Prova de Algebra Linear - Final

Universidade Federal de Pernambuco\nFinal de Algebra Linear\n15 de janeiro de 2015\nAluno: \nTurma: \n\nAs respostas somente serão aceitas com justificativa. Não é permitida qualquer consulta.\n\nQuestão 1\n(1,0) Qual é a condição sobre o valor que x pode assumir para que a matriz A seja inversível?\nA = \n[ 1 -1 0 ]\n[ 0 2 1 ]\n[ 2 -1 x ]\n[ 3 0 0 ]\n\nQuestão 2\nEm P2 considere a base β = {1 + x, x², 1 - x} e seja\n[ ]β = \n[-1 1 0 ]\n[ 0 -1 1 ]\n[ 2 1 2 ]\na) (0,7) Encontre p(x) tal que [p(x)]β =\n[ 3 ]\n[ 4 ]\n[ 0 ]\nb) (0,8) Encontre a base β de P2.\n\nQuestão 3\n(2,0) Determine a transformação linear T: R³ → R² tal que (2,1,1) e (0,1,2) são vetores do Ker(T) e (2,0,-2) é autovetor associado ao autovalor 3.\n\nQuestão 4\nSeja T: R³ → R² a transformação linear dada por T(x,y,z) = (2x + x, 5z - 3y + z, -3z)\na) (0,7) T é inversível?\nb) (2,3) T é diagonalizável? Se sim, encontre uma base [T]β onde [T]β é uma matriz diagonal.\n\nQuestão 5\na) (1,0) Considere para o espaço vetorial R² o produto interno usual. Seja T: R² → R² a transformação linear dada por T(x,y) = (2x - y, -x + 3y). O operador T é Auto-adjunto?\nb) (1,5) Suponha que α é uma base ortonormal de R³ com respeito a um dado produto interno. Seja T um operador linear T: R³ → R³ tal que\n[T]α = \n[ 2/3 -1 -1 ]\n[ 2 1 -2 ]\n[ 1 2 2 ]\nT é um operador ortogonal?