Prova com Gabarito de Algebra Linear - 3 ee

Universidade Federal de Pernambuco 3a Avaliação de Álgebra Linear 1 de julho de 2017 Aluno: Turma: * As respostas somente serão aceitas com justificativa. Não é permitida qualquer consulta. Questão 1 Identifique se cada afirmação é verdadeira ou falsa. a) (1,0) Sejam V um espaço vetorial real com < , >. Sabendo que ||v|| = √5, ||u + v|| = √5 e ||u − 2v|| = √23, calcule ||−2017·u||. b) (1,5) Considere em M2x2(R) o produto interno: < [ a b ], [ e f ] > = 2ae + bf + 2cg + dh. Encontre um conjunto ortogonal, usando o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt, a partir deste: { ( 1 0 0 2 ) , ( 0 1 1 0 ) , ( 4 0 2 1 ) , ( 0 1 1 − 2 ) }. Questão 2 Considere no R4 o produto interno usual. Seja o subespaço W = { (1, 2, 0, 1), (−2, 1, 1, 0) }. a) (1,0) Determine uma base para W⊥ (complemento ortogonal de W). b) (1,0) Seja PW : R4 → R4 o operador projeção em W. Determine PW (x, y, z, t). Questão 3 Seja R2 espaço vetorial real com um certo produto interno < , > dado, tal que α = { (1, 2), (2, 3) } é uma base ortonormal com relação a este < , >. a) (0,5) Seja v = (1, 0) e w = (0, 1). Calcule < v, w > α . b) (1,0) Determine a expressão deste prod. interno, < (x₁, y₁), (x₂, y₂) > usual. Questão 4 (2,0) Em R2, considere o produto interno < (a, b), (c, d) > = 2ac + 2bd. Seja T : R2 → R2 o operador linear dado abaixo. Escreva uma das maneiras de verificar que um operador linear é ortogonal, e em seguida, utilizando essa maneira, diga se se T é um operador ortogonal. T (x, y) = [ 1/ 2 ( x + √2 y), − x + √2y ]. Questão 5 (2,5) Considere em R3 o < , > usual. Observe a quád rica cuja equação na base canônica α é: 2x² + 5y² + 2z² − 6xz + 5√2 x + 10y + √2 z + 4 = 0 Determine outra base β que diagonalize a parte quadrática. Escreva a equação reduzida (sem termos mistos, nem lineares quando possível) da quád rica em relação a esta base β, e identifique a quád rica. Álgebra Linear - 3a Avaliação Gabarito 2017.1 1- a) ||v||= √5. ||u+v|| = √5 e ||u-2v|| = √23. Calcule ||-2017.u||. ||u+v||² = <u+v,u+v> = <u,u> + 2<u,v> + <v,v>, ||-2017.u|| = ||u+v||² = ||u||² + 2<u,v> + ||v||² => <u,v> = 1/2 ea u + v = v + u = ||u||² + 2<u,v> + ||v||² =>sendo: u + 2v = ||u||² - 2 u^2. u e ||v-v||² ||u+v||² = ||u||² <u,v> + ||v||²<||v-u||² =<u,u> + 2u.v + <v,v> symbolicamente: b) < [a b ], [e f ]> = 2ce + bf + 2cg + dh encontre um conj ortogonal a partir de {(1 0 0 2),(0 1 1 0),(4 0 2 1),(0 1 1 -2 0)} V1 iter9 :0 4 0 2 0 4 v6 v1 V5 V5 V6 v7 v8 4v6 1~ [(-1 5),]+ [ 1 5 ] Logo: ( 4 ,0 ),(-4.4),(-4-5') (1·0) - 2 )- 2 +O e, para existencia observa existente,as bases de 1 -1) zijn zy=4 (1.0)(4.0 0 2)(e 03mocorte 2,7; cola 1·1) = 4, ((0,1)= 10), 6 (+2,9.761+7,+2,-Z sujeito a: (7, b): Enem 3- 3)AB com co + Prête e x é autonoma. P imitation would 16 ex have about it's course discussion." c 2014 IS Pr, z180694315 APM : rital code ; eines,pia is OM PIT chito air in? Observismos para o ponto lético de 2 : air.claro;(o-A)(!,motzei-1)e estásmia tee e a quadrático da triederalde satisfaz 10,e índice exercício Dreal com os dese MPG, incom marginalized,estigulSenator de n.equivalency OM -com o atendepension N: o Application of DACO CA - Os do CSS OR RAP, ou dos habitantes. Liquididade, systems. Hay, sabe infinity amenable. Orturnelles, b) <(x1,y1), (x2,y2) > = ? <(x1,y1), (x2,y2) > = < [ (x1,y1) ] M > , [ (x2,y2) ] M > usual do R^2 (x,y)=a.(1,2)+b.(2,3) | a + 2b = x | x2 | 2a + 3b = y | a = x - 2(2x-y) b=2x-y | a=-3x+4y [(xi,yi)]=[-3xi+2yi] [2xi-yi] i=1,2. <(x1,y1), (x2,y2)> = < [-3x1+2y1] , [-3x2+2y2] > usual. [2x1-y1] [2x2-y2] = (-3x1+2y1).(-3x2+2y2) +(2x1-y1).(2x2-y2)= 9x1.x2-6x1.y2-6x2.y1+4y1.y2+2x1.y2-2y1.x2=9x1.x2+4y1.y2 = 13y.x2=8x1.y2-8x2.y1+5y1.y2 4- <(a11), (c,d1) >=ac+bd - Seja: T:R^2---R^2 e operaçao linear T(x1,x2)=1/2(x+√2y,-x+√2y) T é está geral ? temos np verificaçao ? T é integral se <Tv,Tw> usual= <x,w> usual se v, w e tamen (R^4-So deve vericicar isso tetando para vetores gener (x1,y1) e w=(x2,y2) nesta cassol) e na base(substituindo os vetores vi e vj de uma hsive com i ≠j e i<j) e so indiva verificando se [T]xB na base e uma base ortonormal com respeit a <,>deade,olm auchu ortogonal (ou transpoeta e a inversa tem culunas ortononarnav com respectivos á <,> usual). BASTAVA CITAR E USAR 1MA- NEIRA DE VERIFICAR. B ={(1,0,0), (0,1)} base do R^2. Devemos ter: <T(1,0), T(0,1)>=<(1,0), (10,0)> <T(1,0), T(1,0)>=<(1,0), (1,0)> <T(1,0), T(0,1)>=<(0,0,10,1)> <T(1,0),T(0,1)>=<1/2(1,-1),1/2(√2,√2)> = 1/4 (2.1.√2+2(-1).(-1).√2) <T(1,0),T(0,1)>=<1/4(1.-1),1/4(√2,√2)>=1/4(2.1.1+2(-1).-1)-1 <(1,0),(1,0)>=2.1+4*2.0.0=2 T não é operador ortogonal. 5. <,> usual. Dê a siga redução e identifique a quária: 2x+y+5y+2z²=6x²+√2+x+10y+√2+3+4z=0 [x y z] [ 200 ] [ x ] [ 0 5 0 ] * [ y ] [ 3 0 2 ] [ z ] -_^[-√2 10 √2] + [ x ]y [ z ]+4=0 det(A-λ.𝕀)=0=> (2-λ)²(5-λ)-(5)(5-λ)=0 => (5-λ)0.-(-2-^2=- -0- => 0(5-λ) (2-^3)=0 ==> (5-λ)-^5)(5-λ)-^2- ^4- ^ λ) substition with λ ==> 2x-3= _m = -11x-^2⊥ : p/λ=5 x= | y = 0 β ={√21,√23(1,0)0,, (√21)(0,1), (√2√0,0,-1√21) base ortonormal de vetores para