Problemas de Sturm-Liouville - Métodos Matemáticos - PPGEQUFSM

Problemas de Sturm Liouville Métodos Matemáticos PPGEQUFSM Fernanda de Castilhos Problemas de Sturm Liouville Para definir um problema de Sturm Liouville consideremos eq diferenciais parciais mais gerais u u r x p x q x u F x t t x x 1 Uma 2ª generalização é permitir condições de contorno mais gerais t x x 1 2 0 0 0 0 u t h u t t u L t h u L t t 2 Se Fxt 0 em 1 Para separar as variáveis fazse 3 Problemas de Sturm Liouville u u r x p x q x u t x x Ou dividindo por rx X T u x t X x T t r x X T p x X T q x X T p x X q x T T r x X r x λ Com isso obtémse 2 EDOs em X e T Problemas de Sturm Liouville 0 0 p x X q x X r x X T T λ λ 4 5 Ou a EDO em X pode ser escrita como onde L X λ r x X L X p x X q x X Operador diferencial homogêneo L Problemas de Sturm Liouville Substituindo u nas CCs eq 2 e supondo h1 e h2 constantes X0 h1X0 0 XL h2XL 0 6 O Problema que consiste na EDO 4 com as CCs 6 é um problema de Sturm Liouville Para qualquer valor de λ o problema tem solução trivial Para determinados valores de λ autovalores existem soluções nãotriviais autofunções Essas autofunções são a base para uma solução de diversos problemas de EDP Exemplo 1 Encontre os autovalores e autofunções do problema de valor de contorno Problemas de Sturm Liouville 0 y λ y 0 0 1 1 0 y y y Problemas de Sturm Liouville 1 2 0 0 0 0 0 p x X q x X r x X X h X X L h X L λ Teorema 1 Se px qx rx e px em 4 são funções contínuas e reais no intervalo 0 x 1 px 0 e rx 0 então todos os autovalores do Problema de Sturm Liouville 4 6 são reais Problemas de Sturm Liouville Teorema 2 Se ɸ1 e ɸ2 são duas autofunções do problema 4 6 correspondentes aos autovalores λ1 e λ2 e definidas no intervalor 0 x L então se 1 as funções ɸ1 e ɸ2 são ortogonais A norma é definida por e se a função é chamada de ortonormal 1 1 2 0 0 r x x x dx φ φ 7 1 2 0 0 n n r x x dx φ φ n φ 8 1 φn φn Problemas de Sturm Liouville Teorema 3 Os autovalores do problema de Sturm Liouville 4 6 são todos simples isto é a cada autovalor corresponde apenas uma autofunção linearmente independente Além disso os autovalores formam uma sequência infinita e podem ser ordenados crescentemente de modo que 1 2 3 n λ λ λ λ Exemplo 2 Determine as autofunções normalizadas do problema Problemas de Sturm Liouville 0 0 0 1 1 0 y y y y y λ 0 0 1 1 0 y y y Problemas de Sturm Liouville Teorema 4 Sejam ɸ1 ɸ2 ɸn As autofunções normalizadas ou ortonormais de acordo com 8 do problema de Sturm Liouville 4 6 problema de Sturm Liouville 4 6 1 2 1 2 0 0 0 0 1 1 0 p x y q x y r x y a y a y b y b y λ Problemas de Sturm Liouville Suponha que f e f sejam seccionalmente contínuas em 0 x 1 onde f é uma função expandida como uma série de autofunções do problema de Sturm Liouville Então 9 com converge para em cada ponto do intervalo aberto 0 x 1 1 n n n f x C x φ 1 123 n n n C r x f x x dx n φ 9 10 2 f x f x Exemplo 3 Expanda a função fx x com 0 x 1 em termos das autofunções normalizadas ɸnx do problema Problemas de Sturm Liouville 0 y λ y 0 0 0 1 1 0 y y y y y λ Problema de Sturm Liouville Não Homogêneo 11 Considere o problema de valor de contorno que consiste na eq diferencial não homogênea p x y q x y r x y f x µ problema não homogêneo onde µ é uma constante e f é uma função dada em 0 x 1 e as CCs autovalor do problema não homogêneo 1 2 1 2 0 0 0 1 1 0 a y a y b y b y 12 Problema de Sturm Liouville Não Homogêneo Supondo que p p q e r sejam funções contínuas em 0 x 1 e que px 0 e rx 0 nesse intervalo resolvese o problema 11 12 usando as autofunções do problema 13 homogêneo correspondente que consiste em ou p x y q x y λ r x y L y λ r x y autovalor do problema homogêneo Problema de Sturm Liouville Não Homogêneo Sejam λ1 λ2 λn os autovalores do problema homogêneo e sejam ɸ1 ɸ2ɸn as autofunções normalizadas correspondentes 14 Supondo que a solução y ɸx do problema não homogêneo 11 12 possa ser escrita como onde bn é definido pela eq 10 Teorema 4 1 n n n x b x φ φ 1 123 n n n b r x x x dx n φ φ 15 Problema de Sturm Liouville Não Homogêneo Como ɸx não é conhecido a eq 15 não pode ser usada para calcular bn Então bn será determinado de modo que 11 12 seja satisfeito e em seguida a eq 14 será usada 16 para encontrar ɸx Como ɸx deve satisfazer a eq diferencial temse de 11 L x r x x f x φ µ φ Problema de Sturm Liouville Não Homogêneo 17 Substituindo a série 14 na eq 16 o termo do lado esquerdo de 16 fica L x L b x b L x b r x x φ φ φ λ φ L x r x x f x φ µ φ 17 Reescrevendo fx como e se f r satisfizer o Teorema 4 então 1 1 1 n n n n n n n n n n L x L b x b L x b r x x φ φ φ λ φ 13 n L x eq φ f x r x r x 1 n n n f x C x r x φ 18 1 n n n f x C x φ Problema de Sturm Liouville Não Homogêneo 19 onde Usando as eqs 14 17 e 18 para substituir ɸx Lɸx 1 1 0 0 123 n n n f x C r x x dx f x x dx n r x φ φ Usando as eqs 14 17 e 18 para substituir ɸx Lɸx e fx na eq 16 obtémse 1 1 1 n n n n n n n n n n b r x x r x b x r x C x λ φ µ φ φ f x r x φ x n L x φ Problema de Sturm Liouville Não Homogêneo 20 Juntando os termos e colocando rx e em evidência Como solução nãotrivial 1 0 n n n n n n r x x b b C φ λ µ 0 φ n φ Como solução nãotrivial Se µ λn ou seja µ é diferente de todos os autovalores do problema homogêneo então 0 123 n n n b C n λ µ 21 0 n φ 22 123 n n n C b n λ µ Problema de Sturm Liouville Não Homogêneo E voltando a eq 14 a solução do problema nãohomogêneo é 23 1 n n n C y x x φ φ λ µ n 1 λn µ As equações 23 com os coeficientes calculados pela equação 19 é uma solução formal do problema de valores de contorno não homogêneo 11 12 Exemplo 4 Resolva Problemas de Sturm Liouville Não Homogêneo 2 0 0 1 1 0 y y x y y y 1 1 0 y y