Transformada de Laplace- Controle

1ª Avaliação de Controle INTEGRALNOTURNO NOME TOTAL 25 PTS 11112024 Prof Alexandre Carlos Eduardo 1 Determine a Transformada de Laplace das seguintes expressões a b c d 2 Use as propriedades e as transformações básicas a Determinar a Transformada de Laplace i ii iii iv v vi vii b Determinar a Transformada Inversa de Laplace i ii iii iv v 1ª Avaliação de Controle INTEGRALNOTURNO NOME TOTAL 25 PTS 11112024 Prof Alexandre Carlos Eduardo 3 Resolver os problemas de valores iniciais problemas de Transformada de Laplace a b c d 4 Veja a seguinte estrutura simples Isso inclui uma barra rígida vertical com massa m e comprimento L que é fixada na parte superior e presa a uma mola horizontal com um coeficiente k na parte inferior Esta barra pode girar para frente e para trás em torno do ponto fixado Encontre a massa equivalente a rigidez equivalente e a frequência natural equivalente 5 Determinar as frequencias naturais do Sistema abaixo 1ª Avaliação de Controle INTEGRALNOTURNO NOME TOTAL 25 PTS 11112024 Prof Alexandre Carlos Eduardo Gabarito 1ª Avaliação de Controle Prof Alexandre Carlos Eduardo 11112024 Questão 1 Transformada de Laplace Calcule a Transformada de Laplace das seguintes expressões 1 Para ft eat Leat 0 eat est dt 0 east dt Como 0 east dt 1 s a para s a temos Leat 1 s a Justificativa A transformada de Laplace de eat é dada pela integral Leat 0 east dt O resultado dessa integral é 1 s a válido para s a 2 Para ft sinωt Lsinωt 0 sinωt est dt Usando a identidade sinωt eiωt eiωt 2i a transformada é dada por Lsinωt ω s² ω² Justificativa A transformada de Laplace de sinωt é calculada usando a identidade exponencial para o seno sinωt eiωt eiωt 2i Com isso a integral resulta em Lsinωt ω s² ω² 1 3 Para ft cosωt Lcosωt 0 cosωt est dt s s² ω² Justificativa A transformada de Laplace de cosωt pode ser obtida diretamente pela integral definida Lcosωt 0 cosωt est dt O resultado dessa integral é s s² ω² que é a fórmula conhecida para a transformada de Laplace do cosseno Questão 2 Transformada Inversa de Laplace Calcule a Transformada Inversa de Laplace das seguintes funções 1 Para Fs 1 s a L1 1 s a eat Justificativa A transformada de Laplace da função eat é dada por Leat 1 s a Portanto a transformada inversa de 1 s a é eat 2 Para Fs s s² ω² L1 s s² ω² cosωt Justificativa A transformada de Laplace da função cosωt é Lcosωt s s² ω² Logo a transformada inversa de s s² ω² é cosωt 3 Para Fs ω s² ω² L1 ω s² ω² sinωt Justificativa A transformada de Laplace da função sinωt é Lsinωt ω s² ω² Portanto a transformada inversa de ω s² ω² é sinωt 2 Questao 3 Problemas de Valor Inicial Resolva os seguintes problemas usando a Transformada de Laplace 1 Dada a equacao diferencial y3y2y 0 com condicoes iniciais y0 1 e y0 0 Passo 1 Aplicacao da Transformada de Laplace Aplicamos a Transformada de Laplace a ambos os lados da equacao difer encial Ly 3Ly 2Ly L0 Sabemos que Ly s2Y s sy0 y0 Ly sY s y0 Ly Y s Substituindo na equacao diferencial s2Y s sy0 y0 3sY s y0 2Y s 0 Passo 2 Substituicao das Condicoes Iniciais Usando as condicoes iniciais y0 1 e y0 0 substituımos na ex pressao s2Y s s 1 0 3sY s 1 2Y s 0 Simplificando s2Y s s 3sY s 3 2Y s 0 Agrupando os termos de Y s s2 3s 2Y s s 3 Passo 3 Solucao para Y s Isolamos Y s Y s s 3 s2 3s 2 O denominador pode ser fatorado como s 1s 2 Y s s 3 s 1s 2 3 Passo 4 Decomposição em Frações Parciais Para facilitar a Transformada Inversa de Laplace vamos decompor Ys em frações parciais Ys s 3 s 1s 2 A s 1 B s 2 Multiplicando ambos os lados pelo denominador s 1s 2 s 3 As 2 Bs 1 Expandindo e agrupando os termos s 3 A Bs 2A B Comparando os coeficientes de s e os termos constantes A B 1 2A B 3 Resolvendo o sistema de equações Da primeira equação temos B 1 A Substituindo na segunda equação 2A 1 A 3 A 2 Substituindo A 2 na primeira equação B 1 2 1 Portanto a decomposição em frações parciais é Ys 2 s 1 1 s 2 Passo 5 Aplicação da Transformada Inversa de Laplace Agora aplicamos a Transformada Inversa de Laplace em cada termo para encontrar yt yt L1 2 s 1 L1 1 s 2 Usando que L1 1 s a eat yt 2et e2t Resposta Final Assim a solucao para a equacao diferencial e yt 2et e2t Questao 4 Sistema Mecˆanico Dada uma barra rıgida de massa m e comprimento L fixada no topo e presa a uma mola de constante k na extremidade inferior calcule a massa equivalente rigidez equivalente e frequˆencia natural do sistema 1 Massa Equivalente Para uma barra uniforme de massa m e compri mento L fixada em uma extremidade podemos modelar sua oscilacao considerando o momento de inercia em relacao ao ponto de fixacao O momento de inercia I de uma barra uniforme em relacao a uma extremi dade e I 1 3mL2 No modelo de massa equivalente queremos uma massa concentrada fictıcia meq que localizada na extremidade da barra distˆancia L do ponto de fixacao resultaria no mesmo momento de inercia I Para tal massa con centrada I meqL2 Igualando os momentos de inercia meqL2 1 3mL2 meq m 3 Assim a massa equivalente meq e meq m 3 2 Rigidez Equivalente A rigidez equivalente e obtida considerando a mola conectada ao ponto inferior da barra onde ocorre a deformacao maxima quando a barra oscila A constante elastica equivalente keq e a mesma constante da mola k acoplada na extremidade da barra pois e ela que fornece a forca restau radora Portanto keq k 5 Frequência Natural A frequência natural de oscilação do sistema pode ser determinada considerando o sistema como um oscilador massamola equivalente com massa meq e rigidez keq A frequência angular natural wn é dada por wn sqrtkeqmeq Substituindo meq m3 e keq k wn sqrtkm3 sqrt3km Portanto a frequência natural wn é wn sqrt3km Questão 5 Determinação das Frequências Naturais do Sistema Dado o sistema massamola proposto vamos determinar as frequências naturais Para isso assumimos que o sistema é composto por n massas conectadas por molas de constante k e montamos as equações diferenciais baseadas nas leis de Newton ou na formulação de energia Lagrangiana Passo 1 Equações de Movimento Considerando um sistema com duas massas m1 e m2 conectadas por molas com constantes k1 e k2 podemos descrever as forças restauradoras e montar as equações de movimento usando a segunda lei de Newton Para a massa m1 a força resultante é m1 x1 k1 x1 k2 x2 x1 Para a massa m2 a força resultante é m2 x2 k2 x2 x1 Essas equações podem ser reescritas na forma matricial para facilitar a análise modal Passo 2 Montagem das Matrizes de Massa e Rigidez Escrevendo as equações no formato matricial temos m1 0 0 m2 x1 x2 k1k2 k2 k2 k2 x1 x2 0 0 Denotando a matriz de massa por M e a matriz de rigidez por K temos M m1 0 0 m2 K k1k2 k2 k2 k2 Passo 3 Equação Característica Para encontrar as frequências naturais do sistema consideramos uma solução do tipo harmônica xt X ejwt onde X é o vetor de amplitudes e w é a frequência angular natural Substituindo essa solução na equação de movimento obtemos w2 M KX 0 Para que existam soluções não triviais ou seja X 0 a matriz w2 M K deve ser singular Isso leva à condição detw2 M K 0 Expandindo o determinante obtemos a equação característica em w cujas soluções são as frequências naturais wn do sistema Passo 4 Cálculo das Frequências Naturais Para um sistema de duas massas expandindo o determinante e resolvendo a equação quadrática resultante encontramos as frequências naturais w1 e w2 como w1 sqrtk1m1 w2 sqrtk2m2 No caso de mais massas ou diferentes condições de fronteira o procedimento é o mesmo mas as frequências naturais são obtidas resolvendo o polinômio característico