Slide Gráfico Quantil-quantil

Q-Q plot Quantile-Quantile Plot ou gráfico Quantil-Quantil Gráfico Quantil-Quantil 2 Q-Q plot (quantile-quantile plot) é um gráfico usado para comparar duas distribuições de probabilidade, geralmente uma empírica e outra teórica, possibilitando verificar se um conjunto de dados se ajusta a uma distribuição conhecida (teórica). Se as duas distribuições que estão sendo comparadas são semelhantes, os pontos no Q-Q plot estarão aproximadamente alinhados. Os quantis dividem os dados ordenados em q subconjuntos de dados de dimensão essencialmente igual. Quantil da distribuição teórica, Quantil da distribuição empírica. 3 Na prática, o Q-Q plot é uma gráfico bastante utilizado para verificar visualmente se os dados se ajustam a uma distribuição Normal. Avaliar a normalidade da distribuição dos dados é importante já que muitos procedimentos de inferência estatística assumem que estamos amostrando de populações com distribuição Normal (principalmente se estamos trabalhando com amostras pequenas). Gráfico Quantil-Quantil z 0 4 A amostra a seguir foi retirada de uma distribuição aproximadamente Normal? Podemos construir um Q-Q plot para responder a esta pergunta. 3.89 4.75 4.75 5.20 5.78 5.80 6.33 7.21 7.90 Todas as dez áreas tem 0.1 de probabilidade. Significa que temos igual probabilidade de observar um valor dentro de cada grupo. 1º) Dividir a curva da distribuição Normal em “n+1” áreas de igual tamanho; Neste exemplo temos n=9 valores, vamos dividir a distribuição em n+1=10 áreas iguais; Gráfico Quantil-Quantil 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 5 2º) Determinar os valores de z correspondentes às probabilidades (usamos a tabela da distribuição Normal padronizada ou um software estatístico); Gráfico Quantil-Quantil A amostra a seguir foi retirada de uma distribuição aproximadamente Normal? 3.89 4.75 4.75 5.20 5.78 5.80 6.33 7.21 7.90 Quantis da distribuição teórica Z Probabilidade acumulada -1.28 0.1 -0.84 0.2 -0.52 0.3 -0.25 0.4 0 0.5 0.25 0.6 0.52 0.7 0.84 0.8 1.28 0.9 Se estivermos amostrando dados de uma distribuição Normal, esperaríamos que o primeiro valor estivesse a aproximadamente -1,28 desvios padrões da média, o segundo estivesse a -0,84 desvios da média, e assim por diante. z 0 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 -1.28 -0.84 -0.52 -0.25 0.25 0.52 0.84 1.28 Tabela da Distribuição Cumulativa Padrão (z) Tabela da Distribuição Cumulativa Padrão (z) 8 3º) Plotar os valores amostrados contra os quantis da distribuição Normal; 1,28 -0,84 0,84 -0,52 0,52 -0,25 0,25 Gráfico Quantil-Quantil Quantis da distribuição teórica Z Quantis da distribuição empírica X (amostra) -1.28 3.89 -0.84 4.75 -0.52 4.75 -0.25 5.2 0 5.78 0.25 5.8 0.52 6.33 0.84 7.21 1.28 7.9 A amostra a seguir foi retirada de uma distribuição aproximadamente Normal? 3.89 4.75 4.75 5.20 5.78 5.80 6.33 7.21 7.90 9 4º) Traçar uma linha passando pelo 1º Quartil e 3º Quartil. Se os dados forem normalmente distribuídos, os pontos estarão aproximadamente alinhados. 1,28 -0,84 0,84 -0,52 0,52 -0,25 0,25 Gráfico Quantil-Quantil Quantis da distribuição teórica Z Quantis da distribuição empírica X (amostra) -1.28 3.89 -0.84 4.75 -0.52 4.75 -0.25 5.2 0 5.78 0.25 5.8 0.52 6.33 0.84 7.21 1.28 7.9 A amostra a seguir foi retirada de uma distribuição aproximadamente Normal? 3.89 4.75 4.75 5.20 5.78 5.80 6.33 7.21 7.90 (Z0.25 = −0.6744 ; X0.25 = 4.75) (Z0.75 = 0.6744 ; X0.75 = 6.77) 1º Quartil e 3º Quartil da distribuição teórica e empírica: Q1 = 4.75 Q3 = 6.77 Z0.75 = 0.6744 Z0.25 = −0.6744 10 4º) Traçar uma linha passando pelo 1º Quartil e 3º Quartil. Se os dados forem normalmente distribuídos, os pontos estarão aproximadamente alinhados. -0,84 -0,52 0,52 -0,25 0,25 Gráfico Quantil-Quantil Quantis da distribuição teórica Z Quantis da distribuição empírica X (amostra) -1.28 3.89 -0.84 4.75 -0.52 4.75 -0.25 5.2 0 5.78 0.25 5.8 0.52 6.33 0.84 7.21 1.28 7.9 A amostra a seguir foi retirada de uma distribuição aproximadamente Normal? 3.89 4.75 4.75 5.20 5.78 5.80 6.33 7.21 7.90 (Z0.25 = −0.6744 ; X0.25 = 4.75) (Z0.75 = 0.6744 ; X0.75 = 6.77) 1º Quartil e 3º Quartil da distribuição teórica e empírica: Q1 = 4.75 Q3 = 6.77 Z0.75 = 0.6744 Z0.25 = −0.6744 11 -1,28 1,28 -0,84 0,84 -0,52 0,52 -0,25 0,25 Claramente a amostra foi obtida de uma distribuição Uniforme. 0.6 1.1 1.9 2.5 3 3.4 3.9 4.4 5.1 5.9 6.5 7.3 7.6 8.1 8.8 Ajuste a uma distribuição Normal Ajuste a uma distribuição Uniforme Outros exemplo: Gráfico Quantil-Quantil 12 x.norm<-rnorm(n=500,m=10,sd=2) hist(x.norm) qqnorm(x.norm) qqline(x.norm) Dados observados são mais extremos do que esperaríamos numa Normal Distribuição com caudas “pesadas” ou mais altas que a normal. Gráfico Quantil-Quantil 13 Dados observados não são tão extremos como o esperado numa Normal Distribuição com caudas mais “leves” do que a distribuição normal. Dados observados não são tão extremos como o esperado numa Normal Dados observados são mais extremos do que o que esperaríamos numa Normal cauda mais leve cauda mais pesada Gráfico Quantil-Quantil