Slide - Modelo de Courtnot - Microeconomia 2 - 2023-1

Continuação cap. 28 Varian, 9ª edição Jogos simultâneos Cartel / conluio Jogo cooperativo! Modelo Escolher y_1 e y_2 que maximizam o lucro do cartel: Max π = P(y_1 + y_2)(y_1 + y_2) - C_1(y_1) - C_2(y_2) CPO: ∂π/∂y_1 = [∂P/∂Y ∂Y/∂y_1](y_1 + y_2) + P(y_1 + y_2) - CMg_1 = 0 CPO: ∂π/∂y_2 = [∂P/∂Y ∂Y/∂y_2](y_1 + y_2) + P(y_1 + y_2) - CMg_2 = 0 Estratégia das empresas: empresa 1 • Empresa 1 espera que a empresa 2 produza y2 e  então, a produção total será y1 + y2 e  P(y1 + y2 e) • Empresa 1 escolhe y1 que maximiza seu lucro: • Max RT – CT = Max {p(y1+y2 e)y1} – C1(y1) Para qualquer y2 e teremos um y1! Resp: escolha ótima da empresa 1 em função de suas expectativas de produção da empresa 2  y1=f(y2 e) Estratégia das empresas: empresa 2 • Da mesma forma, a empresa 2 considera sua expectativa de produção da empresa 1 para decidir quanto produzir • Max RT – CT = Max {p(y1 e+y2)y2} – C2(y2) Para qualquer y1 e teremos um y2! Resp: y2=f(y1 e) Quando teremos um equilíbrio? • Resp: quando as crenças se concretizarem! Se a empresa 1 chuta um número para empresa 2 e erra, então, y1  y1* • Equilíbrio = (y1*, y2*) = são as escolhas que satisfazem: – y1*=f(y2*) – y2*=f(y1*) – empresa 1 está fazendo o que é melhor para ela dado o que a empresa 2 está fazendo e vice-versa • Equilíbrio de cournot  cada empresa maximiza seus lucros de acordo com suas expectativas sobre a produção da outra e essas expectativas são concretizadas Solução gráfica Equilíbrio de cornout: par de produções no qual as duas curvas de reação se cruzam Exemplo: demanda linear e Cmg1 = CMg2 = 0 • p(y1+y2) = a – b (y1+y2) • Empresa 1 • Empresa 2  mesma ideia      b by a y CMg by by a C y by by y ay C y y y b y a e e e e 2 0 2 : CPO ) ( ) ( 2 1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2                  b by a y e 2 1 2   Exemplo: demanda linear e Cmg1 = CMg2 = 0 • Solução: procuramos pelo ponto onde cada empresa faz exatamente o que a outra espera que ela faça, ou seja, Y1 e = y1 e Y2 e = y2 * 2 * 1 1 1 1 2 2 1 3 2 as duas empresas são idênticas : como 2equações, 2incógnitas 2 , 2 y b a y b by a y b by a y b by a y           Y1 t, y2 t a/2b a/b Curva de reação da empresa 1 Curva de reação da empresa 2 Y1 empresa 1 Y2 empresa 2 Ajustamento Várias empresas no equilíbrio de cournot i i i i i i i i i i i i n CMg s Y Y P CMg Y y Y P Y dY dP P Y CMg P Y dY y dP CMg P Y y dy dY dY dP CPO C y P Y y uma empresa i para y y y Y                                         |) ( | 1 ) 1 ( ( ) ( ) 1 0 ) ( 0 ( ) : ) ( ( ) max : ... 2 1  Elasticidade da curva de demanda com a qual a empresa i se depara Várias empresas no Equilíbrio de Cournot i i CMg s Y P Y               |) ( | 1 ( ) 1  Elasticidade da curva de demanda com a qual a empresa i se depara • Se a empresa é monopolista  si = 1  solução típica de monopólio • Muitas empresas  si  0  elasticidade com a qual a empresa se depara    competição perfeita • Ou seja, se houver um grande numero de empresas, o equilíbrio de cournot será efetivamente o mesmo que seria na concorrência pura. Fixação simultânea de preços Modelo de Concorrência de Bertrand Ideia básica • Empresas fixam o preço e deixam o mercado determinar a quantidade a ser vendida • Quando uma empresa escolhe um preço ela terá que fazer uma previsão sobre o preço que ela espera que a outra vai cobrar • Exatamente como no equilíbrio de cournot, queremos encontrar um par de preços de modo que cada preço seja uma escolha que maximize o lucro, dado a escolha feita pela outra empresa Equilíbrio • P=Cmg • P< Cmg  não! • P> CMg  se uma das empresas diminuir um pouco o preço conseguirá roubar todos os clientes da outra! Resultado: P= CMg  consequência de um único produto Modelo de Bertrand com diferenciação de produto Ideia básica • Imagine que haja alguma diferenciação de produto entre as firmas de forma que diminuições no preço de uma das firmas leve a um deslocamento apenas parcial da demanda para a firma • 2 firmas que decidem simultaneamente qual preço cobrar Ideia básica • Teremos duas funções de demanda, da seguinte forma:     ;0 ;0 , 0 ;0 , 2 2 1 2 2 1 2 2 1 1 1 2 1 1         dp dq dp dq f p p q dp dq dp dq f p p q d d d d d d Indicam que há algum grau de substituição entre os produtos Exemplo • Q1 d = 12 – 2p1 + p2 c1=q1 • Q2 d = 12 – 2p2 + p1 c2=2q2 • Encontre a soma das quantidades produzidas pelas empresas. Empresa 1 • Escolher p1 que maximize o lucro: • Max q1p1 – c1(q1) • Para resolver, deixar tudo em função dos preços! • Max (12 – 2p1 + p2 e)p1 – (12 – 2p1 + p2 e) • Max 12p1 – 2p1 2 + p2 ep1 – 12 + 2p1 - p2 e • CPO: 12 – 4p1 + p2 e + 2 = 0 • q1 4 14 2 1 pe p   Escolha ótima de preço da firma 1 em função do preço que ela acha que a empresa 2 vai cobrar Empresa 2 • Escolher p2 que maximize o lucro: • Max q2p2 – c2(q2) • Max (12 – 2p2 + p1 e)p2 – 2(12 – 2p2 + p1 e) • Max 12p2 – 2p2 2 + p1 ep2 – 24 + 4p2 – 2p1 e • CPO: 12 – 4p2 + p1 e + 4 = 0 • 2q2 4 16 1 2 pe p   Escolha ótima de preço da firma 2 em função do preço que ela acha que a empresa 1 vai cobrar Equilíbrio – crenças se concretizam 4 14 2 1 p p   4 16 1 2 p p   Duas equações, duas incógnitas  é só resolver! 2,5 78 15 16 14 16 64 16 16 4 1 4 14 4 16 2 2 2 2 2 2                 p p p p p p 8,4 4 2,5 14 1 1     p p q1 = 7,6 ; q2 = 6,4 ; qT = 14 Ideia básica • Empresas se juntam e se comportam como se fossem uma única empresa – objetivo aqui será maximizar o lucro do cartel 0 ) ( ) ( 2 :) ( 0 ) ( ) ( :)1( 2 2 1 2 1 1 2 1 2 1                   CMg y P y y y dY dP De CMg y P y y y dY dP De Modelo Considera o impacto negativo do menor preço sob o total da produção do cartel  isso porque quer maximizar o lucro do cartel • Receita Marginal tem que ser a mesma independente de onde seja produzida RMg1 = RMg2 • Segue, portanto, que CMg1 = CMg2 • Caso uma das empresas tenha vantagem de custo, irá produzir mais no cartel Problema do cartel: incentivo a burla! • Suponha que as empresas operem em produções que maximizam o lucro do cartel e que a empresa 1 pense em aumentar um pouquinho sua produção ) ( ) ( ) ( ) ( * 1 1 * 1 * 2 * 1 1 1 * 1 1 * 1 1 * 2 * 1 1 1 y CMg Y y P y p y y y CMg y y Y Y P y p y y                   Problema do cartel: incentivo a burla! 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 ) ( ) ( 0 ) ( ) ( condições de 1ª ordem de maximizaçã o do lucro do cartel, temos: Das CMg y P y dY y dP y dY dP CMg y P y y y dY dP                      0 ) ( ) ( ) ( 2 1 1 * 1 1 1 2 1 2 * 2 * 1 1 1                      dY y dP y y CMg CMg y P y dY y dP y p y y Combinando essa expressão com a do lucro marginal temos: Portanto, se a firma 1 acha que a firma 2 vai manter a produção em y2*, ela poderá  seu lucro se  um pouquinho sua produção Problema do cartel: incentivo a burla! • “Se a empresa 1 acha que a firma 2 vai manter sua produção constante, ela achará lucrativo aumentar sua própria produção. Mas, se achar que a empresa 2 aumentará sua produção, então desejará aumentar sua produção antes da empresa 2 e lucrar o quanto puder!” • Desta forma, para manter um cartel efetivo as empresas precisam criar um meio de detectar e punir a burla Exemplo b a y y by a by by by a by by b a y CPO by by b a y CPO y C C y b a y C C y P 2 0 - 2by 2 0 by - 0 y )) (y ( : 0 y )) (y ( : ) ( ) ( y ) y ))(y (y ( ) ( ) ( y ) () y y (y max 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1                                     bY a P Y CMg CMg     0; ii) ( ) Hipoteses :i) 2 1 Como os custos marginais são zero, a divisão da produção entre as duas empresas não importa. Tudo que é determinado é a produção total do setor. Solução gráfica do Cartel Obs: mostrar no gráfico o fenômeno da tentação à burla Tangência entre as isolucros, determinam os pontos de maximização de lucro do cartel. Estratégias punitivas • Para o cartel poder funcionar, deve-se encontrar alguma forma de se estabilizar o comportamento das empresas. • Solução: cada empresa deve ameaçar de punir a outra se esta não respeitar o acordo. • Exemplo: duas empresas idênticas, maximizando o lucro do cartel, cada uma produzindo a metade da produção – lucro m. • A fim de tornar esta situação estável, uma empresa anuncia para a outra: Estratégias punitivas • “Se você mantiver o nível de produção que maximiza os lucros conjuntos do setor, ótimo. Mas se eu descobrir que vocês estão produzindo mais do que isso, vou castigá-los produzindo permanentemente o nível de produção de Cournot.” • Isso é conhecido como estratégia de punição. • Funciona?? Depende dos custos e benefícios da trapaça em relação à cooperação! Estratégias punitivas • Se a traição ocorre e a punição é levada adiante: nesse caso, se uma das empresas está jogando cournot, a resposta ótima da outra tb é jogar cournot – assim, cada empresa obteria lucro c ; lembrando que m > c • Assim, uma empresa decidindo se trai ou não o cartel. Ela está lá tendo lucros m; se trai o cartel terá lucros acima do normal num período d , mas nos períodos seguintes terá lucro c. cooperação LM LM LM LM LM Ld Lc Lc LC LC Trapaça VP= LM + LM/(1+r) + LM/(1+r)^2 + ... VP = LM (1 + 1/(1+r) + 1/(1+r)^2 + ...) VP = LM + LM/r Estratégias punitivas • Se mantem acordo: • Valor presente do lucro - Acordo = m + {m/r} • Se trai o cartel: • Valor presente do lucro - Trapaça = d + {c/r} • Irá manter o cartel se: • m + {m/r} > d + {c/r} ou • r < {m - c } / {d - m } • Mais à frente, exploraremos essas possibilidades de punição... Somatório de pg infinita • Sn = a1*(qn – 1) / q – 1 • a1 = primeiro termo da sequencia • q = razão da sequencia • Quando q < 1 • Sn = a1 / 1 – q • Nosso caso, razão = 1/(1+r), logo Sn = 1/r Comparações entre os modelos Comparações • Cournot  YT = 2a/3b • Stackelberg  YT = 3a/4b • Cartel  YT = a/2b • Bertrand  menor preço, maior quantidade • Cartel  maior preço, menor quantidade • Outros modelos: entre esses dois extremos Liderança-quantidade • Um duopólio se depara com a curva de demanda Q = 30 - 0,5p. As duas firmas da indústria têm função custo total C(q) = 4q. Suponha que a firma 1 seja líder em um modelo de Stackelberg. • Qual a quantidade que a firma 1 escolhe produzir? • Qual a quantidade produzida pela firma 2? • Qual o preço vigente nesta indústria? EXAME 2017 F F F V V Liderança-preço Considere um modelo de determinação simultânea de preços com duas empresas: a empresa 1 e a empresa 2, com diferenciação de produtos e sem restrição de capacidade. A demanda de qualquer uma das duas empresas é dada por qi = 200 − 4 pi + 2 pj , em que i, j = 1, 2 e i ≠ j. O custo de qualquer uma das empresas é dado por Ci (qi ) = qi . No equilíbrio de Nash, os preços cobrados por qualquer uma dessas empresas serão idênticos. Calcule esse preço. • Resposta: p = 34 Bertrand com diferenciação de produto qi = 200 − 4 pi + 2 pj e Ci (qi ) = qi • Empresa 1: escolhe o preço que maximiza o lucro dela – decisão simultânea de preço Max L1 = (200 − 4 p1 + 2 p2 e)p1 – (200 − 4 p1 + 2 p2 e) • CPO: 200 − 8 p1 + 2 p2 e + 4 = 0 • p1 = (204 + 2 p2 e)/8 • Como as empresas são “espelhos”: • p2 = (204 + 2 p1 e)/8 • Em equilíbrio, crenças se concretizam e como as empresas são iguais (p1 = p2): • p1 = (204 + 2 p1)/8  p1 – 1/4p1 = 25,5  p1= (4*25,5)/3 = 34 • P1= p2 = 34 Cournot + cartel • 3) Suponha que a demanda inversa pelo produto Q seja dada por P(Q)= 520 – 2Q. Suponha também que esse mercado seja caracterizado por um duopólio de cournot (simultâneo quantidade), cujas firmas 1 e 2 tenham mesma função custo dada por CTi(Qi) = 40Qi, onde i = 1 e 2. Qual será o preço de equilíbrio nesse caso? E qual seria o preço de equilíbrio se essas empresas se juntassem e formassem um cartel? • Resp: P*cournot = 200; p* cartel = 280. P(Q)= 520 – 2Q CTi(Qi) = 40Qi • P(Q)= 520 – 2Q  Q= q1+q2  • P(Q) = 520 – 2(q1+q2) • Cournot • Empresa 1: escolhe o q1 que maximiza o lucro dela • Max L1 = (520 – 2q1 – 2q2 e)q1 – 40q1 • Max L1 = 520q1 – 2q1 2 – 2q2 eq1 – 40q1 • CPO: 520 – 4q1 - 2q2 e – 40 = 0 • q1 = (480 - 2q2 e)/4 P(Q)= 520 – 2Q CTi(Qi) = 40Qi • Empresa 2  mesma ideia e como elas são idênticas, segue que: • q2 = (480 - 2q1 e)/4 • Equilíbrio: crenças se concretizam! Observado é igual ao esperado para cada empresa! Então, temos: • q1 = (480 - 2q2)/4 e q2 = (480 - 2q1)/4 • Resolvendo esse sistema: • Como essas empresas são idênticas, no equilíbrio, q1 = q2. • q1 = (480 - 2q1)/4  q1 + 1/2q1 = 120  3/2q1 = 120  q1 = 80 • q1 = q2 = 80  Q = 160 e P = 520 – 320 = 200 Solução de cartel P(Q)= 520 – 2Q CTi(Qi) = 40Qi • Lucro do Cartel • Max L = (520 – 2q1 – 2q2)(q1+q2) – 40q1 - 40q2 • dL/dq1 = 520 – 4q1 – 4q2- 40 = 0 • dL/dq2 = 520 – 4q1 – 4q2- 40 = 0 • 4(q1 + q2) = 480  (q1 + q2) = 120 • P(Q)= 520 – 2(120) = 520 – 240 = 280 Cournot com n empresas • 4) Seja um modelo de Cournot com 44 empresas, em que a função demanda do mercado seja dada por: P = 400 - 2Q, sendo Q = Σi=1^44 q_i . Seja o custo total de cada empresa expresso pela função C_i = 40q_i (sendo q_i a produção de cada empresa). Quanto cada empresa produzirá em equilíbrio? P = 400 – 2Q; Ci = 40qi ; n=44 • Sem perda de generalidade, vamos resolver para a Empresa 1 • Empresa 1 escolhe o q1 que maximiza o lucro • Max (400- 2q1 – 2q2 e - ... – 2q44 e)q1 – 40q1 • CPO: -2q1 + 400 – 2q1 – 2q2 e - ... – 2q44 e – 40 = 0 • q1 = (360 – 2q2 e - ... – 2q44 e) /4 • Para qualquer empresa i, vale a expressão de função de reação acima. • Em equilíbrio, crenças se concretizam! O observado é o esperado para todas as empresas. • Portanto: • q1 = (360 – 2q2 - ... – 2q44) /4 • q2 = (360 – 2q1 - 2q3 - ... – 2q44) /4 • q3 = (360 – 2q1 - 2q2 - ... – 2q44) /4 • ... • q44 = (360 – 2q1 - 2q2 - ... – 2q43) /4 • Como as empresas são iguais, elas vao produzir a mesma quantidade no equilíbrio. • Assim: • q1 = (360 – 2q1 - ... – 2q1) /4 • q1 = (360 – 2(43)q1) /4  4q1 + 86q1 = 360  • 90q1 = 360  q1* = 4 = q2* = q3 *= ... = q*44