Lista 4 1 - a Integral de Riemann e o Primeiro Teorema Fundamental do Cálculo com Resposta-2022 1

Universidade Federal de Santa Catarina Centro de Ciˆencias Fısicas e Matematicas Departamento de Matematica Calculo 1 MTM3101 e MTM3110 Lista 41 A integral de Riemann e o Primeiro Teorema Fundamental do Calculo Ultima atualizacao 22 de junho de 2022 Exercıcios Principais P1 Seja A a medida da area da regiao limitada inferiormente pelo eixo x superiormente pela funcao fx x2 1 a esquerda pela reta x 1 e a direita pela reta x 3 a Faca um grafico representando a situacao b Como A e descrita em termos de integral c Estime o valor de A dividindo o intervalo 1 3 em duas partes iguais e usando dois retˆangulos abaixo do grafico de f Faca um grafico representando a situacao d Estime o valor de A dividindo o intervalo 1 3 em duas partes iguais e usando dois retˆangulos acima do grafico de f Faca um grafico representando a situacao e Estime o valor de A dividindo o intervalo 1 3 em quatro partes iguais e usando quatro retˆan gulos abaixo do grafico de f Faca um grafico representando a situacao f Estime o valor de A dividindo o intervalo 1 3 em quatro partes iguais e usando quatro retˆan gulos acima do grafico de f Faca um grafico representando a situacao g Coloque em ordem crescente as respostas dos itens b a f P2 Seja A a medida da area da regiao limitada inferiormente pelo eixo x superiormente pela funcao fx 2x a esquerda pela reta x 0 e a direita pela reta x 2 a Faca um grafico representando a situacao b Estime inferiormente o valor de A usando um retˆangulo de base sobre o intervalo 0 2 e altura igual ao menor valor de f no intervalo 0 2 Faca um grafico representando a situacao c Estime superiormente o valor de A usando um retˆangulo de base sobre o intervalo 0 2 e altura igual ao maior valor de f no intervalo 0 2 Faca um grafico representando a situacao d Descreva a relacao de ordem entre os valores obtidos acima e a integral que fornece a area A e Se esse exercıcio fosse feito em um intervalo a b com uma funcao f qualquer qual seria a resposta obtida no item c P3 Considere a funcao f cujo grafico esta representado abaixo Em cada regiao marcada esta indicada a medida da area 1 f y a b C a v b c d e a Escreva o resultado das integrais fxdz fxdz fxdx e fxdx em termos a b c d das medidas das areas c d e b Escreva o resultado das integrais fxdz fxdx e fxdx em termos das medidas das areas c Escreva o resultado de A Ag Ay Ag Ag e Ay Ag Az Ay em termos de integrais P4 Considere a funcgao fx 1 Utilize o grafico de f para calcular as integrais abaixo 1 0 3 0 f fede ff fede fear fate 2 2 0 3 P5 Diga se os itens abaixo sao verdadeiros ou falsos Tente mesmo que informalmente justificar suas respostas a Toda fungao é integravel b Toda fungao limitada é integravel c Se f é continua em a b entao f é integravel em a d d Se f é continua por partes em ab entao f é integravel em a e Como o resultado de uma integral é uma area entao o resultado de uma integral sempre é maior ou igual a 0 P6 Seja f uma funcao continua Mostre que yx yo ftdt é uma solugdéo para a equacao diferencial yx fx com condigao inicial ya yo P7 Utilize 0 exercicio acima para concluir que se um objeto possui fungao velocidade vt com v continua e posicéo inicial s0 so entao sua fungéo posigao st é dada por t st 89 vudu 0 2 P8 Em cada item utilize o Primeiro Teorema Fundamental do Calculo propriedades da integral se necessario e as regras de derivagao se necessdrio para calcular a derivada da fungao f x 0 a fa f Vv14dt b Fa f V1sect dt 0 x e 2x c fx Int dt d fx 1 dt 1 x P9 A pressao hidrostatica Px medida em Pascal exercida contra a lateral de uma piscina a uma profundidade x medida em metros é dada por 3lnz Px t 13e dt 0 Determine a taxa de variacao da pressao em relagao a profundidade quando x 1m Exercicios Complementares C1 Considere a funcgao f cujo grafico esta representado abaixo Calcule as integrais pedidas y x 1 f 3 2 2 2 f far ff tear fear rte 4 4 2 4 4 3 2 f roar f foae ff faa 3 1 2 C2 Utilize o significado geométrico da integral para concluir que b a Cdx Cba em que C é uma constante c b b b fadx f fxdz fadz c fxdx 0 3 d Se f é uma funcao impar e integravel entao fxdx 0 e Se f é uma fungao par e integravel entao fxdz 2 fx a 0 2alna C3 Seja h uma funcao que satisfaz hx e dt e hx ca dx Determine abcd R 2Inz sabendo que a é um ntimero inteiro C4 Considere a fungao f cujo grafico esta no exercicio Cl e seja gx f tdt 0 a Calcule 90 91 92 e g2 b Calcule g0 g1 92 e g2 c O que vocé pode dizer sobre 0 crescimento ou decrescimento de g nos intervalos 0 1 e 1 2 C5 Em cada item utilize o Primeiro Teorema Fundamental do Calculo propriedades da integral se necessario e as regras de derivagao se necessdrio para calcular a derivada da fungao f x 2 a fx In1 dt b fx t sen t dt 1 x x x c fx dt a fx ef dt 0 x 4 Universidade Federal de Santa Catarina Ze oY Centro de Ciéncias Fisicas e Matematicas MTM UFSC Departamento de Matematica Calculo 1 MTM3101 e MTM3110 Gabarito da Lista 41 A integral de Riemann e o Primeiro Teorema Fundamental do Calculo Ultima atualizacgao 22 de junho de 2022 Pl a y f fA x 1 3 b A 2 1 de 1 c A Area A é maior que 12157 y 1 o1 4 t 1 Xx 1 d A Area A é menor que 15110 15 1 y f co 1 4 x 1 e A area A é maior que 052405 325 05505 725 875 y ria terete Xx 1 f A drea A é menor que 0532505505 725 0510 1275 y I rind x 1 3 g 7875A x 1 dx 1275 15 Nas préximas listas veremos que o valor exato de 1 32 Aé 3 P2 a 2 y A f 1 2 1 b A area A é maior que 21 2 y Loreannne f 1 2 1 c A drea A é menor que 24 8 y f 1 2 1 3 d 2A 2 dx 8 Nas prdéximas listas veremos que o valor exato de A é nD 0 n e Sejam me M tais quem fx M para todo z a s6 é possivel encontrar me M se f for limitada em a A drea do retangulo inferior é mb a e do superior é Mb a Logo o resultado do item c é b mba fadz Mba Note que como a fungao pode ser constante devemos usar menor ou igual em uma situacao 3 geral Note também que no exemplo visto aqui usamos f0 e f2 como valores inferior e superior para f mas nem sempre o menor e maior valores estao nos extremos do intervalo P3 b c d e a fxdx Aj fxdx Ag fxdx A3 e fadx Ag a b c d c d e b fxdx A Ag fxdx A A As e fxdx A A As Ay b c c A Ag fayde f fxdz b iy c d A Ap Az flode f fadx fadx e a b c b c d e A Ap A3 Ag fxdx f fxdx fadx f fxdz a b c d P4 1 15 15 b 0 d a 5 b a 5 P5 a F b F c V d V e F P6 Observe que substituindo x por a na expressao para yx obtemos ya yo ftdt yo 0 que mostra que a condicaéo inicial é satisfeita Além disso pelo Primeiro Teorema Fundamental do Calculo ya fx mostrando que y também satisfaz a equacao diferencial Cuidado Mostramos que yx é uma solugao para o problema yx fa ya Yo mas como sabemos se nao ha outras No préximo topico da disciplina o de Primitivas vocé vera resultados que nos garantem que yz é de fato a tinica solugao para este problema P7 Uma observagao inicial trocamos a varidvel de integracgao na expressao de st por wu para que ela nao seja confundida com a varidvel t da funcgdo s pois as duas nao estao relacionadas Como querfamos que a varidvel fosse a letra t para indicar o tempo demos um novo nome para a varidvel de integracao A varidvel de integracao pode ter o nome que vocé preferir pois ela nao interfere no valor da integral Sabemos que a funcéo velocidade é a derivada da fungao posicao isto é st vt Também temos uma condigao inicial s0 sg Este problema é 0 mesmo do exercicio acima com t no lugar de z vt no lugar de fa st no lugar de yz 0 no lugar de a so no lugar de yo e u no lugar da varidvel de integracao t Assim substituindo os valores e lembrando que a formula do exercicio acima nos da a tinica solucao do problema st ut e s0 59 obtemos t st So vudu 0 P8 a fa V142 b fa V1seca c fx xe d fx 22x 1 1 7x 1 4 P9 P1 39 Pam C1 a b 0 c 4 d 4 e 0 f 6 g 0 C2 a b c d e C3 a3b3c6ed 2 C4 0 fa o 9 f toa 5 92 fou 0 92 fdt 4 b 0 fO1 gO fO0 g2f21 g2 f2 3 c g é crescente em 0 1 e decrescente em 1 2 C5 a fx In14 2 b fx a sen x c fx 22 d fx 2Qaxe e 5