Anotações Técnicas e Integração Trigonométrica-2023 1

Tópicos 1 IH trigonometricas potências e produtos de funções trigonométricas senm x cosn x dx tanm x secn x dx e csc x sen x dx cosn x cos x dx 2 Subst trigonométrica fx dx onde fx envolve a2x2 a2x2 x2a2 subst adequadas Caso 1 Técnicas de integração Ex 1 sen5 x cos x dx Ex 2 sec2 x dx tan x C Ex 3 tan x sec x dx udu 16 tan6 x C Ex 4 02 4x2 dx 2 cos θ dθ primeira área do círculo de raio 2 0 θ0θπ π Ex 5 fx 1x24 1x2 1x2 Integrais trigonometricas da forma senm x cosn x dx mn inteiros 0 Identidades sen2 x cos2 x 1 Portando cos2 x dx 12 12 cos2xdx x2 14 sen2x C sen2 x dx 12 12 cos2xdx x2 14 sen2x C Ex 1 sen3 x dx 1cos2 xsen x dx 1cos2 x u21du 13u3 u C Ex 2 sen2 x cos3 x dx sen2 xcos4 xdx 17 sen5 x 25 sen3 x 13 sen x C Ex3 mn4 Ex9 Ex5 b Se a potência da tangente for ímpar m 2k 1 guarde um fator de sec x tg x e use tg2 x sec2 x 1 para expressar os fatores restantes em termos de sec x tg2k1 x secn x dx tg2 xk secn1 x sec x dx sec2 x 1k secn1 x sec x dx A seguir substitua u sec x Ex 2 tan3 x sec3 x dx tan2 x sec2 x tan x sec2 x 1 sec2 x 1 sec2 x tan sec x dx u2 1 u2 du 15 u5 13 u3 C 15 sec5 x 13 sec3 x C Se os casos anteriores não são satisfatórios potência sec x é ímpar potência tan x é par então aplicamos integrais por partes Ex 7 I sec3 x dx u dv sec2 x sec x dx u sec x du sec x tan x dx u dv sec2 x dx I sec x tan x sec3 x sec x dx I sec3 x dx sec x tan x sec3 x sec x dx 12 sec x tan x 12 ln sec x tan x C Obs 1 Conseguimos fórmulas de recorrência clássicas utilizando o processo de int por n int 0 Por ex senn x dx 1n senn1 x cos x n1n senn2 x dx e outras tann x dx tann1 x tann2 x dx Obs 2 cotann x cosecn x dx segue um processo análogo Obs 3 cosmx sennx dx podem ser calculados pelas fórmulas a seguir Para calcular as integrais a sen mx cos nx dx b sen mx sen nx dx ou c cos mx cos nx dx use a identidade correspondente a sen A cos B 12 senA B senA B b sen A sen B 12 cosA B cosA B c cos A cos B 12 cosA B cosA B Ex sen 7x cos 3x dx 12 sen4x sen10x dx 18 cos4x 120 cos10x C