Equacao da Conducao do Calor - Metodos Matematicos e EDPs

Equação da Condução do Calor I Métodos Matemáticos PPGEQUFSM Fernanda de Castilhos Equações Diferenciais Parciais Ordem da EDP ordem da derivada parcial de 2 2 1 2 2 1 2 1 1 2 n n n n u u u u u F x x x u x x x x x x Ordem da EDP ordem da derivada parcial de mais alta ordem Linearidade da EDP é linear se os expoentes de u e de todas as derivadas parciais forem 1 Equações Diferenciais Parciais Exemplos 1 0 n j j j u a x b x u c x x EDP Linear de 1ª ordem 2 1 1 1 0 n n n j j i j j i j j u u a x b x c x u d x x x x EDP Linear de 1ª ordem EDP Linear de 2ª ordem Equações Diferenciais Parciais Equação Geral para EDP Linear de 2ª ordem 2 2 2 2 2 z z z P Q R S x x y y z z x y P P x y Q Q x y R R x y z z S S x y z x y Equações Diferenciais Parciais Se P Q e R forem constantes e iguais a ab e c respectivamente 2 2 2 2 2 z z z P Q R S x x y y respectivamente 2 4 b ac 0 0 0 EDP Elíptica EDP Parabólica EDP Hiperbólica Equações Diferenciais Parciais Exemplos 2ª Lei de Fick da Difusão 2 2 C C D t x 0 p a ra b o lic a 0 a D b c 2 2 2 2 2 z z z P Q R S x x y y Lei de Newton para movimento oscilatório 2 D t x 0 p a ra b o lic a 0 b c 2 2 2 2 u u t y ρ 1 0 0 h ip e rb o lic a a b c ρ Equações Diferenciais Parciais Exemplos Eq de Laplace para condução de calor 2 2 2 2 2 z z z P Q R S x x y y Eq de Laplace para condução de calor 2 2 2 2 0 T T x y 1 0 0 e lip tic a 1 a b c Equação da Condução do Calor Hipóteses Barra de seção reta Material homogêneo Material homogêneo Lados isolados Comprimento muito maior do que raio fina e comprida Equação da Condução do Calor 2 2 2 0 0 t u u x L x t α u é a temperatura da barra α2 é a difusividade térmica 2 k α 1 Condição Inicial Condições de Contorno 2 k C p α ρ 0 u x f x 0 0 0 u t u L t 4 3 2 Equação da Condução do Calor Para resolver Método de Separação de Variáveis O Problema é definido pelas equações 1 3 e 4 u x t X x T t Substituindo 5 em 1 5 2 X T X T α 6 7 2 1 X T X T λ α Equação da Condução do Calor 2 1 X T X T λ α 8 X X λ 1 T λ 2 EDOs para X e T 9 2 X T α 2 1 T T λ α Equação da Condução do Calor 0 X λ X Problema em X Para evitar raízes quadradas na solução escrevese 11 10 Condições de Contorno 0 0 0 0 0 0 u t X T t X 0 0 0 u L t X L T t X L 12 Para evitar raízes quadradas na solução escrevese 2 0 X X λ Equação da Condução do Calor 2 0 0 0 0 X X X X L λ Problema em X Equação Característica 2 2 0 x x i λ λ Solução 0 cos cos x X x e A sen x B x X x A sen x B x λ λ λ λ 13 Equação da Condução do Calor Aplicando CCs 0 0 0 0 cos 0 X A sen B 0 B e X x A sen λ x 0 0 X L A sen λ L 1 2 0 0 0 X L A sen L n sen L L n L λ π λ λ π λ n n X x A sen x L π 14 2 Autofunções de Xx associadas aos autovalores n n L π λ Equação da Condução do Calor 2 2 0 T T α λ Problema em T Substituindo por em 9 λ 2 λ Resolvendo a EDO de 1ª ordem 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 n dT n T T T L dt L π π α α 2 2 2 2 exp 0 n T t t L α π 16 Equação da Condução do Calor Então a partir de n n X x A sen x L π 2 2 2 exp 0 n T t t α π u x t X x T t 17 2 exp 0 n T t t L α π temse 2 2 2 2 ex p 1 2 3 n n x n u x t sen t n L L π α π que são as soluções fundamentais do Problema 1 3 e 4 Equação da Condução do Calor A solução do Problema é uma combinação linear das funções 17 18 2 2 2 2 1 1 exp n n n n n n x n u x t C u C sen t L L π α π Aplicando a CI eq 3 em 18 0 u x f x 2 2 2 2 1 0 exp 0 n n n x n u x C sen f x L L π α π Equação da Condução do Calor Então 19 que é uma série de Fourier em Senos Assim Cn são os 1 n n n x f x C sen L π que é uma série de Fourier em Senos Assim Cn são os coeficientes desta série e são dados por 0 2 L n n x C f x sen d x L L π 20 A solução do Problema 1 3 e 4 é dada pela eq 18 com os coeficientes da eq 20 Exemplo Determine a temperatura uxt em uma barra de cobre isolada lateralmente se a temperatura inicial é dada por C e nas extremidades a temperatura é mantida a 0 C Quanto tempo levará para que a temperatura máxima caia para 50 C 100 80 x sen π temperatura máxima caia para 50 C Dados 3 8 92 0 092 0 95 g cm C p cal g C k cal cm s C ρ Exemplo 2 Encontre a temperatura uxt em qualquer instante em uma barra de metal com 50 cm de comprimento insulada nos lados a uma temperatura inicial de 20 C e cujas extremidades são mantidas a 0 C para todo t0 t0