Lista de Exercícios Resolvidos - Cálculo de Derivadas - Stewart 7Ed

Calculo Diferencial e Integral I Profa Ana Mereu Lista de Exercıcios Derivadas 2 Exercıcios do Stewart Calculo Vol 1 7Ed Exercıcios Exercıcios abaixo selecionados da secao 32 do livro texto 3 5 7 9 11 13 17 19 21 23 25 27 29 31 43 1 32 Exercícios 1 Encontre a derivada fx 1 2x²x x² de duas formas usando a Regra do Produto e efetuando primeiro a multiplicação As respostas são iguais 2 Encontre a derivada da função Fx x⁴ 5x³ x x² de duas formas usando a Regra do Quociente e simplificando antes Mostre que suas respostas são equivalentes Qual método você prefere 326 Derive 3 fx x³ 2xeˣ 4 gx x eˣ 5 y eˣ x² 6 y eˣ 1 x 7 gx 3x 1 2x 1 8 ft 2t 4 t² 9 Hu u uu u 10 Jv v³ 2vv⁴ v² 11 Fy 1 y² 3 y⁴y 5y³ 12 fz 1 eᶻz eᶻ 13 y x³ 1 x² 14 y x 1 x³ x 2 15 y t² 2 t⁴ 3t² 1 16 y t t 1² 17 y eᴾp pp 18 y 1 s keˢ 19 y v³ 2vv v 20 z w³²w ceʷ 21 ft 2t 2 t 22 gt t t t13 23 fx A B Ceˣ 24 fx 1 xeˣ x eˣ 25 fx x x cx 26 fx ax b cx d 2730 Encontre fx e fx 27 fx x⁴eˣ 28 fx x⁵²eˣ 29 fx x² 1 2x 30 fx x x² 1 3132 Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto especificado 31 y x² 1 x² x 1 1 0 32 y eˣx 1 e 3334 Encontre equações para a reta tangente e para a reta normal à curva no ponto especificado 33 y 2xeˣ 0 0 34 y 2x x² 1 1 1 35 a A curva y 11 x² é chamada bruxa de Maria Agnesi Encontre uma equação da reta tangente a essa curva no ponto 1 12 b Ilustre a parte a fazendo o gráfico da curva e da tangente na mesma tela 36 a A curva y x1 x² é denominada serpentina Encontre uma equação da reta tangente a essa curva no ponto 3 03 b Ilustre a parte a fazendo o gráfico da curva e da tangente na mesma tela 37 a Se fx x³ xeˣ encontre fx b Verifique se sua resposta em a é razoável comparando os gráficos de f e f 38 a Se fx eˣ2x² x 1 encontre fx b Verifique se sua resposta em a é razoável comparando os gráficos de f e f 39 a Se fx x² 1x² 1 encontre fx e fx b Verifique se suas respostas em a são razoáveis comparando os gráficos de ff e f 40 a Se fx x² 1eˣ encontre fx e fx b Verifique se suas respostas em a são razoáveis comparando os gráficos de ff e f 41 Se fx x²1 x encontre f1 42 Se gx xeˣ encontre gⁿx 43 Suponha que f5 1 f5 6 g5 3 e g5 2 Encontre os seguintes valores a fg5 b fg5 c gf5 44 Suponha que f2 3 g2 4 f2 2 e g2 7 Encontre h2 a hx 5fx 4gx b hx fxgx c hx fxgx d hx gx 1 fx 45 Se fx eˣgx onde g0 2 e g0 5 encontre f0 46 Se h2 4 e h2 3 encontre ddx hxx x2 47 Se gx xfx onde f3 4 e f3 2 encontre uma equação da reta tangente ao gráfico de g no ponto onde x 3 48 Se f2 10 e fx x²fx para todo x encontre f2 49 Se f e g são as funções cujos gráficos estão ilustrados sejam ux fxgx e vx fxgx a Encontre u1 b Encontre v5 É necessário uma calculadora gráfica ou computador 1 As Homework Hints estão disponíveis em wwwstewartcalculuscom 50 Sejam Px FxGx e Qx FxGx onde F e G são as funções cujos gráficos estão representados a seguir a Encontre P2 b Encontre Q7 51 Se g for uma função derivável encontre uma expressão para a derivada de cada uma das seguintes funções a y xgx b y x gx c y gx x 52 Se f for uma função derivável encontre uma expressão para a derivada de cada uma das seguintes funções a y x²fx b y fx x² c y x² fx d y 1 xfx x 53 Quantas retas tangentes à curva y xx 1 passam pelo ponto 1 2 Em quais pontos essas retas tangentes tocam a curva 54 Encontre as equações de retas tangentes à curva y x 1 x 1 que sejam paralelas à reta x 2y 2 55 Encontre R0 onde Rx x 3x³ 5x⁵ 1 3x³ 6x⁶ 9x⁹ Dica em vez de encontrar Rx primeiro deixe fx ser o numerador e gx o denominador de Rx e compute R0 de f0 f0 g0 e g0 56 Use o método do Exercício 55 para computar Q0 onde Qx 1 x x² xeˣ 1 x x² xeˣ 57 Neste exercício estimaremos a taxa segundo a qual a renda pessoal total está subindo na área metropolitana da cidade de RichmondPetersburg Virgínia Em julho de 1999 a população dessa área era de 961400 e estava crescendo aproximadamente em 9200 pessoas por ano O rendimento anual médio era de 30593 per capita e essa média crescia em torno de 1400 por ano bem acima da média nacional de cerca de 1225 anuais Use a Regra do Produto e os dados aqui fornecidos para estimar a taxa segundo a qual a renda pessoal total estava crescendo em RichmondPetersburg em julho de 1999 Explique o significado de cada termo na Regra do Produto 58 Um fabricante produz peças de tecido com tamanho fixo A quantidade q de cada peça de tecido medida em metros vendida é uma função do preço p em dólares por metro logo podemos escrever q fp Então a receita total conseguida com o preço de venda p é Rp pfp a O que significa dizer que f20 10 000 e f20 350 b Tomando os valores da parte a encontre R20 e interprete sua resposta 59 a Use duas vezes a Regra do Produto para demonstrar que se f g e h forem deriváveis então fgh fgh fgh fgh b Fazendo f g h na parte a mostre que ddx fx³ 3fx² fx c Use a parte b para derivar y e³ˣ 60 a Se Fx fx gx onde f e g têm derivadas de todas as ordens mostre que F fg 2fg fg b Encontre fórmulas análogas para F e F⁴ c Conjecture uma fórmula para Fⁿ 61 Encontre expressões para as primeiras cinco derivadas de fx x²eˣ Você percebe um padrão nestas expressões Crie uma fórmula para fⁿx e demonstrea usando a indução matemática 62 a Se g for derivável a Regra do Recíproco diz que ddx 1 gx gx gx² Use a Regra do Quociente para demonstrar a Regra do Recíproco b Use a Regra do Recíproco para derivar a função do Exercício 18 c Use a Regra do Recíproco para verificar que a Regra da Potência é válida para os inteiros negativos isto é ddx xⁿ nxⁿ¹ para todo inteiro positivo n