Lista de Exercicios - Derivadas - Cálculo Diferencial e Integral

Calculo Diferencial e Integral I Profa Ana Mereu Lista de Exercıcios Derivadas 3 Exercıcios do Stewart Calculo Vol 1 7Ed Exercıcios Exercıcios abaixo selecionados da secao 33 do livro texto 3 5 7 9 11 13 21 39 41 1 33 Exercícios 116 Derive 1 fx 3x² 2 cos x 2 fx x sen x 3 fx sen x ½ cotg x 4 y 2 sec x cossec x 5 gt t³ cos t 6 gt 4 sec t tg t 7 hθ cossec θ e⁰ cotg θ 8 y eᵘcos u cu 9 y x 2 tg x 10 y sen θ cos θ 11 fθ sec θ 1 sec θ 12 y cos x 1 sen x 13 y t sen t 1 t 14 y 1 sec x tg x 15 fx x eˣ cossec x 16 y x² sen x tg x 17 Demonstre que ddx cossec x cossec x cotg x 18 Demonstre que ddx sec x sec x tg x 19 Demonstre que ddx cotg x cossec²x 20 Demonstre pela definição de derivada que se fx cos x então fx sen x 2124 Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto dado 21 y sec x π3 2 22 y eˣ cos x 0 1 23 y cos x sen x π 1 24 y x tg x π π 25 a Encontre uma equação da reta tangente à curva y 2x sen x no ponto π2 π b Ilustre a parte a fazendo o gráfico da curva e da tangente na mesma tela 26 a Encontre uma equação da reta tangente à curva y 3x 6 cos x no ponto π3 π 3 b Ilustre a parte a fazendo o gráfico da curva e da tangente na mesma tela 27 a Se fx sec x x encontre fx b Verifique se sua resposta para a parte a é razoável fazendo os gráficos de f e f para x π2 28 a Se fx eˣ cos x encontre fx e fx b Verifique que suas respostas para a parte a são razoáveis fazendo os gráficos de f f e f 29 Se Hθ θ sen θ encontre Hθ e Hθ 30 Se ft cossec t encontre fπ6 31 a Use a Regra do Quociente para derivar a função fx tg x 1 sec x b Simplifique a expressão para fx escrevendoa em termos de sen x e cos x e então encontre fx c Mostre que suas respostas para as partes a e b são equivalentes 32 Suponha fπ3 4 e fπ3 2 e faça gx fx sen x e hx cos xfx Encontre a gπ3 b hπ3 3334 Para quais valores de x o gráfico de f tem uma reta tangente horizontal 33 fx x 2 sen x 34 fx eˣ cos x 35 Um corpo em uma mola vibra horizontalmente sobre uma superfície lisa veja a figura Sua equação de movimento é xt 8 sen t onde t está em segundos e x em centímetros a Encontre a velocidade e a aceleração no tempo t b Encontre a posição velocidade e aceleração do corpo na posição de equilíbrio t 2π3 Em que direção ele está se movendo nesse momento posição de equilíbrio 36 Uma tira elástica é presa a um gancho e uma massa é presa na ponta inferior da tira Quando o corpo é puxado para baixo e então solto ele vibra verticalmente A equação do movimento é s 2 cos t 3 sen t t 0 onde s é medido em centímetros e t em segundos Consideremos o sentido positivo como para baixo a Encontre a velocidade e a aceleração no tempo t b Faça os gráficos das funções velocidade e aceleração c Quando o corpo passa pela posição de equilíbrio pela primeira vez d A que distância da posição de equilíbrio o corpo chega e Quando a velocidade é máxima 37 Uma escada com 6 m de comprimento está apoiada em uma parede vertical Seja θ o ângulo entre o topo da escada e a parede e x a distância do pé da escada até a parede Se o pé da escada escorregar para longe da parede com que velocidade xvariará em relação a θ quando θ π3 38 Um objeto de massa m é arrastado ao longo de um plano horizontal por uma força agindo ao longo de uma corda atada ao objeto Se a corda faz um ângulo θ com o plano então a intensidade da força é F μmg μ sen θ cos θ onde μ é uma constante chamada coeficiente de atrito a Encontre a taxa de variação de F em relação a θ b Quando essa taxa de variação é igual a 0 c Se m 20 kg g 98 ms² e μ 06 faça o gráfico de F como uma função de θ e useo para encontrar o valor de θ para o qual dFdθ 0 Esse valor é consistente com a resposta dada na parte b É necessário uma calculadora gráfica ou computador 1 As Homeworks Hints estão disponíveis em wwwstewartcalculuscom 3948 Encontre o limite 39 lim x0 sen 3x x 40 lim x0 sen 4x sen 6x 41 lim t0 tg 6t sen 2t 42 lim θ0 cos θ 1 sen θ 43 lim x0 sen 3x 5x³ 4x 44 lim x0 sen 3x sen 5x x² 45 lim θ0 sen θ θ tg θ 46 lim x0 senx² x 47 lim xπ4 1 tg x sen x cos x 48 lim x1 senx 1 x² x 2 4950 Encontre a derivada dada encontrando as primeiras derivadas e observando o padrão que ocorre 49 d⁹⁹dx⁹⁹ sen x 50 d³⁵dx³⁵ x sen x 51 Encontre constantes A e B de forma que a função y A sen x B cos x satisfaça a equação diferencial y y 2y sen x 52 a Avalie lim x sen 1x b Avalie lim x0 x sen 1x c Ilustre as partes a e b fazendo o gráfico de y x sen1x 53 Derive cada identidade trigonométrica para obter uma nova identidade ou uma familiar a tg x sen x cos x b sec x 1 cos x c sen x cos x 1 cotg x cossec x 54 Um semicírculo com diâmetro PQ está sobre um triângulo isósceles PQR para formar uma região com um formato de sorvete conforme mostra a figura Se Aθ é a área do semicírculo e Bθ é a área do triângulo encontre lim θ0 Aθ Bθ 55 A figura mostra um arco de círculo com comprimento s e uma corda com comprimento d ambos subtendidos por um ângulo central θ Encontre lim θ0 s d 56 Seja fx x 1 cos 2x a Faça o gráfico de f Que tipo de descontinuidade parece ocorrer em 0 b Calcule os limites laterais de f em 0 Esses valores confirmam sua resposta para a parte a 34 A Regra da Cadeia Suponha que você precise derivar a função Fx x² 1 As fórmulas de derivação que você aprendeu nas seções precedentes deste capítulo não lhe permitem calcular Fx Observe que F é uma função composta Na realidade se assumirmos y fu u e u gx x² 1 então poderemos escrever y Fx fgx ou seja F f o g Sabemos como derivar ambas f e g então seria útil ter uma regra que nos dissesse como achar a derivada de F f o g em termos das derivadas de f e g O resultado é que a derivada da função composta f o g é o produto das derivadas de f e g Esse fato é um dos mais importantes das regras de derivação e é chamado Regra da Cadeia Ela parece plausível se interpretarmos as derivadas como taxas de variação Considere dudx como a taxa de variação de u com relação a x dydu como a taxa de variação de y com relação a u e dydx como a taxa de variação de y com relação a x Se u variar duas vezes mais rápido que x e y variar três vezes mais rápido que u então parece plausível que y varie seis vezes mais rápido que x e portanto esperamos que Veja a Seção 13 para uma revisão das funções compostas