Prova de Algebra Linear - 3ee

UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO\nCCEN - DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA - ÁREA II\nSEGUNDO SEMESTRE DE 2014\n3ª Prova de Álgebra Linear - 30/01/2015\nNome:____________________________\n\nATENÇÃO:\n• Leia cada enunciado com atenção antes de iniciar uma resolução.\n• Não esqueça de justificar as respostas.\n• Escreva todos os detalhes dos cálculos que levam a uma solução\n• Não destaque as folhas do caderno de prova\n\n1ª Questão: Considere o espaço M22 com o seu produto interno usual:\n[c1 b1 a2 b2]\n[c1 d1 c2]\nSeja W = \n[1 0 1] [0]\n[0 -1 -1] \n\num subespaço de M22:\na) (1,0 ponto) Determine uma base para W⊥, o complemento ortogonal de W.\n\nb) (0,5 ponto) Determine o ângulo θ entre as matrizes W1 = I3\n\n[1 2]\n[4 0] e W2 = I2\n\n[2 1].\n\nc) (1,0 ponto) Determine uma base ortogonal para W⊥ a partir dos vetores geradores dados.\n\n2ª Questão:\na) (1,2 pontos) Em R2, considere o produto interno ⟨(a,b),(c,d)⟩ = ac + bd.\nSeja T: R2 → R2 um operador linear dado por\nT(x,y) = \n[-x + 2y]\n[2x + y]\n\nO operador T é auto-adjunto?\nb) (0,8 pontos) Em R3, considere o produto interno usual. Seja α a base canônica de R3 e T: R3 → R3 o operador linear dado por\n[T] = \n[3/5 -4/5 0]\n[4/5 -3/5 0]\n\nJustifique porque o operador T é ortogonal.\nc) (0,5 ponto) Tomando o operador T em (b) como uma rotação em R3, determine a direção do seu eixo.\n\n3ª Questão: Seja W o complemento ortogonal do subespaço gerado pelo vetor v = (1,1,1) em R3.\n\n(2,0 pontos) Determine uma base de R3 na qual as matrizes dos operadores\n\nprojeção ortogonal sobre W e reflexão por W são diagonais. Quais são estas matrizes, respectivamente?\n\nb) (1,0 ponto) Indique como obter as matrizes acima (correspondendo aos operadores projeção ortogonal sobre W e reflexão por W) na base canônica de R3.\n\n[Note: Deixe os cálculos indicados.]\n\n4ª Questão: Dada a forma bilinear simétrica B((x1,y1,z1),(x2,y2,z2)) = x1x2 + x1z2 + z1x2 + z1z2 e a forma linear L(x,y,z) = y, ambas em coordenadas canônicas de R3.\n\na) Obtenha e diagonalize a forma quadrática associada a B, Q(x,y,z) = B((x,y,z),(x,y,z)), determinando a base de R3 em que esta forma diagonal;\nb) Obtenha a forma normal (equação reduzida) da quádra cuja equação cartesianas é:\nQ(x,y,z) + L(x,y,z) = 0. 3ª Questão: Seja W o complemento ortogonal do subespaço gerado pelo vetor v = (1,1,1) em R3.\n\n(2,0 pontos) Determine uma base de R3 na qual as matrizes dos operadores\n\nprojeção ortogonal sobre W e reflexão por W são diagonais. Quais são estas matrizes, respectivamente?\n\nb) (1,0 ponto) Indique como obter as matrizes acima (correspondendo aos operadores projeção ortogonal sobre W e reflexão por W) na base canônica de R3.\n\n[Note: Deixe os cálculos indicados.]\n\n4ª Questão: Dada a forma bilinear simétrica B((x1,y1,z1),(x2,y2,z2)) = x1x2 + x1z2 + z1x2 + z1z2 e a forma linear L(x,y,z) = y, ambas em coordenadas canônicas de R3.\n\na) Obtenha e diagonalize a forma quadrática associada a B, Q(x,y,z) = B((x,y,z),(x,y,z)), determinando a base de R3 em que esta forma diagonal;\nb) Obtenha a forma normal (equação reduzida) da quádra cuja equação cartesianas é:\nQ(x,y,z) + L(x,y,z) = 0.