Lista 2 - 2023-2

192 CAPITULO OTO 14. Quando se diz que um ponto sobre o equador da Terra pos- sui uma velocidade angular de 2π rad/dia, que sistema de referência se está usando? 15. Levando em conta a rotação e a revolução da Terra, uma árvore move-se mais rápido durante o dia ou durante a noi- te? Em relação a que sistema de referência a sua resposta é dada? (A rotação e a revolução da Terra possuem o mesmo sentido.) 16. Uma roda está girando em torno do seu eixo. Considere um ponto na sua borda. Quando a roda gira com velocidade angu- lar constante, o ponto possui uma aceleração radial? Uma ace- leração tangencial? Quando a roda gira com aceleração angu- lar constante, o ponto possui uma aceleração radial? As inten- sidades destas acelerações variam com o tempo? EXERCÍCIOS 17. Suponha que você foi incumbido de determinar a distância percorrida por uma agulha durante a execução de um disco fonográfico de vinil. De que informações você precisa? Discuta do ponto de vista de um sistema de referência (a) fixo na sala, (b) fixo sobre o disco girando e (c) fixo no bra- ço do toca-discos. 18. Qual é a relação entre as velocidades angulares de um par de engrenagens acopladas de raios diferentes? 8.1 Movimento Rotacional trajetória até o batedor? Para simplificar, suponha que a trajetória de 60 ft é uma linha reta. 1. Um corpo rígido existe em um espaço de n dimensões. Quan- tas coordenadas são necessárias para especificar a posição e a orientação deste corpo no espaço? 2. Um mergulhador faz 2,5 revoluções durante o seu mergu- lho de uma plataforma de 10 m acima do nível da água. Assuma uma velocidade vertical inicial nula e calcule a velocidade angular média para este mergulho. 8.2. As Variáveis Rotacionais Mostre que 1 rev/min = 0,105 rad/s. 3. O ângulo que o volante de um gerador descreve durante um intervalo de tempo t é dado por φ = at + bt² — ct³, 9. Uma roda possui oito raios de 30 cm de comprimento. Ela é montada em um eixo fixo e gira a 2,5 rev/s. Você deseja atirar uma flecha de 24 cm, paralela ao eixo, através da roda sem tocar em nenhum dos raios. Suponha que a flecha e os raios são muito finos; ver Fig. 8.15. (a) Qual é a velocida- de mínima que a flecha deve ter? (b) Faz alguma diferençaa posição de onde se faz a mira, estando esta compreendida entre o eixo e a borda da roda? Se fizer, qual é a melhor localização? 193 CINEMÁTICA ROTACIONAL onde a, b e c são constantes. Qual é a expressão para a sua (a) velocidade angular e (b) aceleração angular? 10. Um planeta P move-se em torno do Sol em uma órbita cir cular, com o Sol no seu centro, que é coplanar e concêntrica à órbita circular da Terra T em torno do Sol. P e T giram no mesmo sentido. Os tempos necessários para as revoluções de P e T em torno do Sol são TP e TT. Considerando que TST o tempo necessário para P realizar uma revolução em torno do Sol, relativamente à Terra, mostre que 1/TS = 1/TT — 1/TP. Assuma que TP > TT. 4.0 nosso Sol está a 2,3 X 10⁴ anos-luz do centro da nossa galáxia, a Via Láctea, e está se movendo em um círculo em torno do seu centro a velocidade de 250 km/s. (a) Quanto tempo o Sol leva para executar uma revolução em torno do centro da galáxia? (b) Quantas revoluções o Sol completou desde que foi formado, há aproximadamente 4,5 X 10⁹ anos? 11. Repita o problema anterior para encontrar uma expressão para Ts quando TP < TT. 5. Uma roda gira com uma aceleração angular a, dada por α = 4a²t — 3bt², onde t é o tempo e a e b são constantes. Se a roda possui uma velocidade angular inicial ω₀, escreva as equações para (a) a velocidade angular e (b) o ângulo descrito como fun- ção do tempo. 8.3 Grandezas Rotacionais como Vetores 12. Um toca-discos que gira a 78 rev/min desacelera e pára 32 s após o motor ser desligado. (a) Encontre a sua aceleração angular (constante) em rev/min². (b) Quantas revoluções ele faz durante este tempo? 6. Qual é a velocidade angular (a) do ponteiro dos segundos, (b) do ponteiro dos minutos e (c) do ponteiro das horas de um relógio? 13.4 A velocidade angular do motor de um automóvel é aumen- tada uniformemente de 1170 rev/min para 2880 rev/min em 12,6 s. (a) Encontre a aceleração angular em rev/min². (b) Quantas revoluções faz o motor durante esse tempo? 7. Um bom arremessador de beisebol pode arremessar uma bola na direção do batedor a 85 m/h com uma rotação de 1800 rev/min. Quantas revoluções da bola de beisebol faz na sua 14. Como parte de uma inspeção de manutenção, o compressor do motor de um jato é colocado para girar de acordo com o gráfico mostrado na Fig. 8.16. Quantas revoluções o com- pressor faz durante o teste? Fig. 8.16 Exercício 14. 8. Uma determinada roda faz 90 rev em 15 s, resultando em uma velocidade angular de 10 rev/s no final deste período. (a) Assumindo uma aceleração angular constante, qual era a velocidade angular da roda no início do intervalo de 15 s? (b) Quanto tempo decorre entre o tempo em que a roda estava em repouso e o início do intervalo de 15 s? mesmo tempo que ela completa uma volta. Velocidade angular (rev/min) 15. O volante de um motor está rodando a 25,2 rad/s. Quando o motor é desligado, o volante desacelera a uma taxa constante e atinge o repouso após 19,7 s. Calcule (a) a aceleração angu- lar (em rad/s²) do volante, (b) o ângulo (em rad) descrito pelo volante até atingir o repouso e (c) o número de revolu- ções feita pelo volante até atingir o repouso. 0 1 2 3 4 5 Tempo (min) 9. Uma bobina de 8,14 cm de diâmetro possui uma corda lon- ga de 5,63 m enrolada sobre a sua borda. Iniciando do 16. Enquanto você está esperando para embarcar em um heli- cóptero, você nota que o movimento do rotor varia de 315 rev/min para 225 rev/min em 1,00 min. (a) Encontre a ace- leração angular média durante o intervalo. (b) Supondo que esta aceleração permanece constante, calcule quanto tempo levará após a sua segunda observação? 10. Qual é a velocidade angular de um carro que está fazendo uma curva circular de 110 m de raio a 52,4 km/h? 17. Uma bola de tênis e uma roda de 16 polegadas estão em repouso e colocadas em um mesmo eixo horizontal a uma distância de 315 cm uma da outra, em um trilho linear. Ambas são colocadas em movimento simultaneamente. Após 10,0 s, a bola de tênis e a roda estão movendo-se a uma velocidade angular de 5,00 rad/s. (a) Quanto é a aceleração angular da bola de tênis? (b) Quanta energia está armazenada no sistema bola de tênis-roda? 18. Um automóvel que viaja 97 km/h possui rodas de 76 cm de diâmetro. (a) Encontre a velocidade angular das rodas em tor- no do eixo. (b) O carro é freado uniformemente e pára após 30 voltas das rodas. Calcule a aceleração angular. (c) Qual é a distância percorrida durante este período de frenagem? 194 CAPITULO OTO PROBLEMAS 19. Um volante completa 42,3 rev à medida que desacelera de uma velocidade angular de 1,44 rad/s até parar completa- mente. (a) Assumindo uma aceleração constante, qual é o tempo necessário para atingir o repouso? (b) Qual é acelera- ção angular? (c) Quanto tempo é necessário para comple- tar a primeira metade das 42,3 rev? 8.6 Forma Vetorial das Relações entre Variáveis Lineares e Angulares 20. Iniciando do repouso em t=0, uma roda experimenta uma aceleração angular constante. Quando t=2,33 s, a veloci- dade angular da roda é 4,96 rad/s. A aceleração continua até t=23,0 s, quando cessa repentinamente. De que ângulo a roda gira no intervalo de t=0 a t=46,0 s? 21. Qual é a velocidade angular de um ponto sobre a superfície da Terra com uma latitude de 40° N? (b) Qual é a velocidade linear? (c) Quais são os va- lores para um ponto sobre o equador? 22. A velocidade de um ponto sobre a borda de uma roda de um esmeril de 0,75 m de diâmetro varia uniformemente de 12 m/s a 25 m/s em 6,2 s. Qual é a aceleração angular da roda do esmeril durante esse intervalo? 23. Determine (a) a velocidade angular, (b) a aceleração radial e (c) a aceleração tangencial de uma espaçonave que execu- ta uma curva circular de 3220 km de raio, com uma veloci- dade de 28.700 km/h. 24. Uma barra com uma rosca de 12,0 voltas/cm e um diâmetro de 1,18 cm está posicionada na horizontal. Uma chapa com um furo rosqueado que se ajusta à rosca da barra é aparafu- sada na barra; ver Fig. 8.17. A chapa gira a 237 rev/min. Quanto tempo leva para a chapa mover-se 1,50 cm ao longo da barra? Fig. 8.17 Exercício 24. 27. As pás de um moinho de vento iniciam o seu movimento do repouso e giram com uma aceleração angular de 0,236 rad/ s². Quanto tempo decorre antes que um ponto de uma pá experimente o mesmo valor para as intensidades da acele- ração centrípeta e da aceleração tangencial? 25. (a) Qual é a velocidade angular em torno do eixo polar de um ponto sobre a superfície da Terra com uma latitude de 40° N? (b) Qual é a velocidade linear? (c) Quais são os va- lores para um ponto sobre o equador? 26. O volante de um giroscópio de 2,83 cm de raio, que está inicialmente em repouso, é submetido a uma aceleração de 14,2 rad/s² até que a sua velocidade angular atinge 2760 rev/ min. (a) Qual é a aceleração tangencial de um ponto sobre a borda do volante? (b) Qual é a aceleração radial deste ponto quando o volante está girando a toda velocidade? (c) Du- rante a aceleração, qual é a distância percorrida por um ponto sobre a borda? 27. Sob a hélice, de 5,0 ft (= 1,5 m) de raio, de um avião gira a 2000 rev/min e o avião está sendo impulsionado a 300 mi/h (= 480 km/h), em relação ao solo, qual é a velocidade de um ponto sobre a ponta da hélice, quando visto (a) pelo pi- loto e (b) por um observador no solo? Assuma que a veloci- dade do avião é paralela ao eixo de rotação da hélice. 28. As pás de um moinho de vento iniciam o seu movimento do repouso e giram com uma aceleração angular de 0,236 rad/ s². Quanto tempo decorre antes que um ponto de uma pá experimente o mesmo valor para as intensidades da acele- ração centrípeta e da aceleração tangencial? 29. Um corpo rígido, que parte do repouso, gira em torno de um eixo fixo com uma aceleração angular α constante. Consi- dere uma partícula a uma distância r do eixo. Expresse (a) a aceleração radial e (b) a aceleração tangencial desta partícu- la em termos de α, r e o tempo t. (c) Se a aceleração re- sultante da partícula em um determinado instante faz um ângulo de 57,0° com a aceleração tangencial, de que ângulo total o corpo gira desde t=0 até este instante? 30. Um automóvel que viaja 97 km/h possui rodas de 76 cm de diâmetro. (a) Encontre a velocidade angular das rodas em tor- no do eixo. (b) O carro é freado uniformemente e pára após 30 voltas das rodas. Calcule a aceleração angular. (c) Qual é a distância percorrida durante este período de frenagem? 31. Um velocímetro colocado na roda da frente de uma biciclet fornece uma leitura que é diretamente proporcional a ve- locidade angular da roda. Suponha que o velocímetro é ca librado para uma roda de 72 cm de diâmetro, mas foi incor retamente usado em uma roda de 62 cm de diâmetro. A medida de velocidade linear será incorreta? Se for, em que sentido e por que fração da velocidade verdadeira? PROBLEMAS 34. Um projetil de 12 kg é lançado para cima na vertical com uma velocidade inicial de 35 m/s de um campo de futeb em Mineápolis, Estados Unidos. (a) Calcule a intencidade e a direcáo da forca de Coriolis Para ver a Questão 8 de Múltipla Escolha e a Seção 5.6) sobre o projétil logo após o projétil ter sido lançado. (b) Qual é a direçáo aproxi- mada da forca de Coriolis sobre o projétil enquanto o projétil está apontando de volta para a Terra? (c) O pro- jétil irá retornar ao ponto original do lançamento? Se não em que direcáo, em relacáo ao ponto de lancamento, ele irá aterrar? Encontre a menor velocidade angular possível na qual a roda estava girando. 32. Um solr de é o intervalo de tempo entre duas apreços sucessivas do So para uma dada longitude - ist é, o temo de uma rotação completa da Terra em relação ao Sol. Um dia sideral é o tempo para uma rotacão completa da Terra em relacão às estrelas fixas - ist é, o intervalo de tempo entre duas observações sucessivas deuma direção fixa no ceu chamada de equinócio vernal. (a) Mostre que em um ano existe exatamente um dia solar menos do que dias siderais (méd. Cap 8 2) Sabemos que 1 rev = 2pi rad e 1 min = 60 s. Logo, 1 rev/min = 2pi rad/60 s = pi rad/30 s ≈ 0,105 rad/s 3) dô = at + bt^3 - ct^4 a) Sabemos que a velocidade angular e: w = dô/dt = a + 3bt^2 - 4ct^3 b) Sabemos que a aceleracao angular e: az = dw/dt = d^2 dô/dt^2 = 6bt - 12ct^2 6) a) A velocidade angular e a aceleracao angular se relacionam por: az = du/dt . Integrando: w - w0 = integral de 0 a t de az dt w - w0 = integral de 0 a t de (4at^3 - 3bt^2) dt w = w0 + [at^4 - bt^3]^t_0 w = w0 + at^4 - bt^3 b) Como w = dô/dt => dô(t) = integral de 0 a t de w dt dô(t) = integral de 0 a t de (w0 + at^4 - bt^3) dt . Logo, dô(t) = w0t + at^5/5 - bt^4/4 + dô0 6) a) Temos w = 1 rev/60 s = 2pi/60 = 0,105 rad/s b) w = 2pi/60.60 = 2pi/3600 = 1,75.10^-3 rad/s c) w = 2pi/60.60.12 = 1,75.10^-3/12 = 1,45.10^-4 rad/s 9) a) Para a flecha atravessar sem bater, ela deve gastar no maximo ∆t = (1/8)/2,5 = 0,05 s. Logo, v = d/∆t = 0,24/0,05 = 4,8 m/s 19) a) Temos θ = 42,3 rev = 265,8 rad . Logo, se θ = 1/2(ω₀ + ω)t => 265,8 = 1,144/2 t. Daí, t = 2*265,8/1,144 = 369,2 s b) a = Δω/Δt = -1,144/369,2 = -0,00309 rad/s² c) Se θ = 21,15 rev = 133 rad, logo b) Não faz diferença, nenhuma quantidade depende da distância radial 17) a) Temos a = Δω/Δt = 2880 - 1170 / 12,6/60 a = 1710/0,21 = 8143 rev/min² b) Temos θ = 1/2(ω₀ + ω)t = 1/2(1170 + 2880) * 12,6/60 θ = 425 revoluções 15) a) Novamente, a = Δω/Δt = -25,2/19,7 = -1,28 rad/s² b) Temos θ = 1/2 ω₀ t = 252*19,7/2 = 248,2 π rad c) Transformando θ para rev: θ = 248,2/2π θ = 39,5 rev 16) a) a = Δω/Δt = 225-315 / 1 = -90 rev/min² b) Ora, τ = Δω/a = 315/90 = 3,5 min ou 210 s c) Temos θ = 225²/2a = 225²/180 = 281,25 rev no total após a observação 17) a) Sabemos que ω = ω₀ + at. Além disso, θ = ω₀t + at²/2 . Logo, juntando as expressões: a = (ω - ω₀)/t => θ = ω₀t + (ω - ω₀)t/2 Se θ = 90 rev, ω = 10 rev/s e t = 15 s, 90 = 15ω₀ + (10 - ω₀)15/2 => ω₀ = 2 rev/s b) Temos a = Δω/Δt = 8/15 = 0,53 rev/s². Logo, Se ω = 2 rev/s e ω₀ = 0 rev/s, ω = at => t = ω/a = 2/0,53 Δt = 3,77 s θ = u₀t - at² / 2 133 = 1,24 t - 0,0039 t² / 2, com solução t = 108,2 s 21) Temos ω = v / R = 52,4 / 3,6 / 40 = 14,5 / 110 = 0,132 rad/s 23) a) ω = v / R = 28700 / 3220 = 8,91 rad/h = 0,0025 rad/s b) Temos a = ω²R ≈ 20 m/s² c) Movimento circular uniforme = aₜ = 0. 26) a) Temos aₜ = aₜ. Logo, aₜ = 14,2 * 0,0283 = 0,402 m/s² b) Temos ω = 2700 * 2π / 60 = 289 rad/θ. Logo, aₙ = ω²R = 289² * 0,0283 aₙ = 2,36 * 10³ m/s² c) Claro, θ = ω² / 2a = 289² / 2 * 14,2 = 2,94 * 10³ rad. Mas, a distância percorrida é d = θR = 2,94 * 10³ * 0,0283 d = 83,2 m 29) a) Ora, temos ω = αt, de modo que aₙ = ω²R = α²t²R e b) aₜ = αR, por definição c) tgθ = aₙ/aₜ = α²t²R / αt = αt² Logo, t = √(tgθ/α) = √(tg57°/α) = 1,24/√α Mas, θ = αt²/2 = α * 1,24² / 2α = 1,24²/2 θ = 0,77 rad = 44,1°