Controle de Processos e Sistemas - Unidade 2 - Curso de Controle

19102024 Prof Dr Alexandre Carlos Eduardo ME038Controle UNIDADE 2 ME038CONTROLE Disciplina CONTROLE Contato Sala Virtual Portal didático email alexandrecarloseduardoufsjedubr httpswwwcampusvirtualufsjedubrportal20242 UNIDADE 2 Prof Alexandre Eduardo Curso de Controle É todo tipo de ação realizada para medir variáveis determinar sinais de correção e aplicar ajustes Isso é feito por equipamentos controladores que são responsáveis por partes ou pela totalidade de um processo sistema 1 Introdução Controle de processos sistemas FIGURA 21 Definição clássica de controle Corrigiros Desvios Controle Monitorar as atividades 2 Prof Alexandre Eduardo Curso de Controle 11 Aplicações 3 Prof Alexandre Eduardo Curso de Controle Exemplo 1 Banho usando chuveiro Monitorase temperaturavazão do chuveiro Atuase sobre as torneiras Controlase a temperatura e vazão Segurança instalações antichoque piso antiderrapante etc 4 Prof Alexandre Eduardo Curso de Controle 12 Definições Sistema de Controle NS Nise Engenharia de Sistemas de Controle Seção 11 Um Sistema de Controle consiste de subsistemas e processos ou plantas reunidos com o propósito de se obter uma saída desejada com desempenho desejado para uma entrada específica fornecida Entrada estímulo Resposta desejada Sistema de controle Saída resposta Resposta real FIGURA 22 Diagrama esquemático Sistema de controle em Mallha aberta 5 Prof Alexandre Eduardo Curso de Controle K Ogata Engenharia de Controle Moderno Seção 13 Um sistema que estabeleça uma relação de comparação entre a saída e a entrada de referência utilizando a diferença como meio de controle é denominado sistema de controle com realimentação Controlador Processo Sensor 𝒓 𝒕 𝑺𝑬𝑻 𝑷𝑶𝑰𝑵𝑻 𝑶𝑼 𝑹𝑬𝑭𝑬𝑹𝑬𝑵𝑪𝑰𝑨 𝑺𝑷 𝑬𝑹𝑹𝑶 𝑺𝑰𝑵𝑨𝑳 𝑫𝑬 𝑪𝑶𝑵𝑻𝑹𝑶𝑳𝑬 𝒐𝒖 𝑽𝑨𝑹𝑰Á𝑽𝑬𝑳 𝑴𝑨𝑵𝑰𝑷𝑼𝑳𝑨𝑫𝑨 𝑽𝑨𝑹𝑰Á𝑽𝑬𝑳 𝑴𝑬𝑫𝑰𝑫𝑨 𝑶𝑼 𝑪𝑶𝑵𝑻𝑹𝑶𝑳𝑨𝑫𝑨 𝑴𝑽 𝒐𝒖 𝑽𝑪 𝒆 𝒕 𝒖 𝒕 𝒚 𝒕 FIGURA 23 Diagrama esquemático Sistema de controle em Mallha fechada 6 Entrada estímulo Sistema de controle Saída resposta 1 Degrau ut A 0 t s ut A t 0 0 t 0 Eq 1 FIGURA 24 Representação sinal tipo degrau com amplitude máxima A Para valores de tempo menor que 0 a função vale 0 já para valores maiores ou iguais a 0 ela vale A Entrada estímulo Sistema de controle Saída resposta 2 Rampa rt A 0 ts rt At t 0 0 t 0 Eq 2 FIGURA 25 Representação sinal tipo rampa com amplitude máxima A rt A 0 ts τ1 τ1 τ0 FIGURA 26 Representação sinal tipo rampa no intervalo τ1 a τ1 τ0 Entrada estímulo Sistema de controle Saída resposta 3 Pulso retangular xt A 0 ts xt A para τ12 t τ12 0 para t τ12 e t τ12 Eq 3 FIGURA 27 Representação sinal tipo Pulso retangular de amplitude A Prof Dr Alexandre Carlos Eduardo ME038Controle UNIDADE 3 4 Senóide FIGURA 28 Representação sinal tipo senoidal de amplitude A xt ts A Entrada estímulo Sistema de controle Saída resposta 𝑥𝑡 𝐴𝑠𝑒𝑛 𝜋𝑡 𝜋 𝑡 𝜋 Eq 4 10 Entrada estímulo Sistema de controle Saída resposta 5 Impulso δt A 0 ts FIGURA 29 Representação sinal tipo impulso δt A t 0 0 t 0 Eq 5 11 Entrada estímulo Sistema de controle Saída resposta 6 Parabolico pt 0 ts FIGURA 210 Representação sinal tipo parabola pt At²2 t 0 0 t 0 Eq 6 12 Prof Alexandre Eduardo Curso de Controle É um conjunto de equipamentos que funcionam conjuntamente objetivando um produto final Planta FIGURA 211 Representação esquemática de uma planta industrial 13 Prof Alexandre Eduardo Curso de Controle É toda operação ou sequência de operações unitárias que envolvam uma ou mais alterações físicas químicas ou biológicas na substância em tratamento e que resultará num produto final desejado Processo FIGURA 212 Representação esquemática de processo produtivo industria de mineração 14 Prof Alexandre Eduardo Curso de Controle Dinâmica do processo Quando solicitado por uma dada excitação entrada o processo exibe um certo comportamento chamado de resposta saída FIGURA 213 Comportamento entre a entrada e resposta de um Sistema 15 19102024 13 Elementos da Malha de Controle O QUE É MALHA ABERTA X MALHA FECHADA 16 19102024 Transdutor de Entrada Processo ou Planta Saída ou Variável Controlada Controlador Entrada ou Referência FIGURA 214 Sistema de controle em malha aberta Conjuntos de Processos aonde as ações de controle são totalmente independentes dos valores de saídas obtidos sendo que estes não produzirão quaisquer efeitos nos regimes de controle operacional aplicados Sistemas de Controle em Malha Aberta openedloop control system 17 19102024 18 Exemplo 2 O controle de tráfego por meio de sinais operado em função do tempo 19102024 Simplicidade baixos custos sem que se envolvam elementos sofisticados nas etapas de a sensoriamento b medição c quantificação d ajustes e calibrações dos sinais de controle f atuação funcional VANTAGENS DO SISTEMA EM MALHA ABERTA 19 19102024 Sistemas de Controle em Malha Fechada closedloop control system Em um sistema de malha fechada a ação de controle é dependente da saída Sensor Processo ou Planta Saída ou Variável Controlada Controlador Entrada ou Referência FIGURA 215 Sistema de controle em malha fechada 20 19102024 FIGURA 216 Sistema de controlede malhafechadaManual Sistema de controle de malha fechada Manual 21 19102024 O controle manual não permite a eliminação do erro resultando em uma amplitude de variação excessiva do valor da variável que se deseja controlar FIGURA 217 VariávelmedidaSetpointErroControlemanual 22 19102024 FIGURA 218Sistema de controle de malha fechada Automática Sistema de controle de malha fechada Automática 23 19102024 O controle automático permite através de sua ação a redução do erro com um tempo de atuação e precisão impossíveis de se obter no controle manual FIGURA 219 VariávelmedidaSetpointErroControleautomático 24 Prof Alexandre Eduardo Curso de Controle 131 Elementos da Malha de Controle SENSOR TRANSDUTOR PROCESSO ATUADOR CONTROLADOR Gerador Setpoint Sinal de Referência ou Setpoint rt Sinal de erro et Sinal de Controle ou Variável Manipulada VM ut Variável de Processo VP yt Realimentação pt Comparador 1 2 3 4 5 FIGURA 220 Elementos da malha de controle 25 Prof Alexandre Eduardo Curso de Controle Gerador Set point Dispositivo que pode ser separado do MóduloControlador ou acoplado internamente no mesmo Sua função é comparar um valor desejado estabelecido previamente como referência de ponto de controle no qual o valor controlado deve permanecer 1 26 Prof Alexandre Eduardo Curso de Controle Valor desejado Setpoint sinal de entrada que estabelece o valor desejado da variável controlada 𝑆𝑃 𝑟 𝑡 𝑒 𝑡 𝑝 𝑡 Onde 𝑒 𝑡 erro 𝑉𝑃 𝑝 𝑡 Variável do Processo ou Variável Medida Eq 7 27 Prof Alexandre Eduardo Curso de Controle Considere a curva do comportamento da temperatura interna de um tanque vermelho e a função set point recomendada para o processo azul Set point a ser alcançado Variável controlada Temperatura 28 Exemplo 4 O tanque térmico é normalmente utilizado para armazenamento de água quente e de condensado de caldeiras Prof Alexandre Eduardo Curso de Controle Set point a ser alcançado Variável controlada altura nível Sensor de nível de imersão 29 Exemplo 5 Considere um sistema de Controle de Nível de Líquido Prof Alexandre Eduardo Curso de Controle A curva do comportamento da altura nível líquido de um tanque verde e a função set point recomendada para o processo azul 30 Prof Alexandre Eduardo Curso de Controle Controlador 2 Controlador é o equipamento responsável pelo controle de processo industrial ou parte dele através de algoritmos de controle FIGURA 221Detalhessobreas principaisfunçõespresenteemum controladorindustrial 31 Prof Alexandre Eduardo Curso de Controle Variável manipulada VM qualquer variável do processo que causa uma variação rápida na variável controlada e que seja fácil de manipular 32 Prof Alexandre Eduardo Curso de Controle 𝑒 𝑡 𝑆𝑃 𝑉𝑃 Erro ou offset et objetivo a ser alcançado sinal medido Eq 8 33 Prof Alexandre Eduardo Curso de Controle Determine o valor do erro para t1 25 min e t2 40 min Solução 𝒆𝟏 𝒕 𝑆𝑃 𝑉𝑃1 60 56 4 𝑒2 𝑡 𝑆𝑃 𝑉𝑃2 60 62 2 34 Exemplo 6 Considere a curva do comportamento da temperatura interna de um sistemaprocesso preto e a função set point vermelho Prof Alexandre Eduardo Curso de Controle Atuador 3 35 Prof Alexandre Eduardo Curso de Controle 36 Atuadores são equipamentos utilizados para modificar diretamente o processo Inversores de frequência Motores Válvulas Chaves de nível Cilindros hidráulicos e pneumáticos 36 Prof Alexandre Eduardo Curso de Controle Processo 4 37 Prof Alexandre Eduardo Curso de Controle Variável de processo PV é a variável a ser controlada em um processo Tratase de uma condição do processo que pode alterar a produção de alguma maneira Exemplos para variáveis de processo pressão vazão nível temperatura densidade etc 38 Prof Alexandre Eduardo Curso de Controle Pressão Força Potência Vazão Temperatura Vibração Rugosidade Humidade 39 Prof Alexandre Eduardo Curso de Controle ME038Controle UNIDADE 1 Prof Dr Alexandre Carlos Eduardo Pressão Força Potência Vazão Temperatura Vibração Rugosidade Humidade TT 101 Transmissor Temperatura Termopar TC 101 Controlador Temperatura Entrada de água refrigeração Saída de água refrigeração Suprimento Transmissor Eletrônico Produto Manual Valvula sensor Linha pneumática Controlador Automático Reservatório água Exemplo 7 Representação de um sistema de controle em um tanque tendo como variável do processo a temperatura 40 Prof Alexandre Eduardo Curso de Controle ME038Controle UNIDADE 1 Prof Dr Alexandre Carlos Eduardo Pressão Força Potência Vazão Temperatura Vibração Rugosidade Humidade Exemplo 8 Representação de um sistema de controle em um tanque tendo como variável do processo a vibração 41 Prof Alexandre Eduardo Curso de Controle SensorTransdutor 5 42 SENSOR ACÚSTICO SENSOR MAGNÉTICO SENSOR ELÉTRICO SENSOR MECÂNICO SENSOR TÉRMICO SENSOR ÓPTICO ESTÍMULO SINAL Acústico Onda Amplitude fase polarização Espectro Velocidade da onda ESTÍMULO SINAL Magnético Campo Magnético Fluxo Magnético Permeabilidade ESTÍMULO SINAL Elétrico Carregamento Corrente Tensão Permissividade Condutividade ESTÍMULO SINAL Mecânico Posição Linear Angular Aceleração Força Massa Densidade Momento Torque Orientação ESTÍMULO SINAL Térmico Temperatura Fluxo Calor específico Condutividade térmica ESTÍMULO SINAL Óptico Onda Amplitude fase polarização Velocidade da onda Índice de refração Emissividade Absorção Refletividade 43 19102024 19102024 44 2 Transformada de Laplace TL Equação diferencial Linear Solução domínio do tempo Eq Transformada de Laplace Solução da Eq em Laplace Domínio no tempo Domínio de Laplace ou domínio em frequencia no plano complexo Técnica Algébrica Transformada de Laplace Transformada Inversa de Laplace FIGURA 222 Representaçãoda TL e suaInversa Símbolo da Transformada de Laplace da Função Fs Lft eˢᵗ ft dt de a integral Eq15 Transformada de Laplace bilateral de ft Definição da Transformada de Laplace da Função função de tempo t em que ft 0 para t 0 eˢᵗ ft dt Função exponencial de variável complexa s uma variável complexa que contempla a parte real e imaginária Substituindo a Eq16 em 15 eᵗˢ eσjωt eˢᵗ eʲᵂᵗ eˢᵗ cos ω t j sen ω t Eq18 Fs eσjωt ft dt de 0 a eˢᵗ eʲᵂᵗ ft dt de 0 a eˢᵗ cos ω t j eˢ sen ω t ft dt de 0 a Eq19 FIGURA 224 Parte real e imaginária da função exponencial complexa eᵗˢ onde s σ jω Variável complexa s σ jω Eq16 Função complexa Gs Gx jGy Eq17 s variável σ Parte real ω Parte imaginária G Função Gx Parte real Gy Parte imaginária FIGURA 223 Representação no Plano complexo s 19102024 FIGURA 225 Representação da localização da raiz ano plano s 21 Semiplanos do plano s DEFINIÇÃO 1 A estabilidade de um sistema ocorre apenas quando os polos estão no semiplano esquerdo do plano s 48 19102024 DEFINIÇÃO 2 Um sistema é estável se toda entrada limitada gerar uma saída limitada Um sistema é instável se toda entrada limitada gerar uma saída ilimitada Figura 226 Posicionamento das respostas no SPE e SPD CRESCIMENTO DECRESCIMO 49 22 TRANSFORMADA DE LAPLACE DE FUNÇÕES 221 TL DE FUNÇÃO EXPONENCIAL Considere a seguinte função ft 0 para t 0 ft Aeat para t 0 Eq 20 Se a 0 a função decai exponencialmente Se a 0 a função aumenta exponencialmente A Amplitude da função FIGURA 227 Representação da função exponencial decrescente a 0 FIGURA 228 Representação da função exponencial crescente a 0 50 Sua Transformada de Laplace é Fs Lft ₀ estftdt Fs A ₀ eates dt Fs A ₀ esatdt Resolvendo pelo Método de Integração por partes ab udv uvab ab vdu u s at du s adt dt du s a 51 Logo Fs A ₀ eu du s a A s a ₀ eu du A s a eu₀ 0 A s a Fs A s a Eq 21 A representação e localização da raiz do denominador será Região estável Pólo Raiz do denominador PÓLO DE FS COM PARTE REAL NEGATIVA 52 Se ft Aeat para t 0 Eq 22 Fs A s a Eq 23 Polo Raiz do denominador PÓLO DE FS COM PARTE REAL POSITIVA Região instável Exemplo 9 Considere a função ft Ae2t Domínio do Tempo Onde t é uma variável real ft é uma função temporal real Determinar a TL da função usando a definição SOLUÇÃO Sua Transformada de Laplace é Fs Lft 0 to est ft dt Fs Lft A 0 to est e2t dt A 0 to es2t dt Resolvendo pelo Método de Integração por partes u s 2t du s 2 dt dt du s 2 Logo Fs A 0 to eu du s 2 A s 2 0 to eu du A s 2 eu0 to 0 A s 2 Fs A s 2 polozero 222 TL DE FUNÇÃO IMPULSO UNITÁRIO Considere a seguinte função ft u₀t Eq 24 Sua Transformada de Laplace é Fs Lft ₀ eˢ ft dt Sua Transformada de Laplace é Fs ₀ eˢᵗ u₀tdt ₀ eˢᵗ 1dt eˢ0 eˢ0 1 Fs 1 Eq 25 56 223 TL DE FUNÇÃO DEGRAU UNITÁRIO A função degrau unitário denotado por ft é definida por ft 0 t 0 A t 0 Eq 26 Por definição Fs Lft ₀ eˢ ft dt 57 Temos Fs LA ₀Aeˢᵗdt Fs A ₀ eˢᵗ dt Fs A eˢᵗ s ₀ Fs A eˢ s eˢ0 s Fs A 0 1 s Fs A s Eq 27 58 Exemplo 10 Considere a função ft 50ut Domínio do Tempo Dada a força em newtons N Determine a Transformada de Laplace SOLUÇÃO Sua Transformada de Laplace é Fs Lft ₀ eˢᵗ ft dt Lft Fs ₀ 50ut eˢᵗ dt 50 ₀ 1 eˢᵗ dt Fs ₀ 50 eˢᵗ dt 50 eˢᵗ s from 0 to 50 0 e⁰ s 50 s Exemplo 11 Considere a função ft 0 0 t 3 2 t 3 SOLUÇÃO Sua Transformada de Laplace é Fs Lft ₀ eˢᵗ ft dt Lft ₀³ eˢᵗ 0 dt ₃ eˢᵗ 2 dt Fs 2 eˢ s from 3 to 2 e³ s s 0 Exemplo 12 Considere a função yt 0 0 t π 1 π t 2π 0 2π t Determinar a Transformada de Laplace desta função SOLUÇÃO Fs Lft ₀ eˢᵗ ft dt Lyt ₀π eˢᵗ 0 dt π²π eˢᵗ 1 dt ₂π eˢᵗ 0 dt Ys eˢ s from π to 2π e²πˢ s eπˢ s s 0 224 TL DE FUNÇÃO RAMPA ft 0 t 0 At t 0 Eq 28 Por definição Fs Lft ₀ est ft dt Temos Fs LAt ₀ At es dt Fs A ₀ t est dt Resolvendo pelo Método de Integração por partes ᵃᵇ u dv uvᵃᵇ ᵃᵇ v du 19102024 Fs A ₀ t est dt Artifício u t du dt dv est v 1s es Então Fs A t 1s est₀ ₀ 1s es dt u v v du Fs A 1s es 0 1s es0 ₀ 1s est dt Fs As2 Eq 29 19102024 Exemplo 13 Considere a função ft 0 t 0 05 t t 0 Determine sua TL SOLUÇÃO Temos Fs L05 t ₀ 05 t est dt 05 ₀ t est dt Fs 05s2 19102024 225 TL DE FUNÇÃO tⁿ ft tⁿ Eq 30 Por definição Fs Lft ₀ eˢᵗ ft dt Temos Fs Ltⁿ ₀ eˢᵗ tⁿ dt Resolvendo pelo Método de Integração por partes ᵃᵇ u dv uvᵃᵇ ᵃᵇ v du u tⁿ du n tⁿ¹ dt dv eˢ v 1s eˢᵗ 19102024 65 Logo tⁿ 1s eˢᵗ ₀ ₀ 1s eˢ n tⁿ¹ dt 0 0ⁿ eˢ 0 s ns ₀ tⁿ¹ eˢᵗ dt Ltⁿ¹ ns ₀ tⁿ¹ eˢᵗ dt Ltⁿ ns Ltⁿ¹ 66 Se considerarmos Ltⁿ ns Ltⁿ¹ Lt¹ 1s² para s 0 Lt² 2s Lt¹ 2s 1s² 2s³ Lt³ 3s Lt² 3s 2s³ 3s 2s 1s² 3s⁴ Lt⁴ 4s Lt³ 4s 3s⁴ 4s⁵ Lt⁵ 5s Lt⁴ 5s 4s⁵ 5s⁶ Fs Ltⁿ ns Ltⁿ¹ nsⁿ¹ Eq 31 19102024 67 Exemplo 14 Determinar a Transformada de Laplace da seguinte função ft t² SOLUÇÃO Sua Transformada de Laplace é Fs Lft ₀ eˢᵗ ft dt Fs Lft ₀ eˢᵗ t² dt Resolvendo pelo Método de Integração por partes ₐᵇ u dv uvₐᵇ ₐᵇ v du u t² du 2t dt dv eˢᵗ v 1s eˢᵗ Logo Fs t² 1s eˢᵗ₀ ₀ 1s eˢᵗ 2t dt t² eˢ s₀ 2 ₀ 1s eˢ t dt 0 2s ₀ eˢ t dt 2s 1s² 2s³ Fs 2s³ 226 TL DE FUNÇÃO SENOIDAL ft 0 t 0 A senωt t 0 Eq 32 Por definição Fs Lft ₀ eˢᵗ ft dt Temos Fs LAsen ωt ₀ Asenωt eˢ dt A ₀ senωt eˢᵗ dt Lembrando que Relações de Euler e ejϕ cosϕ jsenϕ ej cosϕ jsenϕ senϕ ejϕ ejϕ 2j cosϕ ejϕ ej 2 Figura 229 Representação trigonométrica relações de Euler Fs A 0 senωtest dt Então Fs A 0 ejωt ejω 2j est dt A 2j 0 ejωt es dt A 2j 0 ejωt est dt A 2j 0 esjωt dt A 2j 0 esjωt dt A 2j 0 esjωt dt 0 esjωt dt Fs A 2j esjω s jω 0 esjω s jω 0 Fs A 2j 1 s jω 1 s jω A 2j 2jω s2 ω2 Fs Aω s2 ω2 Eq 33 Exemplo 15 Considere a função ft sen2t Determine sua TL SOLUÇÃO Fs Lsen2t 0 sen2tes dt Fs 0 ej2t ej22j es dt 12j 0 ej2t est dt 12j 0 ej2t est dt 12j 0 es j2 t dt 12j 0 es j2 t dt 1 2j 0 esj2t dt 0 esj2t dt 1 2j esj2 s j2 0 1 2j esj2 s j2 0 1 2j 1 s j2 1 s j2 1 2j 2j2 s2 ω2 Fs 2 s2 4 Relações de Euler e ejφ cosφ jsenφ ejφ cosφ jsenφ senφ ejφ ejφ2j cosφ ejφ ejφ2 Então Fs 0 Aejωt ejωt2 est dt A2 0 ejωt est dt 0 ejωt est dt A2 0 es jωt dt 0 es jωt dt Fs A2 es jω s jω0 A2 es jω s jω0 Fs A2 1s jω 1s jω A2 2ss2 ω2 Fs Ass2 ω2 Eq 35 19102024 79 QUADRO DE TRANSFORMADA DE LAPLACE 79 19102024 Continuação Continuação 80 19102024 Continuação Continuação 81 19102024 82 Continuação Continuação 82 19102024 Continuação Continuação 83 19102024 Continuação Continuação 84 23 PROPRIEDADES DA TRANSFORMADA DE LAPLACE 85 8 𝓛0t ft dt Fss 9 0x ft dt lims0 Fs se 0 ft dt existir 10 𝓛eat ft Fs a 11 𝓛ft α1t α eαs Fs u 0 12 𝓛tft dFsds 13 𝓛t2 ft d2ds2 Fs 14 𝓛tn ft 1n dndsn Fs n 123 15 ℒ1t ft ₛ Fs ds se lim t0 1t ft existir 16 ℒfta aFas 17 ℒ₀ᵗ f₁tτf₂τdτ F₁sF₂s 18 ℒftgt 12πj cjcj FpGsp dp Continuação 87 P1 Linearidade Se c₁ e c₂ são constantes f₁t e f₂t são funções cujas transformadas de Laplace são F₁s e F₂s respectivamente Lc₁f₁t c₂f₂t c₁Lf₁t c₂Lf₂t c₁F₁s c₂F₂s Eq 36 A Transformada de Laplace é um operador linear Figura 230 Representação da propriedade de linearidade 88 Prova Lc₁f₁t c₂f₂t ₀ es c₁f₁t c₂f₂t dt ₀ est c₁f₁t dt ₀ est c₂f₂t dt c₁ ₀ est f₁t dt c₂ ₀ est f₂t dt c₁F₁s c₂F₂s Exemplo 16 Determinar a Transformada de Laplace da seguinte função xt 3e2t ut 2et ut SOLUÇÃO Sua Transformada de Laplace é Xs Lxt from 0 to est xt dt from 0 to est 3e2 ut 2et ut dt 3 from 0 to es ut e2 dt 2 from 0 to est ut et dt Xs 3 from 0 to est ut e2t dt 2 from 0 to est ut et dt 3 from 0 to ut es2t dt 2 from 0 to ut es1t dt Para ut 1 Xs 3 from 0 to es2t dt 2 from 0 to es1t dt Resolvendo pelo Método de Integração por partes u s2 t du s2 dt dt du s2 Logo 3 from 0 to eu du s2 3s2 from 0 to eu du 3s2 eu from 0 to 0 3s2 3s2 Resolvendo 2 from 0 to es1t dt TL 2s1 19102024 𝑋 𝑠 3 𝑠 2 2 𝑠 1 3 𝑠 1 2 𝑠 2 𝑠 2 𝑠 1 𝑠 1 𝑠 2 𝑠 1 Logo 𝜎 𝑗𝜔 1 2 1 Polos raízes do denominador Resíduoraíz do numerador 93 Exemplo 17 Determinar a Transformada de Laplace da seguinte função xt 5δt 2cos5t SOLUÇÃO Sua Transformada de Laplace é Xs Lxt 0 eˢ xtdt Xs 0 eˢᵗ5δt 2cos5t dt 50 eˢᵗδt dt 20 eˢᵗcos5t dt 50 eˢᵗδt dt 20 eˢᵗcos5t dt 94 Xs 50 eˢᵗδt dt 20 eˢᵗcos5t dt Como 0 δteˢ dt 1 Xs 5 20 eˢᵗcos5t dt 5 20 eʲ⁵ᵗ eʲ⁵ᵗ 2 eˢᵗ dt 5 0 eʲ⁵ᵗ eˢ dt 0 eʲ⁵ᵗ eˢ dt 5 0 esʲ5ᵗ dt 0 esʲ5ᵗ dt 95 5 esʲ5 s ʲ5₀ esʲ5 s ʲ5₀ 5 1 s ʲ5 1 s ʲ5 5 2s s² 5² Xs 5 2s s² 5² Lft sFs f0 Lft sLft f0 s2 Fs sf0 f0 Eq 38 Lft sLft f0 s3 Fs s2 f0 sf0 f0 Eq 39 Lfivt sLf4t f40 s4 Fs s3 f0 s2 f0 sf0 f0 Eq 40 Lfnt sn Fs sn1 f0 sn2 f0 sfn20 fn10 Eq 41 99 Lft est ft 0 0 ftsest dt u v v du P2 Diferenciação no Domínio da Transformada Se existe a Transformada de ft e de ft então a TL de ft será obtida como Lft 0 ft est dt Lft uv 0 v du Artifíciou es du sest dt v ft dv ft dt Lft estft 0 0 ftsest dt u v v du Lft ef e0 f0 s 0 ftest dt Lft f0 sFs sFs f0 Lft sFs f0 Eq 37 P21 Solução de EDO 2ª Ordem a2 d2ydt a1 dydt a0 y ft Eq 42 Aplicando laplace La2 d2ydt a1 dydt a0 y Lft Eq 43 Substituindo as Eqs 37 e 38 em 43 Lft sFs f0 Lft sLft f0 s2 Fs sf0 f0 La2 d2ydt a1 dydt a0 y Lft a2 s2 Ys s y0 y0 a1 sYs y0 a0 Ys Fs a2 s2 Ys a2 s y0 a2 y0 a1 s Ys a1 y0 a0 Ys Fs a2 s2 Ys a1 s Ys a0 Ys a2 s y0 a2 y0 a1 y0 Fs Ys a2 s2 a1 s a0 Fs a2 s y0 a2 y0 a1 y0 Ys Fs a2 s y0 a2 y0 a1 y0a2 s2 a1 s a0 Eq 44 Admitindose condições iniciais nulas y0 y0 0 Eq 45 Ys Fsa2 s2 a1 s a0 Eq 46 Exemplo 18 Determinar a Transformada de Laplace da seguinte função yt 3yt 2yt 0 y0 3 y0 1 SOLUÇÃO Para uma Eq Diferencial de 2ª ordem a expressão da Transformada de Laplace é Lft sLft f0 s2Fs sf0 f0 Logo podemos aplicar o teorema da linearidade s2Ys sy0 y0 3sYs y0 2Ys 0 s2Ys 3s 1 3sYs 9 2Ys 0 s2 3s 2Ys 3s 10 Ys 3s 10 s2 3s 2 Exemplo 19 Determinar a Transformada de Laplace da seguinte função y y sin t y0 1 y0 0 SOLUÇÃO Para uma Eq Diferencial de 2ª ordem a expressão da Transformada de Laplace é Lft sLft f0 s2Fs sf0 f0 Logo podemos aplicar o teorema da linearidade Ly Ly Lsint Ly s2Ys sy0 y0 s2Ys s 1 0 Ly Ly Lsint Ly Ys Ver Eq 231 Lsint Aω s2 ω2 1 s2 1 Logo a Transformada de Laplace de y y sin t é s2Ys s Ys 1 s2 1 s2 1Ys s 1 s2 1 s2 1Ys s 1s2 1 s2 1Ys 1s2 1 s s2 1Ys 1 ss2 1s2 1 s2 1Ys s3 s 1s2 1 Ys s3 s 1 s2 12 Logo podemos aplicar o teorema da linearidade Lxt Lxt Lyt Lyt L2 Lxt Lxt Lyt Lcos t Lxt sXs x0 sXs Lxt Xs Lyt sYs y0 sYs 1 Lyt Ys L2 2s Lxt s2 Xs sx0 x0 s2 Xs 2 Lcost s s2 1 Exemplo 20 Determinar a Transformada de Laplace do seguinte sistema de equações diferenciais Com as condições iniciais x0 0 x0 2 y01 SOLUÇÃO Para uma Eq Diferencial de 2ª ordem a expressão da Transformada de Laplace é Lft sLft f0 s2 Fs sf0 f0 19102024 A determinação da Inversa de Laplace de Fs envolve duas etapas 1 Determinação da inversa de cada termo da função usando as Tabelas 2 Decomposição de Fs em termos simples usando a Expansão de Fração Parcial Transformada Inversa Transformada Direta FS Ft Figura 231 Representação do processo de obtenção da Transformada Inversa de Laplace 117 19102024 𝐹𝑠 𝑄𝑠 𝑃𝑠 Zeros Resíduos raízes do numerador polinomial Pólos raízes de denominador polinomial n m Na expansão de Fs QsPs em frações parciais é importante que a maior potência de s em Qs seja maior do que a maior potência de s em Ps onde Qs e Ps são polinômios em s 128