𝟎𝟖𝟑𝟑 𝟎 𝟏𝟎𝟓 𝟏𝟐𝟓 𝟎 𝟖𝟖𝟑 𝟐𝟕 𝟑𝟖 𝚫𝟑 𝟒 𝟏 𝟎 𝟓 𝟓𝟎 𝟎 𝟓 𝟓 𝟏𝟓 𝟎 𝟏𝟎𝟓 𝟎 𝟎𝟖𝟑𝟑 𝟏𝟐𝟓 𝟐𝟒𝟗𝟕 𝚫𝒑 𝟒 𝟏 𝟎 𝟓 𝟎 𝟏𝟎𝟓 𝟎 𝟓 𝟓 𝟎 𝟎𝟖𝟑𝟑 𝟎 𝟏𝟎𝟓 𝟎 𝟎𝟖𝟑𝟑 𝟎 𝟖𝟖𝟑 𝟏𝟕 𝟕𝟗 𝒅𝟑 𝚫𝟑 𝚫𝒑 𝟐𝟒𝟗𝟕 𝟏𝟕 𝟕𝟗 𝟏𝟒𝟎 𝟑𝟖 𝑬𝑰 𝒎 Hiperestática Método dos deslocamentos Método dos deslocamentos ou da rigidez 7 Esforços e reações de apoio finais 𝑽 𝑽𝟎 𝒅𝟏 𝑽𝟏 𝒅𝟐 𝑽𝟐 𝒅𝟑 𝑽𝟑 V V 𝑽𝑨 𝟎 𝟖 𝟕𝟗 𝑬𝑰 𝟑 𝑬𝑰 𝟖 𝟏 𝟓𝟒 𝑬𝑰 𝟎 𝟏𝟒𝟎 𝟑𝟖 𝑬𝑰 𝟑 𝑬𝑰 𝟑𝟐 𝟗 𝟖𝟔 𝒌𝑵 barra AB 𝑽𝑩 𝟎 𝟖 𝟕𝟗 𝑬𝑰 𝟑 𝑬𝑰 𝟖 𝟏 𝟓𝟒 𝑬𝑰 𝟎 𝟏𝟒𝟎 𝟑𝟖 𝑬𝑰 𝟑 𝑬𝑰 𝟑𝟐 𝟗 𝟖𝟔 𝒌𝑵 𝑽𝑩 𝟔𝟎 𝟖 𝟕𝟗 𝑬𝑰 𝟏𝟐 𝑬𝑰 𝟐𝟓 𝟏 𝟓𝟒 𝑬𝑰 𝟎 𝟏𝟒𝟎 𝟑𝟖 𝑬𝑰 𝟐𝟒 𝑬𝑰 𝟏𝟐𝟓 𝟐𝟖 𝟖𝟑 𝒌𝑵 barra BC 𝑽𝑪 𝟔𝟎 𝟖 𝟕𝟗 𝑬𝑰 𝟏𝟐 𝑬𝑰 𝟐𝟓 𝟏 𝟓𝟒 𝑬𝑰 𝟎 𝟏𝟒𝟎 𝟑𝟖 𝑬𝑰 𝟐𝟒 𝑬𝑰 𝟏𝟐𝟓 𝟗𝟏 𝟏𝟕 𝒌𝑵 𝑽𝑩 𝟎 𝟖 𝟕𝟗 𝑬𝑰 𝟑 𝑬𝑰 𝟖 𝟏 𝟓𝟒 𝑬𝑰 𝟑 𝑬𝑰 𝟖 𝟏𝟒𝟎 𝟑𝟖 𝑬𝑰 𝟎 𝟐 𝟕𝟐 𝒌𝑵 barra BF 𝑽𝑭 𝟎 𝟖 𝟕𝟗 𝑬𝑰 𝟑 𝑬𝑰 𝟖 𝟏 𝟓𝟒 𝑬𝑰 𝟑 𝑬𝑰 𝟖 𝟏𝟒𝟎 𝟑𝟖 𝑬𝑰 𝟎 𝟐 𝟕𝟐 𝒌𝑵 𝑽𝑫 𝟏𝟓 𝟖 𝟕𝟗 𝑬𝑰 𝟎 𝟏 𝟓𝟒 𝑬𝑰 𝟑 𝑬𝑰 𝟒 𝟏𝟒𝟎 𝟑𝟖 𝑬𝑰 𝟑 𝑬𝑰 𝟖 𝟔𝟖 𝟖𝟎 𝒌𝑵 barra DEF 𝑽𝑬 𝟏𝟓 𝟖 𝟕𝟗 𝑬𝑰 𝟎 𝟏 𝟓𝟒 𝑬𝑰 𝟑 𝑬𝑰 𝟒 𝟏𝟒𝟎 𝟑𝟖 𝑬𝑰 𝟑 𝑬𝑰 𝟖 𝟑𝟖 𝟏𝟖 𝒌𝑵 𝒅𝟏 𝟖 𝟕𝟗 𝑬𝑰 𝐫𝐚𝐝 𝒅𝟐 𝟏 𝟓𝟒 𝑬𝑰 𝒓𝒂𝒅 𝒅𝟑 𝟏𝟒𝟎 𝟑𝟖 𝑬𝑰 𝒎 𝑽𝑭 𝟎 𝟖 𝟕𝟗 𝑬𝑰 𝟎 𝟏 𝟓𝟒 𝑬𝑰 𝟐 𝑬𝑰 𝟑 𝟏𝟒𝟎 𝟑𝟖 𝑬𝑰 𝟐 𝑬𝑰 𝟗 𝟑𝟎 𝟏𝟕 𝒌𝑵 barra FG 𝑽𝑮 𝟎 𝟖 𝟕𝟗 𝑬𝑰 𝟎 𝟏 𝟓𝟒 𝑬𝑰 𝟐 𝑬𝑰 𝟑 𝟏𝟒𝟎 𝟑𝟖 𝑬𝑰 𝟐 𝑬𝑰 𝟗 𝟑𝟎 𝟏𝟕 𝒌𝑵 Hiperestática Método dos deslocamentos Método dos deslocamentos ou da rigidez 7 Esforços e reações de apoio finais B A G C D E F V kN 9117 x 2883 986 272 6880 3880 3017 𝒙 𝟐𝟖 𝟖𝟑 𝟐𝟒 𝟏 𝟐𝟎 𝒎 Hiperestática Método dos deslocamentos Método dos deslocamentos ou da rigidez 7 Esforços e reações de apoio finais 𝑴 𝑴𝟎 𝒅𝟏 𝑴𝟏 𝒅𝟐 𝑴𝟐 𝒅𝟑 𝑴𝟑 𝑴𝑨 𝟎 𝟖 𝟕𝟗 𝑬𝑰 𝟎 𝟏 𝟓𝟒 𝑬𝑰 𝟎 𝟏𝟒𝟎 𝟑𝟖 𝑬𝑰 𝟎 𝟎 barra AB 𝑴𝑩 𝟎 𝟖 𝟕𝟗 𝑬𝑰 𝟑 𝑬𝑰 𝟐 𝟏 𝟓𝟒 𝑬𝑰 𝟎 𝟏𝟒𝟎 𝟑𝟖 𝑬𝑰 𝟑 𝑬𝑰 𝟖 𝟑𝟗 𝟒𝟔 𝒌𝑵 𝒎 𝑴𝑩 𝟓𝟎 𝟖 𝟕𝟗 𝑬𝑰 𝟖 𝑬𝑰 𝟓 𝟏 𝟓𝟒 𝑬𝑰 𝟎 𝟏𝟒𝟎 𝟑𝟖 𝑬𝑰 𝟏𝟐 𝑬𝑰 𝟐𝟓 𝟑𝟏 𝟒𝟒 𝒌𝑵 𝒎 barra BC 𝑴𝑪 𝟓𝟎 𝟖 𝟕𝟗 𝑬𝑰 𝟒 𝑬𝑰 𝟓 𝟏 𝟓𝟒 𝑬𝑰 𝟎 𝟏𝟒𝟎 𝟑𝟖 𝑬𝑰 𝟏𝟐 𝑬𝑰 𝟐𝟓 𝟏𝟐𝟒 𝟒𝟏 𝒌𝑵 𝒎 𝑴𝑩 𝟎 𝟖 𝟕𝟗 𝑬𝑰 𝑬𝑰 𝟏 𝟓𝟒 𝑬𝑰 𝑬𝑰 𝟐 𝟏𝟒𝟎 𝟑𝟖 𝑬𝑰 𝟎 𝟖 𝟎𝟐 𝒌𝑵 𝒎 barra BF 𝑴𝑭 𝟎 𝟖 𝟕𝟗 𝑬𝑰 𝑬𝑰 𝟐 𝟏 𝟓𝟒 𝑬𝑰 𝑬𝑰 𝟏𝟒𝟎 𝟑𝟖 𝑬𝑰 𝟎 𝟐 𝟖𝟓 𝒌𝑵 𝒎 𝑴𝑫 𝟏𝟓 𝟖 𝟕𝟗 𝑬𝑰 𝟎 𝟏 𝟓𝟒 𝑬𝑰 𝑬𝑰 𝟏𝟒𝟎 𝟑𝟖 𝑬𝑰 𝟑 𝑬𝑰 𝟒 𝟏𝟐𝟏 𝟖𝟐 𝒌𝑵 𝒎 barra DEF 𝑴𝑭 𝟏𝟓 𝟖 𝟕𝟗 𝑬𝑰 𝟎 𝟏 𝟓𝟒 𝑬𝑰 𝟐 𝑬𝑰 𝟏𝟒𝟎 𝟑𝟖 𝑬𝑰 𝟑 𝑬𝑰 𝟒 𝟗𝟑 𝟑𝟔 𝒌𝑵 𝒎 𝒅𝟏 𝟖 𝟕𝟗 𝑬𝑰 𝐫𝐚𝐝 𝒅𝟐 𝟏 𝟓𝟒 𝑬𝑰 𝒓𝒂𝒅 𝒅𝟑 𝟏𝟒𝟎 𝟑𝟖 𝑬𝑰 𝒎 𝑴𝑭 𝟎 𝟖 𝟕𝟗 𝑬𝑰 𝟎 𝟏 𝟓𝟒 𝑬𝑰 𝟐 𝑬𝑰 𝟏𝟒𝟎 𝟑𝟖 𝑬𝑰 𝟐 𝑬𝑰 𝟑 𝟗𝟎 𝟓𝟏 𝒌𝑵 𝒎 barra FG 𝑴𝑮 𝟎 𝟖 𝟕𝟗 𝑬𝑰 𝟎 𝟏 𝟓𝟒 𝑬𝑰 𝟎 𝟏𝟒𝟎 𝟑𝟖 𝑬𝑰 𝟎 𝟎 M M Hiperestática Método dos deslocamentos Método dos deslocamentos ou da rigidez 7 Esforços e reações de apoio finais B A G C D E F 4874 120 m 12182 M kNm 12441 3144 3946 285 802 9336 1578 9051 𝑴𝑬 𝟏𝟐𝟏 𝟖𝟐 𝟔𝟖 𝟖𝟎 𝟐 𝟏𝟓 𝟕𝟖 𝐤𝐍 𝐦 𝑴𝒎á𝒙 𝟑𝟏 𝟒𝟒 𝟐𝟖 𝟖𝟑 𝟏 𝟐 𝟐 𝟒𝟖 𝟕𝟒 𝐤𝐍 𝐦 Hiperestática Método dos deslocamentos B 24 kNm A G C D 50 kN 30 kN E F Método dos deslocamentos ou da rigidez 7 Esforços e reações de apoio finais 𝑹𝑨𝒚 𝟗 𝟖𝟔 𝒌𝑵 𝑹𝑪𝒙 𝟐 𝟕𝟐 𝒌𝑵 𝑴𝑪 𝟏𝟐𝟒 𝟒𝟏 𝒌𝑵 𝒎 𝑹𝑫𝒚 𝟔𝟖 𝟖𝟎 𝒌𝑵 𝟗𝟏 𝟏𝟕 𝒌𝑵 𝟗 𝟖𝟔 𝒌𝑵 𝟑𝟎 𝟏𝟕 𝒌𝑵 𝟏𝟐𝟒 𝟒𝟏 𝒌𝑵 𝒎 𝟐 𝟕𝟐 𝒌𝑵 𝑹𝑪𝒚 𝟗𝟏 𝟏𝟕 𝒌𝑵 𝟔𝟖 𝟖𝟎 𝒌𝑵 𝟏𝟐𝟏 𝟖𝟐 𝒌𝑵 𝒎 2 𝟕𝟐 𝒌𝑵 𝑹𝑫𝒙 𝟐 𝟕𝟐 𝒌𝑵 𝑴𝑫 𝟏𝟐𝟏 𝟖𝟐 𝒌𝑵 𝒎 𝑹𝑮𝒚 𝟑𝟎 𝟏𝟕 𝒌𝑵 Hiperestática Método dos deslocamentos Método dos deslocamentos ou da rigidez 7 Esforços e reações de apoio finais B A G C D E F 272 6897 N kN 272 𝑵𝑨 𝑵𝑩 𝟎 barra AB 𝑵𝑪 𝑵𝑩 𝟐 𝟕𝟐 𝒌𝑵 barra BC 𝑵𝑩 𝟓𝟎 𝟏𝟐𝟎 𝟗 𝟖𝟔 𝟗𝟏 𝟏𝟕 barra BF 𝑵𝑫 𝑵𝑬 𝑵𝑭 𝟐 𝟕𝟐 𝒌𝑵 barra DEF 𝑵𝑮 𝑵𝑭 𝟎 barra FG 𝑵𝑩 𝟔𝟖 𝟗𝟕 𝒌𝑵 𝑵𝑭 𝟔𝟖 𝟖𝟎 𝟑𝟎 𝟏𝟕 𝟑𝟎 𝑵𝑩 𝟔𝟖 𝟗𝟕 𝒌𝑵