Lista de Exercícios

431 Considere os vetores V i 3j 2k W 2i j ke U i 2j Seja π um plano paralelo aos vetores W e U e r uma reta perpendicular ao plano π Ache a projeção ortogonal do vetor V sobre a reta r ou seja a projeção ortogonal de V sobre o vetor diretor da reta r 432 Encontrar o ângulo entre o plano 2x y z 0 e o plano que passa pelo ponto P 123 e é perpendicular ao vetor i 2j k 433 Seja π1 o plano que passa pelos pontos A 111 B 101 C 110 e π2 o plano que passa pelos pontos P 001 e Q 000 e é paralelo ao vetor i j Ache o ângulo entre π1 e π2 434 Ache todas as retas que passam pelo ponto 1 2 3 e que formam ângulos de 45º e 60º com os eixos x e y respectivamente 435 Obtenha os vértices B e C do triângulo equilátero ABC sendo A 110 e sabendo que lado BC está contido na reta r xyz t011 Sugestão Determine os pontos Pr da reta r tais que PrA faz ângulo de 60º e 120º com o vetor diretor da reta r 436 Seja π o plano que passa pela origem e é perpendicular à reta que une os pontos A 100 e B 010 Encontre a distância do ponto C 101 ao plano π 437 Seja r1 a reta que passa pelos pontos A 100 e B 020 e r2 a reta x 2 y 32 z 43 a Encontre as equações da reta perpendicular às retas r1 e r2 b Calcule a distância entre r1 e r2 438 Dados A 021 r X 022 t112 ache os pontos de r que distam sqrt3 de A A distância do ponto A à reta r é maior menor ou igual a sqrt3 Por que 439 Dada a reta r X 100 t111 e os pontos A 111 e B 001 ache o ponto de r equidistante de A e B Um Curso de Geometria Analítica e Álgebra Linear Julho 2014 4310 Encontre a equação do lugar geométrico dos pontos equidistantes de A 1 1 2 e B 431 Este plano passa pelo ponto médio de AB Ele é perpendicular ao segmento AB 4311 Ache as equações dos planos que são perpendiculares ao vetor 222 e que distam sqrt3 do ponto 111 4312 Determine os planos que contêm a reta r x 2y 2z 0 3x 5y 7z 0 e formam com o plano π1 x z 0 um ângulo de 60º 4313 a Verifique que a reta r xyz 101 t1 1 0 é paralela ao plano π x y z 0 b Calcule a distância de r a π c Existem retas contidas no plano π que são reversas à reta r e distam 2 desta 4314 a Determine a equação do plano π1 que passa por A 10311 B 1921 e C 1156 b Determine a equação do plano π2 que passa por D 141 E 32110 e é paralelo ao eixo z c Escreva equações paramétricas para a reta r interseção dos planos π1 e π2 d Faça um esboço dos planos π1 π2 e da reta r no primeiro octante e Qual o ângulo entre os planos π1 e π2 f Qual o ponto P de π1 que está mais próximo da origem Sugestão este ponto é tal que OP é ortogonal ao plano π1 g Qual a área do triângulo ABC 4215 Ache as equações da reta que intercepta as retas r1 e r2 e é perpendicular a ambas a r1 x 1 t y 2 3t para t R z 4t e r2 x 1 y 12 z 23 b r1 x 1 t y 2 3t para t R z 4t e r2 x y 42 z 33 422 Determine a interseção da reta que passa pela origem e tem vetor diretor V i 2j k com o plano 2x y z 5 423 Verifique se as retas r xyz 9t1 6t 2 3t e s xyz 1 2t 3 t1 se interceptam e em caso afirmativo determine a interseção Sugestão a questão é se as trajetórias se cortam e não se as partículas se chocam ou seja elas não precisam estar num ponto no mesmo instante 424 Dadas as retas r x 22 y2 z e s x 2 y z obtenha uma equação geral para o plano determinado por r e s 425 Sejam P 411 e r xyz 2 t 4 t 1 2t Um Curso de Geometria Analítica e Álgebra Linear Julho 2014 426 Quais dos seguintes pares de planos se cortam segundo uma reta a x 2y 3z 4 0 e x 4y 2z 1 0 b 2x y 4z 3 0 e 4x 2y 8z 0 c x y 0 e x z 0 427 Encontre as equações da reta que passa pelo ponto Q 121 e é perpendicular ao plano x y 2z 1 0 428 Ache equações da reta que passa pelo ponto P 101 e é paralela aos planos 2x 3y z 1 0 e x y z 0 429 Seja r a reta determinada pela interseção dos planos x y z 0 e 2x y 3z 1 0 Ache a equação do plano que passa por A 101 e contém a reta r 4210 Seja r e s retas reversas passando por A 010 e B 110 e por C 314 e D 127 respectivamente Obtenha uma equação da reta concorrente com r e s e paralela ao vetor V 151 4211 a Mostre que os planos 2x y z 0 e x 2y z 1 se interceptam segundo uma reta r b Ache equações da reta que passa pelo ponto A 101 e intercepta a reta r ortogonalmente 4212 Considere as retas xyz t123 e xyz 012 s246 Encontre a equação geral do plano que contêm estas duas retas 4213 Determine as equações paramétricas da reta interseção dos planos a x 2y 3z 4 0 e x 4y 2z 1 0 b x y 0 e x z 0 Julho 2014 Reginaldo J Santos 4214 Considere o plano π 2x 2y z 0 a Determine as retas r interseção do plano π com o plano yz s interseção do plano π com o plano xz e t interseção do plano π com o plano z 2 Desenhe um esboço do plano π mostrando as retas r