ME038 Controle - Unidade 1 - Curso de Controle Prof Alexandre Eduardo

11102024 Prof Dr Alexandre Carlos Eduardo ME038Controle UNIDADE 1 ME038CONTROLE Disciplina CONTROLE Contato Sala Virtual Portal didático email alexandrecarloseduardoufsjedubr httpswwwcampusvirtualufsjedubrportal20241 UNIDADE 1 Prof Alexandre Eduardo Curso de Controle Contatos para dúvidas Email alexandrecarloseduardoufsjedubr Sala 405 DEMEP Favor agendar sempre para evitar desencontros Notas de aula informações ementas etc wwwcampusvirtualufsjedubrportal20242 2 Prof Alexandre Eduardo Curso de Controle 3 Horário para o 2º semestre 2024 QUA TER SEG HORÁRIODI A CONTROLE 1315h às 1505h CONTROLE 1515h às 1705h CONTROLE 1900h às 2050h CONTROLE 2100h às 2250h 11102024 Prof Dr Alexandre Carlos Eduardo ME038Controle UNIDADE 1 Horário para o 2º semestre 2024 4 QUA TER SEG HORÁRIODIA CONTROLE 1315h às 1505h CONTROLE 1515h às 1705h CONTROLE 1900h às 2050h CONTROLE 2100h às 2250h Prof Alexandre Eduardo Curso de Controle 5 Outubro 2024 Sex Qui Qua Ter Seg Dom 5 4 3 2 1 12 11 10 9 8 7 6 19 18 17 16 15 14 13 26 25 24 23 22 21 20 31 30 29 28 27 Prof Alexandre Eduardo Curso de Controle 6 Novembro 2024 Sáb Sex Qui Qua Ter Seg Dom 2 1 9 8 7 6 5 4 3 16 15 14 13 12 11 10 23 22 21 20 19 18 17 30 29 28 27 26 25 24 Prof Alexandre Eduardo Curso de Controle 7 Dezembro 2024 Sáb Sex Qui Qua Ter Seg Dom 7 6 5 4 3 2 1 14 13 12 11 10 9 8 21 20 19 18 17 16 15 28 27 26 25 24 23 22 31 30 29 Prof Alexandre Eduardo Curso de Controle 8 Janeiro 2025 Sex Qui Qua Ter Seg Dom 4 3 2 1 11 10 9 8 7 6 5 18 17 16 15 14 13 12 25 24 23 22 21 20 19 31 30 29 28 27 26 Prof Alexandre Eduardo Curso de Controle 9 Fevereiro 2025 Sáb Sex Qui Qua Ter Seg Dom 1 8 7 6 5 4 3 2 15 14 13 12 11 10 9 22 21 20 19 18 17 16 28 27 26 25 24 23 Prof Alexandre Eduardo Curso de Controle 10 Bibliografia Prof Alexandre Eduardo Curso de Controle Um curso com foco em Controle deve abordar Modelagem Estudo do sistema planta que se pretende controlar sua dinâmica definição das variáveis de interesse relações entradasaída Sensores Como medir as variáveis de saída escolhidas Atuadores Como modificar o sistema através de ações externas sobre ele Análise e Síntese de Controladores Estratégias capazes de lidar com a complexidade do sistema planta sensores e atuadores e garantir que o sistema em malha fechada tenha o desempenho especificado11 Prof Alexandre Eduardo Curso de Controle Ementa do Curso conforme PPC2023 1 Modelagem de sistemas mecânicos térmicos e fluídicos 2 Respostas transitórias de sistemas dinâmicos 3 Erros estacionários de sistemas de controle 4 Método do lugar das raízes 5 Projeto de compensadores e técnicas de compensação 6 Análise de resposta em freqüência 7 Controladores PID básico e modificado 8 Sistemas de controle com dois graus de liberdade 9 Análise e projeto de sistemas de controle no espaço de estados 12 Prof Alexandre Eduardo Curso de Controle 13 Prof Alexandre Eduardo Curso de Controle CONTEÚDO PROGRAMÁTICO Revisão Fundamentos de Vibrações Mecânicas Introdução a Teoria de Controle Representações por Exponenciais Complexas Transformada de Laplace e sua Inversa Modelagem de Sistemas e Funções de Transferências Diagrama de Blocos Representação na forma da Equação Espaço de Estados Análise da Resposta temporal regime transitório de permanente Controladores lineares ONOFF e PID 14 Prof Alexandre Eduardo Curso de Controle 15 Avaliações 4 Provas 11 de novembro 16 de dezembro 20 de janeiro 17 de fevereiro Prof Alexandre Eduardo Curso de Controle Vibrações mecânicas Hibbeler 2011 p 504 um movimento periódico de um corpo ou sistema de corpos conectados e deslocados de uma posição de equilíbrio Rao 2008 p 6 trata do estudo de movimento oscilatório de corpos e as forças associadas a eles sendo estes corpos os elementos ou as partes elementares de sistemas vibratórios 1 Conceitos básicos 16 Prof Alexandre Eduardo Curso de Controle Muitas vezes estamos sujeitos a vibrações problemas em nossa vida 17 Prof Alexandre Eduardo Curso de Controle A importância do estudo de vibrações Vibração induzida Tacoma Narrows 07 nov 1940 18 Prof Alexandre Eduardo Curso de Controle Vibração útil prejudicial Britadeira Shaker Limpeza ultrasônica Fadiga Desgaste Quebra Ruído Vibração prejudicial 19 Prof Alexandre Eduardo Curso de Controle Monitoramento de Falhas em máquinas e componentes 20 Prof Alexandre Eduardo Curso de Controle Variáveis de Vibração Elementos básicos de representação Massa Mola Amortecedor Quando esses components são submetidos a uma força constante eles reagem com um constante deslocamento velocidade e aceleração 21 Prof Alexandre Eduardo Curso de Controle Graus de Liberdade GDl 1 GDl 3 GDl 2 GDl 22 Prof Alexandre Eduardo Curso de Controle Modelo 5GDL Modelo 2GDL Modelo 4GDL Modelo 1GDL Sistema Real 23 Prof Alexandre Eduardo Curso de Controle Exemplo 1 Edifício com vários andares 24 Prof Alexandre Eduardo Curso de Controle a c Exercício 1 Considere os seguintes sistemas Indique os respectivos GDls b d e 25 Prof Alexandre Eduardo Curso de Controle f 26 Prof Alexandre Eduardo Curso de Controle 11 Modelagem Analítica e Matemática Modelagem Analítica Metodologias que permitem a opção por representação contínua ou discreta Modelagem Matemática Diversas técnicas que orientam como deduzir as equações de movimento Eq 1 27 Prof Alexandre Eduardo Curso de Controle Modelagem analítica Está representada quando Fazemos o desenho de uma estrutura no papel Adotamos hipóteses simplificadoras como estrutura unidimensional ou bidimensional propriedades de inércia rigidez amortecimento etc carregamento equivalente aplicado à estrutura 28 Prof Alexandre Eduardo Curso de Controle representação contínua Modelagem Analítica Metodologias com opção por representação contínua ou discreta representações discretas t pneus v veículo w roda r piloto s suspensão eq equivalente 29 Prof Alexandre Eduardo Curso de Controle Modelagem Analítica Representação de sistemas massa mola 30 Prof Alexandre Eduardo Curso de Controle Fenômenos energéticos Características energética em componentes mecânicos e estruturais Meios elásticos Armazenam energia potencial Massas e inércias Armazenam energia cinética Atritos Dissipam energia pode diminuir atritos pode aumentar esforços atuantes energia de vibração energia potencial energia cinética 31 Força Constante Energia ou Potência Molas F kxt k Nm V 12 kx2 Massa F m xt m kg T 12 m x2 Amortecimento F c xt c Nsm D 12 c x2 Prof Alexandre Eduardo Curso de Controle 2ª lei de Newton princípio de DAlembert princípio dos deslocamentos virtuais princípio da conservação da energia equações de Lagrange princípio de Hamilton Modelagem matemática Diversas técnicas que orientam como deduzir as equações de movimento 33 Prof Alexandre Eduardo Curso de Controle 2ª Lei de Newton 1687 em Principia Vista de um referencial inercial a resultante das forças aplicadas ao centro de massa de um sistema é igual à variação temporal da quantidade de movimento linear do mesmo linear rotativo sendo a massa constante Mecânica Newtoniana Eq 2 Eq 3 34 Prof Alexandre Eduardo Curso de Controle Exemplo 2 Considere o sistema abaixo Determinar a eq de movimento 35 Exemplo 3 Considere o sistema abaixo Determinar a eq de movimento Solução F kx V 0x Fdy 0x kxdx 12 kx2 T 12 m v2 12 m x2 L T V 12 m x2 12 kx2 Equação de Lagrange ddt Lqi Lqi 0 ddt Lxi Lxi 0 Mecânica Lagrangeana Equação de Lagrange ddt Tqi Tqi Uqi Qi Eq 4 T energia cinética do sistema U energia potencial do sistema qi vetor de deslocamento generalizado independente qi vetor de velocidade generalizada independente Qi Vetor de força Q generalizada L 12 mx² 12 kx² Lxi mx Lxi kx Prof Alexandre Eduardo Curso de Controle 12 Classificação de Sistemas dinâmicos sistema linear vale princípio de superposição sistema não linear grandes deformações movimento de corpo rígido equação constitutiva 121 Quanto a linearidade 39 Prof Alexandre Eduardo Curso de Controle Elemento elástico discreto Mola comercial F x F x Mola de comportamento linear k x F F x F x Mola de comportamento não linear 3 3 2 2 1 k x k x k x F F x F Força atuante x Deformação 40 Prof Alexandre Eduardo Curso de Controle excitação determinística transiente periódica excitação aleatória harmônica periódica qualquer 122 Quanto a excitação ou perturbação 41 Prof Alexandre Eduardo Curso de Controle Vibração Livre Vibração Forçada Sem Amortecimento Com amortecimento Sem Amortecimento Com amortecimento 𝑚𝑥 𝑐𝑥 𝑘𝑥 𝑓 𝑡 𝑚𝑥 𝑘𝑥 0 𝑚𝑥 𝑐𝑥 𝑘𝑥 0 𝑚𝑥 𝑘𝑥 𝑓 𝑡 13 Classificação de vibrações 42 Prof Alexandre Eduardo Curso de Controle Quando um sistema é inicialmente perturbado por um deslocamento velocidade ou aceleração o sistema começa a vibrar com amplitude e frequência constantes dependendo de sua rigidez e massa Esta frequência é chamada como frequência natural e a forma da vibração é chamada de forma modal de vibração Vibração Livre 43 Prof Alexandre Eduardo Curso de Controle É aquela produzida por uma perturbação inicial que não persiste durante o movimento vibratório Vibração livre sem amortecimento Sistema Pêndulo simples 1GDL 44 Suponha que o momento de inércia de m Io ml² Frequência angular rads ωn mglml² gl rads Eq 8 Frequência hz fn ωn2π 12π gl Hz Eq 9 Período T 2πωn 2π lg Hz Eq 10 Pela 2ª lei de Newton Mo Ioθ Eq 5 mglsenθ Ioθ Para ângulos pequenos senθ θ Logo mglθ Ioθ θ mglIoθ 0 Eq 6 ωn mglIo rads Eq 7 A SOLUÇÃO GERAL da eq de movimento é θ A₁ cosωₙt A₂ sinωₙt Eq 11 θ A₁ωₙ senωₙt A₂ωₙ cosωₙt θ é uma função periódica ωₙ é a frequencia natural do movimento A₁ e A₂ são determinadas pelas condições iniciais θ0 θ₀ θ0 θ₀ A₁ θ₀ A₂ωₙ θ₀ A₂ θ₀ ωₙ Eq 12 θt θ₀ cosωₙt θ₀ωₙ senωₙt Eq 13 47 Prof Alexandre Eduardo Curso de Controle Vibração livre sem amortecimento Sistema MassaMola 1GDL 48 Vibração livre sem amortecimento Sistema MassaMola 1GDL CASO 1 Sistema massamola horizontal Fazendose o DCL do corpo e aplicandose a 2ª lei de Newton mẍ kx 0 Eq14 Eq movimento diferencial ordinária de 2a ordem x km x 0 ωₙ² ωₙ km Eq15 frequencia natural rads 49 A solução geral da equação diferencial homogênea linear de segunda ordem com coeficientes constantes é x C₁ senkm t C₂ coskm t Eq16 C₁ senωₙt C₂ cosωₙt x é uma função periódica ωₙ é a frequencia natural do movimento C₁ e C₂ são determinadas pelas condições iniciais x0 x₀ Eq17 v0 ẋ0 v₀ 50 As condições iniciais x0 x0 v0 x0 v0 x C1 senωn t C2 cosωn t C2 x0 v x C1 ωn cosωn t C2 ωn senωn t C1 v0 ωn Eq 18 Substituindo 18 em 16 x v0 ωn senkm t x0 coskm t v0 ωn senωn t x0 cosωn t Eq 19 51 CASO 2 Sistema massamola vertical Escrevemos assim O ponto no qual as forças se anulam o ponto de equilíbrio é tal que 52 mg kx0 0 Esse é o novo ponto de equilíbrio x x x0 Logo m x mg kx m x mg kx x0 m x mg kx kx0 m x mg kx mg m x kx 0 53 Exemplo 4 Determine a máxima velocidade da partícula que se move em movimento harmônico simples com amplitude de 3 mm e frequência de 20 Hz Solução ωn 2πf 2π20 12566 rads x xmax senωn t φ 3 sen12566t φ mm v x ωn xmax cosωn t φ 12566 3 cos12566t φ 37698 cos12566t φ mms a x ωn² xmax senωn t φ 12566² 3 cos12566t φ 473 x 103 cos12566t φ mms² 54 Exemplo 5 Edifício com vários andares A coluna da caixa dágua mostrada tem 90m de altura e é feita de concreto armado com seção transversal tubular de diâmetro interno 24m e diâmetro externo 3m A massa do tanque é igual a 3x10⁵ kg quando cheio com água Desprezando a massa do pilar e assumindo o módulo de elasticidade do concreto armado como 30 Gpa Determinar o seguinte a a frequência natural e o período natural de vibração transversal do tanque de água b a resposta vibratória do tanque de água devido a um deslocamento transversal inicial do tanque de 03 m e velocidade inicial zero c os valores máximos da velocidade e aceleração experimentadas pelo tanque Prof Alexandre Eduardo Curso de Controle Solução Suposições iniciais o tanque de água é uma massa pontual a coluna tem seção transversal uniforme a massa da coluna é desprezível 56 Rigidez k 3EIl³ I π64d₀⁴ dᵢ⁴ π643⁴ 24⁴ 23475 m⁴ k 3 x 30 x 10⁹ x 23475 90³ 289812 Nm Frequência Natural ωₙ km 289812 3 x 10⁵ 09829 rads a a frequência natural e o período natural de vibração transversal do tanque de água Frequência Natural Rigidez ωₙ km a Viga com força na extremidade b Mola equivalente Prof Alexandre Eduardo Curso de Controle b a resposta vibratória do tanque de água devido a um deslocamento transversal inicial do tanque de 03 m e velocidade inicial zero 59 O deslocamento x como função do tempo é x 03cos09829t m Diferenciando em relação a t 0982903sen09829t 0295sen09829t ms Diferenciando em relação a t 029509829cos09829t 0290cos09829t ms2 Exercício 6 Para o sistema massamola determine a frequência natural do sistem em rads e Hz Solução ωn km 45 103 20 15 radseg f 12πkm 12π45 103 20 2387 Hz Prof Alexandre Eduardo Curso de Controle Exemplo 7 Considere um pêndulo de comprimento L com uma bola de massa M A bola está presa a uma mola de constante k Admita que o pêndulo e a mola estão simultaneamente em equilíbrio Determine para pequenas oscilações 62 Prof Alexandre Eduardo Curso de Controle Solução x 63 Prof Alexandre Eduardo Curso de Controle Força resultante que atua sobre a bola Fazendose o DCL do corpo e aplicandose a 2ª lei de Newton Fazendose o DCL do corpo e aplicandose a 2ª lei de Newton 64 Vibração livre em rotação sem amortecimento Sistema Eixo inercial e disco 1GDL CASO 3 Sistema eixodisco vertical Jd Momento de inercia do disco rígido kgm2 Jp Momento Momento Polar de inércia do eixo d diâmetro do eixo m L Comprimento do eixo m θ deslocamento angular ângulo de torção rads Pela 2ª lei de Newton para torque ΣMt Jd θ kt θ Jd θ Jd θ kt θ 0 Eq 20 Eq movimento diferencial ordinária de 2a ordem Logo θ ktJdθ 0 ωn ktJd rads Eq 21 O momento massa polar de inércia do disco Jd 12 mR² 12 ρVR² 12 ρπR²hR² 12 ρπD2² hD2² ρhπD⁴ 32 Eq 22 A expressão da frequência natural fica ωn kt ρhπD⁴32 32kt ρhπD⁴ Eq 23 Frequência hz fn ωn2π 12π 32kt ρhπD⁴ Hz Eq 24 Período T 2πωn 2π ρhπD⁴ 32kt Eq 25 A solução geral da equação diferencial homogênea linear de segunda ordem com coeficientes constantes é θ C1 sen ktJdt C2 cos ktJdt Eq 26 C1 senωn t C2 cosωn t θ é uma função periódica ωn é a frequencia natural do movimento C1 e C2 são determinadas pelas condições iniciais θ0 θ0 ẋ0 ẋ0 ẋ0 Eq 27 Substituindo as condições iniciais θ C₁ senωₙt C₂ cosωₙt C₂ θ₀ Eq 28 θ C₁ ωₙ cosωₙt C₂ ωₙ senωₙt C₁ θ₀ ωₙ Logo θ θ₀ ωₙ senkₜ Jd t θ₀ coskₜ Jd t θ₀ ωₙ senωₙt θ₀ cosωₙt Eq 29 70 Da Teoria de Resistencia dos Materiais Momento torçor T kₜθ Eq 30 Ângulo de torção θ TL GJₚ Eq 31 71 Momento polar do eixo Jₚ πd⁴ 32 Eq 32 A rigidez torcional pode ser calculada kₜ T θ 1 L GJₚ GJₚ L G πd⁴ 32 L πG d⁴ 32L Eq 33 G E 21 υ Eq 34 Exemplo 8 Calcule a frequencia natural de vibração de um pêndulo torcional considerando os seguintes dados L 1 m d 5 mm D 02 m md 2 kg G 80x109 Nm2 Solução L 1 m d 5 mm D 02 m md 2 kg G 83x109 Nm2 kt πGd432L π83x10900054321 509 Nmrad m ρπR2h h mρπR2 27860π012 00081 m Jd ρhπD432 001 kgm2 ωn ktJd 509001 2257 rads fn 22572π 359 Hz Molas equivalentes Molas em Paralelo Molas em paralelo Mesmo deslocamento Rigidezes se somam P k1 Δ k2 Δ k1 k2 Δ keq Δ keq k1 k2 Eq 35 Molas em série Mesma força flexibilidade se somam Δ Δ₁ Δ₂ 1k₁ 1k₂ P f₁ f₂P feq P Eq 36 keq k₁k₂ k₁ k₂ Eq 37 feq f₁ f₂ 75 Prof Alexandre Eduardo Curso de Controle Tab 1 Rigidezes de Molas 76 Prof Alexandre Eduardo Curso de Controle Tab 1 Rigidezes de Molas 77 Prof Alexandre Eduardo Curso de Controle Tab 1 Rigidezes de Molas 78 Prof Alexandre Eduardo Curso de Controle Uma massa de 100 kg tem uma velocidade descendente de 05 ms ao passar pela sua posição de equilíbrio Calcule o módulo de sua aceleração máxima Cada uma das duas molas tem uma rigidez k 180 kNm Exemplo 9 79 Solução A constante da mola equivalente para o arranjo de em paralelo é keq k₁ k₂ 2 180 360 kNm A frequência natural do sistema em rads ωn km 360000100 60 radseg 80 O deslocamento x como função do tempo é x v₀ωn senωn t x₀ cosωn t x 05 ms 60 rads sen60 rads 0cos60 rads x 8 x10³ sen60 t m Diferenciando em relação a t ẋ 60 8 x10³ cos60 t 05 cos60 t ms Diferenciando em relação a t ẍ 050 60 cos60 t 30 cos60 t ms² A máxima aceleração ẍ 30 ms² 81 Exemplo 10 Um bloco de 50 kg se move entre guias verticais conforme mostrado O bloco é puxado 40 mm para baixo da sua posição de equilíbrio e liberado Para cada arranjo de molas determine a o período de vibração b a velocidade máxima do bloco e c a aceleração máxima do bloco 82 Solução Para cada arranjo de molas determine a constante de mola para uma única mola equivalente Aplique as relações aproximadas para o movimento harmônico de um sistema massamola 83 Frequência angular rads Rigidez equivalente kNm 84 a Período s b Velocidade máxima ms 85 Frequência angular rads Rigidez equivalente kNm 86 a Período s b Velocidade máxima ms 87 Prof Alexandre Eduardo Curso de Controle Um motor de massa 40 lb é sustentado por quatro molas cada uma com constante de 15 lbin O motor é deslocado 125 in e depois liberado Determine a frequência resultante de vibrações Determine também a velocidade e a aceleração máximas da base Despreze os efeitos do atrito Exemplo 11 88 Prof Alexandre Eduardo Curso de Controle Solução Dados M 40 lb k 15 lbin xo 125 in Determine a frequência resultante de vibrações Determine também a velocidade e a aceleração máximas da base Despreze os efeitos do atrito Molas em paralelo 89 Prof Alexandre Eduardo Curso de Controle Frequencia natural Frequência frequênciarpm frequênciarads 9549 90 Prof Alexandre Eduardo Curso de Controle Para determinar a velocidade e aceleração máxima da base consideramos a equação de vibração livre não sem amortecimento Considerando 91 Prof Alexandre Eduardo Curso de Controle 92 Prof Alexandre Eduardo Curso de Controle Exemplo 12 Encontre a frequências natural para as vibrações axiais longitudinais de uma barra com uma extremidade fixa de comprimento L e uma massa concentrada M fixada na outra extremidade conforme mostrado na figura abaixo Suponha que a massa da viga seja desprezível em comparação com a massa na extremidade Denotar por W mg peso da massa na extremidade A deflexão estática da viga engastada por 93 Prof Alexandre Eduardo Curso de Controle Solução A deflexão estática de uma barra engastada com força aplicada na extremidade é 94 Prof Alexandre Eduardo Curso de Controle ou Pela lei de Hooke se Então 95 Prof Alexandre Eduardo Curso de Controle A frequência natural da viga pode ser calculada ou 96 Prof Alexandre Eduardo Curso de Controle Exemplo 13 Considere o sistema mecânico abaixo Determine a frequência natural 97 Solução A força da mola é Fm 2 k l sin θ A força da gravitacional no CG mg A equação de movimento pode ser escrita Jo θ 2kl sin θ l cos θ mg l2 sin θ 0 Para pequenas oscilações sin θ θ e cos θ 1 m l2 3 θ 2k l2 θ mg l2 θ 0 θ 12k l2 3 mg l 2 m l2 θ 0 ωn 12k l2 3 mg l 2 m l2 m l2 3 θ 2 k l sin θ l cos θ m g l2 sin θ 0 Prof Alexandre Eduardo Curso de Controle 101 Vibração Forçada É aquela que ocorre quando o sistema sofre a ação de forças externas durante o movimento As forças que atuam sobre o sistema podem ser determinísticas ou aleatórias determinando uma característica do movimento vibratório Ft F0 e iωt F0cosωt isenωt Eq 38 Ft F0cosωt Ft F0senωt Eq 39 Prof Alexandre Eduardo Curso de Controle xt harmônica monofreqüência xt harmônica multifreqüência xt aleatória Excitação e Resposta 103 Prof Alexandre Eduardo Curso de Controle Vibração forçada harmonicamente sem amortecimento 1GDL DCL O Sistema é excitado por uma força harmonica da forma onde F0 amplitude da vibração forçada ω frequencia angular da força harmônica externa 104 Fazendose o DCL do corpo e aplicandose a 2ª lei de Newton ΣF ma mx kx Ft Eq 40 Eq movimento diferencial ordinária de 2a ordem mx kx F0cosωt Eq 41 x km x F0m cosωt Eq 42 ωn2 q ωn km Eq 43 frequencia natural rads A SOLUÇÃO GERAL da eq de movimento é x xh xp Eq 44 Solução da equação homgênea Solução da equação particular x ωn2 x 0 Equação Homogênea Solução da eq Homogênea A solução é a mesma do caso de um movimento livre não amortecido xh A1 senωn t A2 cosωn t Eq 45 Solução da eq particular xp Xcosωt Eq 46 Para determinar X basta diferenciar a solução da eq particular e substituir na equação geral de movimento xp ωXsenωt xp ω²Xcosωt Eq 47 Substituindo 46 e 47 em 41 m x kx F₀cosωt mω²Xcosωt kXcosωt F₀cosωt mω²X kX F₀ k mω²X F₀ X F₀ k mω² k X F₀ k 1 mkω² 107 X F₀ k 1 mkω² Máxima amplitude da solução da eq particular X δest 1 1ωn² ω² δest 1 ωωn² Eq 48 Logo 46 fica xp δest 1 ωωn² cosωt A expressão da solução geral fica x A₁senωnt A₂cosωnt δest 1 ωωn² cosωt Eq 49 108 Diferenciando x uma vez x ωn A₁cosωnt ωn A₂senωnt ω δest 1 ωωn² senωt As constantes A₁ e A₂ na solução homogênea dependem da condições iniciais e devem ser calculados para toda a equação Aplicando as condições iniciais xt 0 x₀ e xt 0 x₀ x₀ A₂ δest 1 ωωn² A₂ x₀ δest 1 ωωn² x₀ ωn A₁ A₁ x₀ ωn Eq 50 109 Logo a solução geral tornase x x0ωn senωnt x0 δest 1 ωωn2 cosωnt δest 1 ωωn2 cosωt Eq 51 A Máxima amplitude da solução da eq particular pode ser expressa X δest 1 1ωn2 ω2 δest 1 ωωn2 Xδst 1 1 ωωn2 11r2 Eq 52 FATOR DE AMPLICAÇÃO FA X δst Representa a razão entre a amplitude dinâmica e a amplitude estática do movimento 110 Quando ωωn 1 o denominador da expressão Xδst 1 1 ωωn2 1 1r2 é positivo A resposta está em fase com a excitação 111 Quando ωωn 1 o denominador da expressão Xδst 1 ωωn2 1 1 r2 1 Eq 53 é negativo e a solução em regime permanente pode ser expressa xpt X cosωt Eq 54 A resposta está defasada em relação a excitação Quando ωωn 1 a amplitude da expressão Xδst 1 1 ωωn2 1 1 r2 Vai para o infinito Fenômeno da Ressonância Prof Alexandre Eduardo Curso de Controle Resposta na Ressonância 114 Prof Alexandre Eduardo Curso de Controle n 1 n 1 115 Exemplo 14 Determine a resposta do sistema considerando os seguintes dados m 10 kg k 1000 Nm xo 0 vo 02 ms F 23 N ω 2ωn Resolução x x0ωn senωnt x0 F0m ωn2 ω2 cosωnt F0m ωn2 ω2 cosωt ωn sqrtkm sqrt1000 Nm 10 kg 10 rads ω 2ωn 20 rads F0m 2310 23 Nkg F0m ωn2 ω2 23 102 202 8x103 m x 002 sen20t 8x103 cos10t 8x103 cos20t x 002sen20t 8x103 cos10t 8x103 cos20t Prof Alexandre Eduardo Curso de Controle Deduzir a equação do movimento e achar a resposta permanente do sistema da figura para o movimento de rotação em torno do ponto O para os seguintes dados M 50 kg m 10 kg k1 k2 5000 Nm a 025 m b 05 m l 1 m F0 500 N ω 1000 rpm Exemplo 15 119 Prof Alexandre Eduardo Curso de Controle Solução 120 Equação de Movimento para movimento rotacional ao redor do ponto O T jθt k₁asenθacosθ k₂bsenθbcosθ F₀senωtl JBarraθt JMassaθt k₁asenθacosθ k₂bsenθbcosθ F₀senωtl 13 mL² θt ML²θt k₁asenθacosθ k₂bsenθbcosθ F₀senωtl 13 mL² θt ML²θt k₁a²senθcosθ k₂b²senθcosθ F₀senωtl 13 mL² θt ML²θt k₁a²senθcosθ k₂b²senθcosθ F₀senωtl 13 mL² ML² θt Para ângulos pequenos senθ θ e cosθ 1 13 ml² Ml² θ k₁a² k₂b²θ F₀lsenωt Na forma padrão Jₑqθ kₑqθ F₀lsenωt ωn² kₑq Jₑq k₁a² k₂b² l² 13 m M Como ω 1000 rpm ωn 541 rads A frequencia de excitação é ω 1000 2πrev min60s 1000 2π60 10472 rads Observase ω ωn A resposta do sistema na forma particular é xpt X senωt Como M 50 kg m 10 kg k1 k2 5000 Nm a 025 m b 05 m l 1 m F0 500 N ω 1000 rpm ωn2 keqmeq k1a2 k2b2l2 13 m M keq k1a2 k2b2 50000252 5000052 15625 Nm Jeq l2 13 m M 12 13 10 50 5333 kgm2 Logo ωn keqJeq 156255333 541 rads Das análises anteriores X F0keq Jeq ω2 F0JeqkeqJeq JeqJeqω2 F0Jeq 1ωn2 ω2 F0keqωn2ωn2 ωn2 ω2 F0keq 11 ωωn2 Logo θpt F0 keq 1 1 ω ωn2 senωt δst 1 r2 senωt A solução completa θ θh θp A1 senωn t A2 cosωn t δst 1 r2 senωt θ ωn A1 cosωn t ωn A2 senωn t ω δst 1 r2 cosωt Aplicando as condições iniciais θt 0 θ0 e θt 0 θ0 A1 θ0 ωn A2 θ0 δst 1 r2 126 Aplicando as condições iniciais θt 0 θ0 e θt 0 θ0 θ A1 senωn t A2 cosωn t δst 1 r2 senωt A2 θ0 θ ωn A1 cosωn t ωn A2 senωn t ω δst 1 r2 cosωt θ0 ωn A1 ω δst 1 r2 A1 θ0 ω ω ωn δst 1 r2 θ0 ω r δst 1 r2 θ θ0 ω r 1 r2 δst senωn t θ0 cosωn t δst 1 r2 senωt 127 Modelagem do Sistema m x c x k x 0 Eq 55 Se a solução é assumida na forma x C es t x C s es t x C s2 es t Substituindo m C s2 es t c C s es t k C es t 0 130 Prof Alexandre Eduardo Curso de Controle Vibração livre com amortecimento Sistema MassaMola Amortecedor 1GDL 128 Em sistemas reais há sempre dissipação de energia amortecimento Vibração livre com amortecimento Sistema MassaMola Amortecedor 1GDL Resultado esperado qualitativamente em condições de baixo amortecimento xt t t e envelope Constante de tempo de amortecimento tempo necessário para a amplitude cair a 1e do seu valor inicial 129 Equação característica ms2 cs k 0 Raízes da eq característica s12 c2m c2m2 km A solução geral da Eq de movimento é xt C1 es1 t C2 es2 t Eq 56 ou xt C1 ec2m c2m2 kmt C2 ec2m c2m2 kmt Eq 57 Onde C1 e C2 são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais do problema 131 Definição do Coeficiente de amortecimento crítico o Amortecimento crítico cc valor de c para o radical na solução geral seja zero cc2m2 km 0 cc 2m km 2mωn Eq 58 o Razão ou fator de amortecimento ζ ζ ccc ou c2m ccc cc2m ζωn Eq 59 132 As raízes podem ser reescritas s12 c2m c2m2 km ζ ζ2 1 ωn Eq 60 Logo a nova expressão da resposta fica xt C1 eζ ζ2 1 ωn t C2 eζ ζ2 1 ωn t Eq 61 A resposta xt depende das raízes s1 e s2 o comportamento do sistema é dependente da razão de amortecimento ζ 133 A solução geral da Eq de movimento é xt C1 eζj sqrt1ζ2ωnt C2 eζj sqrt1ζ2ωnt eζωnt C1 ej sqrt1ζ2ωnt C2 ej sqrt1ζ2ωnt eζωnt C1 C2 cos sqrt1ζ2 ωnt j C1 C2 sen sqrt1ζ2 ωnt xt eζωnt C1 cos sqrt1ζ2 ωnt C2 sen sqrt1ζ2 ωnt Eq 62 xt Xeζωnt sen sqrt1ζ2 ωnt φ ou xt X0 eζωnt cos sqrt1ζ2 ωnt φ0 Eq 63 ωd sqrt1ζ2 ωn Frequencia natural amortecida rads 134 xt eζωnt C1 cos sqrt1ζ2 ωnt C2 sen sqrt1ζ2 ωnt Para as condições iniciais xt0 y0 e ẋt0 ẏ0 Então C1 x0 e C2 ẋ0 ζωn x0 sqrt1ζ2 ωn ẋ0 ζωn x0 ωd A solução fica xt eζωnt x0 cos sqrt1ζ2 ωnt ẋ0 ζωn x0 sqrt1ζ2 ωn sen sqrt1ζ2 ωnt Eq 64 ou xt eζωnt x0 cosωd t ẋ0 ζωn x0 ωd senωd t Eq 65 135 xt Xeζωnt sen sqrt1ζ2 ωnt φ ou xt X0 eζωnt cos sqrt1ζ2 ωnt φ0 As constantes X φ e X0 φ0 representam o modulo e a fase X X0 sqrtC12 C22 Eq 66 φ a tanC1C2 e φ0 a tanC2C1 Eq 67 136 Prof Alexandre Eduardo Curso de Controle Ilustração do corportamento da resposta frente aos valores dos fatores de amortecimento 143 O corpo de 50 kg é movido verticalmente com velocidade inicial de 254 ms Determine sua amplitude máxima do deslocamento considerando o coeficiente de amortecimento viscoso c é 1400 Nsm e a rigidez da mola k é 110 kNm Exemplo 16 144 Prof Alexandre Eduardo Curso de Controle O corpo de 8 kg é movido 02 m para a direita da posição de equilíbrio e liberado do repouso no tempo Determine seu deslocamento no tempo T 2s O coeficiente de amortecimento viscoso c é 20Nms e a rigidez da mola k é 32 Nm Exemplo 17 147 Prof Alexandre Eduardo Curso de Controle Solução Diagrama de corpo livre 148 Prof Alexandre Eduardo Curso de Controle 152 Prof Alexandre Eduardo Curso de Controle Existem duas equações para um sistema de dois graus de liberdade uma para cada massa precisamente uma para cada grau de liberdade As equações de movimento levam a uma equação de frequência que fornece duas frequências naturais do sistema 153 Vibração livre com amortecimento Sistema MassaMola 2GDL Prof Alexandre Eduardo Curso de Controle Sistema com 2 GDL 2 DoF xt and θt 154 Prof Alexandre Eduardo Curso de Controle Seja o sistema ilustrado Determinar as Eqs de movimento e as frequências naturais Exemplo 18 160 Prof Alexandre Eduardo Curso de Controle Seja o sistema ilustrado Determinar as Eqs de movimento e as frequências naturais Exemplo 19 172 Considerando J1 J0 J2 2J0 e kt1 kt2 kt