Conducao de Calor Nao Homogeneo - Metodos Matematicos PPGEQUFSM

Problema de Condução de Calor Não Homogêneo Não Homogêneo Métodos Matemáticos PPGEQUFSM Fernanda de Castilhos Problema de Condução de Calor Não Homogêneo Considere a equação do calor generalizada com as CCs u u r x p x q x u F x t t x x 1 com as CCs e a condição inicial 1 2 0 0 0 1 1 0 u t h u t t u t h u t t 2 0 u x f x 3 Problema de Condução de Calor Não Homogêneo Este problema de valores de contorno não homogêneo é resolvido supondo que uxt pode ser expresso como uma série de autofunções onde bnt são os coeficientes da série e são as autofunções normalizadas do problema de valor de contorno obtido com a equação homogênea Fxt 0 4 1 n n n u x t b t x φ φn Problema de Condução de Calor Não Homogêneo 5 6 1 2 0 0 0 1 1 0 p x X q x X r x X X h X X h X λ Para determinar os coeficientes bn da eq 4 substituise u eq4 na eq1 1 1 n n n n n n u r x r x b t x r x b t x t t φ φ 7 1 n n n u x t b t x φ Problema de Condução de Calor Não Homogêneo 8 1 n n n n n u p x q x u p x b t x x x x q x b t x φ φ 9 1 n n n q x b t x φ 1 n n n n u p x q x u x x b t p x x q x x φ φ 1 n n n u x t b t x φ Como então Problema de Condução de Calor Não Homogêneo n n n n p x x q x x r x x φ φ λ φ 10 Análoga a eq 5 Para o termo nãohomogêneo Fxt temse 1 n n n F x t t x r x γ φ 1 1 n n n n n n n n b t p x x q x x r x b t x φ φ λ φ 11 12 onde os coeficientes são dados por Juntando estes resultados eqs 7 11 e 13 na eq 1 1 1 0 0 n n n F x t t r x x dx F x t x dx r x γ φ φ 13 Problema de Condução de Calor Não Homogêneo Juntando estes resultados eqs 7 11 e 13 na eq 1 1 1 1 n n n n n n n n n n r x b t x r x b t x r x t x φ λ φ γ φ 1 0 n n n n n n b t b t t x λ γ φ 14 Como ɸnx 0 que é uma EDO de 1ª ordem Para resolvêla precisase de uma 15 Problema de Condução de Calor Não Homogêneo 0 1 2 3 n n n n b t b t t n λ γ que é uma EDO de 1ª ordem Para resolvêla precisase de uma CI que foi obtida com t 0 na eq4 e usando a eq3 0 1 2 3 n n b B n 16 1 0 0 n n n u x b x φ 17 1 n n n B x f x φ Então Bn são os coeficientes da expansão de fx em autofunções ou seja Problema de Condução de Calor Não Homogêneo 1 0 1 2 3 n n B r x f x x dx n φ 18 Assim o problema de valor inicial PVI 15 16 é resolvido com um fator integrante e com isso 0 19 exp n t µ λ 0 1 2 3 n n t t s t n n n b t B e e s ds n λ λ γ Problema de Condução de Calor Não Homogêneo Resumindo para resolver um problema de valor de contorno como o dado pelas eqs 1 2 e 3 Encontrar os autovalores λn e as autofunções normalizadas φnx do problema homogêneo 5 6 Calcular os coeficientes Bn e ynt das eqs 18 e 13 respectivamente Calcular a integral para determinar bnt eq19 Somar a série infinita eq4 Exemplo 1 Encontre a solução do problema de condução de calor 2 2 t u u x e t x Problema de Condução de Calor Não Homogêneo 2 0 0 1 1 0 0 0 t x u t u t u t x u x