Lista de Exercicios Resolvidos - Derivadas - Calculo Diferencial e Integral

Calculo Diferencial e Integral I Profa Ana Mereu Lista de Exercıcios Derivadas 4 Exercıcios do Stewart Calculo Vol 1 7Ed Exercıcios Exercıcios abaixo selecionados da secao 34 do livro texto 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 29 77 83 nao precisa fazer o grafico 1 62 Se hx 4 3fx onde f1 7 e f1 4 encontre h1 63 Uma tabela de valores para f g f e g é fornecida a Se hx fgx encontre h1 b Se Hx gfx encontre H1 64 Sejam f e g as funções no Exercício 63 a Se Fx ffx encontre F2 b Se Gx ggx encontre G3 65 Se f e g forem as funções cujos gráficos são mostrados sejam ux fgx vx gfx e wx ggx Encontre cada derivada se ela existir Se não existir explique por quê a u1 b v1 c w1 66 Se f for a função cujo gráfico é mostrado sejam hx ffx e gx fx2 Use o gráfico de f para estimar o valor de cada uma das derivadas a h2 b g2 67 Se gx fx onde o gráfico de f é mostrado avalie g3 68 Suponha que f seja uma derivável em R e α um número real Sejam Fx fxα e Gx fxα Encontre expressões para a Fx e b Gx 69 Suponha que f seja derivável em R Sejam Fx fex e Gx efx Encontre expressões para a Fx e b Gx 70 Sejam gx ecx fx e hx ekxfx onde f0 3 f0 5 e f0 2 a Encontre g0 e g0 em termos de c b Em termos de k encontre uma equação da reta tangente para o gráfico de h no ponto onde x 0 71 Seja rx fghx onde h1 2 g2 3 h1 4 g2 5 e f3 6 Encontre r1 72 Se g for duas vezes derivável e fx xgx2 encontre f em termos de g g e g 73 Se Fx f3f4fx onde f0 0 e f0 2 encontre F0 74 Se Fx fxfxfx onde f1 2 f2 3 f1 4 f2 5 e f3 6 encontre F1 75 Mostre que a função y e2xA cos 3x B sen 3x satisfaz a equação diferencial y 4y 13y 0 76 Para quais valores de r a função y erx satisfaz a equação diferencial y 4y y 0 77 Encontre a 50a derivada de y cos 2x 78 Encontre a 1000a derivada de fx xex 79 O deslocamento de uma partícula em uma corda vibrante é dado pela equação st 10 14 sen10πt onde s é medido em centímetros e t em segundos Encontre a velocidade da partícula após t segundos 80 Se a equação de movimento de uma partícula for dada por s A cosωt δ dizemos que a partícula está em movimento harmônico simples a Encontre a velocidade da partícula no tempo t b Quando a velocidade é zero 81 Cefeu é uma constelação cujo brilho é variável A estrela mais visível dessa constelação é a Delta Cefeu para a qual o intervalo de tempo entre os brilhos máximos é de 54 dias O brilho médio dessa estrela é de 40 com uma variação de 035 Em vista desses dados o brilho de Delta Cefeu no tempo t onde t é medido em dias foi modelada pela função Bt 40 035 sen 2πt54 a Encontre a taxa de variação do brilho após t dias b Encontre com precisão até duas casas decimais a taxa de crescimento após 1 dia 82 No Exemplo 4 da Seção 13 chegamos a um modelo para a duração da luz do dia em horas em Ancara Turquia no tésimo dia do ano Lt 12 28 sen 2π365 t 80 Use esse modelo para comparar como o número de horas de luz do dia aumenta em Ancara em 21 de março e em 21 de maio 83 O movimento de uma mola sujeita a uma força de atrito ou a uma força de amortecimento tal como o amortecedor em um carro é frequentemente modelado pelo produto de uma função exponencial e uma função seno ou cosseno Suponha que a equação de movimento de um ponto nessa mola seja st 2e15 t sen 2πt onde s é medido em centímetros e t em segundos Encontre a velocidade após t segundos e faça o gráfico das funções posição e velocidade para 0 t 2 84 Sob certas circunstâncias um boato se propaga de acordo com a equação pt 11 aekt logo logo Quando Δx 0 a Equação 8 mostra que Δu 0 Assim ε1 0 e ε2 0 quando Δx 0 Portanto dydx lim Δx0 ΔyΔx lim Δx0 fb ε2ga ε1 fb ga fga ga Isso demonstra a Regra da Cadeia 34 Exercícios 16 Escreva a função composta na forma fgx Identifique a função de dentro u gx e a de fora y fu Então encontre a derivada dydx 1 y sen 4x 2 y 4 3x 3 y 1 x210 4 y tgsen x 5 y ex 6 y 2 ex 746 Encontre a derivada da função 7 Fx x4 3x2 25 8 Fx 4x x2100 9 Fx 41 2x x3 10 fx 1 x423 11 gt 1t4 13 12 ft 31 tg t 13 y cosa3 x3 14 y a3 cos3 x 15 y xekx 16 y e2t cos 4t 17 fx 2x 34x2 x 15 18 gx x2 13x2 26 19 ht t 1232t2 13 20 Ft 3t 142t 13 21 y x2 1x2 13 22 fs s2 1s2 4 23 y 1 2e3x 24 y 101x2 25 y 51x 26 Gy y 14y2 2y5 27 y rr2 1 28 y eu eueu eu 29 Ft et sen 2t 30 Fv vv3 16 31 y sentg 2x 32 y sec2mθ 33 y 2 sen n x 34 y x2 e1x 35 y cos1 e2x1 e2x 36 y 1 xe2x 37 y cot2sen θ 38 y ek tg x 39 ft tget elg t 40 y sensensen x 41 ft sen2e sen2 t 42 y x x x 43 gx 2rar x np 44 y 23x2 45 y cos sentg π x 46 y x x sen2 x34 4750 Encontre y e y 47 y cosx2 48 y cos2 x 49 y eax sen βx 50 y ex 5154 Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto dado 51 y 1 2x10 0 1 52 y 1 x3 2 3 53 y sensen x π 0 54 y sen x sen2 x 0 0 55 a Encontre uma equação da reta tangente à curva y 21 ex no ponto 0 1 b Ilustre a parte a fazendo o gráfico da curva e da tangente na mesma tela 56 a A curva y x2 x2 é chamada curva ponta de bala Encontre uma equação da reta tangente a essa curva no ponto 1 1 b Ilustre a parte a fazendo o gráfico da curva e da tangente na mesma tela 57 a Se fx x2 x2 encontre fx b Verifique se sua resposta na parte a foi razoável comparando os gráficos de f e f 58 A função fx senx sen 2x 0 x π aparece em aplicações à síntese de modulação de frequência FM a Use um gráfico de f feito por uma calculadora gráfica para fazer um esboço rústico do gráfico de f b Calcule fx e use essa expressão com uma ferramenta gráfica para fazer o gráfico de f Compare com o gráfico obtido no item a 59 Encontre todos os pontos do gráfico da função fx 2 sen x sen2 x nos quais a reta tangente é horizontal 60 Encontre as coordenadas x de todos os pontos sobre a curva y sen 2x 2 sen x nos quais a reta tangente é horizontal 61 Se Fx fgx onde f2 8 f2 4 f5 3 g5 2 e g5 6 encontre F5