P3 Online-2021 2

Segundo o método dos coeficientes inderterminados, uma solução particular para a EDO y'' - 2y' + 2y = 2 + xe^x \, \sin \, x é do tipo Escolha uma opção: \circle a. y_p (x) = A_0 + A_1 x + (B_1 x + B_2 x^2) e^x \cos \, x \circle b. y_p (x) = A_0 + (B_0 + B_1 x + B_2 x^2) e^x \cos \, x + (C_0 + C_1 x + C_2 x^2) e^x \sin \, x \circle c. y_p (x) = A_0 + (B_1 x + B_2 x^2) e^x \cos \, x + (C_0 x + C_1 x^2) e^x \sin \, x \circle d. y_p (x) = A_0 + A_1 x + B_0 e^x \cos \, x + C_0 x e^x \sin \, x \circle e. y_p (x) = A_0 + B_0 xe^x \cos \, x \circle f. y_p (x) = A_0 + (B_0 + B_1 x) e^x \cos \, x + (C_0 + C_1 x) e^x \sin \, x A solução com derivada contínua do PVI \begin{cases} y'' + y = \begin{cases} x + 2 \cos \ x, \quad x \in [0, \pi) \\ x, \quad x \geq \pi \end{cases} \\ y(0)=0, \ y'(0)=0 \end{cases} é Escolha uma opção: \circle a. y(x) = \begin{cases} x - x \cos x, \quad x \in [0, \pi) \\ -\sin x - \sin \ x, \quad x \geq \pi \end{cases} \circle b. y(x) = \begin{cases} x - x \cos x, \quad x \in [0, \pi) \\ -2 \sin x + (1 - 2\pi) \cos x + x, \quad x \geq \pi \end{cases} \circle c. y(x) = \begin{cases} \left( x - \frac{1}{2} \right) \sin x + \left( x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{4} \right) \cos x, \quad x \in [0, \pi) \\ \frac{-1}{4} \sin x + \left( 1 + \frac{1}{\pi} - \frac{x^2}{4} \right) \cos x + x, \quad x \geq \pi \end{cases} \circle d. y(x) = \begin{cases} x \sin x - \sin x + x, \quad x \in [0, \pi) \\ (\pi - 1) \sin x + x, \quad x \geq \pi \end{cases} \circle e. y(x) = \begin{cases} \left( \frac{x^2}{2} - \frac{1}{4} \right) \sin x + \frac{x}{4} \cos x, \quad x \in [0, \pi) \\ \left( \frac{1}{4} \right) \sin x + \left( 1 + \frac{1}{4} \right) \cos x + x, \quad x \geq \pi \end{cases} \circle f. y(x) = \begin{cases} x \sin x - \sin x + x, \quad x \in [0, \pi) \\ (\pi - 2) \sin x + (1 - \pi) \cos x + x, \quad x \geq \pi \end{cases} A transformada de Laplace de \begin{cases} \sinh^2 t, \quad t \in [0, 1) \\ 2t, \quad t \in [1, 2) \\ t - 2, \quad t \geq 2 \end{cases} é Escolha uma opção: \circle a. L(f)(s) = \frac{(5s+1)e^{-s}}{s^3} - \frac{e^{-s}}{4(s-1)^2} - \frac{e^{-s}}{4(s-2)} + \frac{1}{4} - \frac{e^{-2s}}{3} + \frac{(5s+14)e^{-2s}}{2s} \circle b. L(f)(s) = \frac{(3s+1)e^{-s}}{s^3} - \frac{e^{-s}}{4(s-1)^2} - \frac{e^{-s}}{4(s-2)} + \frac{1}{4} - \frac{e^{-2s}}{3} + \frac{(5s+14)e^{-2s}}{2s} \circle c. L(f)(s) = \frac{(4s+1)e^{-s}}{s^2} - \frac{e^{-s}}{4(s-1)^2} - \frac{e^{-s}}{4(s-2)} + \frac{1}{4} - \frac{e^{-2s}}{3} + \frac{(5s+14)e^{-2s}}{2s} \circle d. L(f)(s) = \frac{(5s+1)e^{-s}}{s^2} - \frac{e^{-s}}{4(s-1)^2} - \frac{e^{-s}}{4(s-2)} + \frac{1}{4} - \frac{e^{-2s}}{3} + \frac{(5s-2)e^{-2s}}{2s} \circle e. L(f)(s) = \frac{(5s+1)e^{-s}}{s^2} - \frac{e^{-s}}{4(s-1)^2} - \frac{e^{-s}}{4(s-2)} + \frac{1}{4} - \frac{e^{-2s}}{3} + \frac{(5s+14)e^{-2s}}{2s} \circle f. L(f)(s) = \frac{(3s+1)e^{-s}}{s^2} - \frac{e^{-s}}{4(s-1)^2} - \frac{e^{-s}}{4(s-2)} + \frac{1}{4} - \frac{e^{-2s}}{3} + \frac{(4s+12)e^{-2s}}{2s} \circle g. L(f)(s) = \frac{(4s+5)e^{-s}}{s^2} - \frac{e^{-s}}{4(s-1)^2} - \frac{e^{-s}}{4(s-2)} + \frac{1}{4} - \frac{e^{-2s}}{3} + \frac{(5s+14)e^{-2s}}{2s} \circle h. L(f)(s) = \frac{(4s+1)e^{-s}}{s^2} - \frac{e^{-s}}{4(s-1)^2} - \frac{e^{-s}}{4(s-2)} + \frac{1}{4} - \frac{e^{-2s}}{3} + \frac{(5s+14)e^{-2s}}{2s} A transformada inversa de Laplace de F(s) = \arctanh \left( \frac{1}{4(s-1)} \right) é Escolha uma opção: \circle a. f(t) = \frac{t}{e^3} \left[ \cosh \left( \frac{\sqrt{8}}{t} \right) - 1 \right] \circle b. f(t) = \frac{2 e^{-t} \sinh t \sin t}{t} \circle c. f(t) = \frac{2 e^{-t} \sinh t \sin t}{t} \circle d. f(t) = \frac{e^{2t} \cosh (\sqrt{2} t) - e^{t} \cos (t)}{t} \circle e. f(t) = \frac{e^{t} [\cosh (\sqrt{5} t) - \cosh (\sqrt{3} t)]}{t} \circle f. f(t) = \frac{e^{t} [\cosh (\sqrt{5} t) - \cos (\sqrt{3} t)]}{t} \circle g. f(t) = \frac{e^{2t} \cosh (\sqrt{3} t) - \cos t}{t} Se β^2 − 4γ < 0 e ω = \frac{\sqrt{4γ - β^2}}{2}, a solução do PVI: \begin{cases} y'' + βy' + γy = e^{-\frac{π}{4}} sin(2ωt) \\ y(0) = 0 \quad y'(0) = 0 \end{cases} é Escolha uma opção: a. y(t) = \frac{β}{4ω^2} [(4ω + t)\sin(ωt) - ωt^2 cos(ωt)] b. y(t) = \frac{β}{2ω^2} [\sin(ωt) - ωt \cos(ωt)] c. y(t) = \frac{β}{3ω^2} \left[ 1 + \cos(ωt) - 2 \cos^2(ωt) \right] d. y(t) = \frac{βt}{ω^2} [1 - \cos(ωt)] e. y(t) = \frac{2tc}{3ω^2} \sin(ωt)[1 - \cos(ωt)] f. y(t) = \frac{β}{2ω^2}t \sin(ωt) g. y(t) = \frac{β}{3ω^2} \sin(ωt)[2 + 3ω - 2 \cos(ωt)]