Tarefa Prática Computacional - Teste de Hipótese - 2024-1

Tarefa Prática Computacional. Testes de Hipótese. Equipe B Tarefa prática computacional sobre os conteúdos práticos dos testes de hipótese. Em anexo é apresentado uma planilha com os dados sobre níveis de transferência de monóxido de carbono em pacientes de um hospital. A equipe deve elaborar um relatório (em formato .pdf) para ser entregue na até a data final. Assuntos no enunciado não discutidos em aula devem ser pesquisados pela equipe (por exemplo, a verificação de normalidade). Como sugestão, a equipe pode solicitar uma consulta com o professor, ou o monitor, com o objetivo de esclarecer as dúvidas que possam aparecer. A equipe deve: 1) Definir e analisar a normalidade de cada variável (entry, week) usando um qqplot. 2) Conduzir um teste de hipótese comparando os níveis de transferência de monóxido de carbono no início (entry) e uma semana depois (week). No relatório deve ser justificada a estatística do teste. 3) Elaborar um texto conclusivo descrevendo os resultados do teste. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% co.transfer Transferência de Monóxido de Carbono Descrição O quadro de dados co.transfer possui 7 linhas e 2 colunas. Sete fumantes com varicela tiveram seus níveis de transferência de monóxido de carbono medidos na chegada ao hospital e novamente após 1 semana. A principal questão é se uma semana de internação alterou o fator de transferência de monóxido de carbono. Este quadro de dados contém as seguintes colunas: Entry Fator de transferência de monóxido de carbono na entrada no hospital. Week Transferência de monóxido de carbono uma semana após a admissão no hospital. Num entry week 1 40 73 2 50 52 3 56 80 4 58 85 5 60 64 6 62 63 7 66 60 Os dados foram obtidos de Hand, DJ, Daly, F., Lunn, AD, McConway, KJ e Ostrowski, E (1994) Um manual de pequenos conjuntos de dados. Chapman e Hall. Referências Davison, AC e Hinkley, DV. (1997) Métodos Bootstrap e sua aplicação. Cambridge University Press. Ellis, ME, Neal, KR. e Webb, A.K. (1987) Fumar é um fator de risco para pneumonia em pacientes com varicela? Jornal Médico Britânico, 294, 1002. MODELAGEM ESTAT´ISTICA EM TESTE DE HIP ´OTESE: Transferˆencia de Mon´oxido de Carbono Trabalho de Disciplina Junho de 2024 N a modelagem apresentada, um T-Test é realizado para duas amostragem cuja variável observacional são as taxas de transferência de monóxido de carbono medidas em clientes quando da entrada em um hospital e uma semana posterior. O teste estatístico aqui é para validar a hipótese de que essa permanência hospitalar tem efeito direto nas evolução temporal da concentração medida dessa variável. 1 Introduc¸ ˜ao Uma variável estatística observável, a taxa de transferência de monóxido de carbono, é obtida durante a recepção de uma amostragem de pacientes que dão entrada em uma unidade hospitalar. Essa amostragem é medida na entrada desse procedimento tão bem como uma semana posterior. Essa amostragem tem como objetivo estudar o efeito dessa permanência sobre a taxa concentração de monóxido de carbono da mesma amostragem. A partir de representações gráficas e do uso de um QQ-Plot se admite uma distribuição de probabilidade normal. Nessa representação, um T-Test das duas amostragem é feita com o objetivo de se analisar essa hipótese. 1.1 Dados Experimentais Os dados experimentais ou observacionais estão resumidos na tabela abaixo: MODELAGEM ESTATÍSTICA EM TESTE DE HIPÓTESE: Transferência de Monóxido de Carbono n entry week 1 40 73 2 50 52 3 56 80 4 58 85 5 60 64 6 62 63 7 66 60 Onde, uma amostra de tamanho n = 7 caracteriza entradas de informações de uma média sobre pacientes que deram entrada em uma determinada semana (entry) com a respectiva taxa de transferência de monóxido de carbono e, uma semana depois (week) tiveram esse mesmo índice novamento medido e tabelado em uma segunda amostragem (colunas 2 e 3) da tabela acima. A pergunta direta que que se faz é se a permanência de uma semana de isolamento no hospital teve influência no índice da taxa, ou, de forma mais generalizada se existe uma correlação entre as taxas observadas na entrada e na saída dessa amostragem. Observe que as duas amostragem de tamanhos iguais acima podem ser modeladas a partir de uma distribuição normal de probabilidades. Essa inferência estatística será discutida nas seções seguintes de forma a se obter uma resposta segundo esse modelo proposto. Dessa forma, podemos interpretar a tabela acima como taxas médias de transferências de monóxido de carbono dadas por: xentry = (56, 0 ± 8, 64) (1) xweek = (68, 1 ± 11, 7) (2) 1.2 Modelagem de uma Distribuic¸ ˜ao Normal de Problabilidades A distribuição normal ou gaussiana de densidade de probabilidades é definida a partir de duas variáveis: sua média (x) e seu desvio padrão (σ). Sua representação algébrica é dada por: N (x; σ) = 1 σ √ 2πe− 1 2( x−µ σ ) 2 (3) 2 Representac¸ ˜oes Gr´aficas Para duas gaussianas com médias (xentry; xweek) e seus respectivos desvio padrão (σentry; σweek) segundo a modelagem da tabela acima, suas distribuições de probabilidades podem ser visualizadas na figura 1 abaixo: De forma geral e para uma distribuição normal e padronizada temos a seguinte representação gráfica 2 : página 2 of 8 MODELAGEM ESTATÍSTICA EM TESTE DE HIPÓTESE: Transferência de Monóxido de Carbono µentry µweek x0 N(µentry, σentry) N(µweek, σweek) α x Figura 1: Representação gráfica da superposição de duas distribuições gaussianas de probablilidaes e em escala arbitárias. 3 Metodologia Para uma melhor caracterização da modelagem adotada, representamos graficamente e na forma de um histograma, a simulação numérica de uma gaussiana com os seguintes parâmetros: (µ; σ) = (56, 0; 8, 0) O que se observa é que os dados simulados tem via uma regressão numérica a partir do método dos mínimos quadrados dado por média e desvio padrão estimados por (µ; σ) = (56, 5; 7, 8). Foram gerados 500 pontos para essa amostragem e um histograma de 50 classes. 3.1 QQPlot Para a distribuição de probabilidade modelada acima, uma outra representação e de direta aplicação aqui no modelo estudado é sua representação gráfica de um QQPlot. Bastante discutido na literatura vamos abordar aqui uma característica geométrica dessa representação gráfica. Na seção anterior a amostragem gerada via simulação numérica de uma gaussiana tem sua representação geométrica dada pelos parâmetros média e desvio padrão com a forma já característica dessa distribuição de probabiliddae. Já na representação gráfica como ilustrada na figura 4, os quartis de cada classe do histograma é representado para a distribuição simulada versus a teórica. Nees caso, uma página 3 of 8 MODELAGEM ESTATÍSTICA EM TESTE DE HIPÓTESE: Transferência de Monóxido de Carbono µ − 3σ µ − 2σ µ − σ µ µ + σ µ + 2σ µ + 3σ 68.3% 95.5% 99.7% x Figura 2: Representação gráfica da densidade de probabilidades normal. distribuição linear é esperada para esse tipo de representação gráfica. Essa tendência linear é vista a partir da regressão de dados para os pontos gerados. Essa característica geométrica é estudada aqui para os dados experimentais como dado na tabela acima e adotaremos os valores numéricos simulados como representação teórica na nossa modelagem. 4 Teste de Hip´oteses A hipótese em questão aqui e que aplicaremos a modelagem estatística descrita acima é baseada no questionamento já feito acima: H0: Hipótese de que não existe diferença nas taxa de transferência de monóxido de carbono após uma semana de entrada no hospital; H1: Hipótese de que a média das taxas de transferências de carbono quando da entrada no hospital é menor do que as taxas medidas uma semana antes; Ou, de outra maneira: H0: µentry = µweek H1: µentry < µweek página 4 of 8 MODELAGEM ESTATÍSTICA EM TESTE DE HIPÓTESE: Transferência de Monóxido de Carbono Figura 3: A distribuição de probabilidade gaussiana normalizada e representada por um histograma. A linha contínua é um ajuste dos dados via regressão numérica dos dados simulados. 4.1 Estat´ısticas Amostrais Para testarmos a hipótese nula para a diferença das médias usaremos uma amostra igual a n = 7, veja a tabela e os seguintes dados amostrais. Observe que não há dados populacionais. Para este caso faremos um Teste-T (t-student). Dados amostrais: 1. µweek = 56, 0 2. µentry = 68, 1 3. σentry = 8, 6 4. σweek = 11, 7 Nesse caso o que precisamos observar é a estatística da diferença entre as médias: µentry − µweek = −12, 1 O Teste T-Studente é dado pela expressão abaixo: página 5 of 8 MODELAGEM ESTATISTICA EM TESTE DE HIPOTESE: Transferéncia de Mondxido de Carbono 80 & 70 © g = 60 © © a w © 50 fia) = ao 40 30 a —3 —2 -1 0 1 2 3 Quartis simulados Figura 4: Representacdo grdfica dos quartis da amostra simulada versus os quartis da distribuigdo tedrica. _ _ dist _ ,,dist T- (Mentry Lweek) (ues y ist) (4) S PX V2 Na expressao acima Sp é denominado o Estimador pooler. No caso aqui adotado pois nao sabemos das variancias populacionais. Combinemos as duas variancias amostrais em uma unica com os seguintes pesos: 2 n-l ys n-l1 4 SP = 57 9 Pentry + 59 week (S) Para amostras de mesmo tamanho. 6 6 Sh =—= x 8,6°4+ 11,7 6 Dessa forma, Sp = 10,3, n = 7 e para um teste T-Student (mesma média): Tip _ (Mentry — Lweek) (7) S PX V2 pagina 6 of 8 MODELAGEM ESTATISTICA EM TESTE DE HIPOTESE: Transferéncia de Monéxido de Carbono (56, 0 — 68, 1) Ti = ————_=. = 2, 20 (8) 10,3 x V3 Para um T-Test com parametros estatisticos dados acima o que interessa aqui na validacao da modelagem estatistica é 0 valor do paradmetro p — valor. Esse parametro é usado em estatistica para validaruma hipotese a partir dos dados utilizados. No nosso caso, os valores tabelas entre duas amostragem. O paradmetro p — valor estima a probabilidade de obtermos os valores observados assumindo que a hipotese nula é verdadeira. Uma propriedade do pardmetro p — valor é que quanto menor ele é maior é a significancia estatistica da diferenca observada. 4.2 Analise de Dados Usando métodos numéricos obtivemos para esse paramtro os seguintes valores: 4.3 Para aamostragem tabelada (p — valor )amostra = 0.05 (9) 4.4 Para uma modelagem de duas amostragem Nesse caso, voltando a secao anterior, duas amostragem de duas gaussianas com as respectivas médias e desvios padroes foram simulados. Para essas duas amostragem aleatorias o valor desse parametro dado é: (p — valor) simulado = 1,4 x 107° (10) Observe que um p — valor abaixo de 0,05 é estatisticamente significante. Para as duas amostragem estudadas sob as classificagoes entry e week, 0 p— valor esta no limite dessa classificacgao. Aumentando a amostragem, no caso tabelado n = 7, e para os dados simulados, n = 50 ja temos uma diferenca consideravel para o mesmo parametro. Na mesma simulacao numérica, para n = 7, ou seja, mesma amostragem, p — valor = 0.134 5 Conclusoes Um T-Test das duas amostras da taxa de transferéncia de monoxido de carbono forneceu resultados para uma inferéncia estatistica dessa variavel. Um limite superior do parametro p — valor = 0.05 foi o resultado abtido na modelagem estatistica dessa amostragem. pagina 7 of 8 MODELAGEM ESTATÍSTICA EM TESTE DE HIPÓTESE: Transferência de Monóxido de Carbono Referˆencias [1] https://mattchoward.com/two-sample-t-test-in-python/ [2] https://nlpfy.com/how-to-conduct-one-sample-and-two-sample-t-test-in-python/ página 8 of 8