Lista de Exercicios - Derivadas - Calculo Diferencial e Integral

Calculo Diferencial e Integral I Profa Ana Mereu Lista de Exercıcios Derivadas Exercıcios do Stewart Calculo Vol 1 7Ed Exercıcios 1 Mostre que a funcao fx x 6 nao e diferenciavel em 6 Encontre uma formula para f 0 e esboce seu grafico 2 Execıcios abaixo selecionados das paginas 164 166 do livro texto 3 5 7 9 11 13 17 19 21 23 25 27 29 31 33 43 47 49 51 63 67 75 1 TEC Visual 31 usa um escopo de inclinação para ilustrar essa fórmula Derivada da Função Exponencial Natural ddx ex ex Assim a função exponencial fx ex tem a propriedade de ser sua própria derivada O significado geométrico desse fato é que a inclinação da reta tangente à curva y ex é igual à coordenada y do ponto veja a Figura 7 EXEMPLO 8 Se fx ex x encontre f e f Compare os gráficos de f e f SOLUÇÃO Usando a Regra da Diferença temos fx ddx ex x ddx ex ddx x ex 1 Na Seção 28 definimos a segunda derivada como a derivada de f de modo que fx ddx ex 1 ddx ex ddx 1 ex A Figura 8 exibe os gráficos da função f e sua derivada f Observe que f tem uma tangente horizontal quando x 0 o que corresponde ao fato de que f0 0 Observe também que para x 0 fx é positivo e f é crescente Quando x 0 fx é negativo e f é decrescente EXEMPLO 9 Em que ponto da curva y ex sua reta tangente é paralela à reta y 2x SOLUÇÃO Uma vez que y ex temos y ex Seja a coordenada x do ponto em questão a Então a inclinação da reta tangente nesse ponto é ea Essa reta tangente será paralela à reta y 2x se ela tiver a mesma inclinação ou seja 2 Igualando as inclinações obtemos ea 2 a ln 2 Portanto o ponto pedido é a ea ln 2 2 veja a Figura 9 31 Exercícios 1 a Como é definido o número e b Use uma calculadora para estimar os valores dos limites lim h0 27h 1h e lim h0 28h 1h com precisão até a segunda casa decimal O que você pode concluir sobre o valor de e 2 a Esboce à mão o gráfico da função fx ex prestando particular atenção em como o gráfico cruza o eixo y Que fato lhe permite fazer isso b Que tipos de funções são fx ex e gx xx Compare as fórmulas de derivação para f e g c Qual das funções da parte b cresce mais rapidamente quando x é grande 332 Derive a função 3 fx 1865 4 fx 30 5 fx 5x 1 6 Fx 4x10 7 fx x3 4x 6 8 ft 14t5 25t2 67 9 gx x21 2x 10 hx x 22x 3 11 y x25 12 By cy6 13 As 12s5 14 y x53 x23 15 Ra 3a 12 16 ht ⁴t 4et 17 Sp p p 18 y x x 1 19 y 3ex 4³x 20 SR 4πR2 21 hu Au3 Bu2 Cu 22 y x xx2 23 y x2 4x 3x 24 gu 2 u 3 u 25 jx x24 e24 26 kr er re 27 Hx x x13 28 y aev bv cv2 29 u ⁵t 4t5 30 v x 1³x2 31 z Ay10 Bey 32 y ex1 1 3334 Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto dado 33 y ⁴x 1 1 34 y x4 2x2 x 1 2 3536 Encontre equações para a reta tangente e para a reta normal à curva no ponto dado 35 y x4 2ex 0 2 36 y x2 x4 1 0 3738 Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto dado Ilustre com o gráfico da curva e da reta tangente na mesma tela 37 y 3x2 x3 1 2 38 y x x 1 0 3940 Encontre fx Compare os gráficos de f e f e useos para explicar por que sua resposta é razoável 39 fx x4 2x3 x2 40 fx x5 2x3 x 1 41 a Use uma calculadora gráfica ou computador para fazer o gráfico da função fx x4 3x3 6x2 7x 30 na janela retangular 3 5 por 10 50 b Usando o gráfico da parte a para estimar as inclinações faça um esboço à mão do gráfico de f veja o Exemplo 7 na Seção 28 c Calcule fx e use essa expressão com uma ferramenta gráfica para fazer o gráfico de f Compare com seu esboço da parte b 42 a Use uma calculadora gráfica ou computador para fazer o gráfico da função gx ex 3x2 na janela retangular 1 4 por 8 8 b Usando o gráfico da parte a para estimar as inclinações faça um esboço à mão do gráfico de g veja o Exemplo 7 na Seção 28 c Calcule gx e use essa expressão com uma ferramenta gráfica para fazer o gráfico de g Compare com seu esboço da parte b 4344 Encontre a primeira e a segunda derivadas da função 43 f x 10x10 5x5 x 44 Gr r ³r 4546 Encontre a primeira e a segunda derivadas da função Verifique se suas respostas são razoáveis comparando os gráficos de f f e f 45 fx 2x 5x34 46 fx ex x3 47 A equação de movimento de uma partícula é s t3 3t em que x está em metros e t em segundos Encontre a a velocidade e a aceleração como funções de t b a aceleração depois de 2 s e c a aceleração quando a velocidade for 0 48 A equação de movimento de uma partícula é s t4 2t3 t2 t em que s está em metros e t em segundos a Encontre a velocidade e a aceleração como funções de t b Encontre a aceleração depois de 1 s c Trace o gráfico das funções de posição velocidade e aceleração na mesma tela 49 A Lei de Boyle diz que quando uma amostra de gás é comprimida em uma pressão contante a pressão P do gás é inversamente proporcional ao volume V do gás a Suponha que a pressão de uma amostra de ar que ocupa 0106 m3 a 25 C seja de 50 kPa Escreva V como uma função de P b Calcule dVdP quando P 50 kPa Qual o significado da derivada Quais são suas unidades 50 Os pneus de automóveis precisam ser inflados corretamente porque uma pressão interna inadequada pode causar um desgaste prematuro Os dados na tabela mostram a vida útil do pneu L em milhares de quilômetros para um certo tipo de pneu em diversas pressões P em kPa P 179 193 214 242 262 290 311 L 80 106 126 130 119 113 95 a Use uma calculadora gráfica ou computador para modelar a vida do pneu como uma função quadrática da pressão b Use o modelo para estimar dLdP quando P 200 e quando P 300 Qual o significado da derivada Quais são suas unidades Qual é o significado dos sinais das derivadas 51 Ache os pontos sobre a curva y 2x3 3x2 12x 1 onde a tangente é horizontal 52 Que valores de x fazem com que o gráfico de fx ex 2x tenha uma reta tangente horizontal 53 Mostre que a curva y 2ex 3x 5x3 não tem reta tangente com inclinação 2 54 Encontre uma equação para a reta tangente à curva y xx que seja paralela à reta y 1 3x 55 Encontre equações para ambas as retas que são tangentes à curva y 1 x3 e que são paralelas à reta 12x y 1 56 Em qual ponto sobre a curva y 1 2ex 3x a reta tangente é paralela à reta 3x y 5 Ilustre fazendo o gráfico da curva e de ambas as retas 57 Encontre uma equação para a reta normal à parábola y x2 5x 4 que seja paralela à reta x 3y 5 58 Onde a reta normal à parábola y x x2 no ponto 1 0 intercepta a parábola uma segunda vez Ilustre com um esboço 59 Trace um diagrama para mostrar que há duas retas tangentes à parábola y x2 que passam pelo ponto 0 4 Encontre as coordenadas dos pontos onde essas retas tangentes interceptam a parábola 60 a Encontre as equações de ambas as retas pelo ponto 2 3 que são tangentes à parábola y x2 x b Mostre que não existe nenhuma reta que passe pelo ponto 2 7 e que seja tangente à parábola A seguir desenhe um diagrama para ver por quê 61 Use a definição de derivada para mostrar que se f x 1x então fx 1x2 Isso demonstra a Regra da Potência para o caso n 1 62 Encontre a nésima derivada de cada função calculando algumas das primeiras derivadas e observando o padrão que ocorre a fx xn b fx 1x 63 Encontre um polinômio de segundo grau P tal quer P2 5 P2 3 e P2 2 64 A equação y y 2y x2 é chamada equação diferencial pois envolve uma função desconhecida y e suas derivadas y e y Encontre as constantes A B e C tais que a função y Ax2 Bx C satisfaça essa equação As equações diferenciais serão estudadas no Capítulo 9 no Volume II 65 Encontre uma função cúbica y ax3 bx2 cx d cujo gráfico tenha tangentes horizontais nos pontos 2 6 e 2 0 66 Encontre uma parábola com a equação y ax2 bx c que tenha inclinação 4 em x 1 inclinação 8 em x 1 e passe pelo ponto 2 15 67 Considere fx x2 1 se x 1 x 1 se x 1 f é derivável em 1 Esboce gráficos de f e f 68 Em quais números a seguinte função g é derivável gx 2x se x 0 2x x2 se 0 x 2 2 x se x 2 Dê uma fórmula para g e esboce os gráficos de g e g 69 a Para quais valores de x a função f x x2 9 é derivável Ache uma fórmula para f b Esboce gráficos de f e f 70 Onde a função hx x 1 x 2 é derivável Dê uma fórmula para h e esboce os gráficos de h e h 71 Encontre a parábola com equação y ax2 bx cuja reta tangente em 1 1 tem equação y 3x 2 72 Suponha que a curva y x4 ax3 bx2 cx d tenha uma reta tangente quando x 0 com equação y 2x 1 e uma reta tangente quando x 1 com equação y 2 3x Encontre os valores de a b c e d 73 Para quais valores de a e b a reta 2x y b é tangente à parábola y ax2 quando x 2 74 Encontre o valor de c tal que a reta y ³²x 6 seja tangente à curva y cx 75 Considere fx x2 se x 2 mx b se x 2 Encontre os valores de m e b que tornem f derivável em toda parte 76 Uma reta tangente à hipérbole xy c é traçada em um ponto P a Mostre que o ponto médio do segmento de reta cortado dessa reta tangente pelos eixos coordenados é P b Mostre que o triângulo formado pela reta tangente e pelos eixos coordenados sempre têm a mesma área não importa onde P esteja localizado sobre a hipérbole 77 Calcule lim x1 x1000 1x 1 78 Trace um diagrama ilustrando duas retas perpendiculares que se interceptam sobre o eixo y ambas tangentes à parábola y x2 Onde essas retas se interceptam 79 Se c 12 quantas retas pelo ponto 0 c são normais à parábola y x2 E se c 12 80 Esboce as parábolas y x2 e y x2 2x 2 Você acha que existe uma reta que seja tangente a ambas as curvas Em caso afirmativo encontre sua equação Em caso negativo explique por que não PROJETO APLICADO CONSTRUINDO UMA MONTANHARUSSA MELHOR Suponha que lhe peçam para projetar a primeira subida e descida de uma montanharussa Estudando fotografias de suas montanhasrussas favoritas você decide fazer a subida com inclinação 08 e a descida com inclinação 16 Você decide ligar esses dois trechos retos y L1x e y L2x com parte de uma parábola y fx ax2 bx c em que x e y fx são medidos em metros Para o percurso ser liso não pode haver variações bruscas na direção de modo que você quer que os segmentos L1 e L2 sejam tangentes à parábola nos pontos de transição P e Q veja a figura Para simplificar as equações você decide colocar a origem em P 1 a Suponha que a distância horizontal entre P e Q seja 30 m Escreva equações em a b e c que garantam que o percurso seja liso nos pontos de transição b Resolva as equações da parte a para a b e c para encontrar uma fórmula para fx c Trace L1 f e L2 para verificar graficamente que as transições são lisas d Encontre a diferença de elevação entre P e Q 2 A solução do Problema 1 pode parecer lisa mas poderia não ocasionar a sensação de lisa pois a função definida por partes que consiste em L1x para x 0 fx para 0 x 30 e L2x para x 30 não tem uma segunda derivada contínua Assim você decide melhorar seu projeto usando uma função quadrática qx ax2 bx c apenas no intervalo 3 x 27 e conectandoa às funções lineares por meio de duas funções cúbicas gx kx3 lx2 mx n 0 x 3 hx px3 qx2 rx s 27 x 30 a Escreva um sistema de equações em 11 incógnitas que garanta que as funções e suas primeiras duas derivadas coincidam nos pontos de transição b Resolva as equações da parte a com um sistema de computação algébrica para encontrar fórmulas para gx gx e hx c Trace L1 g q h e L2 e compare com o gráfico do Problema 1c