Resumo Integrais Trigonométricas-2023 1

Integrais trigonométricas Para resumirmos listamos as regras que devem ser seguidas ao calcular integrais da forma senm x cosn x dx em que m 0 e n 0 são inteiros ESTRATÉGIA PARA CALCULAR senm x cosn x dx a Se a potência do cosseno é ímpar n 2k 1 guarde um fator cosseno e use cos2 x 1 sen2 x para expressar os fatores restantes em termos de seno senm x cos2k1 x dx senm x 1 sen2 xk cos x dx senm x 1 sen2 xk cos x dx A seguir substitua u sen x b Se a potência do seno é ímpar m 2k 1 guarde um fator seno e use sen2 x 1 cos2 x para expressar os fatores restantes em termos de cosseno sen2k1 x cosn x dx sen2 xk cosn x sen x dx 1 cos2 xk cosn x sen x dx A seguir substitua u cos x Observe que ambas as potências de seno e cosseno forem ímpares podemos usar a ou b c Se as potências de seno e cosseno forem pares utilizamos as identidades dos ângulosmetade sen2 x 12 1 cos 2x cos2 x 12 1 cos 2x Algumas vezes é útil usar a identidade sen x cos x 12 sen 2x Podemos empregar uma estratégia semelhante para calcular integrais da forma tgm x secn x dx Como ddx tg x sec2 x podemos separar um fator sec2 x e converter a potência par da secante restante em uma expressão envolvendo a tangente utilizando a identidade sec2 x 1 tg2 x Ou como ddx sec x sec x tg x podemos separar um fator sec x e x converter a potência par da tangente restante para a secante ESTRATÉGIA PARA CALCULAR tgm x secn x dx a Se a potência da secante é par n 2k k 2 guarde um fator de sec2 x e use sec2 x 1 tg2 x para expressar os fatores restantes em termos de tg x tgm x sec2k x dx tgm x sec2 xk1 sec2 x dx tgm x 1 tg2 xk1 sec2 x dx A seguir substitua u tg x b Se a potência da tangente for ímpar m 2k 1 guarde um fator de sec x e use tg2 x sec2 x 1 para expressar os fatores restantes em termos de sec x tg2k1 x secn x dx tg2 xk secn x tg x dx sec2 x 1k secn x tg x dx A seguir substitua u tg x Para outros casos as regras não são tão simples Talvez seja necessário usar identidades integração por partes e ocasionalmente um pouco de engenhosidade Algumas vezes precisaremos conseguir integrar tg x usando a fórmula estabelecida em 555 tg x dx ln sec x C Também precisaremos da integral indefinida de secante sec x dx ln sec x tg x C Se uma potência para tangente aparecer com uma potência ímpar de secante é útil expressar o integrando completamente em termos de sec x As potências de sec x podem exigir integração por partes conforme mostrado no seguinte exemplo EXEMPLO 8 Encontre sec3 x dx SOLUÇÃO Aqui integramos por partes com u sec x du sec x tg x dv sec3 x dx Então sec3 x dx sec x tg x sec x tg2 x dx sec x tg x sec x sec2 x 1 dx sec x tg x sec3 x dx sec x dx Usando a Fórmula 1 e isolando a integral pedida temos sec3 x dx 12 sec x tg x ln sec x tg x C 2 Para calcular as integrais a sen mx cos nx dx b sen mx sen nx dx ou c cos mx cos nx dx use a identidade correspondente a sen A cos B 12 senA B senA B b sen A sen B 12 cosA B cosA B c cos A cos B 12 cosA B cosA B EXEMPLO 9 Calcule sen 4x cos 5x dx SOLUÇÃO Essa integral poderia ser calculada utilizando integração por partes mas é mais fácil usar a identidade na Equação 2a como a seguir sen 4x cos 5x dx 12 senx sen 9x C 12 cos x 15 cos 9x C