Prova de Algebra Linear - 3 ee

Universidade Federal de Pernambuco\n3ª Avaliação de Álgebra Linear\nAluno: 24/11/2017\nTurma:\nAs respostas somente serão aceitas com justificativa. Não é permitida qualquer consulta.\n\nQuestão 1\na) (2,0) Seja W = {( a 0 ) | a,b,c ∈ R} subespaço de M22(R). Considere ( a1 0 ) ( a2 b2 ) = 2a1a2 + b1b2 + 2r(c1c2) em W. Encontre ( b1 0 ) uma base β ortogonal para α = ( 2 0 ) , usando o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt, a partir da base α = ( 0 2 ) ( 1 0 ) .\n\nb) (1.0) Considere no R4 < , > usual. Determine uma base para seu subespaço W⊥ cujo complemento ortogonal é W1 = {(1, 1, 0, -1), (0, 0, 1, -2, -1)}.\n\nQuestão 2\nb) (1.0) Mostre que em todo espaço vetorial V com < , >, se α = {v1, v2, v3} é uma base ortonormal de V, então ∀w ∈ V temos\n‖w‖² = < w, v1 >² + < w, v2 >² + < w, v3 >².\n\na) (1,0) Seja V = P2 munido do produto interno (p1(t), p2(t)) = ∫1-1 p1(t)p2(t) dt. Seja T um operador em V definido por T(a0 + a1t + a2t²) = a1t.\na) (1,0) Mostre que T não é autoadjunto.\nb) (1,0) Justifique porque, embora a matriz de T na base α = {1, t, t²} seja\n[ 0 0 0 ]\n[ 0 1 0 ]\n[ 0 0 0 ]\nisso não contradiz o item anterior. Questão 4\n(1,0) Seja V espaço vetorial com < , >. Seja T : V → V um operador ortogonal. Suponha que λ1 e λ2 são autovalores de T tais que λ1 ≠ λ2 ≠ 1. Mostre que se v1 e v2 são autovetores associados aos autovalores λ1 e λ2, respectivamente; então v1 e v2 são ortogonais.\nQuestão 5\n(2,0) Considere em R³ < , > usual. Observe a quadríca cuja equação na base canônica a é:\n2xy − 6√2x + 6√2y + z − 31 = 0\nDetermine outra base β que diagonaliza a parte quadrática. Escreva a equação reduzida (sem termos mistos, nem lineares quando possível) da quadríca em relação a esta base β, e identifique a quadríca.