Lista 1 Equilíbrio Teoria dos Jogos-2022 1

Dois jovens (i e − i) gostam de dirigir em alta velocidade (u_i(x_i,y_i),u_{-i}(x_−i,y_−i) > 0), onde x_i e x_−i definem as ações de dirigir em alta velocidade. No entanto, quanto mais rápido se dirige maior a probabilidade de ocorrência de choque entre os carros. Seja p(x_i,x_−i) a probabilidade de um acidente mútuo, crescente nos dois argumentos, e (c_i,c_−i) > 0 os custos individuais dos agentes i ou −i, respectivamente, em caso de batida. Assumindo preferências idênticas para cada agente (i ou −i) e ϕ''(⋅) < 0, a função de utilidade e a restrição orçamentária serão representadas por: u_i(x_i,y_i) = Φ(x_i) + y_i y_i + p(x_i,x_−i)c_i ≤ w_i Onde y_i é o bem numeŕario, cujo preço foi normalizado para 1, e w_i é a renda individual. (a) Encontre os níveis de externalidade (x_i^*,x_−i^*) gerados no equilíbrio competitivo [0,6]. (b) Encontre as alocações Pareto-ótimas (x_i^p,x_−i^p) [0,6]. Como o nível ótimo de externalidade se compara com (x_i^*,x_−i^*)? [0,2]? [0,8]. (c) Suponha que o agente i terá que pagar uma multa de valor fixo t_i em caso de acidente, que ocorre com probabilidade p(x_i,x_−i). Encontre a alocação de (x_i) na presença da multa e o valor de t_i que internaliza a externalidade? [0,8]. (d) Assuma que existe um mercado para a externalidade: o agente i possui o direito a dirigir em alta velocidade, enquanto o agente -i só pode dirigir em alta velocidade com a permissão de i. Encontre a alocação (x_i) na presença de licença para a externalidade e a transferência que sustenta a alocação ótima [0,6]. Como o nível de externalidade se compara com o nível ótimo[0,2]? [0,8]. Considere uma economia com 2 indivíduos que consomem um bem público G e um bem privado x. A utilidade dos indivíduos i é dada por: u(x_i,G) = G^{a_i}a_ie^{-x_i} em que a_i > 0 é um parâmetro de preferência do indivíduo i. Cada indivíduo tem uma dotação de riqueza w_i. O bem público é produzido com uma tecnologia de custo marginal constante igual a p. Assuma a seguinte transformação monotônica da função de utilidade: U_i = a_i lnG + x_i Onde, x_i é o bem de consumo numeŕario (preço normalizado para 1), G = ∑_i g_i e i = 1,2. O consumidor deve decidir sobre a quantidade ótima de consumo do bem público e privado restrito à sua disponibilidade orçamentária (w_i). (a) Responda os seguintes itens: i. Encontre o nível de consumo do bem público no equilíbrio de mercado [0,5]. ii. Mostre como o problema da coroa pode definir o nível de bem público ofertado em equilíbrio [0,5]. (b) Calcule a quantidade Pareto-ótima de consumo do bem público. Mostre que a solução de equilíbrio do mercado não é Pareto ótima [0,6]. (c) Encontre o nível de consumo do bem público na presença de um subsídio (s_i) por unidade consumida e mostre qual deve ser o subsídio que estabelece o seu nível ótimo de consumo [0,6]. (d) Encontre o nível de consumo do bem público no equilíbrio de Lindahl e mostre qual deve ser o preço personalizado (p_i) para que o seu consumo seja ótimo [0,8]. Tome o seguinte jogo na forma extensiva. Uma empresa incumbente decide se realiza um investimento, enquanto uma empresa entrante decide se entra no mercado. Se a entrante entra, ambas as empresas definem os níveis de preços que devem cobrar (P, M, G). (Imagem de árvore de decisão) (a) Represente o jogo na forma normal-estratégica e encontre os equilíbrios de Nash em estratégias puras (se existirem) [1,0]. (b) Resolva o jogo por indução retroativa e encontre os SPNEs. Considere os equilíbrios em estratégias puras e mistas [1,5].