P1 Econometria-2021 2

DEPARTAMENTO DE ECONOMIA E RELAÇÕES INTERNACIONAIS UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA ECONOMETRIA I Prova I Exercício 1 [2,5 pontos]. Os erros ensinam mais que os acertos. Pensando nisso, responda o que se pede: (a) Seja 𝜔 uma variável aleatória que assume valores -2, 1, 0, 1, 2, ambos com igual probabilidade, ou seja, 1/5. Considere ainda que 𝑧 = 𝜔². Monte a ilustração tabular da distribuição conjunta e compute 𝐶𝑜𝑣(𝜔, 𝑧) e 𝐸(𝑧|𝜔). Podemos afirmar que as variáveis são independentes (não relacione dependência necessariamente com causa e efeito)? Justifique e reflita sobre como esse resultado se relaciona com a hipótese de exogeneidade estrita do modelo de regressão linear simples apresentado em aula. (b) Considere o modelo de regressão linear simples derivado em aula, em que o estimador de mínimos quadrados de 𝑏1, o verdadeiro parâmetro populacional, pode ser escrito como 𝛽1 ̂ = 𝑏1 + ∑ 𝑧𝑖𝑢𝑖, em que 𝑧𝑖 = (𝑋𝑖−𝑋̅) ∑(𝑋𝑖−𝑋̅)². Considere que a propriedade de homoscedasticidade dos resíduos seja violada, porém as demais hipóteses usuais permanecem válidas. Mostre (explicando para uma pessoa leiga – pelos menos a intuição) que nesse caso, 𝑣𝑎𝑟(𝛽1 ̂)≠ 𝜎2 ∑(𝑋𝑖−𝑋̅)². Exercício 2 [2,5 pontos]. Argumenta-se, frequentemente, que o Bacen (Banco Central do Brasil) deveria, tanto quanto possível, seguir uma regra ótima para determinação da taxa de juros, por exemplo a conhecida regra de Taylor. Diante de uma variação persistente na inflação e diferente da meta, a regra de Taylor mostra como o Bacen deveria se comportar para minimizar a perda de Bem-estar da sociedade. Desvios inadequados dessa política ótima podem gerar a perda de milhares de postos de trabalho, por exemplo. Uma economista pensa em estimar a seguinte regra de Taylor para a economia brasileira de 2003 a 2015 (dados trimestrais): ∆𝑖𝑡 = 𝛽𝑖(𝜋𝑡 − 𝜋𝑇) + 𝑢𝑡, em que ∆𝑖𝑡 é a variação percentual da taxa de juros, 𝜋𝑡 é a taxa oficial de inflação medida pelo IPCA, 𝜋𝑇 é a meta fixa de inflação do Bacen (ambas avaliadas em termos percentuais), e 𝑢𝑡 representa um termo de perturbação estocástico. A economista utilizou dois estimadores lineares e obteve os seguintes resultados (erros-padrões entre colchetes): ∆𝑖𝑡 = 0,170(𝜋𝑡 − 𝜋𝑇) + 𝑢𝑡, [0,036] 𝑒 𝑅² = 0,538, e ∆𝑖𝑡 = 0,334(𝜋𝑡 − 𝜋𝑇) + 𝑢′𝑡, [0,059] 𝑒 𝑅² = 0,547. (a) Interprete os coeficientes estimados de acordo com o esperado pela regra de Taylor. Nesse caso, é plausível não incluir a constante no modelo? Justifique. (b) Formule cuidadosamente os testes de hipóteses associados aos coeficientes estimados (determine a hipótese, compute a estatística t, o valor-p e justifique a escolha do nível de significância). (c) Compute os intervalos de confiança para ambos os estimadores de 𝛽𝑖. Assuma que o objetivo da economista não seja avaliar a qualidade da predição. Qual estimador você escolheria? Justifique. (d) É provável que 𝛽𝑖 esteja identificado em ambos os casos? Justifique sua resposta. Exercício 3. [Questão desafio – 3,5 pontos]. Considere o modelo de regressão linear simples derivado em aula. Considere que as hipóteses relacionadas a consistência, ausência de viés e eficiência são válidas. Responda o que se pede [em ambos os casos explique para uma pessoa leiga o passo a passo da derivação]: (a) Para o modelo de regressão linear 𝑌𝑖 = 𝛽0 + 𝑢𝑖, em que 𝑢𝑖~𝑖𝑖𝑑 (0, 𝜎2), compute o estimador BLUE de 𝛽0, sua variância, além da soma dos quadrados dos resíduos do modelo. (b) Para o modelo de regressão linear 𝑌𝑖 = 𝛽1𝑋𝑖 + 𝑢𝑖, em que 𝑢𝑖~𝑖𝑖𝑑 (0, 𝜎2), compute o estimador BLUE de 𝛽1, sua variância e compare cuidadosamente com os resultados obtidos no item (a). Exercício 4 [2,5 pontos]. Um dos modelos mais utilizados na teoria de finanças é o conhecido “modelo de apreçamento de ativos”, CAPM. Esse modelo procura estimar uma “linha característica” que ilustra o “risco sistêmico” e a taxa de retorno de determinado ativo financeiro, comparando assim, o desempenho do ativo com o mercado. Em sua versão mais simples, um CAPM pode ser reduzido empiricamente a seguinte especificação: rt = 𝛼 + 𝛽rt m + ut, em que rt é a taxa de retorno de um ativo no período t, rt m é o excesso de retorno do mercado acima da taxa livre de risco no período t, ut é um termo de erro estocástico, 𝛼 e 𝛽 são parâmetros a serem estimados. Em especial, 𝛽 é uma medida de risco de mercado. Considere agora a base de dados anexa à prova, “CAPM_prova”. Essa base contém dados diários de janeiro de 2015 a dezembro de 2019 (deixei o pós-2019 propositalmente de fora) da taxa livre de risco (RF já em %), do preço de fechamento da ação da Petrobrás (PTR4 em R$ ajustado pelo pagamento de dividendos) e o excesso de retorno do mercado acima da taxa livre de risco (MRRF em % - já deixei computado para simplificar). Para computar o fator de mercado MRRF, utilizei o modelo de cinco fatores de Fama-French. Com essas informações, responda o que se pede: (a) Quais são os sinais esperados para os parâmetros a serem estimados pelo CAPM (o que diz a teoria)? (b) Compute a taxa de retorno da PTR4 (em %), rt, e estime o CAPM apresentado acima por meio do método de mínimos quadrados ordinários (cole as dez primeiras linhas da sua Tabela aqui). (c) Construa um histograma dos resíduos e aplique (passo a passo) o teste de normalidade Jarque-Bera. (d) Construa um teste de hipóteses e avalie se o CAPM proposto possui aderência empírica (significância estatística). Avalie a significância prática dos parâmetros por meio da construção de intervalos de confiança. Se necessário, utilize os erros robustos de White. (e) Ajuste a “linha característica” do modelo, compute o R², o erro-quadrático médio e o Erro-Padrão do modelo. Discuta a qualidade do ajuste e como podemos interpretar a “linha característica”. Exercício 5 [2,5 pontos]. Indique se a proposição é verdadeira ou falsa (não é necessário justificar). (a) ( ) No modelo de regressão linear simples, quando a propriedade de homocedasticidade é violada, o estimador de mínimos quadrados será viesado e ineficiente. (b) ( ) Dentre várias formas de avaliação, testes estatísticos também são avaliados por meio do seu “poder” ou “potência”. Nesse contexto, sabe-se que o teste de normalidade de Jarque-Bera é mais adequado na presença de um número relativamente pequeno de observações, enquanto o teste de Shapiro-Wilk é mais indicado para um contexto de grandes amostras. (c) ( ) O procedimento de erros robustos de White corrige o problema de heterocedasticidade de um modelo de regressão linear simples. (d) ( ) Um estimador linear de mínimos quadrados será BLUE sempre que as hipóteses relacionadas à consistência, ausência de viés e eficiência forem satisfeitas. (e) ( ) Diz-se que um parâmetro “está identificado” apenas quando for obtido por um estimador BLUE. (f) ( ) A validade da hipótese de exogeneidade estrita dos regressores garante que o estimador não será viesado e, portanto, “identificado”. (g) ( ) Em um modelo de regressão linear simples, tudo ou mais constante, quando o número de observações tende ao infinito, o erro-padrão de 𝛽 será mínimo.