Equação de Laplace: Métodos Matemáticos e Aplicações em Engenharia

Equação de Laplace Métodos Matemáticos PPGEQUFSM Fernanda de Castilhos Equação de Laplace Associada a processos estacionários e usada na descrição de problemas de condução de calor campos gravitacionais e eletrostáticos Em duas dimensões Em duas dimensões Em três dimensões 2 2 2 2 0 u u x y 2 2 2 2 2 2 0 u u u x y z 1 2 Equação de Laplace Problema de condução de calor em 2 dimensões onde α2 é a difusividade térmica u é a temperatura e são necessárias 2 condições de contorno em cada dimensão 2 2 2 2 2 0 u u x y α 3 Equação de Laplace Dependendo do tipo de condição de contorno o problema de encontrar a solução da equação de Laplace é conhecido por nomes diferentes Problema de Dirichlet condições de contorno somente com valores de uxy Problema de Neumann condições de contorno somente com derivadas de uxy Problema Misto condições de contorno com valores de uxy e de sua derivada Problema de Dirichlet Considere o problema de encontrar a função u que satisfaz a equação de Laplace 4 2 2 u u No retângulo 0xa 0xb e as condições de contorno 5 4 0 0 0 0 0 0 0 u x u x b x a u y u a y f y y b 2 2 2 2 0 u u x y O Problema é definido pelas equações 4 e 5 Problema de Dirichlet Para resolver Método de Separação de Variáveis Substituindo em 4 u x y X x Y y Substituindo em 4 Separando as variáveis 7 8 X Y X Y λ 0 0 X X Y Y λ λ 6 Problema de Dirichlet 0 0 0 0 0 X Y Y b Substituindo uxy nas condições de contorno homogêneas 9 10 0 0 0 Y Y b 2 0 0 0 0 Y Y Y Y b λ Problema em Y Mesmo problema da resolução da eq da condução de calor e equação da onda Problema de Dirichlet Então temse uma solução não trivial se e somente se 11 2 2 2 1 2 n n b π λ e n n Y x A sen y b π Usando os valores de λ dados pela eq11 na eq7 Problema de Dirichlet 2 2 2 0 n X X b π Problema em X 1 2 cosh n n X x k x k senh x b b π π 12 onde k1 e k2 são constantes arbitrárias Aplicando a condição inicial eq 9 obtémse que k1 0 o que resulta em n X x sen h x b π α Problema de Dirichlet Logo as funções eq15 satisfazem a EDP eq4 as CCs eq9 e 10 13 senh sen 1 2 3 n n n u x y x y n b b π π Para satisfazer a condição de contorno nãohomogênea em x a suponha que uxt tenha a forma de uma combinação linear 14 1 n n n a n y u a y C senh sen f y b b π π 15 1 1 senh sen n n n n n n n u x y C u C x y b b π π Problema de Dirichlet Então que é uma série de Fourier em Senos Assim 1 n n n a n y f y C senh sen b b π π n n a C senh b π são os coeficientes desta série e são dados por 0 2 b n n a n y C senh f y sen dy b b b π π 16 A solução do Problema 4 e 5 é dada pela eq 14 com os coeficientes da eq 16 b Problema de Neumann A eq de Laplace é válida 4 2 2 2 2 0 u u x y No retângulo 0xa 0xb e as condições de contorno 17 2 2 x y O Problema é definido pelas equações 4 e 17 0 0 0 0 0 0 0 u y u a y y b x x u x u x b f x x a y y Problema de Neumann Para resolver Método de Separação de Variáveis Substituindo em 4 u x y X x Y y Substituindo em 4 Separando as variáveis X Y X Y λ 0 0 X X Y Y λ λ Problema de Neumann Substituindo uxy nas condições de contorno homogêneas 0 0 0 X X a Problema em X 0 0 0 0 0 X X a Y 0 0 0 0 X X X X a λ Caso 1 λ 0 0 X 1 2 X x k x k Problema de Neumann 0 0 0 0 X X X X a λ Substituindo as CCs obtémse k10 e k2 fica indeterminado Caso 2 λ 0 2 λ µ 2 0 X X µ 1 2 cos X x k sen x k x µ µ Substituindo as CCs Problema de Neumann 1 2 cos X x k x k sen x µ µ µ µ 1 2 1 0 cos0 0 0 X k k sen µ µ 0 0 0 0 X X X X a λ 1 2 0 cos k X x k x µ 0 sen a n a n a µ π µ π µ 2 2 0 X a k sen a µ µ 2 2 2 n a π λ Caso 3 λ 0 2 λ µ 2 0 X X µ 1 2 cosh X x k senh x k x µ µ Problema de Neumann Substituindo as CCs obtémse k1k20 o que não é aceitável 1 2 1 2 cosh X x k x k senh x µ µ µ µ Problema de Neumann 1 2 1 0 cosh 0 0 0 X k k senh µ µ µ µ 1 2 0 cosh k X x k µ x 2 2 0 X a k senh a µ µ 0 0 0 senh a a µ µ µ 2 2 0 X a k senh a µ µ Inconsistente 2 cos X n x k µ x Problema de Neumann Problema em Y 2 2 2 0 n Y Y a π 1 2 cosh Y y k senh y k y µ µ Substituindo a CC homogênea 1 2 cosh senh Y y k y k y µ µ µ µ 1 2 0 cosh0 senh0 0 Y k k µ µ 0 0 Y 1 k 0 2 cosh Y y k µ y Problema de Neumann Para satisfazer a condição de contorno nãohomogênea em y b cos cosh n n x n y u x y a a π π Então Para satisfazer a condição de contorno nãohomogênea em y b suponha que uxt tenha a forma de uma combinação linear 1 cos cosh n n n x n y u x y C a a π π 1 n cos n u x y n n x n y C senh y a a a π π π Problema de Neumann Então 1 n cos n u x n n x n C senh f x y b a a a b π π π que é uma série de Fourier em Cossenos Assim os coeficientes desta série e são dados por 0 2 senh cos a n n n b n x C f x dx a a a a π π π Problema Misto A eq de Laplace é válida 4 2 2 2 2 0 u u x y No retângulo 0xa 0xb e as condições de contorno 2 2 x y 0 0 0 0 0 0 0 u a y u y y b x u x u x b f x x a Problema Misto X Y X Y λ 0 0 X X Y Y λ λ u x y X x Y y X Y 0 Y λ Y As condições de contorno homogêneas ficam 0 0 0 0 0 X X a Y Problema Misto Problema em X 0 0 0 0 X X X X a λ Caso 1 λ 0 Substituindo as CCs obtémse k2 e k1 são nulos solução trivial 0 X 1 2 1 X x k x k X x k Caso 2 λ 0 2 λ µ 2 0 X X µ Problema Misto 0 0 0 0 X X X X a λ Substituindo as CCs 1 2 cosh X x k senh x k x µ µ 1 2 1 0 senh 0 cosh 0 0 X k k µ µ 2 1 0 senh k X x k µ x Problema Misto 2 cosh 0 X a k a µ µ 1 2 cosh X x k x µ µ cosh 0 µ a Inconsistente 0 0 0 0 X X X X a λ Problema Misto 0 0 0 0 X X X X a λ Caso 3 λ 0 2 λ µ 2 0 X X µ cos X x k sen x k x µ µ 1 2 cos X x k sen x k x µ µ Substituindo as CCs 1 2 1 0 0 cos0 0 X k sen k 2 1 0 s k X x k en x µ 1 cos X x k x µ µ Problema Misto 0 0 0 0 X X X X a λ 1 2 cos 0 X a k a µ µ cos 0 2 1 2 1 2 2 a n n a a µ π π µ µ 2 2 2 2 1 4 n a π λ Problema Misto Problema em Y 2 2 2 2 1 0 4 n Y Y a π 1 2 cosh Y y k senh y k y µ µ Substituindo a CC homogênea 1 2 cosh Y y k senh y k y µ µ 1 2 0 senh0 cosh0 0 Y k k 0 0 Y 2 0 k 1 2 1 senh 2 n y Y y k a π Problema Misto 2 1 2 1 sen senh 2 2 n n x n y u x y a a π π Então Para satisfazer a condição de contorno nãohomogênea em y b suponha que uxt tenha a forma de uma combinação linear 1 2 1 2 1 sen senh 2 2 n n n x n y u x y C a a π π Problema Misto Aplicando a CC não homogênea 1 2 1 2 1 sen 2 2 n n n x n u x C senh f b x a a b π π que é uma série de Fourier em Senos Assim os coeficientes desta série são dados por 2 0 2 1 2 1 1 senh sen 2 2 a n n b n x C f x d x a a a π π Exemplo Sendo dado o problema de condução de calor em estado estacionário e as CCs 2 2 2 2 u u x y 0 1 0 0 3 y se y u y u y Obtenha o perfil de temperatura 0 0 3 2 1 2 0 0 2 0 0 u y u y y se y u x u x x a