Lista 4 - 2023-2

CAPÍTULO DEZESSETE 108 EXERCÍCIOS 17-1 Sistemas Oscilantes 17-2 O Oscilador Harmônico Simples 17-3 Movimento Harmônico Simples 1. Um bloco de 3,94 kg distende uma mola de 15,7 cm, em relação à sua posição não-deformada. O bloco é, então, substituído por um objeto de 0,520 kg que é posto a oscilar. Determine o período de oscilação desse movimento. 2. Um oscilador consiste em um bloco com massa de 512 g preso a uma mola. Ao oscilar com amplitude de 34,7 cm, ele repete seu movimento a cada 0,484 s. Determine: (a) o período, (b) a frequência, (c) a frequência angular, (d) a constante elástica, (e) a velocidade máxima e (f) a força máxima exercida sobre o bloco. 3. Um alto-falante produz um som musical através da oscilação de um diafragma. Se a amplitude da oscilação for limitada a 1,20 x 10⁻³ mm, quais as frequências desse movimento que resultarão em acelerações superiores a g no diafragma? 4. Um objeto de 5,22 kg está preso à extremidade inferior de uma mola vertical e vibra com velocidade máxima de 15,3 cm/s. O período é igual a 645 ms. Determine (a) a constante elástica da mola, (b) a amplitude do movimento e (c) a frequência da oscilação. 5. Em um barbeador elétrico, a lâmina se move para frente e para trás com um curso de 2,00 mm. O movimento é harmônico simples, com frequência de 120 Hz. Determine (a) a amplitude, (b) a velocidade máxima da lâmina e (c) a aceleração máxima da lâmina. 6. No que se refere às oscilações verticais, pode-se considerar que um carro está montado sobre quatro molas. As molas de um certo carro, cuja massa é de 1460 kg, estão ajustadas para que as vibrações ocorram a uma frequência de 2,95 Hz. (a) Determine a constante elástica de cada uma das quatro molas (supostas idênticas). (b) Qual será a frequência de vibração quando no interior do carro estiverem cinco pessoas, cada uma com massa média de 73,2 kg? 7. Um corpo oscila com movimento harmônico simples de acordo com a equação x = (6,12 m) cos(6,38 rad/s)t + 1,92 rad Derive (a) o deslocamento, (b) a velocidade e (c) a aceleração no instante t = 1,90 s. Determine também (d) a frequência e (e) o período do movimento. 8. A escala de uma balança de molas possui 4,00 in e pode medir de 0 a 50,0 lb. Um pacote suspenso pela balança oscila verticalmente com frequência de 2,00 Hz. Qual o peso do pacote? 9. O pistão na cabeça do cilindro de uma locomotiva possui um curso de 76,5 cm. Qual a velocidade máxima do pistão se o volante executar 193 rev/min e o pistão se deslocar com movimento harmônico simples? 10. Um objeto de 2,14 kg é suspenso por uma mola. Prende-se a ele um corpo de 325 g que provoca uma distensão adicional de 1,80 cm. Calcule o período do movimento quando, removendo-se o corpo, o objeto é posto a oscilar. Determine o período do movimento. 11. Em um certo porto, as marés fazem a superfície do oceano subir e descer em movimento harmônico simples, com um período de 12,5 h. Quanto tempo a água leva, partindo da altura máxima, atingir uma terceira distância abaixo do nível médio de elevação? 12. Um bloco está sobre um pistão que se move verticalmente com movimento harmônico simples. (a) Para que amplitude o bloco se separa do pistão, sabendo-se que o período do movimento é de 1,18 s? (b) Determine a frequência máxima para a qual o bloco e o pistão permanecerão continuamente em contato, para uma amplitude de 5,12 cm. 13. Um oscilador consiste em um bloco preso a uma mola (k = 456 N/m). Em um dado instante t, a posição (medida em relação ao ponto de equilíbrio), a velocidade e a aceleração do bloco são, respectivamente, x = 0,112 m, v = −13,6 m/s, a = −123 m/s². Calcule (a) a frequência, (b) a massa do bloco e (c) a amplitude de oscilação. 14. Duas partículas executam movimento harmônico simples com amplitudes e frequências idênticas, ao longo da mesma linha reta. Elas se cruzarão quando, movendo-se em sentidos opostos, seus deslocamentos sejam a metade de suas amplitudes. Determine a diferença de fase entre seus movimentos. 15. Três vagões de transporte minérios, com 10.000 kg cada um, estão em repouso sobre o trilho ferroviário de uma mina, inclinado de 26°, sustentados por um cabo paralelo à inclinação (Fig. 17-23). Observe que o cabo arrebenta e os vagões são de fato no instante imediatamente anterior à quebra de repente que era com corros, liberando entes. Determine (a) a diferença da oscilação resultante nos carros remanescentes e (b) a amplitude das oscilações. Fig. 17-23. Exercício 15. OSCILAÇÕES 109 16. Um tubo em U é preenchido com um líquido homogêneo. O líquido é temporariamente pressionado por um pistão em um dos lados do tubo. O pistão é removido e o nível do líquido em cada um dos lados passa a oscilar. Mostre que o período de oscilação deste movimento é 2π √(L/g), onde L é o comprimento total do líquido no interior do tubo. 17. Uma tora cilíndrica de madeira é carregada com um pedaço de chumbo em uma de suas extremidades, de forma que a tora flutua na água conforme mostrado na Fig. 17-24. O comprimento da parte submersa é L = 2,56 m. A tora é posta a oscilar verticalmente. (a) Mostre que a oscilação é harmônica simples. (b) Determine o período de oscilação. Despreze os efeitos dissipativos devido ao movimento. Fig. 17-24. Exercício 17. 17-4 A Energia no Movimento Harmônico Simples 18. Um sistema oscilante bloco–mola possui uma energia mecânica igual a 1,18 J, uma amplitude de 9,84 cm e uma velocidade máxima de 1,22 m/s. Determine (a) a constante elástica da mola, (b) a massa do bloco e (c) a frequência de oscilação. 19. Um estilingue grande (hipotético) é distendido a 1,53 m a fim de lançar um projétil de 130 g com velocidade suficiente para escapar da Terra (11,2 km/s). (a) Qual deve ser a constante elástica desse dispositivo, supondo que toda a energia potencial seja convertida em energia cinética? (b) Admita que uma pessoa normal possa exercer uma força de 220 N. Quantas pessoas são necessárias para distender esse estilingue? 20. (a) No movimento harmônico simples, quando o deslocamento for igual à metade da amplitude x_m, que fração da energia total será cinética e que fração será potencial? (b) Para que valor do deslocamento metade da energia será cinética e metade será potencial? 21. Uma partícula de 12,3 kg está sujeita a um movimento harmônico simples com uma amplitude 1,86 mm. A aceleração máxima da partícula é de 7,93 km/s². (a) Determine o período do movimento. (b) Qual a velocidade máxima da partícula? (c) Calcule a energia mecânica total deste oscilador harmônico simples. 22. Um objeto de 5,13 kg se move numa superfície horizontal sem atrito, sob a influência de uma mola com constante elástica de 9,88 N/cm. O objeto é deslocado de 53,5 cm e sujeito a uma velocidade inicial de 11,2 m/s direcionada para a posição de equilíbrio. Determine (a) a frequência do movimento, (b) a energia potencial inicial do sistema, e (c) a energia cinética inicial e (d) a amplitude do movimento. 23. Um objeto de 1,26 kg preso a uma mola com constante elástica de 5,38 N/cm é posto a oscilar pela distância da mola em 26,3 cm e pela imposição de uma velocidade de 3,72 m/s, direcionada para a posição de equilíbrio. Utilizando os resultados do Problema 9, calcule (a) a amplitude e (b) o ângulo de fase do maior movimento simples resultante. 24. Um bloco de 4,00 kg é suspenso por uma mola cuja constante elástica é de 5,00 N/cm. Um projétil de 50,0 g é lançado contra a parte inferior bloco com uma velocidade de 150 m/s e fica preso a ele. (a) Determine a amplitude do movimento harmônico simples resultante. (b) Qual a fração da energia cinética original do projétil que aparece como energia mecânica no oscilador? 17-5 Aplicações do Movimento Harmônico Simples 25. Determine o comprimento de um pêndulo simples cujo período é de 1,00 s em um local onde g = 9,82 m/s². 26. Um pêndulo simples com comprimento de 1,53 m executa 72,0 oscilações completas em 180 s em um certo local. Determine a aceleração da gravidade neste local. 27. O período de um pêndulo simples é expresso pela série mostrada na Eq. 17-25. (a) Para que valores de θ_0 o segundo valor da série será igual a 0,02? (b) Qual o valor do terceiro termo da série para esta amplitude? 28. Se um pêndulo possui um período de 1,00 s no equador, qual será seu período no polo sul? Veja a Fig. 14-6. 29. O fato de g variar com o local da superfície da Terra despertou a atenção quando, em 1672, Jean Richer levou um relógio de pêndulo de Paris para Caiena, na Guiana Francesa, e constatou um atraso de 2,5 min/dia. Se g = 9,81 m/s² em Paris, calcule seu valor em Caiena. CAPÍTULO DEZESSETE 110 30. A aceleração da gravidade g pode ser determinada pela medição do período de um pêndulo. Qual a precisão necessária (em segundos) com a qual você deve medir o tempo para 100 oscilações de um pêndulo de 10 m de comprimento para obter um erro de 0,1% na medição de g? Calcule o erro percentual e o erro absoluto em milissegundos. Compare sua resposta com a resposta do Exercício 9 no Cap. 14. 31. Uma bola de demolição, cuja massa é igual a 2500 kg, oscila na extremidade de um guindaste conforme mostrado na Fig. 17-25. O comprimento do segmento do cabo que oscila é de 17,3 m. Determine o período de oscilação, supondo que o sistema possa ser tratado como um pêndulo simples. Fig. 17-25. Exercício 31. 32. Existe uma relação interessante entre o sistema bloco-mola e o pêndulo simples. Suponha que se pendure um objeto de massa M no extremo de uma certa mola e que, quando ele atinge o equilíbrio, a mola tenha se distendido de um comprimento h. Mostre que a frequência deste sistema bloco-mola é idêntica à de um pêndulo simples de massa m e comprimento h, mesmo se m ≠ M; veja a Fig. 17-26. Fig. 17-26. Exercício 32. 33. Um aro circular com 65,3 cm de raio e massa de 2,16 kg está suspenso por um prego horizontal. (a) Determine sua frequência de oscilação para pequenos deslocamentos em torno da posição de equilíbrio. (b) Qual o comprimento de um pêndulo simples equivalente? 34. Um engenheiro deseja determinar o momento de inércia de um objeto de forma bizarra, com massa igual a 11,3 kg, em torno de um eixo que passa pelo centro de massa. O objeto é pendurado por um fio que passa pelo centro de massa e apoia-se sobre o eixo desejado. A constante elástica torcional do fio é κ = 0,513 N·m. O engenheiro observa que este pêndulo executa 20,0 ciclos em 48,7 s. Qual o valor do momento de inércia do objeto? 35. Uma esfera sólida de 95,2 kg e 14,8 cm de raio está suspensa por um fio vertical preso ao teto de uma sala. Necessita-se de um torque de 0,192 N·m para girar a esfera de um ângulo de 0,850 rad. Calcule o período de oscilação ao se abandonar a esfera desta posição. 36. Um pêndulo físico consiste em uma régua de madeira de 1 m apoiada em um eixo que passa em um pequeno furo feito na régua a uma distância a da marca de 50,0cm. Observe que o período de oscilação é de 2,50 s. Determine a distância x. 37. Um metro de madeira articulado em um de seus extremos oscila com frequência f. Qual seria a frequência, em termos de f, se um terço da parte inferior do metro fosse cortado? 38. A Fig. 17-27 mostra um pêndulo físico construído a partir de duas seções idênticas de uma tubulação. O raio interno da tubulação é igual a 10,2 cm e sua espessura vale 6,40 mm. (a) Calcule o período de oscilação em relação ao pivô mostrado na figura. (b) Admita que um novo pêndulo seja construído, girando-se a seção inferior de 90° em torno de um eixo vertical que passa pelo seu centro. Mostre que o novo período de oscilação, em relação ao mesmo pivô, é cerca de 2% menor do que o período do pêndulo original. 39. Um pêndulo, cuja extremidade superior é fixada de modo a permitir que oscile livremente em um plano, pode ser utilizado para reproduzir o experimento realizado publicamente pela primeira vez por Foucault em Paris no ano de 1851. Se o pêndulo é 2,50 m longo, o plano de oscilação gira suavemente em torno de uma linha desenhada no piso, mesmo considerando-se que a tração no cabo de sustentação do pêndulo está alinhada nesta linha. (a) Que período de tempo é necessário para que o plano de oscilação complete uma rotação completa em relação à Terra no seu local de origem? (b) Suponha que a amplitude do pêndulo permita oscilações em torno desta linha de tração sem exigir movimentos laterais do pêndulo. Qual a fração da força de Coriolis que um espectador experimentaria se este estivesse viajando a 1/2 da velocidade do som na direção Leste? b) Temos w= √(k/m) => m = k/w^2 m = k/w^2 = 424/33,1^2 = 0,39 kg c) Temos A^2 = mv^2/k^2 + x^2 A = √(mv^2/k^2 + x^2) A = √(0,39 . 13,6^2 / 424^2 + 0,112) = 0,34m 16) A força restauradora é o empuxo : F = 2p A x g = k x => k = 2p A g Mas, p = m/v => m = p A L . Logo, T = 2π √(m/k) => T = 2π √(p A L / 2p A g) . Logo, T = π √(2L/g) 21) a) Se am = w^2 A => w = √(am/A) . Logo, w = √(7,93 . 1000 / 1,86 . 10^-3) => w = 2,06 . 10^3 rad/0 Logo, T = 2π /w = 3,05 . 10^-3 s b) Temos Vm = w A = 2,06 . 10^3 . 1,86.10^-3 Vm = 3,83 m/s c) E = m Vm^2/2 = 12,3 . 3,83^2/2 = 90,2 J 22) a) f = 1/2π √(k/m) = 1/2π √(988/5,13) = 2,21 Hz b) Temos Ui = k x^2/2 = 988/2 Ui = 141 J c) Ki = mv^2/2 = 513 . 11,1^2/2 = 322 J d) E = K + U = 463 J. Mas, A = √(2E/k) = √(2 . 463 / 988) = 0,968 m 25) Temos T = 2π √(L/g) => 1/2π = √(L/9,82) L = 9,82/4π^2 => L = 0,25 m 29) Temos n = \frac{D_1}{T_\_} , com D_1 = 24\ h. Mas, D_2 = 24\ h + 2,5\ min = 1442,5\ min. Dai , T_2 = \frac{D_2}{n} = \frac{D_2\ T_\_}{D_1} = \frac{1442,5\ T_\_}{1440} Logo, \sqrt{\frac{L}{g_2}} = 1,0017\ \sqrt{\frac{L}{9,8}} \Rightarrow g_2 = 9,77\ m/s^2 31) Temos T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}} = 2\pi\sqrt{\frac{17,3}{9,8}} T = 8,34\ s 41) a) Se \varphi_y=0, \ x=y\ e\ temos\ uma\ reta\ diagonal b) Se \varphi_y=30^\circ \ ,\ temos\ uma\ elipse\ simétrica\ sobre\ x=y: x^2+y^2 = A^2\left(\cos^2\omega t+\cos^2\left(\omega t + \pi/6\right)\right) c) Aqui,\ x^2+y^2 = A^2\cos^2\omega t+A^2\sin^2\omega t x^2+y^2 = A^2 Círculo\ de\ raio\ A. 42) a) \ x = A\cos\omega t\ \ e\ \ y = A\cos 3\omega t. Mas, \ y = A\left[4\cos^3\omega t - 3\cos\omega t\right],\ logo y=x\left[4\cos^2\omega t - 3\right] b) \bar{F}= m\frac{d^2\bar{r}}{dt^2} = -m\omega^2A\left[\cos\omega t\hat{i} + 9\cos 3\omega t\hat{j}\right] c) \ U = -\int\bar{F}\cdot d\bar{r} U = \int mA^2\omega^2(\cos\omega t\hat{i} + 9\cos 3\omega t\hat{j})\cdot d(\cos\omega t\hat{i} + 9\cos 3\omega t\hat{j}) U = \frac{mA^2\omega^2}{2}\left(\cos^2\omega t + 9\cos^2 3\omega t\right) d) \ v = \frac{d\bar{r}}{dt} = -A\omega (\sin\omega t + 3\sin 3\omega t) Logo, \ k = \frac{m\ v^2}{2} = \frac{mA^2\omega^2}{2}(\sin^2\omega t + 9\sin^2\omega t) Logo, \ E = U+k = 5mA^2\omega^2 e) Sim, com\ T = \frac{2\pi}{\omega} 43) Temos w = \frac{2 \pi}{T}, com\ T = 27,3\ dias\ sendo\ o\ período\ de\ Translação\ da\ Lua.\ Logo,\ T = 27,3.24.3600\ s,\ w = 2,66\cdot10^{-6}\ rad/s.\ Daí,\ k = w^2.m = 2,66\cdot10^{-6}.7,36\cdot10^{22}\ \ k = 5,21\cdot10^{11}\ N/m