Equacao da Conducao do Calor - Metodos Matematicos e Condicoes de Contorno Nao-Homogeneas

Equação da Condução do Calor II Métodos Matemáticos PPGEQUFSM Fernanda de Castilhos Outros casos da EDP do Calor Condições de Contorno NãoHomogêneas Barra com Extremidades Isoladas CCs NãoHomogêneas Se uma das extremidades da barra é mantida a uma temperatura constante T1 e a outra é mantida a temperatura constante T2 o problema fica 2 2 2 0 0 t u u x L x t α 0 0 u x f x x L 0 1 0 2 u t T t u L t T 23 22 21 CCs NãoHomogêneas A estratégia é reduzilo a um problema com condições de contorno homogêneas Para isso usase o argumento físico de que Para isso usase o argumento físico de que quando t a barra alcançará um perfil de temperatura estacionária que independe de t e das Cis v x CCs NãoHomogêneas Como vx tem que satisfazer a eq do calor 21 então 0 0 v x x L v x A x B Satisfazendo as CCs eq 22 obtémse a solução v x A x B 0 1 e 2 v T v L T 2 1 1 x v x T T T L 24 CCs NãoHomogêneas O perfil de temperatura uxt pode ser expresso como a soma da distribuição de T no estado estacionário vx e no regime transiente wxt u x t v x w x t 25 Substituindo a relação acima na eq do calor u x t v x w x t 25 2 2 2 v w v w x t α 2 2 2 w w x t α 2 2 0 v v x t CCs NãoHomogêneas Ainda as CCs para wxt são definidas a partir das eqs 25 24 e 22 w x t u x t v x E a CI é definida a partir das eqs 25 e 23 0 0 0 1 1 0 2 2 0 w t u t v T T w L t u L t v L T T 0 0 w x u x v x f x v x CCs NãoHomogêneas E com isso obtémse um problema de condução de calor homogêneo para wxt 2 2 2 0 0 t w w x L x t α onde 0 x L x t 0 0 w x f x v x x L 0 0 0 0 w t t w L t 2 1 1 x v x T T T L CCs NãoHomogêneas A parte transiente do problema wxt é resolvida como o problema original Portanto 2 2 2 2 2 1 1 exp n x n x n u x t T T T C sen t L L L π α π onde 2 1 n n L L L 0 2 2 1 1 L n x n x C f x T T T sen dx L L L π 26 27 v x Extremidades Isoladas Considerando que as extremidades da barra estão isoladas de modo que não há transferência de calor através dela as CCs ficam 0 0 0 0 u t x t u L t x Extremidades Isoladas Com isso a formulação do problema fica 2 2 2 0 0 t u u x L x t α 28 0 x L x t 0 0 u x f x x L 30 29 28 0 0 0 0 u t x t u L t x Extremidades Isoladas Este problema pode ser resolvido por separação de variáveis sendo u x t X x T t 31 obtémse 2 EDOs 33 32 u x t X x T t 31 2 0 0 X X T T λ α λ Extremidades Isoladas Substituindo uxt eq 31 nas CCs eq 29 X0x0 XLx0 t 0 34 Para resolver o problema 32 e 34 consideremos 3 casos λ 0 λ 0 λ 0 Extremidades Isoladas Caso 1 λ 0 Neste caso é conveniente fazer e a solução fica 2 λ µ 2 0 X X µ cosh X x k senh x k x µ µ Substituindo as CCs eq 34 obtémse k1k20 o que não é aceitável 1 2 cosh X x k senh x k x µ µ µ não pode ser 0 Extremidades Isoladas Caso 2 λ 0 Então e a solução fica 0 X e a solução fica Substituindo as CCs eq 34 obtémse k10 e k2 fica indeterminado 1 2 X x k x k Extremidades Isoladas Caso 3 λ 0 Neste caso fazse e a solução fica 2 λ µ 2 0 X X µ 1 2 cos X x k sen x k x µ µ Substituindo as CCs eq 34 obtémse k10 e que com k2 arbitrário 1 2 cos X x k sen x k x µ µ µ não pode ser 0 1 2 3 n n L π µ Extremidades Isoladas Então o problema possui uma sequencia infinita de autovalores λ com autofunções associadas Xnx cos n n x X x L π 2 n π 2 λ Para estes valores de λ a solução Tt é proporcional a cos X n x L L2 λ 2 2 2 exp n t L π α 1º caso EDP calor com CCs homogêneas Extremidades Isoladas Combinando estes resultados temos a seguinte solução com 2 2 2 2 exp cos n n t n x u x t L L π α π 35 com onde as constantes de proporcionalidade foram retiradas Fazendo uma combinação linear das funções fundamentais 0 1 u x t 36 Extremidades Isoladas 0 0 1 2 n n n C u x t u x t C u x t 37 2 2 2 0 2 exp cos 2 n C n t n x u x t C L L π α π Satisfazendo a CI 2 1 2 n n L L 2 2 2 0 2 1 0 exp cos 0 2 n n C n n x u x C f x L L π α π Extremidades Isoladas Então os coeficientes desconhecidos da eq 37 tem que ser os coeficientes da série de Fourier em cossenos de período 2L de fx 38 0 2 cos 01 2 L n n x C f x dx n L L π Exemplo 1 Encontre a temperatura uxt em barra metálica com 25 cm de comprimento totalmente isolada cuja distribuição inicial de temperatura é ux0 x para 0x25