Engenharia Economica - Introducao a Matematica Financeira e Viabilidade de Projetos

Engenharia Econômica Edemilson Nogueira Elementos da Matemática Financeira 1 Apresentando a Disciplina Por esta página o aluno deverá ter uma idéia geral do que vai ser a disciplina Essas informa ções estão quase todas no mapa de atividades da disciplina Engenharia Econômica Edemilson Nogueira Engenharia Econômica Edemilson Nogueira Elementos da Matemática Financeira 2 Dados gerais Carga Horária 60 horas Número de Créditos 4 Objetivos de aprendizagem Ao final do curso o aluno deverá ser capaz de Elaborar e analisar estudos de viabilidade econômica de projetos Compreender os conceitos financeiros básicos como ju ros taxa de juros capitalização regime de capitalização etc Desenvolver as relações de equivalência de capitais Saber utilizar os métodos da Engenharia Econômica para realizar análise de investimentos Desenvolver análises de substituição de equipamentos Analisar a influência do imposto de renda na viabilidade econômica de projetos Ementário Nesta disciplina estudamos inicialmente os elementos fun damentais da Matemática Financeira para posteriormente podermos apresentar os principais métodos utilizados para análise e comparação de alternativas de investimento Em seguida descrevemos os procedimentos necessários para realizar análises de substituição de equipamentos Estuda mos também o conceito e os principais métodos de depreci ação de ativos para podermos avaliar a influência do impos to de renda na análise de viabilidade de projetos Visão geral da disciplina Esta disciplina é importante na formação do profissional de TS Tecnologia Sucroalcooleira e visa a apresentar concei tos e técnicas necessárias para o desenvolvimento de estu dos de viabilidade econômica de projetos Os conteúdos es tão organizados em uma sequência na qual proporcionam ao estudante um aprendizado acumulativo com a finalidade de fazêlo atingir os objetivos propostos Conteúdo da disciplina Elementos da Matemática Financeira Métodos para avaliação de alternativas de investimentos Substituição de equipamentos Análise de alternativas de investimento considerando a in fluência do imposto de renda Engenharia Econômica Edemilson Nogueira Elementos da Matemática Financeira 3 Engenharia Econômica Edemilson Nogueira Engenheiro de Produção pela UFSCar Universidade Federal de São Carlos mestre e doutor em Administração de Empresas pela EAESPFGV Escola de Administração de Empresas de São Paulo da Fundação Getúlio Vargas Professor adjunto do DEP Depar tamento de Engenharia de Produção da UFSCar e membro do GEEOP Grupo de Estudo sobre Estratégia e Organização da Pro dução do DEP da UFSCar Sumário Apresentação Unidade 1 Introdução 5 11 Primeiras palavras 5 12 Problematizando o tema 5 13 Organizando o processo de tomada de decisão de investimento 6 131 Identificação de objetivos 6 132 Geração de alternativas 7 133 Caracterização e conversão 7 134 Análise econômica das alternativas 7 135 Decisão 8 14 Considerações finais 8 15 Referências bibliográficas 9 Unidade 2 Elementos da Matemática Financeira 10 21 Primeiras palavras 10 22 Problematizando o tema 10 23 Conceitos básicos 10 231 Juros e taxas de juros 10 232 O valor do dinheiro no tempo 11 233 Fluxo de caixa 12 234 O processo de formação dos juros 14 235 Equivalência entre taxas 17 236 Taxa efetiva e taxa nominal 18 237 Taxa de inflação 20 238 Taxa de juros total 21 Engenharia Econômica Edemilson Nogueira Elementos da Matemática Financeira 4 24 Equivalência de capitais 21 241 Relações de equivalência envolvendo pagamento simples 22 242 Relações de equivalência envolvendo série uniforme 25 243 Relações de equivalência envolvendo série gradiente uniforme 28 25 Sistemas para pagamento de empréstimos 31 251 Sistema americano 31 252 Sistema francês 33 253 Sistema de amortização constante 34 254 Sistema de amortização misto 35 26 Considerações finais 36 27 Referências bibliográficas 36 Unidade 3 Métodos de análise e seleção de alternativas de investimento 37 31 Primeiras palavras 37 32 Problematizando o tema 37 33 Taxa mínima de atratividade 37 34 Método do valor presente líquido 38 35 Método do valor anual equivalente uniforme 41 36 Método da taxa interna de retorno 45 37 Método do payback 51 38 Considerações finais 54 39 Referências bibliográficas 55 Unidade 4 Substituição de equipamentos 56 41 Primeiras palavras 56 42 Problematizando o tema 56 43 Análise de substituição de equipamentos 56 431 Substituição baseada na vida econômica 59 44 Referências bibliográficas 66 Unidade 5 Análise de alternativas de investimento considerando a influência do imposto de renda 67 51 Primeiras palavras 67 52 Problematizando o tema 67 53 Depreciação 67 531 Métodos de depreciação 69 54 A influência do imposto de renda na análise de alternativas de investimento 73 55 Referências bibliográficas 79 Engenharia Econômica Edemilson Nogueira Elementos da Matemática Financeira 5 Unidade 1 Introdução 11 Primeiras palavras Nesta primeira unidade apresentase um breve texto introdutório com o qual se pre tende justificar a importância do conhecimento da Engenharia Econômica por parte de profissionais ligados a empresas sejam elas de qualquer natureza Devese destacar que o conteúdo a ser desenvolvido neste texto também é relevante para a vida particular de qualquer indivíduo pois pode auxiliálo em questões que envolvem decisões de investi mento 12 Problematizando o tema A alocação de capital nas empresas é uma das tarefas mais críticas da administração Decisões corretas favorecendo certos projetos em detrimento de outros podem propor cionar resultados satisfatórios em termos de competitividade No entanto seleções equivocadas podem comprometer o bom desempenho da empresa e por consequência sua posição competitiva Dessa maneira os responsáveis pela elaboração e análise de estudos de viabilidade econômica de projetos devem estar atentos para que esse traba lho seja desenvolvido com o cuidado necessário e fundamentado nos conceitos e técni cas desenvolvidos no âmbito da Engenharia Econômica Nas empresas é comum encontrar na mesa dos diretores um conjunto de projetos so licitando recursos para que possam ser viabilizados O setor de produção solicita a aqui sição de novas máquinas e equipamentos o marketing pede recursos para uma nova campanha publicitária enquanto o setor de desenvolvimento solicita investimento nos laboratórios Também é comum ouvir o diretor dizer que não tem recursos para financi ar todos os projetos que estão sendo solicitados Fato semelhante ocorre nas residências As famílias em geral têm uma série de neces sidades que ainda não foram atendidas entretanto o orçamento familiar é reduzido não permitindo considerar ao mesmo tempo todas as solicitações que são feitas pelos seus integrantes Nas empresas a quantidade limitada de recursos impõe à administração a tarefa de es colher o destino de cada unidade monetária disponível De outra maneira a administra ção deve procurar fazer o melhor uso possível de seus recursos financeiros determinan do as quantidades utilizadas no custeio das atividades operacionais e selecionando pro jetos que a auxiliem a proporcionar bons rendimentos para seus acionistas e realizar seus planos estratégicos Nas residências em geral os pais exercem a função de administração do orçamento fa miliar analisando as oportunidades e selecionando as alternativas que podem proporci onar melhores benefícios para a família Para que o objetivo de melhor uso possível dos recursos seja atingido é imprescindível a realização de uma análise econômica visando a identificar quais oportunidades ofere Engenharia Econômica Edemilson Nogueira Elementos da Matemática Financeira 6 cem retornos mais satisfatórios para a empresa Nos dias de hoje ainda é possível veri ficar na prática de muitas empresas e também de pessoas individualmente o desenvol vimento de processos de tomada de decisão de investimento baseados na experiência ou na intuição do responsável Evidentemente que a experiência do tomador de decisão é importante e pode ser traduzida no conhecimento que ele possui do empreendimento no qual está envolvido Isso significa que ele conhece muito bem o seu produto as ne cessidades de seus clientes e as mudanças que por ventura estejam ocorrendo nesse quesito as evoluções tecnológicas em nível de produto ou de processo que possam estar em curso os movimentos dos concorrentes etc A experiência é fundamental entretan to pode não ser suficiente para que sejam selecionadas as melhores alternativas do ponto de vista econômico É necessário um processo mais estruturado que considere os aspectos qualitativos e quantitativos do investimento e que incorpore as experiências ou os conhecimentos dos responsáveis pela tomada de decisão Neste sentido a Engenharia Econômica cumpre um papel fundamental pois auxilia o tomador de decisão na avaliação de alternativas de investimentos Oliveira 1982 defi ne Engenharia Econômica como uma técnica que possibilita quantificar monetariamente e avaliar economicamente as alternativas de investimento permitindo ao administrador a posse do conjunto de elementos necessários à tomada de decisão Decisões econômica são tomadas a todo momento em uma empresa quando se faz a opção por comprar uma máquina ou equipamento quando se decide construir uma nova planta ou um novo centro de distribuição quando se resolve comprar uma peça ou componente de terceiros ao invés de fabricála internamente quando se contrata uma transportadora para entregar os produtos quando se compra uma quantidade maior ou menor de matériaprima quando se aplicam recursos em um ativo financeiro qualquer etc Devese nessas e em outras circunstâncias utilizar os recursos disponibilizados pe la Engenharia Econômica para a tomada de decisão A seguir descrevemse algumas etapas inerentes aos processos de tomada de decisão de investimento O objetivo é sistematizar esse processo de forma a possibilitar um melhor entendimento do mesmo e consequentemente colaborar para a obtenção de decisões mais precisas 13 Organizando o processo de tomada de decisão de investimento É possível organizar o processo de tomada de decisão de investimentos em cinco etapas ou fases identificação do objetivo geração de alternativas caracterização e conver são avaliação das alternativas de investimento e tomada de decisão 131 Identificação dos objetivos O processo se inicia com a definição de objetivos a serem alcançados pela organização ou mesmo por um setor da empresa A empresa pode por exemplo almejar ampliar sua capacidade de produção visando a atender a uma demanda crescente Determinadas situações proporcionadas pela concorrência podem fazer com que a empresa se mobilize no sentido de adquirir conhecimentos de produto e processos para não perder participa Engenharia Econômica Edemilson Nogueira Elementos da Matemática Financeira 7 ção no mercado Em outras ocasiões a empresa necessita desenvolver projetos para melhorar a qualidade de seus produtos ou ainda reduzir custos de fabricação ou de dis tribuição ampliar mix ou melhorar serviço aos clientes Pode ainda necessitar desen volver ações de marketing visando a melhorar a imagem do produto e da marca Enfim existem diversas possibilidades de projetos de diferentes naturezas a partir dos quais a empresa pretende atingir objetivos específicos ou resolver um determinado problema Dessa maneira nessa primeira etapa do processo de tomada de decisão devese definir precisamente qual ou quais são os objetivos a serem alcançados ou o que a organização precisa ou deseja atingir 132 Geração de alternativas Essa etapa do processo é de suma importância e exige das pessoas envolvidas muita cri atividade Nesse momento considerando que os objetivos foram definidos na etapa an terior será necessário gerar alternativas que possibilitem à empresa atingilos Devese ressaltar que as alternativas geradas além de proporcionarem à empresa al cançar os objetivos almejados devem contemplar as restrições físicas e econômicas existentes naquele momento Também é importante ressaltar que em todo processo de decisão de investimento a alternativa de não investir em qualquer dos projetos em avaliação deve sempre ser con siderada 133 Caracterização e conversão Essa terceira etapa consiste inicialmente de uma descrição detalhada de cada alternati va gerada na etapa anterior È fundamental que sejam destacadas as principais caracte rísticas de cada alternativa suas limitações os resultados esperados com sua utilização etc Essa etapa deve abranger o maior número possível de informações de caráter qua litativo ou quantitativo para facilitar o processo de avaliação Feita a caracterização é necessário converter as informações obtidas em um fator co mum a todas as alternativas O fator comum utilizado na análise econômica é o valor expresso em termos monetários 134 Análise econômica das alternativas Tendo as características das alternativas expressas na forma monetária elaboramse os fluxos de caixa de cada alternativa e por meio da utilização dos métodos da Engenharia Econômica fazse uma análise quantitativa e qualitativa de todas alternativas Essas análises servirão de subsídio para a próxima etapa que é a tomada de decisão Engenharia Econômica Edemilson Nogueira Elementos da Matemática Financeira 8 135 Decisão As análises das alternativas realizadas na etapa anterior serão as principais referências para a decisão È importante salientar que dependendo do projeto ou da alternativa de investimento em consideração o processo decisório envolverá maior ou menor número de pessoas ocupando diferentes posições na organização Quanto maior o volume de ca pital envolvido na alternativa de investimento analisada maior será o nível hierárquico dos envolvidos na tomada de decisão favorável ou não ao projeto Projetos envolvendo grandes somas de capital são analisados por um comitê que envolve diversas pessoas da organização entre elas o diretor industrial e o financeiro por exemplo Devese também ressaltar que as pessoas responsáveis pela tomada de decisão em ge ral acrescentam à avaliação elaborada na etapa anterior outros aspectos qualitativos que muitas vezes ainda não foram considerados e que podem ter influência decisiva na decisão a ser tomada Finalmente de posse do maior número de informações possíveis os responsáveis podem emitir um parecer final aprovando ou não o projeto em conside ração ou ainda selecionando uma determinada alternativa em detrimento de outras A Figura 11 ilustra as etapas do processo de tomada de decisão de investimento 14 Considerações finais Nesta unidade procurouse destacar a importância da Engenharia Econômica para as empresas e também para os indivíduos Apresentaramse também algumas etapas que se seguidas podem auxiliar o responsável pela decisão de investimento a realizar uma Identificação dos objetivos Geração de Alternativas Caracterização e Conversão Análise Econômica Decisão Figura 11 Etapas do processo de tomada de decisão de investimento Engenharia Econômica Edemilson Nogueira Elementos da Matemática Financeira 9 avaliação econômica mais consistente A seguir na Unidade 2 apresentamse elemen tos da Matemática Financeira essenciais para a compreensão e o desenvolvimento dos métodos de avaliação econômica utilizados pela Engenharia Econômica 15 Referências bibliográficas OLIVEIRA J A N Engenharia Econômica uma abordagem às decisões de investimento São Paulo McGrawHill 1982 Engenharia Econômica Edemilson Nogueira Elementos da Matemática Financeira 10 Unidade 2 Elementos da Matemática Financeira 21 Primeiras palavras Nesta unidade apresentamse alguns dos principais elementos da Matemática Financei ra O objetivo é proporcionar aos estudantes um conjunto de conhecimentos que lhes permitirão posteriormente nas unidades subsequentes compreender e utilizar os mé todos utilizados pela Engenharia Econômica para a realização de estudos de viabilidade econômica de projetos Inicialmente apresentamse alguns dos principais conceitos bá sicos da Matemática Financeira A seguir desenvolvemse as relações de equivalência de capitais para na sequência apresentar alguns planos utilizados para saldar financi amentos 22 Problematizando o tema As decisões de alocação de capital em projetos nas empresas são tomadas no presente a partir de uma avaliação entre os investimentos realizados em geral nos primeiros perí odos dos projetos e os recebimentos que ocorrerão ao longo do tempo Tanto os de sembolsos quanto os recebimentos são frutos de estimativas Dessa maneira estão su jeitos a variações e portanto geram riscos para quem investe Além disso os recebi mentos e desembolsos ocorrem ao longo do tempo em datas diferentes colocando ou tra variável fundamental nas análises o tempo Como equacionar essa relação entre dinheiro tempo e risco nos estudos de viabilidade econômica Essa é uma questão fun damental e a Matemática Financeira fornece as ferramentas básicas para superar essa questão 23 Conceitos básicos Apresentamse neste tópico alguns conceitos financeiros básicos fundamentais para o desenvolvimento da Matemática Financeira Inicialmente descrevemse os conceitos de juros e taxas de juros para a seguir apresentar o conceito de valor do dinheiro no tempo Na sequência discorrese a respeito de fluxo de caixa taxa efetiva e taxa no minal taxa de inflação e taxa de juros total 231 Juros e taxas de juros O conceito econômico de valorutilidade atribui valor aos objetos ou aos serviços na medida em que estes satisfazem as necessidades atuais de um indivíduo proporcionan Engenharia Econômica Edemilson Nogueira Elementos da Matemática Financeira 11 do satisfação SINGER 1980 Dessa maneira a não utilização imediata do capital para atendimento de uma necessidade atual só será vantajosa se o uso alternativo do capital possibilitar a obtenção de uma satisfação maior no futuro Devese também considerar que a utilização do capital em atividades que possam trazer benefícios no futuro em detrimento do presente faz com que o capitalista incorra em riscos uma vez que as ex pectativas podem não serem confirmadas e o capital investido não retornar Assim os juros podem ser definidos como a remuneração obtida no futuro pela não uti lização imediata do capital Essa remuneração deve ser suficiente para proporcionar ao investidor uma maior satisfação no futuro compensando o quanto deixou de ganhar no presente e os riscos incorridos no empreendimento De outra maneira os juros podem ser entendidos como a remuneração do capital pelo seu uso alternativo Ou ainda de maneira genérica como todas as formas de remunera ção de capital como lucros dividendos etc OLIVEIRA 1982 Já taxa de juros como o próprio nome indica é uma medida relativa entre os juros pa gos ou recebidos no final de um período e o valor emprestado no início do período Costumase representar a taxa de juros pela letra i interest C 0 J i i Taxa de juros C0 Capital na data 0 zero ou seja hoje J Juros do período 232 O valor do dinheiro no tempo O valor do dinheiro no tempo talvez seja o conceito mais importante da Matemática Fi nanceira e tem origem na discussão apresentada anteriormente a respeito do significado dos juros Cabe destacar que esse conceito tem relação com algo muito presente na realidade econômica brasileira principalmente durante as décadas de 1980 e 1990 o conceito de inflação Em outro tópico será apresentado o conceito de inflação e sua utilização O valor do dinheiro no tempo decorre na definição de juros ou de outra maneira do adiamento da satisfação e dos riscos incorridos em investimentos de capital Dessa ma neira devese compreender que por exemplo R10000000 hoje não têm o mesmo valor de R10000000 ao final de um ano O que torna dois valores em datas diferentes equivalentes é a incorporação de um valor que se denominam juros Assim a uma determinada taxa de juros de 10 aa ao ano R10000000 hoje equi vale a R11000000 após um ano Engenharia Econômica Edemilson Nogueira Elementos da Matemática Financeira 12 233 Fluxo de caixa Se o dinheiro tiver valor no tempo para que seja possível realizar qualquer tipo de ana lise ou comparação de alternativas de investimentos será fundamental ter o controle dos exatos momentos em que um volume de dinheiro está entrando ou saindo do caixa da empresa Para isso utilizase o fluxo de caixa O fluxo de caixa de uma alternativa de investimento deve ser elaborado a partir das es timativas de recebimentos e desembolsos a serem realizados ao longo da vida do proje to Sua representação pode ser realizada por meio de um diagrama ou de uma tabela a Diagrama O diagrama de fluxo de caixa é constituído por uma linha horizontal utilizada como es cala de tempo e por vetores verticais representando as entradas e saídas de caixa Os vetores verticais localizados na parte superior da escala de tempo e com orientação pa ra o sentido superior representam entrada de dinheiro Ao contrário o vetor localizado na parte inferior da escala de tempo com sentido inferior representa saída de dinheiro do caixa Em termos algébricos os pagamentos serão negativos e os recebimentos po sitivos A Figura 22 ilustra um diagrama de fluxo de caixa Escala de tempo Saída de Entradas de 0 1 2 3 4 5 n Figura 22 Diagrama de Fluxo de caixa R 100000 R 110000 juros 10aa Hoje Após um Ano Figura 21 Valor do dinheiro no tempo Engenharia Econômica Edemilson Nogueira Elementos da Matemática Financeira 13 Cabe ressaltar que no diagrama apresentado na Figura 22 a saída de caixa está ocor rendo na data 0 zero enquanto que entradas estão ocorrendo apenas no final dos pe ríodos Essa é uma hipótese simplificadora uma vez que na prática as variações de caixa podem ocorrer durante todo o período fato que pode ser contornado pela esco lha adequada da unidade de tempo Devese também destacar que na elaboração de um fluxo de caixa o sentido dos veto res depende da referência que está adotando Por exemplo uma empresa tomou em prestado de um banco 6000000 para serem pagos em quatro parcelas mensais iguais de 1614200 O fluxo de caixa do ponto de vista do banco deverá ser o seguinte Já essa mesma operação tendo como referência a empresa seria representada pelo seguinte fluxo de caixa b Quadro Outra possibilidade de representação do fluxo de caixa é na forma de um quadro Esse quadro deve ter no mínimo as seguintes informações período de movimentação do caixa discriminação do tipo de movimentação entrada ou saída de caixa e saldo lí quido resultante no período sendo este favorável às entradas ou às saídas A seguir ilustrase um quadro de fluxo de caixa Quadro 21 Quadro de Fluxo de caixa Período Entradas Saídas Saldo Utilizando o exemplo anterior poderseia representar o fluxo de caixa do ponto de vis ta do banco da seguinte forma 60000 16142 0 1 2 3 4 60000 16142 0 1 2 3 4 Engenharia Econômica Edemilson Nogueira Elementos da Matemática Financeira 14 Quadro 22 Fluxo de caixa Período Entradas Saídas Saldo 0 60000 60000 1 16142 16142 2 16142 16142 3 16142 16142 4 16142 16142 234 O processo de formação dos juros O valor do dinheiro no tempo como comentado anteriormente é um dos principais conceitos da Matemática Financeira A incorporação de um valor referente aos juros de um período é que torna possível dois valores em datas diferentes serem equivalentes Dessa maneira é fundamental entender como ocorre o processo de formação dos juros E esse processo pode se dar de duas maneiras a juros simples ou a juros compostos Em uma operação de empréstimo a juros simples os juros incidem apenas sobre o prin cipal da dívida Já em uma operação a juros compostos os juros incidem a cada perí odo sobre o principal mais os juros do período anterior A seguir detalhase o processo a juros simples e composto Juros simples Nas operações a juros simples como os juros incidem apenas sobre o principal o valor pago referente aos juros é proporcional ao tempo em que o principal tenha sido em prestado Além disso os juros são pagos apenas no final da operação Considere uma operação a juros simples no qual um banco concede um empréstimo de 5000000 para uma pessoa cobrando uma taxa de 10 aa por um período de quatro anos Qual o valor dos juros a serem pagos no período e o valor total a ser devolvido no final dos quatro anos Juros referentes ao 1 ano J1 50000 x 01 5000 Juros referentes ao 2 ano J2 50000 x 01 5000 Juros referentes ao 3 ano J3 50000 x 01 5000 Juros referentes ao 4 ano J4 50000 x 01 5000 Juros Totais J1 J2 J3 J4 20000 JT J1 J2 J3 J4 Se C0 50000 e i 01 Então JT iC0 iC0 iC0 iC0 JT 4 iC0 4 x 01 x 50000 20000 Engenharia Econômica Edemilson Nogueira Elementos da Matemática Financeira 15 C4 C0 JT C0 4 x iC0 C4 C0 JT 50000 20000 70000 Generalizando para n períodos ni C C n 0 1 Exemplos a Quanto deverá ser pago de juros ao final de dois anos em uma operação de em préstimos de 100000 a uma taxa de juros simples de 05 am Jn niC0 J 24 x 0005 x 100000 12000 b Quanto deverá ser pago de juros em uma operação de empréstimo de 100000 por três meses a uma taxa de 6 aa Jn niC0 J 12 3 x 006 x 100000 1500 c Qual o valor total a ser pago ao final de 45 dias no empréstimo de 100000 a uma taxa de 12 aa Cn 1000001 360 45 x 012 101500 Juros compostos Quando um empréstimo for feito por um espaço de tempo correspondente a mais que um período de capitalização os juros serão devidos ao final de cada período e serão denominados de compostos Como destacado anteriormente os juros incidem a cada período sobre o principal mais os juros do período anterior Suponha uma situação na qual uma empresa faz um empréstimo de 60000 para serem pagos em uma única vez ao final de seis meses a uma taxa de juros composta de 3 am A tabela 21 ilustra o processo de formação dos juros dessa operação Jn niC 0 Engenharia Econômica Edemilson Nogueira Elementos da Matemática Financeira 16 Tabela 21 Empréstimo a juros compostos Final do mês Juros do período Saldo devedor antes do pagamento Valor a ser pago Saldo devedor após o pagamento 0 6000000 6000000 1 180000 6180000 6180000 2 185400 6365400 6365400 3 190962 6556362 6556362 4 196691 6753053 6753053 5 202592 6955645 6955645 6 208669 7164314 7164314 0 Considere agora uma operação de empréstimo de uma quantidade de capital C0 a uma taxa de juros i por apenas dois períodos A tabela 22 ilustra o processo de capitalização nos dois primeiros períodos Tabela 22 Processo de capitalização a juros compostos Final do Período Saldo Devedor 0 C0 1 C C iC 1 0 0 2 C C iC C iC iC i C 2 1 1 0 0 0 2 0 2 2 0 0 2 0 0 2 1 2 i C i C iC C C Generalizando para n períodos n n i C C 0 1 Exemplos a Quanto deverá ser pago por uma pessoa ao final de seis meses por um emprésti mo de 60000 a uma taxa de 3 am n n i C C 0 1 C6 6000010036 7164314 b Uma empresa deveria saldar uma dívida junto a uma instituição bancária ao final de 90 dias no valor de 35000 Como as vendas do período foram muito favorá veis resolveuse antecipar o pagamento para reduzir seus custos financeiros Considerando que a taxa de juros estabelecida no contrato foi de 4 am qual o valor a ser pago hoje para liquidar a dívida n n i C C 1 0 Engenharia Econômica Edemilson Nogueira Elementos da Matemática Financeira 17 114 8 31 0 04 1 000 35 3 0 C c Um financiamento no valor de 100000 foi pago ao final de cinco anos pelo valor de 14693281 Qual a taxa de juros cobrada no período anual 1 0 n n C C i 0 08 1 000 100 93281 146 5 i i 80 aa d Qual o valor a ser pago em um empréstimo de 20000 por um prazo de 120 dias a uma taxa de 10 aa n n i C C 0 1 2064560 10 20000 1 12 4 Cn 235Equivalência entre taxas O conceito de equivalência entre taxas permite a conversão de taxas de um período para outro Se os juros forem compostos essa relação de equivalência será exponencial Dessa maneira uma taxa de juros i no período t1 é equivalente a uma taxa de juros ie no período t2 t2t1k se aplicadas a um mesmo capital resultar no mesmo valor z ei C i C 1 1 0 0 z ei C i C 1 1 0 0 z ei i 1 1 ou 1 1 z e i i Exemplos a Qual a taxa de juros anual equivalente a uma taxa de 1 am 12 1 1 am aa i i Engenharia Econômica Edemilson Nogueira Elementos da Matemática Financeira 18 0 0112 1 1 aa i i 01268 ou 1268 aa b Qual a taxa de juros mensal equivalente a uma taxa de 16 aa 1 1 z e i i 016 1 12 1 iam i 00124 ou 124 am c Qual a taxa de juros trimestral equivalente a uma taxa de 12 aa 1 1 z e i i 1 012 4 1 iatr i 00287 ou 287 atr 236Taxa efetiva e taxa nominal Em operações financeiras é comum a utilização das denominações taxa efetiva e taxa nominal Como regra geral podese definir a taxa efetiva como aquela que realmente expressa os juros que estão sendo pagos ou cobrados em uma operação Já a taxa nomi nal não representa o custo ou o rendimento efetivo de uma operação mas ainda assim é expressa em contratos de operações financeiras ou simplesmente utilizada pelos pro fissionais da área designando um valor que não representa o que realmente está sendo cobrado ou recebido Considere dessa forma que em uma operação financeira esteja sendo pago uma taxa efetiva de 15 am por um prazo de 90 dias Se o valor investido for de 25000 ao final do período o valor resgatado será de 2614196 0 015 000 1 25 3 3 C Outra taxa de juros ie em período diferente de i também será efetiva se guardar a re lação de equivalência com i isto é z ei i 1 1 Assim para uma taxa efetiva de 15 am é possível calcular outra taxa também efe tiva no período trimestral do seguinte modo Engenharia Econômica Edemilson Nogueira Elementos da Matemática Financeira 19 3 1 1 am atr i i 00153 1 1 atr i iatr 00457 ou 457 atr Essa mesma taxa efetiva de 15 am equivale a uma taxa de 1956 aa também efe tiva conforme relação de equivalência A taxa nominal de juros não guarda a relação de equivalência com a taxa efetiva A re lação entre ambas é linear e representada pela seguinte expressão z i i N e em que iN taxa de juros nominal ie taxa de juros efetiva Z número de capitalizações existentes no período da taxa nominal A caderneta de poupança por exemplo paga ao aplicador juros mais a variação da taxa referencial A taxa de juros paga pela poupança ao aplicador é de 60 aa Essa taxa é nominal e a capitalização é mensal Dessa forma temse iN 6 aa Z 12 pois em um ano temos 12 capitalizações Assim am ie 0 5 12 6 A caderneta de poupança paga de juros real efetivo investidor 000512 1 1 aa i ie 617 aa Engenharia Econômica Edemilson Nogueira Elementos da Matemática Financeira 20 237Taxa de inflação A economia brasileira passou por um longo período convivendo com valores expressivos de inflação Isso fez com que as pessoas compreendessem o seu significado e aprendes sem a contornar os problemas ocasionados pelo fenômeno nos diversos ambientes de negócio Já há alguns anos o índice de inflação tem se mantido em patamares aceitá veis entretanto o governo procura estar sempre atendo para evitar qualquer tendência de alta que possa prejudicar a economia do país A inflação pode ser definida como a desvalorização da moeda ou a perda de poder de compra da moeda em um determinado período de tempo Em uma situação inflacioná ria um capital emprestado na data 0 zero necessita ao final de um período ser corri gido pela variação de preço do período Para isso podese utilizar um dos vários índices de inflação existentes no país como por exemplo o IPCA Índice de Preço ao Consumi dor Amplo ou o IGPM Índice Geral de Preços do Mercado Em uma situação inflacionária um capital C na data 0 zero ao final de um ano de verá ser corrigido pela inflação do período K para manter o seu poder de compra Assim temos K n C C 0 1 1 Considere que C0 valha na data 0 zero 23000 e que a inflação ao longo de um mês foi de 1 Para que após um mês seja possível comprar a mesma quantidade de produ tos que na data 0 zero é necessário possuir 23230 001 000 1 23 1 1 C Se no mês seguinte a inflação foi de 2 para manter o poder de compra do ca pital seria necessário corrigilo por mais esse valor 23694 60 002 230 1 23 1 1 C ou 23694 60 002 1 001 000 1 23 1 1 2 C O que significa que a inflação acumulada nos dois primeiros meses do ano foi de 1 1 0 02 1 0 01 1 1 kab 1 0302 1 kab 0 0302 kab ou ab k nb 3 02 Engenharia Econômica Edemilson Nogueira Elementos da Matemática Financeira 21 238Taxa de juros total A taxa de juros total é a composição da taxa de juros real mais a inflação Na taxa de juros real estão considerados a remuneração pura do dinheiro mais os riscos associados a recuperar o capital investido Na inflação contemplase a correção do poder de com pra da moeda Se r for a taxa de juros real e K a inflação a taxa de juros total i será a composição dessas duas taxas Considere uma aplicação financeira que remunera o investidor pagando juros reais mais a inflação Se o valor investido for C0 ao final de um período chegase ao seguinte va lor 1 0 1 1 i C C 1 1 0 1 1 1 r K C C 1 1 0 1 0 1 1 1 r K C i C 1 1 1 1 1 1 r K i Voltando ao exemplo da caderneta de poupança ela paga ao investidor juros reais de 05 am mais a variação da taxa referencial TR Para uma TR de 03 am a remu neração total da poupança será 1 1 1 0005 1 0003 1 1 i i 0 008015 ou am i 0 8015 24 Equivalência de capitais As relações de equivalência de capitais são desenvolvidas tendo como referência os conceitos de valor do dinheiro no tempo e de juros Sabese que como o dinheiro tem valor no tempo uma determinada quantidade de capital em diferentes datas possui va lores distintos O que torna dois valores em datas diferentes equivalentes é a incorpora ção dos juros Desse modo 5000 hoje é diferente de 5000 após um ano por exemplo Entretanto se for adicionada certa quantidade de capital nesse período referente aos juros é pos sível obter uma relação de equivalência entre dois valores em datas diferentes Assim a uma taxa de juros de 10 aa 5000 serão equivalentes a 5500 ao final de um ano A relação apresentada no parágrafo anterior é simples de ser desenvolvida Situações diversas envolvendo investimento de capital exigem relações de equivalência mais ela Engenharia Econômica Edemilson Nogueira Elementos da Matemática Financeira 22 boradas Considere como exemplo uma empresa que foi a um banco pedir dinheiro em prestado para saldar suas necessidades de capital de giro O valor solicitado no emprés timo foi de 70000 e o banco apresentou três possibilidades de pagamento conforme tabela 23 Tabela 23 Planos de financiamento Final do mês Plano 1 Plano 2 Plano3 1 210000 1292183 2 210000 1292183 3 210000 1292183 4 210000 1292183 5 210000 1292183 6 8358366 7210000 1292183 Total 8358366 8260000 7753095 A escolha por um dos planos de financiamento não deve ser realizada por meio de uma análise superficial Se for observado o total a ser pago em cada plano por exemplo po derseia tomar uma decisão favorável ao plano 3 Entretanto essa decisão pode estar equivocada uma vez que foi baseada em um critério inconsistente do ponto de vista conceitual Conforme o conceito de valor do dinheiro no tempo não se deve somar ou comparar valores em datas diferentes a não ser que a taxa de juros seja igual a 0 ze ro Se esta for igual a 3 am por exemplo os três planos serão equivalentes O desenvolvimento de relações de equivalência é fundamental para que seja possível aplicar os métodos sugeridos pela Engenharia Econômica e com isso proporcionar aos responsáveis pelas decisões uma série de informações que permite a tomada de decisão por parte de um administrador favorável a uma determinada alternativa em relação a outra ou simplesmente a rejeição de todas as alternativas em consideração Assim desenvolvemse a seguir algumas relações de equivalência que serão utilizadas posteriormente quando da apresentação dos métodos para análise e decisão de alter nativas de investimento 241Relações de equivalência envolvendo pagamentos simples Apresentamse neste tópico relações de equivalência que envolvem apenas dois valo res em datas diferentes um valor na data 0 zero e outro em uma data futura Valor futuro de um pagamento simples ou único O valor futuro de um pagamento simples representa o valor em uma data futura de um capital na data 0 zero a uma determinada taxa de juros i O fluxo de caixa a seguir representa essa relação de equivalência Engenharia Econômica Edemilson Nogueira Elementos da Matemática Financeira 23 Como representado no diagrama de fluxo de caixa acima desejase calcular o valor fu turo VF a partir de um valor presente VP conhecido Para isso utilizase a expressão de capitalização a juros compostos ou seja n n i C C 0 1 Substituise na expressão a simbologia utilizada da seguinte maneira Cn VF C0 VP Então i n VP VF 1 Exemplo Um fábrica de eletroeletrônicos vende seus produtos aos varejistas com prazo de paga mento de 90 dias O departamento financeiro da empresa estabeleceu que um determi nado produto se vendido à vista deveria ter um preço de 1200 Na hipótese de venda a prazo deveriam ser acrescentados ao preço juros de 3 am Dessa forma qual o va lor a ser cobrado do varejista por esse produto na condição de pagamento após 90 dias i n VP VF 1 003 3 1200 1 VF 1311 27 VF VP 0 1 2 3 4 5 n1 n VF 1200 0 1 2 3 VF Engenharia Econômica Edemilson Nogueira Elementos da Matemática Financeira 24 Valor presente de um pagamento simples ou único O valor presente representa o valor do capital na data 0 zero O valor presente de um pagamento simples representa o valor na data 0 zero de um capital em uma data futu ra considerando uma determinada taxa de juros i O fluxo de caixa a seguir representa essa relação de equivalência Semelhante a relação de equivalência anterior o fluxo de caixa possui apenas dois valo res um na data 0 zero VP e outro na data n VF Entretanto de forma diferente da relação anterior o valor futuro é conhecido já o valor presente necessita ser calcula do Para tanto também se utiliza a expressão de capitalização a juros compostos ou seja n n i C C 0 1 Querendo calcular o valor presente VP ou o C0 utilizase Exemplo O senhor Antônio tinha uma dívida de 15000 para saldar junto a um banco com venci mento para 120 dias ou 4 meses Entretanto como sua situação financeira melhorou resolveu negociar com a instituição bancária para antecipar o pagamento Se a taxa de juros estabelecida em contrato for de 25 am quanto ele deverá pagar hoje para quitar sua dívida VP 0 1 2 3 4 5 n1 n VF VP 0 1 2 3 4 15000 n n i VF VP 1 Engenharia Econômica Edemilson Nogueira Elementos da Matemática Financeira 25 n n i VF VP 1 VP 1358926 242Relações de equivalência envolvendo série uniforme As relações de equivalência apresentadas neste tópico envolvem o que se denomina de série uniforme de pagamentos As séries uniformes são muito utilizadas em operações financeiras como por exemplo empréstimos bancários ou financiamentos de venda de produtos duráveis Uma série uniforme é composta por pagamentos ou recebimentos de valores iguais ocor rendo em intervalos regulares de tempo Neste tópico apresentamse relações de equi valência envolvendo série uniforme valor futuro e valor presente Valor futuro de uma série uniforme Essa primeira relação representa a equivalência entre um único valor no futuro VF e uma série uniforme de pagamento ou recebimentos ocorrendo ao longo do tempo O fluxo de caixa a seguir representa essa relação de equivalência A relação de equivalência entre a série de pagamentos e o valor futuro pode ser obtida transferindose os valores iguais a VU para a data n utilizando uma taxa de juros previ amente definida então 1 3 2 1 1 1 1 1 i n VU i VU i VU i VU VU VF Multiplicandose os dois lados da equação por 1i resulta n n i VU i VU i VU i VU i U i VF 1 1 1 1 1 1 1 3 2 1 0 1 2 3 4 5 n1 n VF VU VU VU VU VU VU VU 0 025 4 1 15000 VP Engenharia Econômica Edemilson Nogueira Elementos da Matemática Financeira 26 Subtraindose da segunda equação a primeira VU i VU VF i VF n 1 1 i i VU VF n 1 1 I Exemplo Uma pessoa pretende fazer economias para conseguir comprar um apartamento ao final de cinco anos Para isso aplicará um valor uniforme mensalmente em um ativo finan ceiro que rende 08 am de juros reais Qual deverá ser o valor aplicado i i VU VF n 1 1 008 0 1 0 008 1 000 120 60 VU 1 0 008 1 0 008 120000 60 VU VU 1 56609 Valor presente de uma série uniforme Nessa relação representase a equivalência entre um valor único no presente Vp e uma série uniforme de pagamento ou recebimentos ocorrendo ao longo do tempo O fluxo de caixa a seguir representa essa relação de equivalência 0 1 2 3 4 5 59 60 120000 VU VU VU VU VU VU VU 0 1 2 3 4 5 n1 n VP VU VU VU VU VU VU VU Engenharia Econômica Edemilson Nogueira Elementos da Matemática Financeira 27 A relação de equivalência entre a série de recebimentos e o valor presente pode ser ob tida transferindose os valores iguais a VU para a data 0 zero utilizando uma taxa de juros previamente definida e igual a i então n i VU i VU i VU i VU VP 1 1 1 1 3 2 1 Semelhante ao desenvolvimento da relação anterior multiplicase os dois lados da equação por 1i 1 3 2 1 1 1 1 1 1 n i VU i VU i VU i VU VU i VP Subtraindose da segunda equação a primeira n i VU VU VP i VP 1 1 i i i VU VP n n 1 1 1 II Exemplo A Fábrica de Calçados Moderna Ltda tomou emprestado de um banco 40000 para ad quirir novos equipamentos visando a melhorar a produtividade de seu sistema de produ ção A indústria deverá saldar o financiamento em 12 parcelas mensais iguais a uma ta xa de juros de 25 am Pretendese saber qual deverá ser o valor da parcela paga mensalmente Fluxo do ponto de vista do banco i i i VU VP n n 1 1 1 0 1 2 3 4 5 11 12 40000 VU VU VU VU VU VU VU Engenharia Econômica Edemilson Nogueira Elementos da Matemática Financeira 28 1 1 1 n n i i i VP VU 1 0 025 1 0 025 0 025 40000 1 12 12 VU 243Relações de equivalência envolvendo série gradiente uniforme Existem diversas possibilidades de configuração do fluxo de caixa dependendo do tipo de alternativa de investimento que estiver analisando Um fluxo de caixa que represen ta os custos de manutenção de um equipamento por exemplo não apresenta valores constantes ao longo do tempo Muito provavelmente esses custos serão crescentes e podem originar o que se denomina de série gradiente Uma série gradiente uniforme é representada pela ocorrência de pagamentos ou rece bimentos crescentes em uma proporção G a partir do segundo período O fluxo de cai xa a seguir ilustra um fluxo gradiente uniforme Essa série gradiente uniforme pode ser decomposta em várias séries uniformemente dis tribuídas A primeira série iniciase no segundo período sendo composta por n1 valo res iguais a G A segunda iniciase no terceiro período contendo n2 valores iguais a G Já a terceira possui n3 valores iguais a G a quarta n3 e assim por diante até a data n quando existe apenas um valor igual a G Se VF for o valor futuro dessa série gradiente então VF será igual à somatória de VF1VF2VF3VFn i i G i i G i i G VF n n 1 1 1 1 1 1 1 2 1 3 89949 VU 0 1 2 3 4 5 n1 n G 2G 3G 4G n2G n1G Engenharia Econômica Edemilson Nogueira Elementos da Matemática Financeira 29 i i i i i i G VF n n 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 n i i i i G VF n n i nG i i i i G VF n n 1 1 1 1 2 1 i nG i i i G VF n 1 1 i n i i G VF n 2 1 1 III A relação de equivalência entre uma série gradiente e uma série uniforme pode ser ob tida substituindo I em III 1 1 1 i n n G i VU IV Substituindose II em IV é possível obter a expressão do valor presente de uma série gradiente n n i i n i i G VP 1 1 1 Exemplo Uma empresa de aluguel de veículos renovou totalmente sua frota Os veículos adquiri dos são da mesma marca e modelo já utilizados pela empresa Os registros dos custos de manutenção e operação informam que ao final do primeiro mês mantendose a mesma média de quilômetros rodados nos últimos períodos a empresa gastará 1000 por veí culo Ainda se pode verificar que esses custos aumentarão 200 por mês O gerente de operações deseja saber qual é o valor do custo mensal uniforme ao longo do primeiro ano para uma taxa de juros de 1 am O fluxo de caixa representando os gastos com operação e manutenção é o seguinte Engenharia Econômica Edemilson Nogueira Elementos da Matemática Financeira 30 FC I Para atender à solicitação do gerente devese transformar o fluxo de caixa acima FC I em um fluxo uniformemente distribuído como o ilustrado a seguir O fluxo de caixa inicial FC I pode ser dividido em dois outros fluxos O primeiro FC II é composto por uma série uniforme de 12 valores mensais de 1000 O segundo FC III é uma série gradiente uniforme na qual G é igual a 200 Os diagramas a seguir ilustram essa decomposição FC II FC III O FC III pode ser transformado em um fluxo uniforme Para isso podese utilizar a rela ção de equivalência entre uma série gradiente e uma série uniforme 0 1 2 3 4 5 11 12 1000 1200 1400 1600 1800 3000 3200 0 1 2 3 4 5 11 12 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 0 1 2 3 4 5 11 12 CAU CAU CAU CAU CAU CAU CAU 0 1 2 3 4 5 11 12 200 2000 2200 400 600 800 Engenharia Econômica Edemilson Nogueira Elementos da Matemática Financeira 31 1 1 1 i n n G i VU 1 0 01 1 12 0 01 1 200 12 VU FCIII 1 07629 VU FCIII O objetivo é obter o CAU equivalente ao fluxo de caixa inicial FC I Temos que FC I FC II FC III Então CAU 1000 VU FC III 1000 107629 CAU 207629 25 Sistemas para pagamentos de empréstimos Os empréstimos de capital realizados a juros compostos podem ser saldados de diferen tes formas ou de outra maneira por diferentes métodos Cada método possui distintas formas de pagamentos dos juros e de devolução do principal emprestado Neste tópico apresentamse alguns dos métodos mais utilizados no mercado financeiro para pagamento de empréstimos baseados nos conceitos de equivalência a juros com postos desenvolvidos nos tópicos anteriores Apresentamse a seguir quatro diferentes sistemas de pagamentos sistema americano prestações iguais ou sistema francês sistema de amortização constante e sistema de amortização misto Para o desenvolvimento dos quatro sistemas utilizase a seguinte operação de empréstimo Valor do empréstimo principal 100000 Taxa de juros cobrada 8 aa Prazo do empréstimo cinco anos 251 Sistema americano O sistema conhecido como sistema americano de pagamento de empréstimos possui du as variantes Em uma primeira possibilidade o pagamento do empréstimo é realizado todo no final ou seja os juros e o principal são devolvidos apenas no final do emprés timo A tabela a seguir ilustra essa primeira forma de pagamento Engenharia Econômica Edemilson Nogueira Elementos da Matemática Financeira 32 Tabela 24 Pagamento no final Final do ano Saldo devedor Prestação Amortização principal Juros Saldo deve dor após pa gamento 0 10000000 10000000 1 10800000 10800000 2 11664000 11664000 3 12597100 12597100 4 13604890 13604890 5 14693281 14693281 10000000 4693281 0 n n i C C 0 1 108000 0 08 000 1 100 1 1 C 14693281 0 08 000 1 100 5 5 C Outra possibilidade é o pagamento dos juros periodicamente e o principal apenas no fi nal como pode ser observado na tabela 25 Tabela 25 Pagamento dos juros periodicamente e principal no final Final do ano Saldo devedor Prestação Amortização principal Juros Saldo deve dor após pa gamento 0 10000000 10000000 1 10800000 800000 800000 10000000 2 10800000 800000 800000 10000000 3 10800000 800000 800000 10000000 4 10800000 800000 800000 10000000 5 10800000 10800000 10000000 800000 0 SD Saldo Devedor ao final do período após o pagamento J1 SD x i J1 100000 x 008 8000 108000 0 08 000 1 100 1 1 C Engenharia Econômica Edemilson Nogueira Elementos da Matemática Financeira 33 252 Sistema Francês Nesse sistema as prestações pagas ao longo do período de financiamento são iguais Isso significa que em cada prestação paga estão inseridos os juros do período e parte da amortização do principal As prestações são calculadas utilizando a expressão do valor presente de uma série uni forme desenvolvida no tópico anterior Já os juros são calculados tendo como referência o saldo devedor no final do período anterior ou no início do período atual A amortiza ção do principal é obtida subtraindose do valor da prestação os juros do período A seguir utilizase o exemplo descrito inicialmente para ilustrar a aplicação dessa forma de pagamento i i i VU VP n n 1 1 1 VP 100000 n 5 nº de prestações i 8 aa Pr valor das prestações 0 08 0 08 1 1 0 08 1 Pr 100000 5 5 Pr 2504565 Tabela 26 Pagamento iguais Final do ano Saldo devedor Prestação Amortização principal Juros Saldo deve dor após pa gamento 0 10000000 10000000 1 10800000 2504565 1704565 800000 8295405 2 8959007 2504565 1840930 663635 6454505 3 6970865 2504565 1988205 516360 4466300 4 4823604 2504565 2147261 357304 2319033 5 2504565 2504565 2319042 185523 0 J1 SD x i J1 100000 x 008 8000 108000 0 08 000 1 100 1 1 C Amortização An Prestação Pr Juros do período Jn A1 Pr J1 2504565 800000 1704565 Engenharia Econômica Edemilson Nogueira Elementos da Matemática Financeira 34 A2 Pr J2 2504565 008 x 8295405 1840930 Outro sistema de pagamentos denominado de Sistema Price ou Tabela Price é seme lhante ao Francês Entretanto devese ressaltar que quando se utiliza a Tabela Price usase como taxa de juros de contrato uma taxa de juros nominal iN e que portanto deverá ser convertida em efetiva de acordo com a capitalização definida para posteri ormente ser calculado o valor das prestações 253 Sistema de amortização constante Nesse sistema também conhecido como SAC a amortização do principal é constante ao longo do período da operação O cálculo da amortização é feito dividindose o valor do principal pelo número de parcelas Os juros semelhantemente aos outros sistemas são calculados sobre o saldo do início do período As prestações são calculadas somandose a amortização mais os juros do período Os juros são decrescentes e assim as prestações também diminuem ao longo do período da operação Utilizando o exemplo mencionado acima calculamse os juros as prestações a amorti zação e o saldo devedor ao longo do período de empréstimo A amortização Principalnro de prestações n A 1000005 20000ano J1 SD x i J1 100000 x 008 8000 Prn A Jn Pr1 20000 8000 28000 Pr2 20000 80000 x 008 26400 Tabela 27 Amortização constante Final do ano Saldo devedor Prestação Amortização principal Juros Saldo deve dor após pa gamento 0 10000000 10000000 1 10800000 2800000 2000000 800000 8000000 2 8640000 2640000 2000000 640000 6000000 3 6480000 2480000 2000000 480000 4000000 4 4320000 2320000 2000000 320000 2000000 5 2160000 2160000 2000000 160000 0 Engenharia Econômica Edemilson Nogueira Elementos da Matemática Financeira 35 254 Sistema de amortização misto O SAM sistema de amortização misto é uma mescla entre o sistema de pagamentos iguais sistema francês e o sistema de amortização constante A prestação é calculada pela média aritmética das respectivas prestações dos sistemas francês e SAC A seguir calculase o valor das prestações Tabela 28 Prestações SAM Final do ano Prestações sist francês Prestação SAC Prestação SAM 1 2504565 2800000 250456528000002 2652283 2 2504565 2640000 2572283 3 2504565 2480000 2492287 4 2504565 2320000 2412283 5 2504565 2160000 2332283 Os juros são calculados com base no saldo devedor no início do período e a amortização é calculada subtraindose da prestação os juros J1 SD x i J1 100000 x 008 8000 Amortização An Prestação Pr Juros do período Jn A1 Pr J1 2652283 800000 1852283 A2 Pr J2 2572283 008 x 8147717 1920466 Tabela 29 Sistema SAM Final do ano Saldo devedor Prestação Amortização principal Juros Saldo deve dor após pa gamento 0 10000000 10000000 1 10800000 2652283 1852283 800000 8147717 2 8799534 2572283 1920466 651817 6227251 3 6725431 2492287 1994107 498180 4233144 4 4571796 2412283 2073631 338652 2159513 5 2332283 2332283 2159514 172769 0 Como pode ser observado na tabela 29 as prestações são diferentes e decrescentes os juros também são decrescentes e a amortização é crescente Engenharia Econômica Edemilson Nogueira Elementos da Matemática Financeira 36 26 Considerações finais Esta unidade teve como objetivo proporcionar aos estudantes conhecimentos a respeito da Matemática Financeira Inicialmente apresentouse o que se denominou de concei tos básicos A seguir foram desenvolvidas relações de equivalência de capitais e apre sentados alguns sistemas para pagamentos de empréstimos utilizando capitalização composta Considerando os conhecimentos adquiridos nesta unidade já é possível na próxima apresentar os principais métodos utilizados pela Engenharia Econômica para o desenvol vimento de estudos de viabilidade econômica 27 Referências bibliográficas GITMAN L J Princípios de administração financeira 3ª ed São Paulo Harbra 1987 MARION J C Contabilidade básica 8ª ed São Paulo Atlas 2008 NOGUEIRA E Análise de investimentos In Batalha M O Gestão Agroindustrial 4ª ed São Paulo Atlas 2007 p 20566 OLIVEIRA J A N Engenharia Econômica uma abordagem às decisões de investimento São Paulo McGrawHill 1982 SINGER P Curso de introdução à economia política 6ª ed Rio de Janeiro Forense universitária 1980 Engenharia Econômica Edemilson Nogueira Elementos da Matemática Financeira 37 Unidade 3 Métodos de Análise e Seleção de Alternativas de Investimento 31 Primeiras palavras Nesta unidade serão apresentados os principais métodos utilizados pela Engenharia Econômica para análise e seleção de alternativas de investimentos São apresentados quatro métodos valor presente líquido valor anual equivalente uniforme taxa interna de retorno e payback 32 Problematizando o tema Os empreendimentos de maneira geral exigem inversões de capital realizadas nos pri meiros anos dos projetos A expectativa do investidor é que o recurso investido retorne acrescido de um determinado valor Esse valor deve ser suficiente para compensar os riscos incorridos e o adiamento da satisfação ou do consumo Dessa maneira como ava liar o retorno que o investimento pode proporcionar aos investidores De outra maneira como verificar se o projeto está proporcionando lucro ou prejuízo Qual a rentabilidade do capital investido em um determinado projeto Ou ainda quanto tempo é necessário para recuperar o capital investido Para responder a essas questões a Engenharia Eco nômica se utiliza de alguns métodos que serão apresentados nesta unidade 33 Taxa mínima de atratividade Os métodos utilizados pela Engenharia Econômica para o desenvolvimento de estudos de viabilidade são fundamentados nos conceitos de juros e de valor do dinheiro no tempo discutidos na unidade anterior Dessa maneira para avaliar a viabilidade de uma alter nativa de investimento é necessário definir uma taxa de juros a ser utilizada como o parâmetro para a avaliação econômica Essa taxa de juros é denominada de taxa mínima de atratividade ou de forma seme lhante TMAR taxa mínima atrativa de retorno A definição da TMAR é parte de uma política estabelecida pela alta administração da empresa e sujeita a modificações ou ajustes ao longo do tempo uma vez que será utilizada em diferentes situações para projetos distintos e por pessoas pertencentes a diversos níveis da organização Não é uma tarefa simples de ser realizada uma vez que não existe uma única forma para de finir qual é a remuneração mínima a ser aceita para um determinado investimento Al guns aspectos influenciam essa decisão NOGUEIRA 2001 como por exemplo A disponibilidade de recursos Engenharia Econômica Edemilson Nogueira Elementos da Matemática Financeira 38 O custo dos recursos A taxa de juros paga no mercado por grandes bancos ou por títulos governamen tais para o montante de dinheiro envolvido A previsibilidade do fluxo O horizonte de planejamento do projeto a curto ou a longo prazo As oportunidades estratégicas que o investimento pode oferecer A aversão ou a propensão ao risco que o investidor pode ter Como se pode observar são diversos os fatores que afetam a definição da TMAR Em uma mesma empresa investimentos em projetos distintos podem ter taxas mínimas de atratividades diferentes assim como um investidor individualmente pode estabelecer taxas diferentes para possibilidades de investimentos distintos De qualquer maneira a definição da TMAR por parte da empresa ou do investidor precede a utilização dos mé todos a serem apresentados a seguir 34 Método do valor presente líquido O método do valor presente líquido também conhecido como VPL consiste em avaliar se uma determinada alternativa de investimento em valores da data 0 zero apresen ta lucro ou prejuízo O VPL é calculado transferindose para a data 0 zero todos os de sembolsos e recebimentos da alternativa de investimento descontados a uma determi nada taxa de juros A taxa de juros utilizada é a que se denominou anteriormente de taxa mínima atrativa de retorno n j j j i X VPL 0 1 i TMAR A avaliação do investimento deverá ser realizada a partir da análise do resultado da ex pressão do VPL Sua aprovação está condicionada ao VPL ser maior do que 0 zero Se o VPL for negativo o retorno do investimento será inferior ao mínimo esperado Dessa forma o investimento deverá ser rejeitado Na situação em que o VPL for igual a 0 ze ro o retorno do projeto será igual a TMAR não sendo suficiente para tornar a alterna tiva analisada atrativa A seguir apresentase um exemplo no qual se utiliza o VPL para verificar a viabilidade econômica de um projeto X0 0 1 2 3 4 5 n X1 X2 X3 X4 X5 Xn Engenharia Econômica Edemilson Nogueira Elementos da Matemática Financeira 39 Exemplo 1 Uma empresa está analisando a possibilidade de investir na aquisição de equipamentos para automatizar o processo de embalagem no final de sua linha de produção O inves timento inicial previsto é da ordem de 145000 e esperase obter economias de custos da ordem de 38250 durante cinco anos Ao final desse prazo os equipamentos estarão totalmente depreciados devendo ser substituídos Sendo a TMAR igual a 8 aa verifi que se o projeto é viável VPL Valor presente dos desembolsos Valor presente dos recebimentos 0 08 0 08 1 1 0 08 1 38250 145000 5 5 VPL VPL 772116 Observando o VPL verificase que o valor é positivo significando que o investimento na compra dos equipamentos é viável O VPL é uma medida de lucro líquido na data 0 ze ro De outra maneira representa em termos absolutos da data 0 zero quanto o in vestimento está proporcionando de retorno além do mínimo estabelecido pela TMAR Essa mesma empresa poderia ter definido uma taxa de retorno superior a anterior Su ponhamos uma segunda situação na qual a TMAR é igual a 12 aa 012 012 1 1 012 1 38250 145000 5 5 VPL VPL 711731 Como pode ser observado o VPL nessa situação é negativo o que significa que o re torno é inferior ao mínimo estabelecido pela TMAR Assim concluise que o investimen to não é viável economicamente Considere a hipótese da TMAR ser igual a 10 aa 0 1 2 3 4 5 145000 38250 Engenharia Econômica Edemilson Nogueira Elementos da Matemática Financeira 40 010 010 1 1 010 1 38250 145000 5 5 VPL VPL 0 O VPL igual a 0 zero mostra que o retorno proporcionado pelo investimento é igual a TMAR portanto não é suficiente para que o projeto seja implementado De maneira semelhante ao que foi realizado no exemplo 1 o VPL pode ser utilizado pa ra analisar e selecionar uma alternativa de investimento entre duas ou mais possíveis O exemplo 2 ilustra essa possibilidade Exemplo 2 Um fabricante de produtos cerâmicos está estudando a viabilidade de adquirir um forno para ser instalado junto às suas linhas de produção visando a ampliar capacidade produ tiva e melhorar a flexibilidade Esperase com essa iniciativa alavancar vendas e con sequentemente lucros Uma pesquisa entre os fabricantes de fornos revelou que existem dois modelos que do ponto de vista técnico são adequados às necessidades da empre sa Os dois fornos oferecem benefícios semelhantes no que diz respeito ao aumento de volume e flexibilidade mas diferem no que se refere ao investimento inicial e ao custo de operação e manutenção A tabela 31 apresenta os dados referentes a cada alterna tiva Para uma TMAR de 10 aa devese indicar qual dos dois fornos a empresa deve adquirir Tabela 31 Estimativas para os fornos A e B Discriminação Forno A Forno B Investimento inicial 130000 160000 Custo anual de operação e manutenção 25000 18000 Valor residual ao final da vida útil 20000 40000 Vida útil 10 10 Analisase inicialmente o forno A representando seu fluxo de caixa e calculandose seu VPL para uma TMAR de 10 aa 0 1 2 3 4 5 8 9 20000 25000 6 7 10 130000 Engenharia Econômica Edemilson Nogueira Elementos da Matemática Financeira 41 10 10 10 10 1 000 20 010 010 1 1 010 1 25000 000 130 VPL VPLA 27590331 Analisando agora o forno B 10 10 10 10 1 000 40 010 010 1 1 010 1 000 18000 160 VPL VPLB 25518048 Como pode ser observado VPLB VPLA portanto a empresa deve optar pela aquisição do forno B 35 Método do valor anual equivalente uniforme O método do VAEU valor anual equivalente uniforme consiste em transformar o fluxo de caixa da alternativa de investimento em análise num fluxo de caixa uniformemente distribuído utilizandose uma TMAR Para tanto calculase o valor presente líquido de cada alternativa seguido de sua transformação em uma série uniforme A comparação deverá ser feita entre os valores anuais equivalentes uniformes de cada alternativa Quando as alternativas estiverem sendo analisadas tendo como referência os investimentos iniciais e os retornos líquidos obtidos ao longo do tempo considerase como viável a alternativa que apresentar VAEU positivo sendo a melhor aquela cujo VAEU for mais positivo ou maior Nessa situação podemos também chamar o VAEU de BAEU Benefício Anual Equivalente Uniforme Outra possibilidade é fundamentar a aná lise apenas nos desembolsos de cada alternativa Nessa hipótese a melhor alternativa de investimento será a que apresentar um menor VAEU em termos absolutos ou de ou tra maneira aquela que apresentar um menor CAEU Custo Anual Equivalente Unifor me 0 1 2 3 4 5 8 9 40000 18000 6 7 10 160000 Engenharia Econômica Edemilson Nogueira Elementos da Matemática Financeira 42 A seguir no exemplo 1 utilizase o método do VAEU para a seleção da melhor alternativa de investimento Exemplo 1 Uma empresa está analisando a viabilidade econômica de dois projetos sendo que um foi encaminhado pelo setor de manufatura e outro pela área de marketing Em virtude de restrições orçamentárias apenas um deles poderá ser aprovado A TMAR utilizada pela empresa é de 12 aa e as informações de cada projeto estão representadas na tabela 32 Tabela 32 Estimativas para os projetos Discriminação Projeto Manufatura P1 Projeto Marketing P2 Investimento inicial 350000 420000 Gastos anuais 50000 75000 Benefícios anuais 160000 187000 Duração anos 6 6 Projeto Manufatura P1 Retorno anual 16000050000 110000 Inicialmente podese calcular o VPL 0 12 012 1 1 012 1 110000 350000 6 6 VPLP1 VPLP1 10225481 Pelo valor do VPL já é possível concluir que o projeto é viável VPL 0 Entretanto pretendese desenvolver a análise utilizando o método do VAEU Dessa forma é possível transformar o VPL em um valor uniformemente distribuído ao longo dos seis anos 0 1 2 3 4 5 110000 6 350000 Engenharia Econômica Edemilson Nogueira Elementos da Matemática Financeira 43 012 012 1 1 012 1 10225481 6 6 VAEUP1 VAEUP1 2487100 Como VAEUP1 é maior do que 0 zero semelhante à análise do VPL concluíse que o projeto do setor de manufatura é viável Projeto Marketing P2 Retorno anual 18700075000 112000 012 012 1 1 012 1 112000 420000 6 6 VPLP2 VPLP2 4047762 Utilizando o VPL é possível observar que o projeto do setor de marketing também é vi ável Entretanto pretendese analisar a viabilidade do projeto utilizando o VAEU As sim devese distribuir o VPL uniformemente pelos seis anos 012 012 1 1 012 1 4047762 6 6 VAEUP2 9 84520 VAEUP2 O VAEUP2 também é maior do que 0 zero significando que o projeto é viável Compa rando o VAEU dos dois projetos verificase que VAEUP1 é maior que o VAEUP2 Portanto o projeto 1 Manufatura é melhor que o projeto 2 Marketing 0 1 2 3 4 5 112000 6 420000 Engenharia Econômica Edemilson Nogueira Elementos da Matemática Financeira 44 O método do VAEU tem outra característica muito importante que deve ser ressaltada È o método mais apropriado para comparar alternativas de investimento com vidas dife rentes Isso se deve ao fato de o método implicitamente já considerar que nessa hipó tese antes de proceder à comparação das alternativas devese igualar seus horizontes por meio da repetição do investimento inicial OLIVEIRA 1982 HIRSCHFELD 1989 PI LÃO HAMMEL 2003 Dessa maneira para o analista tornase um método de utiliza ção muito prático O exemplo 2 ilustra a situação na qual as alternativas têm vidas dife rentes Exemplo 2 Uma empresa está estudando a possibilidade de aquisição de um equipamento a ser uti lizado em seu processo produtivo visando a melhorar a flexibilidade do processo O equipamento X exige um investimento inicial de 650000 apresenta benefícios espera dos que somam 120000 por ano e tem uma vida útil estimada em oito anos Já o equi pamento Y custa 850000 proporciona benefícios anuais da ordem de 135000 e tem vida útil estimada de 10 anos Para uma TMAR de 8 aa qual dos equipamentos a em presa deve adquirir Equipamento X 1 0 08 1 0 08 0 08 650000 1 120000 8 8 VAEUX 6 89041 VAEUX Equipamento Y 1 0 08 1 0 08 0 08 850000 1 135000 10 10 VAEUY 0 1 2 3 4 5 120000 6 650000 7 8 0 1 2 3 4 5 135000 6 850000 7 8 9 10 Engenharia Econômica Edemilson Nogueira Elementos da Matemática Financeira 45 8 32493 VAEUY Podese verificar que X Y VAEU VAEU portanto a melhor alternativa é adquirir o equipamento Y 36 Método da taxa interna de retorno O método da taxa interna de retorno possibilita uma análise da alternativa de investi mento por meio de sua rentabilidade Essa importante informação que o método ofere ce o torna muito utilizado na prática para avaliação de retornos proporcionados por investimentos ou custos de operações financeiras A Taxa Interna de Retorno costumeiramente abreviada por TIR é a taxa de juros que torna o valor presente dos recebimentos igual ao valor presente dos desembolsos de um fluxo de caixa De outra maneira a TIR é a taxa de juros que faz com que o valor pre sente líquido do fluxo de caixa seja igual a 0 zero Considere o fluxo de caixa genérico a seguir 0 1 0 n j j j i X VPL i TIR Dependendo do fluxo de caixa a equação obtida quando se iguala o VPL a 0 zero apresenta um determinado grau de dificuldade em sua solução Uma maneira de con tornar esse problema é utilizar um método iterativo no qual se calcula a taxa por ten tativa e erro Nas ocasiões em que o fluxo de caixa apresentar apenas uma variação de sinal ao longo do tempo a equação resultante apresentará apenas uma raiz real positiva no caso a TIR procurada A Figura 31 representa a variação do VPL em função da taxa de juros i X0 0 1 2 3 4 5 n X1 X2 X3 X4 X5 Xn Engenharia Econômica Edemilson Nogueira Elementos da Matemática Financeira 46 Figura 31 Representação gráfica da TIR A aprovação da alternativa de investimento analisada dependerá do valor encontrado para a TIR Se a TIR for maior que a TMAR a alternativa analisada será viável economi camente caso contrário não A TIR representa a rentabilidade do investimento analisa do e a TMAR como discutido anteriormente a referência utilizada para estudara viabi lidade da alternativa de investimento Exemplo 1 Um empresário do setor imobiliário está estudando a viabilidade de investir na consti tuição de um novo loteamento O investimento inicial requerido está estimado em 556000 e esperase obter um retorno anual de 154240 durante cinco anos Se a TMAR é de 8 aa verifique a viabilidade do investimento utilizando o método da taxa interna de retorno A TIR é a taxa de juros que torna o VPL igual a 0 zero Então Utilizando o método iterativo estimase um valor inicial par i como por exemplo 8 aa 83560 59 0 08 0 08 1 1 0 08 1 154240 556000 5 5 VPL Como o valor obtido é positivo se for observado o gráfico da Figura 31 a TIR será mai or que 8 aa Dessa forma devese estimar um outro valor por exemplo 15 aa 96360 38 015 015 1 1 015 1 154240 556000 5 5 VPL 0 1 2 3 4 5 154240 556000 i i i VPL 5 5 1 1 154240 1 556000 Engenharia Econômica Edemilson Nogueira Elementos da Matemática Financeira 47 O valor do VPL é agora negativo indicando que a TIR é menor que 15 aa Assim é possível concluir que a TIR está no intervalo entre 8 aa e 15 aa embora mais pró xima de 15 aa Seria possível continuar testando valores de i na equação do VPL até que essa equação zerasse Entretanto visando a acelerar o processo podese realizar uma interpolação linear como mostrado a seguir 83560 59 8 96360 38 15 i i 5983560 89753400 3896360 31170880 i i i 1224 É necessário testar 1224 aa na equação do VPL 28924 3 01224 01224 1 1 01224 1 154240 556000 5 5 VPL Como se pode observar o valor de 1224 aa ainda não tornou o VPL igual a 0 zero embora o valor obtido esteja bem mais próximo de 0 zero do que os valores anterio res Para melhorar a precisão devese proceder a uma nova interpolação agora entre 8 aa e 1224 aa 83560 59 8 28924 3 1224 i i 5983560 73238774 3 28924 2631392 i i i 1202 i VPL I 8 15 5983560 3896360 i VPL I 8 1224 5983560 328924 Engenharia Econômica Edemilson Nogueira Elementos da Matemática Financeira 48 Substituindo 1202 aa na equação do VPL 69 274 01202 01202 1 1 01202 1 154240 556000 5 5 VPL Para 1202 aa o VPL ainda não é nulo embora mais próximo a 0 zero Para um va lor mais preciso seria necessário proceder a uma nova interpolação O valor exato da TIR para esse exemplo é 1200 aa Como a TIR TMAR podese concluir que o investimento é viável Como o exemplo anterior mostrou quando existe apenas uma alternativa de investi mento e desejase analisar sua viabilidade é necessário calcular a TIR e comparála com a TMAR Entretanto quando existem duas ou mais alternativas de investimento pa ra serem analisadas e selecionadas é preciso fazêlos por meio de uma análise incre mental OLIVEIRA 1982 NEWNAM JEROME 2000 NOGUEIRA 2001 A comparação simples e direta das taxas de retorno de cada alternativa não deve ser realizada sob pe na de tomar uma decisão incorreta De maneira sistemática para realizar a análise incremental para duas ou mais alterna tivas de investimento devemse seguir os seguintes procedimentos Classificar as alternativas em consideração ordenandoas pelo investimento ini cial Selecionar como alternativa aceitável aquela de menor investimento com taxa de retorno maior ou igual a TMAR Comparar a alternativa aceitável com a desafiante tirar as diferenças e verificar a TIR se a TIR for menor ou igual a TMAR descartar a desafiante se a TIR for maior que a TMAR esta será a nova alternativa aceitável Repetir o procedimento anterior até esgotar as alternativas Exemplo 2 Uma empresa está analisando três alternativas de investimento propostas pela área de manufatura Em virtude de restrições financeiras apenas uma delas deverá ser selecio nada Sabendose que a TMAR utilizada pela empresa é de 10 aa recomende a alter nativa a ser escolhida utilizando o método da taxa interna de retorno A tabela 33 apresenta os dados para a elaboração dos fluxos de caixa Tabela 33 Dados das alternativas Alternativa A Alternativa B Alternativa C Investimento inicial 500000 300000 420000 Economias com custos de mão deobra e manutenção 105000 60000 90000 Valor residual 200000 100000 180000 Vida útil anos 5 5 5 Engenharia Econômica Edemilson Nogueira Elementos da Matemática Financeira 49 Seguindo o procedimento recomendado anteriormente devese inicialmente ordenar as alternativas pelo investimento inicial Tabela 34 Alternativas ordenadas Alternativa B Alternativa C Alternativa A Investimento inicial 300000 420000 500000 Economias com custos de mão deobra e manutenção 60000 90000 105000 Valor residual 100000 180000 200000 Vida útil anos 5 5 5 Em seguida devese analisar isoladamente a alternativa de menor investimento no ca so a B Para isso calculase a TIR da alternativa B 5 5 5 1 000 100 1 1 60000 1 000 300 i i i i VPLB Para i igual a 8 aa 62092 7 0 08 1 000 100 10 0 08 1 1 0 08 1 60000 300000 5 5 5 VPLB Como o VPL é positivo sabese que a TIR é maior que 8 aa Dessa forma é necessário estimar um valor maior que 8 aa Suponha uma taxa de 10 aa 46066 10 10 1 000 100 10 10 1 1 10 1 60000 300000 5 5 5 VPLB O VPL é negativo o que significa que a TIR é menor que 10 aa Com os valores positi vo e negativo do VPL é possível fazer uma interpolação linear Engenharia Econômica Edemilson Nogueira Elementos da Matemática Financeira 50 62092 7 8 46066 10 10 i i i 884 Para i 884 o VPL 17657 Assim devese fazer uma nova interpolação entre 884 aa e 8 aa 62092 7 8 57 176 8 84 i i i 882 Para i 882 o VPL 0 Então TIRB 882 aa Como TIRB 882 aa TMAR 10 aa a alternativa B não é viável economicamen te devendo ser descartada Dessa forma é necessário analisar a alternativa C isoladamente 5 5 5 1 000 180 1 1 90000 1 000 420 i i i i VPLC Utilizando o mesmo procedimento anterior devemse estimar valores de i calcular o VPL e fazer interpolações até encontrar o valor da TIR A alternativa C tem uma TIRC igual a 1253 aa Como TIRC 1253 aa TMAR 10 aa a alternativa C é viável economicamente Assim pode ser chamada de alternativa corrente aceitável Na sequência deve ser comparada com a alternativa A por meio de uma análise incremental i VPL I 8 10 762092 1046066 Engenharia Econômica Edemilson Nogueira Elementos da Matemática Financeira 51 Tabela 35 Representação dos fluxos panálise incremental Final do ano Alternativa C Alternativa A Fluxo incremental AC 0 420000 500000 80000 1 90000 105000 15000 2 90000 105000 15000 3 90000 105000 15000 4 90000 105000 15000 5 270000 305000 35000 Devese então calcular a TIR do fluxo de caixa incremental 5 4 4 1 000 35 1 1 15000 1 000 80 i i i i VPLI Utilizando o processo iterativo como mostrado anteriormente chegase a um valor da TIR para o fluxo de caixa incremental de 524 aa Assim podese observar que TIRI 524 aa TMAR 10 aa portanto o investi mento incremental não é viável Se o investimento incremental não for viável a alter nativa A não será melhor do que a alternativa C Como conclusão devese recomendar que a empresa invista na alternativa C 37 Método do payback O payback é um método muito utilizado na prática para avaliar viabilidade econômica de alternativas de investimento Seu uso em muitas ocasiões se deve em parte ao fato de ser um método de fácil operacionalização e em parte em virtude do tipo de infor mação que oferece ao analista Entretanto como será demonstrado na sequência é um método que apresenta algumas limitações O método do payback procura avaliar o tempo de recuperação do capital investido Se o tempo de retorno do capital investido na alternativa de investimento analisada estiver dentro do estabelecido pela empresa a alternativa será viável e aprovada caso contrá rio será rejeitada O tempo de recuperação do capital investido faz parte de uma política estabelecida pe la empresa para avaliar os investimentos realizados em projetos diversos na organiza ção Na determinação desse tempo vários fatores são considerados mas destaque es pecial devese dar à avaliação dos riscos O exemplo a seguir ilustra a utilização do mé todo Exemplo 1 Uma empresa multinacional do setor de alimentos está analisando a viabilidade de dois projetos relacionados ao setor de distribuição de seus produtos ao mercado varejista A empresa estabeleceu como política para investimentos em suas plantas no Brasil um Engenharia Econômica Edemilson Nogueira Elementos da Matemática Financeira 52 payback de cinco anos Os projetos requerem investimentos iniciais diferentes propor cionam benefícios distintos possuem vidas iguais 10 anos e valores residuais nulos Tabela 36 Representação dos fluxos dos projetos Final do ano Projeto X Projeto Y 0 335000 415000 1 30000 100000 2 90000 115000 3 95000 200000 4 120000 100000 5 70000 70000 6 70000 50000 7 70000 20000 8 90000 20000 9 95000 20000 10 120000 20000 O método avalia o tempo de recuperação do capital por meio do cálculo do fluxo de caixa acumulado de cada projeto como demonstrado a seguir Tabela 37 Representação do fluxo acumulado dos projetos Final do ano Fluxo de caixa acumulado Projeto X Fluxo de caixa acumulado Projeto Y 0 335000 415000 1 33500030000 305000 415000100000 315000 2 30500090000 215000 315000115000 200000 3 215000 95000 120000 200000200000 0 4 120000 120000 0 100000 5 70000 170000 6 140000 220000 7 210000 240000 8 300000 260000 9 395000 280000 10 515000 300000 O tempo de recuperação do capital para o projeto X é de quatro anos já para o proje to Y é de três anos Os dois projetos têm um payback inferior ao tempo estabelecido Engenharia Econômica Edemilson Nogueira Elementos da Matemática Financeira 53 pela empresa significando que ambos são viáveis Entretanto o projeto Y tem um pa back menor do que o do projeto X devendo ser o escolhido O método utilizado em sua forma padrão consiste nos procedimentos apresentados aci ma Entretanto um observador mais atendo poderia fazer alguns questionamentos em relação ao método como por exemplo É possível calcular o fluxo de caixa acumulado da maneira como foi feito no exemplo acima O que acontece com a variação de caixa após o fluxo de caixa acumulado ter ze rado As duas questões são pertinentes e apontam para inconsistências conceituais do méto do Para Oliveira 1982 esse método amplamente utilizado pela simplicidade dos cál culos apresenta deficiências que podem conduzir a decisões incorretas Os dois princi pais problemas com o método e que respondem o questionamento anterior são Em primeiro lugar no cálculo do fluxo acumulado somase dinheiro em datas di ferentes Assim o método não considera um conceito muito importante que é o valor do dinheiro no tempo O método avalia o tempo necessário para zerar o fluxo acumulado mas não con sidera o fluxo de caixa como um todo embora considerálo assim seja funda mental para ter convicção do retorno proporcionado pelo investimento Devido a essas questões recomendase que na prática esse método não deva ser utili zado isoladamente como única referência para a seleção das alternativas de investimen to O payback poderá ser útil se utilizado em conjunto com outro método VPL TIR ou VAEU como uma ferramenta auxiliar a tomada de decisão Também é possível incorporar algumas melhorias ao método procurando eliminar as inconsistências apresentadas anteriormente e oferecer ao tomador de decisão infor mações importantes como o tempo de recuperação do capital investido Para isso con sidere para o exemplo anterior uma taxa de juros TMAR de 10 aa para calcular o fluxo de caixa acumulado a valor presente ou que se denomina de payback descontado A tabela 36 apresenta os resultados obtidos O projeto X tem seu fluxo de caixa acumulado positivo ao final do sexto ano já no pro jeto Y o fluxo acumulado se torna positivo um ano antes ou seja ao final do quinto ano Embora a diferença seja pequena o quesito recuperação de capital é favorável ao projeto Y Entretanto para a análise ser completa é fundamental que se considere o comportamento do fluxo de caixa dos projetos nos anos seguintes Neste sentido pode se verificar que já a partir do oitavo ano o fluxo acumulado do projeto X passa a ser mais favorável mantendose assim até o 10º e último ano do projeto O valor encontrado ao final dos 10 anos para os dois projetos nada mais é que o Valor Presente Líquido para os projetos para uma TMAR de 10 aa Nessa situação podese concluir que o projeto X é melhor do que o projeto Y pois seu VPL é maior contrarian do a decisão indicada pelo uso do método do payback na sua forma original Assim Engenharia Econômica Edemilson Nogueira Elementos da Matemática Financeira 54 VPL X 16742828 VPL Y 9698904 VPL X VPL Y portanto X é melhor que Y Tabela 38 Representação do fluxo acumulado a valor presente dos projetos Final do ano Fluxo de caixa acumulado a valor presente Projeto X Fluxo de caixa acumulado a va lor presente Projeto Y 0 335000 415000 1 72727 307 10 1 30000 335000 1 32409091 2 34711 233 10 1 90000 30772727 2 22904959 3 97220 161 10 1 95000 23334711 3 7878663 4 01059 80 10 1 120000 16197220 4 1048528 5 54609 36 10 1 70000 8001059 5 3297921 6 96708 2 10 1 70000 3654609 6 6120291 7 88815 38 10 1 70000 296708 7 7146607 8 87381 80 10 1 90000 3888815 8 8079622 9 16309 121 10 1 95000 8087381 9 8927817 10 42828 167 10 1 120000 12116309 10 9698904 38 Considerações finais Nesta unidade foram apresentados alguns dos métodos mais utilizados para análise e avaliação de alternativas de investimento ou seja o método do valor presente líquido do valor anual equivalente uniforme da taxa interna de retorno e o método do payback Discutiuse também um aspecto importante na utilização desses métodos que Engenharia Econômica Edemilson Nogueira Elementos da Matemática Financeira 55 é a seleção da taxa de juros a ser utilizada como parâmetro para a avaliação das alter nativas de investimento Essa taxa comumente recebe a denominação de taxa mínima atrativa de retorno TMAR Na próxima unidade desenvolvese outro importante tema envolvendo a alocação de capital nas empresas ou seja a substituição de equipamentos 39 Referências bibliográficas HIRSCHFELD H Engenharia Econômica e análise de custos 4ª ed São Paulo Atlas 1989 NEWNAN D G LAVELLE J P Fundamentos de Engenharia Econômica Rio de Janeiro LTC editora 2000 NOGUEIRA E Análise de investimentos In Batalha M O Gestão Agroindustrial 4ª ed São Paulo Atlas 2007 p 20566 OLIVEIRA J A N Engenharia Econômica uma abordagem às decisões de investimento São Paulo McGrawHill 1982 PILÃO N E HUMMEL P R V Matemática Financeira e Engenharia Econômica São Paulo Pioneira Thomson Learning 2003 Engenharia Econômica Edemilson Nogueira Elementos da Matemática Financeira 56 Unidade 4 Substituição de equipamentos 41 Primeiras palavras Nesta unidade será apresentado mais um importante tema no campo da Engenharia Econômica substituição de equipamentos Inicialmente apresentamse alguns fatores que podem resultar na substituição de um ativo seguido da definição do conceito de sunk cost e de sua aplicação por meio de um exemplo de análise de substituição Na se quência definese o conceito de vida econômica e apresentamse os procedimentos a serem seguidos para a realização de estudos de substituição 42 Problematizando o tema Na gestão das empresas uma questão com a qual os administradores constantemente se deparam é a possibilidade da substituição dos equipamentos existentes Novos padrões de concorrência desenvolvimento de novas tecnologias ou mesmo o desgaste físico de um bem podem resultar na necessidade de sua substituição A questão a ser respondida é como realizar um estudo de viabilidade recomendando ou não a substituição de um bem ou ainda a periodicidade em que se devem renovar esses bens Dessa maneira nesta unidade pretendese apresentar os principais conceitos e técnicas necessárias à realização de estudos de substituição de equipamentos 43 Análise de substituição de equipamentos As empresas adquirem bens ou ativos que são destinados às suas atividades produtivas À medida que esses ativos são utilizados podem ocorrer diversos fatores que suscitam a possibilidade de substituílos NOGUEIRA 2007 como por exemplo O desgaste físico dos equipamentos tornando os custos de operação e manuten ção excessivamente altos O surgimento de equipamentos tecnologicamente mais avançados que aumentam a produtividade ou a flexibilidade do sistema de produção A necessidade de aumentar a capacidade de produção visando a atender à de manda A falta de capacidade técnica para atingir o rigor dimensional exigido no projeto do produto A necessidade de atender aos requisitos ambientais Engenharia Econômica Edemilson Nogueira Elementos da Matemática Financeira 57 Cabe ao administrador analisar cada situação e verificar se as circunstâncias ou deter minados objetivos a serem atingidos pela empresa exigem a substituição de equipamen tos Também deve ser considerada função do administrador estabelecer políticas de renovação de equipamentos a partir da avaliação dos investimentos requeridos para a aquisição de equipamentos novos e do perfil dos custos incorridos com sua utilização à medida que sua vida útil vai se esvaecendo Antes de apresentar os procedimentos necessários para realizar uma análise de substi tuição é necessário abordar um conceito muito importante sunk cost O conceito de Sunk Cost Quando se analisam diferentes alternativas de investimentos é necessário estar atento às diferenças proporcionadas por elas no futuro São essas diferenças as principais refe rências para o processo decisório no qual será selecionada uma ou mais alternativas de investimento a serem implementadas pela empresa Assim em estudos econômicos somente o futuro dos ativos deve ser considerado os custos passados devem ser pensados como se fossem custos incorridos e não possíveis de ser recuperados ou como sunk costs GRANT et al 1990 Outro aspecto importante a ser considerado na análise de substituição de um ativo usa do é que seu valor residual no presente deve ser considerado como se fosse o investi mento requerido caso a empresa resolva permanecer utilizando o ativo por mais um tempo O exemplo apresentado a seguir ilustra uma análise de substituição utilizando a observação anterior assim como o conceito de sunk cost Exemplo 1 Uma empresa industrial adquiriu um equipamento há cinco anos pagando 120000 O equipamento tem uma vida útil estimada em 10 anos um custo de operação e manu tenção de 10000 no primeiro ano de utilização custos esses que aumentam a uma proporção de 2000 por ano e um valor residual no final da vida útil de 12000 Um equipamento de tecnologia mais moderna pode ser adquirido atualmente por 140000 apresenta um custo de operação e manutenção de 15000 por ano uma vida útil esti mada em oito anos e um valor residual ao final de oito anos de 20000 Se o equipa mento usado pode ser vendido no mercado a um preço de 60000 e a TMAR for de 10 aa o equipamento usado deverá ser substituído Alternativa 1 permanecer com o equipamento usado Para analisar a alternativa 1 é necessário inicialmente fazer duas considerações A pri meira é que os suk costs devem ser desprezados Isso significa que o valor pago inicial mente para adquirir o equipamento 120000 assim como os custos de operação e manutenção incorridos nos cinco primeiros anos 10000 12000 14000 16000 e 18000 devem ser descartados A segunda consideração é que o valor atual de mercado do equipamento usado 60000 deve ser entendido como o investimento necessário caso a empresa resolva permanecer por mais um tempo com o equipamento usado Des sa maneira o fluxo de caixa para a alternativa 1 é o seguinte Engenharia Econômica Edemilson Nogueira Elementos da Matemática Financeira 58 Tabela 41 Fluxo de caixa da alternativa 1 Final do ano Fluxo de caixa 0 60000 1 20000 2 22000 3 24000 4 26000 5 2800012000 O VPL pode ser calculado trazendo individualmente os valores do fluxo de caixa para a data 0 zero 5 4 3 2 1 10 1 000 16 10 1 000 26 10 1 000 24 10 1 000 22 10 1 20000 000 60 VPL VPL 14208828 O VPL pode ser convertido em um CAEU 10 10 1 1 10 1 14208828 5 5 CAEU CAEU1 3748253 Alternativa 2 adquirir o equipamento novo Tabela 42 Fluxo de caixa da alternativa 2 Final do ano Fluxo de caixa 0 140000 1 15000 2 15000 3 15000 4 15000 5 15000 6 15000 7 15000 8 1500020000 Engenharia Econômica Edemilson Nogueira Elementos da Matemática Financeira 59 O VPL para a alternativa 2 é o seguinte 8 8 8 10 1 000 20 10 10 1 1 10 1 000 15000 140 VPL VPL 21069375 10 10 1 1 10 1 21069375 8 8 CAEU2 CAEU2 3949328 Portanto como o CAEU1 CAEU2 o equipamento usado não deve ser substituído 431 Substituição baseada na vida econômica Outro conceito importante para a análise de substituição é o de vida econômica A vida econômica pode ser definida como aquele período que resultará no mais baixo custo anual equivalente de prover um determinado serviço GRANT et al 1990 De outra maneira a vida econômica de um ativo pode ser entendida como o tempo de utilização de um ativo que minimiza o custo anual equivalente ou que maximiza os retornos obti dos com sua utilização Assim a substituição de um ativo qualquer deve ser realizada tendo com referência sua vida econômica O exemplo realizado a seguir ilustra o cálculo da vida econômica de um bem Exemplo 2 Uma empresa possui uma frota de automóveis que utiliza na prestação de serviços de assistência técnica aos clientes O gerente de operações deseja elaborar uma política para substituição desses veículos Considerando os valores de mercado e os custos de operação descritos na tabela 43 determine a vida econômica dos veículos para uma taxa de juros de 10 aa Tabela 43 Dados do automóvel Ano Valor do automóvel Custo de operação 0 30000 1 24000 3000 2 19200 4500 3 15360 6000 4 12288 7500 5 9830 9000 6 7864 10500 Engenharia Econômica Edemilson Nogueira Elementos da Matemática Financeira 60 Para a determinação da vida econômica do automóvel devese verificar o comporta mento do custo anual equivalente para diferentes horizontes Para um ano de uso 000 12 24000 3 000 10 000 1 30 1 1 1 CAE CAE Para dois anos de uso 57851 20 10 1 700 14 10 1 3 000 30000 2 1 VPL No calculo do CAEU já está implícito que esse valor representa uma saída de caixa portanto não é preciso adicionar o sinal negativo ao VPL 85714 11 10 10 1 1 10 1 57851 20 2 2 2 2 CAEU CAEU Como pode ser observado o custo para dois anos é menor do que o custo para um ano Devese verificar então qual é o custo para três anos 24000 0 1 0 1 30000 3000 CAEU1 0 1 CAEU2 0 1 30000 3000 19200 4500 2 Engenharia Econômica Edemilson Nogueira Elementos da Matemática Financeira 61 Para três anos 82779 11 10 10 1 1 10 1 41397 29 41397 29 10 1 6 000 360 15 10 1 500 4 10 1 3 000 000 30 3 3 3 3 3 2 1 CAEU CAEU VPL VPL Como para três anos o custo ainda é menor verificase o custo para quatro anos Para quatro anos 88817 11 10 10 1 1 10 1 68390 37 68390 37 10 1 7 500 12288 10 1 000 6 10 1 500 4 10 1 3 000 000 30 4 4 4 4 4 3 2 1 CAEU CAEU VPL VPL Como se pode observar o custo para quatro anos é superior ao de três anos No quarto ano o valor dos custos de operação influencia de forma significativa o CAEU Dessa ma neira é de se esperar que o CAEU para os anos seguintes continue aumentando visto que o custo operacional será maior para os próximos anos Calculandose o CAEU para cinco anos chegase a um valor de 1201898 e para seis anos 1220432 30000 0 1 CAEU3 2 0 1 3000 15360 4500 6000 2 3 3 30000 0 1 3000 12288 4500 6000 2 3 7500 4 0 1 CAEU4 2 3 4 Engenharia Econômica Edemilson Nogueira Elementos da Matemática Financeira 62 Dessa forma como ilustra a Figura 41 o menor CAEU ocorre com três anos de utiliza ção ponto de mínimo do automóvel Portanto é possível afirmar que a vida econômi ca do veículo é de três anos Assim na análise de substituição de um ativo baseado na vida econômica devemse se guir os seguintes procedimentos A Ignorar os sunk costs B Determinar a vida econômica dos ativos em consideração C Comparar as alternativas de reposição 11800 11850 11900 11950 12000 12050 12100 12150 12200 12250 0 1 2 3 4 5 6 7 Anos CAEU Figura 41 Representação do CAEU no tempo Exemplo 3 Uma empresa instalou um sistema para o tratamento de efluentes há quatro anos em sua planta visando a eliminar os poluentes gerados no processo de fabricação O inves timento realizado há quatro anos foi de 45000 e apresenta para o ano que se inicia um custo de operação de 20000 sendo que se estimam que tais custos cresçam 2000 por ano Se desmontado o sistema não apresentará mais utilidade tendo assim valor residual nulo A instalação de um novo sistema de tecnologia mais atualizada exigirá um investimen to de 30000 um custo de operação 5000 que deverá crescer a razão de 3000 por ano Esse sistema também apresenta valor residual nulo em qualquer instante no futuro A gerência deve decidir se substitui o sistema atual de tratamento de efluentes pelo novo a uma taxa de juros de 15 aa A Os 45000 referentes ao investimento do sistema atual assim como os custos de operação incorridos nos quatro anos de utilização do sistema atual devem ser ig norados B Devese então determinar a vida econômica do sistema atual Engenharia Econômica Edemilson Nogueira Elementos da Matemática Financeira 63 Custo para operálo por um ano CAEU1 20000 Custo para operálo por dois anos 93023 20 015 015 1 1 015 1 02647 34 02647 34 015 1 000 22 015 1 000 20 2 2 2 2 CAEU VPL Custo para operálo por três anos 81426 21 015 015 1 1 015 1 86 806 49 80686 49 015 1 000 24 015 1 000 22 015 1 000 20 3 3 2 3 2 CAEU VPL Como pode ser observado o CAEU é crescente ao longo do tempo significando que a vida econômica do sistema atual é de apenas um ano A Figura 42 ilustra o comporta mento do CAEU para o sistema atual ao longo do tempo 0 1 20000 0 1 CAEU2 0 1 20000 22000 2 2 0 1 20000 22000 CAEU3 2 24000 3 0 1 2 3 Engenharia Econômica Edemilson Nogueira Elementos da Matemática Financeira 64 Custo para a vida econômica sistema atual CAEU1 20000 0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Anos CAEU Figura 42 Variação do CAEU do sistema atual C Determinar a vida econômica do sistema novo Custo para operálo por um ano 1 1 015 30000 1 5 000 CAEU CAEU1 39500 Custo para operálo por dois anos 0 1 5000 30000 0 1 CAEU2 0 1 5000 8000 2 2 30000 Engenharia Econômica Edemilson Nogueira Elementos da Matemática Financeira 65 84884 24 015 015 1 1 015 1 39698 40 39698 40 015 1 000 8 015 1 5 000 000 30 2 2 2 2 CAEU VPL Custo para operálo por três anos 86069 20 015 015 1 1 015 1 62965 47 62965 47 015 1 000 11 015 1 000 8 015 1 5 000 000 30 3 3 3 3 2 CAEU VPL Custo para operálo por o Quatro anos CAEU4 1948673 o Cinco anos CAEU5 1911791 o Seis anos CAEU6 1921868 o Sete anos CAEU7 1956036 Como pode ser observado pelos valores obtidos acima o custo é decrescente até o quin to ano passando a aumentar a partir do sexto período Assim a vida econômica do sis tema novo é de cinco anos A Figura 43 ilustra o comportamento dos CAEU para o sis tema novo ao longo do tempo 0 1 5000 8000 0 1 CAEU3 2 2 30000 11000 3 3 Engenharia Econômica Edemilson Nogueira Elementos da Matemática Financeira 66 0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000 45000 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Anos CAEU Figura 43 Variação do CAEU do sistema novo Custo para a vida econômica sistema novo CAEU5 1911791 Comparandose o CAEU para a vida econômica do sistema atual com o sistema novo po dese concluir que a melhor alternativa é substituir o sistema atual e utilizar o novo por um período de cinco anos 44 Referências bibliográficas GRANT E IRESON W G LEAVENWORTH R S Principles of engineering economy 8ª ed Cingapura John Wiley Sons 1990 NOGUEIRA E Análise de investimentos In Batalha M O Gestão Agroindustrial 4ª ed São Paulo Atlas 2007 Engenharia Econômica Edemilson Nogueira Elementos da Matemática Financeira 67 Unidade 5 Análise de alternativas de investimento considerando a influência do imposto de renda 51 Primeiras palavras Nesta unidade apresentase mais um aspecto importante a ser considerado no âmbito do estudo da Engenharia Econômica ou seja a influência do imposto de renda no estu do de viabilidade de alternativas de investimento Iniciase a unidade com a apresenta ção dos conceitos e dos métodos de depreciação imprescindível para a compreensão dos objetivos da unidade para a seguir descrever a maneira como o imposto de renda afeta o fluxo de caixa dos projetos e consequentemente a rentabilidade dos investimen tos 52 Problematizando o tema Os benefícios gerados por projetos traduzidos em retornos financeiros para as empre sas estão sujeitos à tributação afetando a rentabilidade dos investimentos realizados Uma avaliação completa deve apresentar os resultados em termos de lucro ou de ren tabilidade já descontando os efeitos da tributação Para tanto é preciso que os impos tos gerados pelas alternativas estudadas sejam calculados e subtraídos dos benefícios esperados Assim é possível verificar a rentabilidade líquida do investimento e chegar a uma conclusão quanto à viabilidade econômica da alternativa Essa unidade trata dessa questão apresentando os procedimentos a serem seguidos pa ra o desenvolvimento de estudos de viabilidade que consideram o efeito do IR Imposto de Renda sobre a rentabilidade de alternativas de investimento 53 Depreciação O conceito de depreciação deve ser compreendido pelas pessoas envolvidas no processo de análise e tomada de decisão de investimento uma vez que influencia o lucro tribu tável da empresa e consequentemente o fluxo de caixa líquido gerado pelas alternativas de investimento como poderá ser observado no próximo tópico desta unidade A depreciação está associada aos ativos permanentes imobilizados de uma empresa Pa ra Marion 2008 o ativo imobilizado é aquele ativo de natureza relativamente perma nente que é utilizado na operação dos negócios de uma empresa e que não se destina à venda Entre os ativos imobilizados permanentes é possível encontrar os seguintes itens máquinas equipamentos instalações edifícios veículos etc Engenharia Econômica Edemilson Nogueira Elementos da Matemática Financeira 68 A definição de depreciação está relacionada à perda de valor de um ativo imobilizado ao longo do tempo que não pode ser recuperada pelo trabalho de manutenção Essa perda de valor de acordo com Nogueira 2001 tem origem em dois fatores principais Desgaste físico o desgaste físico de um bem tem origem em sua utilização ge rando no tempo perda de eficiência e custos de operação e manutenção maiores Obsolescência tecnológica a obsolescência tecnológica tem sido ao longo dos últimos anos um importante fator de depreciação de máquinas e equipamentos das empresas O principal motivo para a desatualização desses ativos que fisi camente ainda podem encontrarse em ótimas condições é o extraordinário de senvolvimento da microeletrônica que tem interferido na concepção dos bens de produção tornandoos mais eficientes e flexíveis A depreciação ainda pode ser entendida sob dois pontos de vistas o contábil e o eco nômico Contabilmente a depreciação pode ser vista como uma parcela de valor impu tada ao custo de produção correspondente ao desgaste sofrido durante a utilização de um ativo fixo no processo produtivo OLIVEIRA 1982 ou ainda como o processo contá bil que faz uma conversão gradativa do ativo imobilizado utilizado pela empresa em despesa Essa despesa computada em cada exercício contábil deve corresponder à dimi nuição de valor dos bens do ativo imobilizado devido ao uso e à obsolescência MARION 2008 Já do ponto de vista econômico a depreciação pode ser entendida como uma ori gem de recursos para as empresas uma vez que não representa um desembolso possi bilitando que a empresa não pague imposto indevido GITMAN 1987 A taxa de depreciação anual utilizada pelas empresas é regulamentada pela Secretaria da Receita Federal e depende do prazo durante o qual se espera utilizar economicamen te o bem na produção de rendimentos Como ilustração as taxas máximas de deprecia ção utilizadas para um turno de oito horas de trabalho para alguns bens do imobilizados são Máquinas e instalações industriais 10 aa Veículo 20 aa Edifícios e construções 4 aa Se a empresa vier a operar em dois ou três turnos a legislação permitirá que sejam uti lizados fatores de aceleração da depreciação No caso de dois turnos o fator de corre ção utilizado é 15 já para três turnos o fator é 20 MARION 2008 Utilizando como referência o percentual mostrado anteriormente para máquinas e equipamento en quanto que para um turno de oito horas de trabalho a taxa anual de depreciação é 10 para dois turnos será 15 e para três turnos 20 Existem diversos métodos de depreciação No próximo tópico apresentamse três dos mais conhecidos e utilizados Engenharia Econômica Edemilson Nogueira Elementos da Matemática Financeira 69 531Métodos de depreciação Podese encontrar na literatura diferentes métodos de depreciação Entretanto entre os mais utilizados encontramse os métodos linear exponencial e soma dos dígitos A seguir fazse uma breve apresentação de cada um deles Método linear O método linear é também conhecido como método das cotas constantes ou método das linhas retas È um método de fácil utilização sendo no Brasil o permitido pela Receita Federal O valor a ser depreciado anualmente ou cota de depreciação anual é calculado em função do valor original do ativo da vida útil estimada e do valor residual apresen tado pelo ativo no final de sua vida Considerando d quota anual de depreciação VO Valor original do ativo VR valor residual do ativo ao final da vida útil N vida útil do ativo A expressão para o cálculo da quota anual de depreciação é a seguinte N V V d O R A taxa anual de depreciação T será N T 100 O valor contábil Vn do ativo em um determinado período n será n d V Vn 0 Método exponencial O método exponencial ou como também é chamado método do saldo decrescente ca racterizase por apresentar uma quota anual de depreciação decrescente ao longo da vida útil do ativo A quota de depreciação anual é calculada incidindose sobre o valor Engenharia Econômica Edemilson Nogueira Elementos da Matemática Financeira 70 contábil do ativo uma percentagem fixa Essa taxa pode ser calculada utilizandose da seguinte expressão n n V V T 0 1 Já o cálculo da quota de depreciação utiliza a seguinte expressão 1 n n T V d em que n é o período para o qual está se calculando a quota de depreciação Método da soma dos dígitos Nesse terceiro método semelhante ao que acontece no exponencial a quota anual tem um valor decrescente ao longo da vida útil do ativo A soma dos dígitos SD pode ser calculada somandose os algarismos correspondentes a cada um dos anos da vida útil do ativo Assim para um ativo cuja vida útil é de 6 anos a SD será SD 123456 21 A soma dos dígitos também pode ser obtida utilizandose da seguinte expressão 2 1 N N SD N vida útil do ativo Já a cota anual de depreciação é calculada com o auxilio da seguinte expressão R n V Vo SD n N d 1 A utilização do método da soma dos dígitos bem como do linear e do exponencial para o cálculo da depreciação de um determinado ativo pode ser mais bem compreendido a partir do exemplo desenvolvido a seguir Exemplo 1 Uma empresa adquiriu um bem pelo valor de 60000 Estimamse uma vida útil de cin co anos e um valor residual ao final desse período de 10000 Calcule a quota anual de depreciação e o valor do bem ao final de cada ano utilizando os métodos linear ex ponencial e soma dos dígitos a Linear Quota anual de depreciação Engenharia Econômica Edemilson Nogueira Elementos da Matemática Financeira 71 N V V d O R 10000 5 10000 60000 d Valor contábil n d V Vn 0 50000 1 10000 60000 1 V Como pode ser observado na expressão o valor contábil para os anos subsequentes será reduzido em 10000 a cada ano como mostra a tabela 51 b Exponencial Inicialmente é preciso calcular a taxa anual de depreciação T n n V V T 0 1 0 3012 000 60 10000 1 5 T T3012 aa Quota anual de depreciação 1 n n T V d 18070 0 3012 60000 1 d 12628 18070 60000 0 3012 2 d Valor contábil dn V Vn 0 41930 18070 60000 1 V 29302 12628 41930 2 V A tabela 51 apresenta o valor contábil e a cota anual até o quinto ano c Soma dos dígitos Inicialmente devese calcular a soma dos dígitos SD SD 12345 15 Engenharia Econômica Edemilson Nogueira Elementos da Matemática Financeira 72 Quota anual de depreciação 16667 10000 60000 15 1 1 5 1 d 13333 10000 60000 15 1 2 5 2 d Valor contábil dn V Vn 0 43333 16667 60000 1 V 46667 13333 60000 2 V A tabela 51 apresenta o valor contábil e a cota anual até o quinto ano Tabela 51 Depreciação e valor contábil exemplo 1 Ano Linear Exponencial Soma dos dígitos d Vn d Vn D Vn 0 60000 60000 60000 1 10000 50000 18070 41930 16667 43333 2 10000 40000 12628 29302 13333 30000 3 10000 30000 8825 20477 10000 20000 4 10000 20000 6167 14310 6667 13333 5 10000 10000 4310 10000 3333 10000 Os valores apresentados na tabela 51 demonstram o comportamento da depreciação e do valor contábil do bem analisado durante sua vida útil No método linear o valor de preciado é constante e o valor contábil decresce linearmente No exponencial os valo res depreciados são decrescentes fazendo com que o valor contábil tenha uma redução maior no primeiro ano sendo reduzida nos anos subsequentes No método da soma dos dígitos a quota anual de depreciação também é decrescente ao longo da vida útil Em bora os métodos exponencial e soma dos dígitos apresentem valores decrescentes da quota de depreciação no primeiro ano esse valor é maior no exponencial do segundo ao quarto ano é maior na soma dos dígitos voltando a ser maior no exponencial no quinto ano Esses diferentes comportamentos afetam a rentabilidade de investimentos em ativos como será discutido no próximo tópico Engenharia Econômica Edemilson Nogueira Elementos da Matemática Financeira 73 54 A influência do imposto de renda na análise de alternativas de investimento Como destacado anteriormente os benefícios proporcionados por projetos traduzidos em retornos financeiros para empresas estão sujeitos à tributação afetando a rentabi lidade dos investimentos O objetivo desse tópico é desenvolver uma avaliação que apresenta resultados em termos de rentabilidade ou de lucro líquido já descontados os efeitos dos impostos gerados pelo investimento As regras de incidência do imposto de renda têm como referência os dados contábeis O imposto de renda incide sobre o lucro apresentado pela empresa no exercício contábil e apresentado em seus demonstrativos Dessa forma os projetos de investimento que contribuem para a realização de lucros estão gerando impostos a serem recolhidos pelas empresas Esse valor de imposto gerado deverá ser descontado para o cálculo da renta bilidade líquida do investimento Devese destacar que a legislação tributária permite às empresas deduzirem de seu lu cro anual a correspondente quota de depreciação para fins do cálculo do imposto de renda IR Assim com o auxílio dos métodos de depreciação apresentados no tópico anterior será possível calcular a depreciação gerada no caso de investimentos realiza dos na aquisição de ativos imobilizados e consequentemente a sua utilização para efei to do cálculo do IR gerado pelo projeto O exemplo apresentado a seguir ilustra o pro cesso de cálculo do IR e a consequente avaliação de viabilidade após o desconto do IR Exemplo 1 Uma empresa estuda a possibilidade de aquisição de duas injetoras para a produção de componentes até o momento fornecido por terceiros O investimento inicial exigido pelo projeto é da ordem de 300000 e esperase com a internalização do processo obter economias anuais da ordem de 70000 A vida econômica das máquinas foi estimada em oito anos quando o valor residual será nulo A depreciação é linear sendo que as máquinas deverão ser depreciadas totalmente em oito anos a TMAR utilizada pela em presa é de 10 aa e a alíquota de IR é da ordem de 34 Calculando a quota anual de depreciação linear N V V d O R 37500 8 0 300000 d Tendo calculado o valor da depreciação é possível calcular o IR e o fluxo de caixa líqui da para a avaliação do investimento como mostra a tabela 52 Engenharia Econômica Edemilson Nogueira Elementos da Matemática Financeira 74 Tabela 52 Fluxo de caixa após IR exemplo 1 Final do ano Fluxo de caixa antes do IR A Depreciação B Lucro tributável CAB IR 34 DCx034 Fluxo de caixa após IR EAD 0 300000 300000 1 70000 37500 32500 11050 58950 2 70000 37500 32500 11050 58950 3 70000 37500 32500 11050 58950 4 70000 37500 32500 11050 58950 5 70000 37500 32500 11050 58950 6 70000 37500 32500 11050 58950 7 70000 37500 32500 11050 58950 8 70000 37500 32500 11050 58950 Calculandose o VPL para uma TMAR de 10 aa 49390 14 10 10 1 1 10 1 58950 300000 8 8 VPL Como podese observar o VPL é positivo portanto o investimento é viável Também poderia ser calculado o valor da TIR por meio de um processo iterativo utilizando a equação do VPL acima e tendo o valor de i como incógnita Nesse caso o valor da TIR é de 1131 aa Como TIR TMAR o investimento é viável É importante destacar que de acordo com Oliveira 1982 existe uma dificuldade adi cional na análise de viabilidade econômica após o efeito do imposto de renda pois na prática das empresas dificilmente a vida econômica dos ativos coincide com a vida con tábil Na hipótese das vidas econômica e contábil serem iguais o ativo será depreciado totalmente durante o período planejado Caso a vida econômica seja maior que a con tábil também o ativo será depreciado totalmente no período planejado só que em um espaço de tempo menor correspondente à vida contábil do ativo Já se a vida econômica for menor que a contábil o ativo será depreciado parcialmente durante o horizonte planejado Ainda segundo Oliveira 1982 se o ativo apresentar um valor residual maior do que seu valor contábil no momento de sua retirada de operação essa diferença será considera da como lucro contábil e portanto deverá ser tributada Na situação em que o valor residual é menor do que o contábil a diferença deverá ser considerada perda contábil e portanto utilizada para abater o valor do imposto de renda a pagar O exemplo 2 ilustra uma análise de viabilidade para um mesmo investimento em três situações dife rentes vida econômica maior do que a contábil vida econômica igual à contábil e vida econômica menor do que a contábil Engenharia Econômica Edemilson Nogueira Elementos da Matemática Financeira 75 Exemplo 2 Visando à melhoria da qualidade dos produtos ofertados ao mercado uma empresa pre tende adquirir equipamentos especializados para a realização de inspeções na linha de produção substituindo o trabalho manual e visual realizado por funcionários da empresa Para a compra dos equipamentos serão necessários investimentos que somam 144000 Estimouse que com a utilização dos equipamentos sejam obtidos benefícios anuais no valor de 40000 que tem origem na melhoria da qualidade na redução do custo com mãodeobra e na diminuição dos gastos com serviços de assistência técnica Os equi pamentos têm uma vida econômica de oito anos quando poderão ser vendidos por 20000 A empresa trabalha com uma taxa mínima atrativa de retorno de 12 aa a alíquota de IR é de 34 e a legislação determina a utilização do método de depreciação linear Verificar a viabilidade do investimento para as seguintes situações a Vida contábil de seis anos b Vida contábil de oito anos c Vida contábil de dez anos a Vida contábil de seis anos Nessa primeira situação a vida contábil dos equipamentos é menor do que a econômi ca possibilitando que os valores referentes à depreciação sejam apropriados em um pe ríodo inferior ao uso econômico dos ativos Se a vida contábil for de seis anos depreci arseá totalmente o equipamento nesse período o que significa que para efeito de cálculo da quota de depreciação o valor residual será 0 zero Entretanto como ao final de seis anos o ativo ainda pode ser vendido por 20000 esse valor deverá ser tri butado N V V d O R 24000 6 0 144000 d Tabela 53 Fluxo de caixa após IR exemplo 2 vida contábil seis anos Final do ano Fluxo de caixa antes do IR A Depreciação B Lucro tributável C A B IR 34 D C x 034 Fluxo de caixa após IR E A D 0 144000 144000 1 40000 24000 16000 5440 34560 2 40000 24000 16000 5440 34560 3 40000 24000 16000 5440 34560 4 40000 24000 16000 5440 34560 5 40000 24000 16000 5440 34560 6 40000 24000 16000 5440 34560 7 40000 40000 13600 26400 8 60000 60000 20400 39600 Engenharia Econômica Edemilson Nogueira Elementos da Matemática Financeira 76 02603 26 012 1 600 39 012 1 400 26 012 012 1 1 012 1 34560 144000 8 7 6 6 VPL VPL 0 TIR 1703 aa TMAR O VPL é positivo e a TIR é maior do que a TMAR portanto o investimento é viável b Vida contábil de oito anos Nesse caso a vida contábil é igual à econômica Em comparação à situação anterior depreciase mais lentamente o ativo Tabela 54 Fluxo de caixa após IR exemplo 2 vida contábil oito anos Final do Ano Fluxo de caixa antes do IR A Depreciação B Lucro Tributável CAB IR 34 DCx034 Fluxo de caixa após IR EAD 0 144000 144000 1 40000 18000 22000 7480 32520 2 40000 18000 22000 7480 32520 3 40000 18000 22000 7480 32520 4 40000 18000 22000 7480 32520 5 40000 18000 22000 7480 32520 6 40000 18000 22000 7480 32520 7 40000 18000 22000 7480 32520 8 60000 18000 42000 14280 45720 87890 22 012 1 720 45 012 012 1 1 012 1 32520 144000 8 7 7 VPL VPL0 TIR 1627 aa TMAR O VPL é positivo e a TIR é maior do que a TMAR portanto o investimento é viável A depreciação em um período maior comparativamente ao tópico anterior fez com que o lucro líquido na data 0 zero e a rentabilidade diminuíssem c Vida contábil de dez anos Nessa terceira possibilidade a vida contábil é maior do que a econômica Isso significa depreciar o ativo em um prazo ainda maior em comparação às situações anteriores Engenharia Econômica Edemilson Nogueira Elementos da Matemática Financeira 77 Nessas situações devese apropriar como lucro ou perda contábil a diferença entre o valor contábil e o valor residual do ativo como pode ser observado na tabela 55 Tabela 55 Fluxo de caixa após IR exemplo 2 vida contábil 10 anos Final do ano Fluxo de caixa antes do IR A Deprecia ção B Lucro ou perda contábil Lucro tributável C A B IR 34 D C x 034 Fluxo de caixa após IR E A D 0 144000 144000 1 40000 14400 25600 8704 31296 2 40000 14400 25600 8704 31296 3 40000 14400 25600 8704 31296 4 40000 14400 25600 8704 31296 5 40000 14400 25600 8704 31296 6 40000 14400 25600 8704 31296 7 40000 14400 25600 8704 31296 8 60000 14400 8800 16800 5712 54288 14440 x2200008800 40000 14400 8800 16800 75334 20 012 1 288 54 012 012 1 1 012 1 31296 144000 8 7 7 VPL VPL 0 TIR 1579 aa TMAR Assim como nos casos anteriores o VPL é positivo e a TIR é maior do que a TMAR por tanto o investimento é viável A depreciação em um período de dez anos superior ao item anterior fez com que o lucro líquido na data 0 zero e a rentabilidade diminuís sem ainda mais Desse modo podese afirmar que quanto menor a vida contábil maiores o lucro na data 0 zero e a rentabilidade do investimento ou de outro modo quanto mais rápida a depreciação do ativo maiores o lucro líquido e a rentabilidade Ainda no que diz respeito à verificação do efeito do IR na análise de viabilidade econô mica vale destacar uma outra possibilidade de ocorrência Existem projetos que podem apresentar em determinado momento ao longo do horizonte de planejamento uma quota de depreciação superior ao fluxo de caixa líquido antes do IR Ao deduzir do flu xo de caixa antes do IR a depreciação chegase a um valor negativo o que alguns auto res chamam de lucro tributável negativo Nesse caso se a empresa que estiver analisando o projeto for lucrativa ou seja apre sentar lucro em seus demonstrativos financeiros o resultado negativo desse projeto re duz o lucro da empresa provocando uma diminuição do imposto de renda a ser pago Essa diminuição do IR a ser pago deverá ser entendida como se fosse uma economia que o projeto está possibilitando à empresa O exemplo 3 ilustra está situação Engenharia Econômica Edemilson Nogueira Elementos da Matemática Financeira 78 Exemplo 3 Uma empresa do setor de alimentos está analisando a compra de um novo forno para uma de suas fábricas de biscoitos Um modelo de forno que atende às suas necessidades de produção pode ser adquirido por 50000 tem uma vida econômica estimada em oito anos e um valor residual ao final desse período igual a 0 zero O uso desse forno possi bilitará economias de energia estimadas em 10000 por ano A depreciação é linear devendo o forno ser depreciado totalmente em quatro anos Considerando que a alíquo ta do IR é de 25 e a TMAR é de 15 aa verifique a viabilidade do projeto Calculando a depreciação N V V d O R 12500 4 0 50000 d Como pode ser observado na tabela 56 nos quatro primeiros anos a quota anual de depreciação é maior do que o fluxo de caixa antes do IR Considerando que a empresa é lucrativa seu lucro será menor em 2500 durante esse período possibilitando à empre sa economizar 625 por ano com o pagamento de IR Dessa maneira esse valor econo mizado deve ser adicionado ao fluxo de caixa após o IR Tabela 56 Fluxo de caixa após IR exemplo 3 Final do ano Fluxo de caixa antes do IR A Depreciação B Lucro tributável C A B IR 25 D C x 034 Fluxo de caixa após IR E A D 0 50000 50000 1 10000 12500 2500 625 10625 2 10000 12500 2500 625 10625 3 10000 12500 2500 625 10625 4 10000 12500 2500 625 10625 5 10000 10000 2500 7500 6 10000 10000 2500 7500 7 10000 10000 2500 7500 8 10000 10000 2500 7500 8 7 6 5 4 4 015 1 500 7 0 15 1 500 7 015 1 500 7 015 1 500 7 015 015 1 1 015 1 10625 000 50 VPL VPL 742328 TIR 995 aa Engenharia Econômica Edemilson Nogueira Elementos da Matemática Financeira 79 O valor negativo do VPL e a TIR menor do que a TMAR indicam que o projeto não é viá vel economicamente 55 Referências bibliográficas MARION J C Contabilidade básica 8ª ed São Paulo Atlas 2008 NOGUEIRA E Análise de investimentos In BATALHA M O Gestão Agroindustrial 4ª ed São Paulo Atlas 2007 p 20566 OLIVEIRA J A N Engenharia Econômica uma abordagem às decisões de investimento São Paulo McGrawHill 1982 GITMAN L J Princípios de administração financeira 3ª ed São Paulo Harbra 1987