Conhecimento Matemático e Alfabetização

Conhecimento Matemático e Alfabetização Heitor Antônio Gonçalves PRÁTICAS DE LETRAMENTO E ALFABETIZAÇÃO Especialização Heitor Antônio Gonçalves Conhecimento Matemático e Alfabetização MEC SEED UAB 2011 Reitor Helvécio Luiz Reis Coordenador UABNEADUFSJ Heitor Antônio Gonçalves Comissão Editorial Fábio Alexandre de Matos Flávia Cristina Figueiredo Coura Geraldo Tibúrcio de Almeida e Silva José do Carmo Toledo José Luiz de Oliveira Leonardo Cristian Rocha Maria Amélia Cesari Quaglia Maria do Carmo Santos Neta Maria Jaqueline de Grammont Machado de Araújo Maria Rita Rocha do Carmo Presidenta Marise Maria Santana da Rocha Rosângela Branca do Carmo Rosângela Maria de Almeida Camarano Leal Terezinha Lombello Ferreira Edição Núcleo de Educação a Distância Comissão Editorial NEADUFSJ CapaDiagramação Eduardo Henrique de Oliveira Gaio G635c Gonçalves Heitor Antônio Conhecimento matemático e alfabetização Heitor Antônio Gonçalves São João delRei MG UFSJ 2011 58p Curso de Pósgraduação lato sensu em Práticas de Alfabetização e Letramento 1 Matemática 2 Alfabetização ITítulo CDU 372 SUMÁRIO Pra começo de conversa 5 UNIDADE 1 Educação matemática e linguagem 7 Concepção de Educação Matemática 9 A língua materna e a linguagem matemática 10 Linguagem matemática e literatura 12 Algumas considerações importantes 13 UNIDADE 2 Conceitos importantes alfabetização e letramento 19 Alfabetização e letramento 21 Alfabetização matemática 24 UNIDADE 3 Letramento matemático 27 Numeramento e numeralização 29 Construindo o conceito de letramento matemático 32 Fazendo interagir as diversas abordagens 35 De forma análoga podemos estabelecer que 35 UNIDADE 4 O conceito de número 39 O conceito de número 41 Aspectos pedagógicos 43 A sequência numérica 45 O cálculo mental trabalhando com os números 46 Pra final de conversa 53 Sugestões de leitura 54 Referências 56 5 Pra começo de conversa Prezado a Estudante A disciplina Conhecimento Matemático e Alfabetização vem compor o corpo das demais disciplinas do curso Alfabetização e Letramento na certeza de que as discussões em torno da questão do letramento ultrapassam os aspectos formais do uso da língua e podem ser ampliadas ao campo da Educação Matemática Para fazer a abordagem do letramento matemático optamos por estabelecer de início as bases conceituais que são a concepção de educação matemática com a qual trabalhamos nos tópicos da disciplina e mais especificamente os conceitos de alfabetização e letramento como são tratados no campo da linguagem Integrase à metodologia a necessidade de o aluno estar atento para o fato de que as discussões aqui apresentadas devem caminhar para uma interatividade no sentido de se fazer compreender de forma efetiva a importância de tais discussões para o campo da educação matemática Dessa forma é imperativo que os leitores procurem interligar os conceitos entre si e com suas práticas educativas Durante todo este tempo estaremos juntos na certeza que sua participação é de fundamental importância para nosso êxito AVALIAÇÃO A avaliação será realizada a partir de atividades selecionadas dentro da plataforma de acesso e a partir da realização de fóruns e chats previamente marcados com os tutores e professores OBJETIVO Estabelecer o conceito de letramento matemático considerando como bases conceituais a linguagem matemática e os usos sociais do conhecimento matemático 7 EDUCAÇÃO MATEMÁTICA E LINGUAGEM Objetivo Estabelecer uma concepção de educação matemática Apresentar um paralelo entre os usos da língua materna e a linguagem matemática Problematizando Nesta unidade abordaremos a concepção de educação matemática que servirá como base para as unidades seguintes e também procuramos estabelecer diversas analogias entre a língua materna e a linguagem matemática que utilizamos em nosso cotidiano 1 O que significa para você o termo educação matemática 2 Existem pontos comuns entre a linguagem matemática e a linguagem que usamos em nosso dia a dia unidade 1 9 unidade1 Educação matemática e linguagem Concepção de Educação Matemática O conceito de letramento matemático que construiremos durante o estudo deste texto está diretamente relacionado a uma concepção de Educação Matemática Inicialmente devemos destacar que o campo científico que denominamos Matemática não corresponde diretamente ao campo científico da Educação Matemática Com isso queremos enfatizar que os domínios da Matemática a produção acadêmica as pesquisas e as discussões entre pesquisadores matemáticos são diferentes do domínio da Educação Matemática e do que é estudado e discutido entre os educadores matemáticos A clareza dos domínios desses campos pode evitar equívocos que podem ser cometidos na abordagem escolar do conteúdo matemático como a inadequação à faixa etária a falta de consonância entre o cotidiano dos alunos e os conteúdos vistos na escola ausência de metodologias de apoio como projetos jogos uso de textos literários etc O professor Ubiratan DAmbrosio descreve algumas motivações para se trabalhar com a matemática na escola Ele aponta as seguintes por ser útil como instrumentador para a vida por ser útil como instrumento para o trabalho por ser parte integrante de nossas raízes culturais porque ajuda a pensar com clareza e a raciocinar melhor por sua própria universalidade por sua beleza intrínseca como construção lógica formal etc DAMBROSIO 1990 p16 Percebemos que a maioria das justificativas do pesquisador apontam para as mais diversas situações do cotidiano estando apenas a última destacando aspectos formais da Matemática como as estruturas lógicas e demonstrações de teoremas Essas motivações descritas por DAmbrósio mostram de modo abrangente aspectos que são considerados muito importantes para a Educação Matemática ou seja construir uma ponte de mão dupla entre conteúdos escolares e formais da Matemática e o cotidiano do aluno casa cidade mundo sociedade cotidiano etc Não devemos de forma alguma desprezar os aspectos estruturais da Matemática como o seu sistema simbólico a sua linguagem e sua beleza intrínseca que estamos certos de que existem nessa área do saber humano Estamos sim propondo uma abordagem mais viva 10 dinâmica e relacionada ao dia a dia das pessoas no meio escolar ou em qualquer outro que pretenda propiciar o aprendizado em Matemática Comparando atitudes de alunos dentro e fora da escola Schliemann 1998 afirma que dentro da escola diversas ações podem ser desenvolvidas de modo a despertar o interesse dos educandos e oferecer uma aprendizagem significativa A pesquisadora relata que crianças que não resolvem problemas envolvendo raciocínio silogístico dedução formal ou tarefas piagetianas demonstram raciocínio lógico quando as tarefas são apresentadas em contextos mais naturais e significativos De forma semelhante quando problemas de aritmética surgem no contexto de trabalho as respostas de jovens vendedores são sempre corretas ao passo que em situações escolares respostas erradas são freqüentes SCHLIEMANN 1998 p14 Complementando suas colocações Schliemann 1998 acrescenta que fora da escola as pessoas resolvem problemas mentalmente e encontram respostas corretas na escola utilizam procedimentos escritos e erram com muita freqüência A língua materna e a linguagem matemática Uma questão que julgamos importante e que merece mais atenção na escola é a que trata da oralidade na matemática Falar e conversar sobre matemática e explicitar pontos de vista pode auxiliar na compreensão de muitos conceitos matemáticos tanto na educação infantil como nas séries iniciais O professor Nílson Machado ressalta que em situações de ensino de Matemática é fundamental a mediação da oralidade emprestada da Língua Materna e que funciona como um degrau natural na aprendizagem da escrita MACHADO 2001 Percebemos que as questões da oralidade ou mais precisamente a da dificuldade da oralidade na matemática podem constituir um entrave na abordagem de conteúdos matemáticos Nílson Machado reconhece que mesmo considerando que no processo educacional a oralidade continua a desempenhar papel fundamental na escola ela é mais praticada pelo professor Para o pesquisador as linguagens formais como a da matemática têm uma limitação tratase da ausência em tais linguagens de uma oralidade própria MACHADO 2001 11 unidade1 Como consequência a apresentação e discussão de conceitos assim como todo o processo de resolução de problemas matemáticos precisam utilizar a linguagem corrente do dia a dia intermeada com palavras de uso mais restrito à matemática tudo isso com o objetivo de criar vínculos entre situações formais e não formais e para que os conceitos matemáticos sejam reconhecidos nestas situações Em português temos algumas palavras que têm um uso mais corriqueiro e popular e também um uso específico dentro da linguagem matemática Como exemplo citamos as palavras somar diminuir dividir multiplicar equaçãoequacionar função fração número uniãointerseção conjunto figura quadradoretângulo etc Se pensarmos bem mencionamos essas palavras em diversos momentos durante o dia seja em casa na escola ou no trabalho Em determinadas circunstâncias algumas dessas palavras são utilizadas com um significado diferente como é o caso da palavra quadrado que na matemática é definido como um polígono com quatro lados e quatro ângulos iguais e que é usada cotidianamente pelas pessoas como qualquer figura que se pareça com um quadrado como um retângulo ou outras figuras poligonais Machado 2001 p114 ressalta que com relação à Língua Materna as pessoas em geral não podem ser classificadas como meros usuários Elas são ou deveriam ser caracterizadas realmente como produtores dos objetos dos sistemas em questão Dessa forma fica clara a importância de as pessoas não serem meros espectadores das manifestações da língua Em educação matemática a compreensão dos conceitos trabalhados aliada a um bom uso da linguagem matemática tem sido um grande desafio colocado ao professor para ser levado aos alunos da escola básica e até ao cidadão comum Nilson Machado aponta uma diferença que considera como importante influência nas diversas etapas da educação matemática que é o fato de as falas e fonemas aprendidos pelas crianças serem usados de forma mais natural no seu dia a dia não precisando seguir padrões de utilização Isso já não ocorre com linguagens mais formais como a linguagem matemática em que se exige prioridade para a técnica durante sua utilização A posição do autor apontada acima deve ser vista como uma advertência importante para os educadores em geral e principalmente para aqueles que ensinam matemática nas séries iniciais do Ensino Fundamental e na Educação Infantil que tem como objetivo primordial estabelecer as bases na construção da língua materna e da matemática 12 O professor Nilson Machado reconhece a absoluta necessidade da mediação da Língua no ensino da Matemática Essa interação é de fundamental importância nas ações do professor para que ele supere os constantes obstáculos que surgem no seu trabalho diário com os alunos no que diz respeito à compreensão não só dos símbolos e sinais utilizados na matemática mas principalmente na compreensão de problemas e representações como gráficos tabelas diagramas etc Linguagem matemática e literatura Um aspecto importante que envolve a língua materna e a linguagem matemática e o conhecimento matemático na resolução de problemas é uma abordagem através da literatura infantil que passaremos a discutir nos próximos parágrafos Smole 2000 considera que por envolver a coordenação do conhecimento experiência anterior intuição confiança análise e comparação a resolução de problemas é uma atividade complexa que não pode ser restringida a algoritmos através dos quais o aluno atinja uma solução buscando regras preestabelecidas Segundo a pesquisadora a solução de um problema deve ser uma situação na qual o aluno não tenha a garantia de obter uma solução com o uso direto de algoritmos Desse modo um bom problema deve ser interessante desafiador e significativo para o aluno permitindo que ele formule e teste hipóteses e conjecturas SMOLE 2000 p 73 A autora acredita que a resolução de problemas não deva ser um conteúdo isolado dentro do currículo e sim refletir uma metodologia de trabalho através da qual os alunos são envolvidos em fazer matemática Sob esse enfoque Smole 2000 afirma que resolver problemas é um espaço para fazer colocações comunicar ideias investigar relações e desenvolver ações e habilidades matemáticas Smole ressalta a importância de se buscarem outras fontes além do livro didático que propiciem ao aluno a aquisição de novos conceitos ou habilidades e defende que a literatura infantil explorada via metodologia da resolução de problemas é um recurso rico para ser utilizado com essa finalidade id p 74 Esta proposta se justifica Em primeiro lugar porque os livros infantis não exigem inicialmente do leitor outras informações além daquelas que ele traz da sua própria vivência Em segundo lugar a literatura é facilmente acessível 13 unidade1 13 e proporciona contextos que trazem múltiplas possibilidades de exploração que vão desde a formulação de questões por parte dos alunos até o desenvolvimento de múltiplas estratégias de resolução das questões colocadas Em terceiro lugar a literatura infantil exige leitura e estimula a capacidade de interpretação de diferentes situações o que também é uma habilidade essencial para um melhor desempenho dos alunos em resolução de problemas Em quarto lugar essa conexão da matemática com a literatura infantil propicia um momento para aprender novos conceitos ou utilizar os já aprendidos Em quinto lugar a leitura do texto necessariamente pede debate diálogo critica e criação SMOLE 2000 p 73 Trabalhar problemas nesse contexto permite que os alunos empreguem esse processo em outras situações de resolução de problemas Finalmente a autora destaca que a literatura infantil associada ao trabalho com resolução de problemas propicia aos alunos e professores uma utilização e valorização de diferentes estratégias na busca das soluções como o desenho a oralidade a dramatização a tentativa e erro que normalmente são recursos não utilizados no trabalho cotidiano nas escolas A associação da matemática com a literatura infantil pode propiciar segundo Smole 2000 um momento para aprender novos conceitos ou empregar os já aprendidos E por apresentar um contexto que traz uma multiplicidade de significações evidencia a leitura e o conhecimento de mundo de cada leitor suas experiências suas perspectivas suas preferências pessoais e sua capacidade de articular informações presentes no texto com outras não presentes id 2000 p 74 Algumas considerações importantes Neste final de unidade vamos fazer algumas considerações de caráter geral que estão relacionadas à linguagem matemática Inicialmente gostaríamos de chamar a atenção para o fato de que a matemática não é uma linguagem como muitos a definem Esse equívoco tem sido cometido devido à elevada importância dada à escrita dos símbolos matemáticos em detrimento do uso do raciocínio e formação de conceitos matemáticos Isso não significa que a linguagem matemática não tenha importância No entanto no meio escolar principalmente nos anos iniciais da escola básica devemos dosar adequadamente o uso dos símbolos e sinais e a formação dos conceitos matemáticos que deve compreender entre outros o uso do cálculo mental as manifestações orais dos alunos o incentivo às atividades de grupo e os jogos 14 De forma simplificada podemos afirmar que a linguagem matemática compreende um sistema de símbolos e sinais Por sua vez definimos a matemática como o campo do conhecimento humano que trata dos números grandezas formas e medidas assim como as relações entre esses elementos A matemática constituída de diversos conceitos matemáticos se expressa através de sua linguagem que é específica estruturada a partir de símbolos sinais e signos cada qual com um significado próprio Esses conceitos matemáticos compõem as diversas áreas da matemática como a aritmética a álgebra a geometria etc Para exemplificar tomemos o conceito de número que trataremos na última unidade A ideia de número a forma de concebêlo e seu uso nas mais diversas situações de vida da criança não têm sentido se ensinarmos para a criança apenas sua representação 5 cinco ou desenhando cinco bolas Tal representação é desprovida de sentido se não estiver associada ao conceito de número que a criança deverá formar progressivamente nas séries iniciais de sua escolarização e a partir de situações do seu cotidiano Percebemos assim que a linguagem matemática deve acompanhar a formação do conceito matemático Para completarmos nosso esclarecimento sobre a diferença entre matemática e linguagem matemática buscaremos num dicionário da língua portuguesa o significado da palavra linguagem o qual usamos nesse texto como referência admitindo porém que existem outras abordagem que dão diferentes dimensões ao estudo da linguagem Segundo o Dicionário Aurélio linguagem é o vocabulário específico usado numa ciência numa arte numa profissão etc língua E também todo sistema de signos que serve de meio de comunicação entre indivíduos e pode ser percebido pelos diversos órgãos dos sentidos o que leva a distinguirse uma linguagem visual uma linguagem auditiva uma linguagem tátil etc ou ainda outras mais complexas constituídas ao mesmo tempo de elementos diversos HOLANDA 2002 p 106 A partir do significado da palavra linguagem descrito acima podemos dizer que linguagem matemática é um sistema de signos utilizado dentro da ciência Matemática e por extensão dentro do campo da Educação Matemática A linguagem matemática se reveste de uma especificidade que é o fato de seus símbolos e suas formas de representação serem usados em diversas áreas como as ciências naturais 15 unidade 1 ciências humanas ciências biomédicas etc Além disso muitos símbolos matemáticos são utilizados universalmente em diversos países mesmo em línguas nacionais diferentes Um outro aspecto importante é que apesar de não parecer à maioria das pessoas a linguagem matemática é muito concisa e objetiva no sentido de que não há espaços numa expressão ou equação matemática por exemplo para múltiplas interpretações como num texto escrito em português Essa praticidade e objetividade da linguagem matemática pode oferecer dificuldades para se lidar com ela quando mal compreendida No entanto como temos dito a matemática não se resume a uma linguagem e como nos lembra Nílson Machado o problema da matemática na escola não se deve a razões essenciais endógenas mas a abordagens inadequadas tão frequentemente utilizadas nos conteúdos matemáticos que aos menos avisados parecem moldarlhes as feições MACHADO 2001 p 116 Nilson Machado complementa afirmando que o problema em enfatizar a importância dos símbolos em detrimento dos seus significados é o que ocorre por exemplo quando a Matemática é tratada como uma linguagem em que a hipertrofia da dimensão sintática obscurece indevidamente o papel da semântica que é deixada em segundo plano op cit A sintática à qual se refere o autor significa os símbolos matemáticos e suas relações e a semântica se refere ao significado e sentido desses símbolos Machado 2001 nos alerta para a falta de clareza nas finalidades do ensino de quase todas as disciplinas O pesquisador ressalta que a Língua Materna e a Matemática têm valor instrumental e possibilitam o aprendizado em qualquer área onde são utilizadas Segundo o autor essa falta de clareza é facilmente irradiada sendo conduzida a todos os ramos do conhecimento Essa afirmação reforça a ideia de que a matemática escolar deve sair de seu pedestal como uma das disciplinas mais importantes da escola para assumir uma posição mais igualitária com relação às outras disciplinas além de ser colocada como apoio para as outras áreas do conhecimento Um aspecto importante é que a linguagem além de uma função de comunicação e representação tem também uma função de auxílio ao pensamento que segundo Gérard Vergnaud pesquisador francês só parcialmente é coberta pelas funções de comunicação e representação A ação da linguagem é mais perceptível quando o indivíduo tem 16 necessidade de planejar uma sequência de ações que ele não domina suficientemente como por exemplo quando está aprendendo a dirigir um automóvel Antes de dirigir de forma automatizada o iniciante verbaliza o que deve fazer mesmo em silêncio A atividade da linguagem favorece a descoberta das relações pertinentes a organização temporal da ação e o seu controle VERGNAUD 1996 p181 Vergnaud estabelece uma tripla função da representação pela linguagem representação dos elementos pertinentes da situação representação da ação representação das relações entre ação e situação Com relação à ordem das coisas que a linguagem representa Vergnaud chama a atenção para duas funções da atividade da linguagem que constituem o esboço da atividade intelectual as informações pertinentes que são expressas em termos de objetos argumentos de propriedades e de relações funções proposicionais de teoremas proposições as operações de pensamento que são expressas em termos de seleção das informações de inferência de aceitação ou de recusa das consequências e também em termos de anúncio das operações a fazer dos resultados ou dos objetivos a atingir de decomposição em etapas dos processos de tratamento se fizer isto e depois aquilo obterei o outro etc Vergnaud lembra que a atividade da linguagem exprime ainda outros aspectos importantes como a implicação do sujeito na tarefa ou no juízo emitido os seus sentimentos a sua avaliação da plausibilidade de uma hipótese ou de uma conclusão ou ainda a relação destes elementos entre si Um outro aspecto importante para o qual queremos chamar a atenção no que diz respeito à Educação Matemática é que as abordagens nas duas últimas décadas têm apontado para a relevância dos condicionantes sóciohistóricoculturais envolvidos nos processos de ensinar e aprender matemática Dessa forma devemos ressaltar o necessário equilíbrio das diversas possibilidades de se trabalhar o conhecimento matemático na escola Alertamos no entanto que estabelecer uma linha de ação mais voltada para aspectos sócio culturais da matemática não significa descartar outros enfoques como aqueles voltados para o desenvolvimento cognitivo 17 unidade1 A escola básica brasileira assim como a de outros países temse pautado em modismos temporários e pouco aprofundados de metodologias educacionais Na educação matemática não tem sido diferente Para que possamos atuar de forma a realizar uma educação matemática significativa temos que estar atentos para promover um ensino de matemática voltado para o cotidiano do aluno com suas nuanças culturais e políticas assim como promover ações que permitam o desenvolvimento pleno da sua inteligência e de suas competências no seu contexto de vida principalmente em se tratando de crianças que esperam da escola um lugar de crescimento e socialização ATIVIDADE 1 Dê três exemplos de uso da matemática por profissionais diferentes e três exemplos de uso da matemática no dia a dia das pessoas Quais as principais diferenças entre o uso da matemática nessas situações e a forma como a matemática é tratada na escola 2 Exemplifique com situações escolares ou não escolares a afirmação de Nilson Machado É o que ocorre por exemplo quando a Matemática é tratada como uma linguagem em que a hipertrofia da dimensão sintática obscurece indevidamente o papel da semântica que é deixada em segundo plano 3 Converse com pelo menos quatro colegas professoresprofessoras e peça que apontem três itens que exemplifiquem cada uma das seguintes motivações para se trabalhar com a matemática na escola descritas por DAmbrosio 1990 por ser parte integrante de nossas raízes culturais e porque ajuda a pensar com clareza e a raciocinar melhor Faça um pequeno quadro demonstrativo ou uma tabela das respostas de seus colegas comparandoas Discuta com eles o resultado de sua enquete 19 CONCEITOS IMPORTANTES ALFABETIZAÇÃO E LETRAMENTO Objetivo Apresentar o conceito de alfabetização e de letramento segundo autores do campo da linguagem Conceituar alfabetização matemática Problematizando Apresentaremos nesta unidade os conceitos de alfabetização e letramento considerando que tal conceituação contribuirá para a discussão sobre alfabetização matemática e para a abordagem que faremos sobre letramento matemático na próxima unidade 1 Como você diferencia alfabetização e letramento 2 O que você acha mais importante trabalhar na alfabetização matemática os símbolos e sinais ou os conceitos matemáticos 3 Qual o seu conceito de alfabetização matemática Quando se inicia unidade 2 21 unidade2 Conceitos importantes Alfabetização e letramento Alfabetização e letramento Para fazermos uma discussão inicial sobre alfabetização optamos por colocar alguns apontamentos sobre seu uso social a partir das discussões de Sarita Moysés Em seguida na discussão sobre letramento retomamos alguns pontos importantes sobre a alfabetização A professora Sarita Moysés pesquisadora da UNICAMP ao discutir o uso social da alfabetização relata que a escrita não foi uma invenção da escola mas a relação institucional é tão forte que determinou o predomínio da escrita sobre os outros códigos de comunicação e considerada como consolidação do conhecimento garante a linguagem da escola garantindose a si mesma Numa crítica aos processos escolares de alfabetização a pesquisadora adverte que ao se falar em alfabetização nas escolas caracterizandoa como um processo que tem um começo e um fim e marcando aqueles alunos que não sabem ler e escrever e aqueles que leem e escrevem palavras frases e até leem um livro na verdade o que está sendo caracterizado e valorizado são os resultados e produtos e não o processo de produção enquanto se realiza a alfabetização Ressaltamos que frases de uso popular como a escola tem que ensinar a ler escrever e contar constituem um exemplo de resultados esperados da escola como mencionado pela autora e que no caso da matemática parece grave quando se cria a falsa ideia de que o objetivo da escola é ensinar a contar o que pode ser realizado por uma criança mesmo antes de entrar para a escola A autora considera ainda que não se justifica colocar as dificuldades nos indivíduos e na atividade específica de aprender o sistema gráfico pois as dificuldades se concretizam na situação de alfabetização e pelas condições artificiais de aprendizagem que não se defrontam com a primeira questão que se apresenta para a pessoa que vai ser alfabetizada para que ler e escrever Para que ser alfabetizado Qual é o sentido da escrita Por quê MOYSÉS 1985 p 91 As observações da pesquisadora continuam atuais Em muitas circunstâncias a não 22 alfabetização e o não aprendizado dos primeiros conceitos matemáticos nos primeiros meses escolares num tempo arbitrado pela escola leva aos alunos o rótulo de incapazes ou sem condições de aprenderem por serem pobres por não terem ajuda em casa ou outros motivos desprovidos de fundamentos Lembremos que é função da escola garantir o aprendizado a todos sem restrições de classe econômica e social Passemos agora a uma perspectiva mais ampla buscando uma demarcação inicial sobre letramento A pesquisadora Cecília Goulart afirma que em termos mais gerais o letramento está relacionado ao conjunto de práticas sociais orais e escritas de linguagem de uma sociedade e também à construção da autoria GOULART 2001 Ampliando os objetivos da escola a noção de letramento como exposta acima interligase a um modo de conceber a linguagem escrita e seu contexto sóciohistórico problematizando de modo intenso seu ensinoaprendizagem Destacamos em Goulart 2001 o conceito de letramento que nos auxiliará mais adiante na construção do conceito de letramento matemático A autora entende o letramento como o espectro de conhecimentos desenvolvidos pelos sujeitos nos seus grupos sociais em relação com outros grupos e com instituições sociais diversas Tal espectro relacionase à vida cotidiana e a outras instâncias da vida social atravessadas pelas formas como a linguagem escrita as perpassa de modo implícito ou explícito de modo mais complexo ou menos complexo GOULART 2001 p 10 Em Rojo 1998 encontramos destaque para as feições socioconstrutivistas do letramento que para nossa discussão se torna importante uma vez que traz a relevância de aspectos sociais e da interatividade da matemática no pensarfazer do cotidiano da criança Adotar uma perspectiva socioconstrutivista na construção do letramento e da linguagem escrita significa repensar as relações entre as modalidades oral e escrita do discurso nesse processo Segundo Rojo significa também afirmar o papel constitutivo da interação social para a construção da linguagem letrada e logo para os usos e conhecimentos do objeto escrito construídos pela criança ROJO 1998 p121 Kleiman 1995 estabelece duas dimensões do letramento que consistem na alfabetização como aprendizado da técnica de escrever e ler textos situado nos primeiros anos escolares e no letramento um período indeterminado em seu começo podendo ser considerado a partir da pequena infância e perdurando durante toda a vida das pessoas 23 unidade2 23 A pesquisadora define o letramento como um conjunto de práticas sociais que usam a escrita enquanto sistema simbólico e enquanto tecnologia em contextos específicos para objetivos específicos Logo em seguida acrescenta que a escola tem desenvolvido apenas alguns tipos de habilidades mas não outros e que determina uma forma de utilizar o conhecimento sobre a escrita KLEIMAN 1995 p19 A professora Magda Soares destaca a necessidade de se retomar a especificidade da alfabetização e sua associação com o letramento A autora descreve o conceito de alfabetização e de letramento e ao mesmo tempo alertanos para a importância de serem processos interdependentes Em suas palavras dissociar alfabetização e letramento é um equívoco porque no quadro das atuais concepções psicológicas linguísticas e psicolinguísticas de leitura a entrada da criança no mundo da escrita ocorre simultaneamente por estes dois processos pela aquisição do sistema convencional de escrita a alfabetização e pelo desenvolvimento de habilidades de uso desse sistema em atividades de leitura e escrita nas práticas sociais que envolvem a língua escrita o letramento SOARES 2004 p14 Considerando a alfabetização como processo de aquisição e apropriação do sistema da escrita alfabético e ortográfico Soares 2004 propõe que seja reconhecida a especificidade da alfabetização e a importância que ela se desenvolva num contexto de letramento entendido como a participação em eventos variados de leitura e de escrita e o consequente desenvolvimento de habilidades de uso da leitura e da escrita nas práticas sociais que envolvem a língua escrita e de atitudes positivas em relação a essas práticas SOARES 2004 p16 Um outro ponto importante é reconhecer que tanto a alfabetização quanto o letramento têm diferentes dimensões e a natureza de cada um demanda uma metodologia diferente ora com um ensino direto explícito e sistemático ora com um ensino incidental indireto e subordinado às motivações das crianças Magda Soares finaliza seu artigo chamando a atenção para a importância da formação dos professores das séries iniciais do ensino fundamental para que esses saibam enfrentar nas escolas o quadro de fracasso escolar na aprendizagem inicial da língua escrita 24 Toledo 2004 descreve que segundo a UNESCO o letramento como uso da comunicação escrita acha seu lugar em nossas vidas através de outros caminhos de comunicação O letramento pode assumir várias formas no papel na tela do computador na TV nos pôsteres e símbolos Segundo a UNESCO aqueles que usam o letramento o fazem por concessão mas aqueles que não podem usálo são excluídos de muitas formas de comunicação no mundo atual TOLEDO 2004 p 62 Chamamos a atenção para a importância do caráter inclusivo do letramento destacado na definição da UNESCO Ser letrado é ter acessos a diversas situações em que a partir da linguagem se encontram possibilidades de múltiplas interações nas mais diversas situações de nosso cotidiano Alfabetização matemática Como ponto de partida para refletirmos sobre a alfabetização matemática destacamos um fragmento do texto de Stubbs 2002 O autor ressalta que a alfabetização está sempre relacionada com o desenvolvimento cognitivo de um indivíduo ou com o desenvolvimento sócio econômico de uma sociedade E o desenvolvimento seja de crianças individuais ou de sociedade inteira envolve questões de valores id p89 Um outro ponto importante discutido por Stubbs é a importância das crenças sobre aprendizagem O pesquisador adverte que questões sobre a língua na educação estão inseridas em conjuntos mais amplos de crenças sociais sobre a natureza das crianças e da aprendizagem Uma discussão sobre a língua na educação deve portanto relacionar a aprendizagem da língua num sentido relativamente restrito a questões de cultura e sociedade STUBBS 2002 p92 Podemos fazer um paralelo com a linguagem matemática reconhecendo sua dimensão social e cultural e sua importância para o cidadão comum compreender conceitos matemáticos em seu cotidiano e ter acesso à informações de caráter matemático veiculados sob as mais diversas formas Segundo Stubbs 2002 a educação é um processo de controle social e de engenharia social e esses conceitos não agradam a muitos professores Stubbs acredita que essa é uma razão a mais para entendermos as relações entre língua e desenvolvimento aprendizagem 25 unidade2 e ensino direitos individuais e obrigações sociais STUBBS 2002 p92 Essas relações destacadas pelo pesquisador constituem para nós elementos importantes na compreensão da linguagem matemática e do conhecimento matemático no contexto maior da educação matemática como forma de inserção social e política do indivíduo Em seu livro Educação Matemática crítica a questão da democracia Ole Skovsmose pesquisador dinamarquês situa alguns parâmetros a partir dos quais pode se estabelecer a relação entre a alfabetização matemática e o conhecer reflexivo Ele faz uma distinção entre três tipos de conhecer a partir dos quais pode ser orientada a educação matemática o conhecer matemático que se refere à competência relacionada às habilidades algorítmicas reprodução de teoremas e provas matemáticas o conhecer tecnológico que se refere às habilidades em aplicar a matemática e às competências na construção de modelos o conhecer reflexivo que se refere à competência de refletir sobre o uso da matemática e avaliálo onde reflexões têm a ver com avaliações das consequências do empreendimento tecnológico SKOVSMOSE 2004 p 45 Essas modalidades apontadas por Skovsmose permitem estabelecer critérios mais objetivos para se analisarem as ações desenvolvidas na escola básica tanto para a alfabetização matemática que situamos nos anos iniciais do Ensino Fundamental quanto para o ensino de matemática desenvolvido no Ensino Médio Como referência escolhemos o conceito de alfabetização matemática utilizado pela professora Ocsana Danyluk Segundo a autora a alfabetização matemática diz respeito aos atos de ler e escrever a linguagem matemática usada nas séries iniciais da escolarização DANYLUK 1998 p 32 Em sua pesquisa sobre a escrita matemática de crianças Danyluk id conceitua alfabetização matemática como sendo o fenômeno que trata da compreensão da interpretação e da comunicação dos conteúdos matemáticos ensinados na escola tidos como iniciais para a construção do conhecimento matemático Ser alfabetizado em matemática então é compreender o que se lê e escrever o que se compreende a respeito das primeiras noções de lógica de aritmética e de geometria Assim a escrita e a leitura das primeiras ideias matemáticas podem fazer parte do contexto de alfabetização Ou seja podem fazer parte da etapa cujas primeiras noções das diversas áreas do conhecimento podem ser enfocadas e estudadas dentro de um contexto geral da alfabetização DANYLUK 1998 26 Vamos ressaltar alguns aspectos que julgamos importantes nessa definição O primeiro se refere ao caráter inicial da alfabetização matemática associado ao período de alfabetização na língua ou seja os primeiros conceitos matemáticos podem ser trabalhados de forma concomitante ao ensino da língua O segundo que tem também características de temporalidade ressalta os conhecimentos iniciais de lógica aritmética e geometria estando o primeiro relacionado aos aspectos lógicos e estruturais da matemática A autora admite também que sua definição vai ao encontro de um contexto geral de alfabetização o que para nós educadores tem um significado importante no sentido de se estabelecer uma base comum de ações dentro da escola a partir da qual possa ocorrer a alfabetização abordando inclusive áreas diversas como as Ciências Naturais a Geografia e a História ATIVIDADE 1 Destaque três ideias importantes sobre alfabetização e três de letramento citados nesta unidade que você julga serem importantes Como você as relacionaria com a forma em que você foi alfabetizadoalfabetizada Essas ideias revelam as concepções com as quais você trabalha 2 A partir das escolhas realizadas na questão anterior faça uma discussão sobre o impacto das mesmas no contexto escolar abordando aspectos relevantes Relate situações que você conheça ou que algum colega lhe tenha relatado 3 Das ideias destacadas na pergunta 1 explicite a relação que se pode estabelecer com a educação matemática Podemos estabelecer uma comparação entre alfabetização da língua portuguesa e da alfabetização matemática 27 27 LETRAMENTO MATEMÁTICO Objetivo Discutir os termos numeramento e numeralização como contribuição ao conceito de letramento matemático Conceituar letramento matemático numa perspectiva de construção social Fazer uma analogia entre os significados de alfabetização e letramento no campo da linguagem e a alfabetização e o letramento matemático na educação matemática Problematizando Nesta unidade o nosso objetivo é discutir os conceitos de numeramento e numeralização e logo em seguida apresentar o conceito de letramento matemático É importante estabelecer pontos de interação entre esses diversos conceitos e entre esses e suas ações como educadores 1 O que significa estar matematicamente letrado 2 Existem momentos específicos para o professor propiciar o letramento matemático unidade 3 29 unidade3 Letramento matemático Numeramento e numeralização Continuando nosso caminho em direção a uma conceituação de letramento matemático vamos chamar atenção para dois conceitos usados na literatura brasileira e estrangeira o numeramento e a numeralização Queremos deixar claro que não se trata simplesmente de inserir mais termos para provocar confusões com tantas definições Nosso objetivo é levar a você Alunoa diversas perspectivas sobre o letramento matemático Como poderemos observar as diversas conceituações têm vários pontos em comum o que facilita o entendimento de todas elas no contexto maior da educação matemática Para justificar o uso do termo numeramento traduzido do inglês numeracy a professora Maria Elena Toledo explica que enquanto algumas tarefas cotidianas pedem a aplicação de habilidades de letramento puro por exemplo ler escrever comunicarse ou habilidades de pura matemática outras tarefas podem requerer o uso de habilidades de matemática e de letramento integrados Como decorrência dessa necessidade Toledo 2004 afirma que a literatura da área tem delineado um novo fenômeno o numeramento como um domínio de habilidades que compreendem um subconjunto de habilidades essenciais tanto da matemática como do letramento e que vem sendo entendido como um conjunto de habilidades conhecimentos crenças e hábitos da mente assim como as habilidades gerais de comunicação e resolução de problemas para que os indivíduos possam se deparar e agir nas diversas situações de vida e para compreender elementos matemáticos envolvidos em tarefas do cotidiano EUMMING GAL GINSBURG 1998 apud TOLEDO 2004 p94 Toledo afirma ainda que a importância do numeramento se manifesta à medida que as demandas cotidianas no trabalho ou na vida diária e os diferentes contextos nos quais o indivíduo está inserido acabam por solicitar muito mais que a simples capacidade para aplicar as habilidades básicas de registro matemático Segundo a pesquisadora essas demandas determinam o uso pelos indivíduos de um amplo conjunto de habilidades crenças e disposições para que haja o manejo efetivo e o engajamento autônomo em situações que envolvem números e dados quantitativos ou quantificáveis TOLEDO 2004 p94 30 A autora sintetiza afirmando que ser numerado é ter a posse de algumas habilidades de letramento e de algumas habilidades matemáticas e a capacidade para usálas de forma integrada de acordo com as demandas em uma determinada situação Passemos agora ao conceito de numeralização Nunes e Bryant 1997 manifestam inicialmente a preocupação existente em diversos países com o conhecimento matemático que os jovens devem ter ao deixar a escola Os autores afirmam que para as crianças se tornarem numeralizadas tradução do inglês numerate temos que conhecer sobre como as crianças aprendem matemática e o que a aprendizagem da matemática pode fazer pelo pensamento delas Um outro aspecto importante é o caráter provisório dos conceitos de alfabetização e numeralização ou seja à medida que a sociedade muda o conceito do que é ser numeralizado e alfabetizado também muda Nunes e Bryant id ressaltam que pode ter sido suficiente dominar aritmética e porcentagens as cinco operações como são chamadas para ser considerado numeralizado cem anos atrás porém as exigências para numeralização no mundo de hoje parecem ser bastante diferentes p 55 Os autores escrevem que é importante ser capaz de fazer mais do que simples cálculos para ler criticamente um jornal por exemplo mesmo contendo informações numéricas bastante simples Nesse aspecto nossos sistemas escolares podem não estar sendo bem sucedidos em preparar inclusive os nossos professores para fazer isso NUNES e BRYANT 1997 p18 Nunes e Bryant destacam que ser numeralizado não é o mesmo que saber calcular É ser capaz de pensar e discutir sobre relações numéricas e espaciais utilizando as convenções ou seja sistemas de numeração e medida terminologia como volume de área ferramentas como calculadoras e transferidores etc da nossa própria cultura Fazendo referência ao Relatório Cockcroft que foi um marco na definição de alguns parâmetros para educação matemática nos Estados Unidos Nunes e Bryant escrevem que tal relatório destaca que a palavra numeralizado implica a posse de dois atributos O primeiro é a familiaridade com números e a habilidade de fazer uso de habilidades matemáticas que capacitam um indivíduo a enfrentar as demandas matemáticas práticas de sua vida cotidiana p 15 O segundo é a habilidade de compreender as informações matemáticas contidas em gráficos mapas e tabelas ou por referências a aumento ou redução de porcentagem Considerados juntos esses atributos implicam que deveria 31 unidade3 se esperar que uma pessoa numeralizada fosse capaz de apreciar e entender algumas das formas pelas quais a matemática pode ser usada como um meio de comunicação COCKCROFT 1982 apud NUNES E BRYANT 1997 Podemos constatar que a citação acima aponta para situações de ensino que se estendem para além da aprendizagem de operações aritméticas embora ela certamente não exclua esta aprendizagem A numeralização está envolvida em diferentes contextos de aprendizagem na escola No entanto conceitos matemáticos não são sempre claramente definidos como tal porque eles são apresentados como ideias não como números Nunes e Bryant 1997 lembram que os conceitos usados em geografia história e ciências por exemplo envolvem ideias matemáticas mas as pessoas podem não estar cientes disso Os autores ressaltam que índice de crescimento natalidade e inflação por exemplo são expressões que envolvem a ideia de proporção um conceito matemático básico que pode passar despercebido como tal no contexto de outras áreas de estudo Dessa forma cada professor na escola fundamental ou no ensino médio deveria verse envolvido no sentido de promover a numeralização Como então ensinamos as crianças para serem numeralizadas no sentido amplo da palavra Como criarmos ambientes escolares nos quais elas não apenas aprendam sobre números e aritmética mas também pensem de forma matemática Segundo as pesquisadoras no que tange a ensinar matemática fica claro então que devemos considerar tanto como as crianças aprendem sobre números como sobre operações aritméticas e também como elas vêm a pensar matematicamente de maneira progressivamente mais complexa Nunes e Bryant id afirmam que ser numeralizado significa pensar matematicamente sobre situações Para pensar matematicamente precisamos conhecer os sistemas matemáticos de representação que utilizaremos como ferramentas Estes sistemas devem ter sentido ou seja devem estar relacionados às situações nas quais podem ser usados E precisamos ser capazes de entender a lógica destas situações as invariáveis para que possamos escolher as formas apropriadas de matemática Desse modo não é suficiente aprender procedimentos é necessário transformar esses procedimentos em ferramentas de pensamento NUNES e BRYANT 1997 p31 32 As autoras afirmam que conhecer como as crianças pensam é fundamental para o ensino de matemática e que o desenvolvimento conceitual em matemática não deve ser como dominar uma lista de procedimentos como ocorria e ainda ocorre em algumas propostas curriculares Os autores afirmam que o progresso pode vir da compreensão de novas invariáveis da capacidade de aprender formas novas de representação matemática e de conectar formas antigas a novas situações que as enriquecerão com sentido NUNES e BRYANT 1997 p32 Construindo o conceito de letramento matemático Vamos apresentar inicialmente o que a OECDPISA 2000 estabelece para o conceito de letramento matemático Mathematical Literacy PISA é a sigla em inglês de Programme for International Student Assessment cujos relatórios são publicados pela OECD Organization for Economic Cooperation and Development e se constituem de avaliações de conteúdos escolares aplicados em vários países incluindo o Brasil Para exemplificar no Brasil existem avaliações nacionais como o SAEB Sistema de Avaliação da Educação Básica MODIFICAR e o Prova Brasil que têm avaliado sistematicamente alunos da escola básica e o INAF Indicador Nacional de Alfabetismo Funcional que faz levantamentos periódicos sobre as habilidades de leitura escrita e matemática da população brasileira O relatório do PISA descreve uma definição de domínio que diz respeito à capacidade do aluno em usar suas competências matemáticas para se deparar com os desafios do futuro Segundo esse relatório o domínio do letramento matemático diz respeito à capacidade dos alunos para analisar julgar e comunicar ideias efetivamente propondo formulando e resolvendo problemas matemáticos em diversas situações OECDPISA 2000 p 41 Segundo a definição da OECDPISA 2000 letramento matemático é a capacidade de um indivíduo para identificar e entender o papel que a matemática representa no mundo Acrescenta ainda que é importante ao cidadão fazer julgamentos matemáticos de forma fundamentada e empregar a matemática de forma que satisfaça as necessidades gerais do indivíduo e de sua vida futura como um cidadão construtivo preocupado e reflexivo op cit p 42 No mesmo relatório é enfatizada a importância de os alunos resolverem problemas puramente matemáticos e também aqueles problemas nos quais nenhuma estrutura 33 unidade3 matemática está óbvia no início O relatório admite que apesar de não ter avaliado em seus testes atitudes e emoções como autoconfiança curiosidade desejo para fazer ou entender as situações tais características são importantes para que na prática o letramento matemático ocorra Mesmo reconhecendo a importância de habilidades matemáticas para a resolução de problemas e aplicações de técnicas de cálculo itens esses presentes no conceito de letramento matemático da OECDPISA percebemos um certo distanciamento de fatores que conjuguem tais características com uma abordagem voltada às práticas sociais orais e escritas e relacionado à vida cotidiana e a outras esferas da vida social como nos lembra Goulart 2001 Retomamos também Soares 2002 que destaca a importância da alteridade e a interação social referindose a uma condição no letramento que mantêm com os outros e com o mundo que os cerca formas de interação atitudes competências discursivas e cognitivas que lhes conferem um determinado e diferenciado estado ou condição de inserção em uma sociedade letrada p 34 Antes de apresentarmos uma concepção nossa para letramento matemático vamos tecer algumas considerações que nos ajudarão a entender melhor as perspectivas a partir das quais estabelecemos tal concepção Complementando o que já havíamos discutido anteriormente enfatizamos que o conjunto de símbolos matemáticos associados a conceitos matemáticos e que são utilizados na construção de sentenças matemáticas constituem o que podemos chamar de linguagem matemática Essa linguagem que não difere das demais no que diz respeito ao objetivo de tornar compreensível as informações e se fazer comunicar pelas pessoas tornase progressivamente importante durante a vida para que o indivíduo possa estabelecer uma interlocução com o meio em que vive e com o meio que aspira a conhecer tendo como móvel o conhecimento matemático Ressaltamos que o conhecimento matemático não se faz somente pela via da linguagem Outro ponto importante é reconhecermos o vasto repertório de possibilidades que advêm das mais variadas formas de tratar o conhecimento matemático Na escola essa diversidade pode se multiplicar trazendo toda uma gama de possibilidades que vão 34 desde as explicações e demonstrações onde cada novo conceito é discutido expandido e vasculhado até a interseção destes conceitos com a literatura jogos brincadeiras e atividades cotidianas As possibilidades são múltiplas e cada criança e jovem na escola pode fazer suas próprias descobertas matemáticas Acreditamos que o reconhecimento da importância da disciplina escolar matemática não é o suficiente para que ela se torne melhor compreendida Podemos dizer que esse reconhecimento até já existe No entanto o que a escola não pode deixar de reconhecer é que a educação matemática ocorrerá de forma significativa quando associado ao planejamento adequado de conteúdos ocorrer um planejamento adequado de métodos Uma outra questão que julgamos importante é que a abordagem da Matemática tanto como corpo de conhecimento científico ou como conhecimento escolar tem uma grande importância para a sociedade O tratamento dado na escola ao conhecimento matemático como uma disciplina difícil e reservada para poucos influencia negativamente na forma como ela poderia estar auxiliando estudantes e as pessoas em geral na compreensão e interpretação das mais variadas formas de informações veiculadas dentro da sociedade O conhecimento matemático pode se constituir num importante aliado nas lutas sociais e até para a paz mundial como escreveu o educador matemático brasileiro Ubiratan DAmbrosio em seu livro Etnomatemática 2001 Para finalizar esta unidade elaboramos um conceito de letramento matemático que tem o caráter de complementar os conceitos trabalhados anteriormente Assim conceituamos letramento matemático como sendo a condição a partir da qual um indivíduo de forma reflexiva resolve situaçõesproblema de caráter matemático dentro e fora da escola compreende e elabora textos e informações orais e escritas que contêm conceitos e símbolos matemáticos e compreende a inserção desses conceitos matemáticos na dimensão social e política da sociedade Acrescentamos que o nível de letramento matemático que uma pessoa pode atingir é algo que depende das suas experiências pessoais e coletivas do contato com informações nível de escolarização e situações de ensino formais e não formais que cada indivíduo vivencia em seu cotidiano Tal condição não tem um tempo marcado para ocorrer acontece durante toda a vida 35 unidade3 35 Como já havíamos mencionado anteriormente é importante o leitor perceber nas conceituações que trabalhamos no texto as diversas reflexões que nos são provocadas Devemos alertar que não se trata de ficar estabelecendo bases exclusivamente teóricas para discutirmos o conceito de letramento matemático Devemos estar atentos para o fato de que seja em educação matemática ou em qualquer outra área do conhecimento que se relaciona à escola em todas as ações que almejamos implementar essas devem estar apoiadas em sólidas bases teóricas e conceituais para que tais ações possam ocorrer com o máximo de efetividade possível Tanto a prática como a teoria são igualmente importantes para atingirmos nossos objetivos O letramento matemático irá ocorrer se estivermos o tempo todo refletindo sobre a nossa prática a partir de nossas convicções teóricas e ao mesmo tempo trazendo para nossas reflexões a nossa prática de educadores Fazendo interagir as diversas abordagens Neste último item desta unidade gostaríamos de fazer um breve paralelo entre alguns dos conceitos abordados Magda Soares nos lembra que dissociar alfabetização e letramento é um equívoco Lembremos que a autora estabelece que a alfabetização se dá pela aquisição do sistema convencional de escrita e o letramento pelo desenvolvimento de habilidades de uso desse sistema em atividades de leitura e escrita nas práticas sociais que envolvem a língua escrita Os dois processos são interdependentes e indissociáveis a alfabetização desenvolvese no contexto de e por meio de práticas sociais de leitura e de escrita isto é através de atividades de letramento e este por sua vez só se pode desenvolver no contexto da e por meio da aprendizagem das relações fonemagrafema isto é em dependência da alfabetização SOARES 2004 p14 De forma análoga podemos estabelecer que 1 A alfabetização matemática pode ser entendida como aquisição do sistema convencional de símbolos matemáticos constituindo o que chamamos de linguagem matemática 2 O letramento matemático pode ser entendido como o desenvolvimento de habilidades para usar esse sistema simbólico em atividades de compreensão e escrita dos conceitos matemáticos nas práticas sociais que envolvem a linguagem matemática 36 3 Assim como Soares 2004 afirmou a necessidade de uma interação entre alfabetização e letramento podemos dizer que alfabetização matemática e o letramento matemático são processos que devem ocorrer de forma indissociável Ressaltamos ainda que a alfabetização matemática tem sua especificidade o que significa que é importante para os alunos da escola básica compreenderem e saberem fazer uso da linguagem matemática com seus símbolos e sinais assim como é importante o uso dessa linguagem nas práticas sociais Os dois processos são importantes como processos complementares e não faz sentido negligenciar um em detrimento do outro Utilizar os conceitos e a linguagem matemática em diversos contextos do nosso cotidiano é tão importante como conhecer bem o nosso sistema de numeração as operações básicas resolver problemas e aplicar as propriedades aritméticas das operações Finalizamos este tópico ressaltando que as nossas discussões não se fazem apenas por uma conceituação de letramento matemático mas por todas as reflexões que estamos realizando em torno do tema de modo que sejamos levados a pensar sobre o papel da linguagem matemática e dos conceitos matemáticos trabalhados na escola ATIVIDADE 1 Converse com algumas pessoas mais velhas e descubra os conhecimentos matemáticos que tinham valor no passado e que agora são pouco ou nada valorizados ver texto sobre numeralização Você acredita que seria possível dentro de uma perspectiva do letramento matemático resgatar alguns desses conhecimentos Por quê 2 Existem pontos em comum e divergentes nos conceitos de numeramento e numeralização Quais 3 Como a escola pode trabalhar a matemática a partir da perspectiva do letramento matemático Procure fazer uma relação minuciosa de ações que podem ser combinadas desde a formação do professor até dentro da sala de aula para que essa perspectiva associada aos demais conceitos trabalhados nas unidades 37 unidade3 anteriores possam ajudar na educação matemática dentro da escola E aí vai um desafio marque uma reunião com os educadores da sua escola e exponha suas ideias sobre o letramento matemático e o que poderia ser feito para que ele ocorra 39 O CONCEITO DE NÚMERO Objetivo Conceituar número segundo a perspectiva construtivista Problematizando Nesta unidade discutiremos de forma breve a construção do conceito de número com foco na faixa etária de 4 a 6 anos O principal motivo para tal escolha é que o número enquanto construção mental da criança é a base para muitos outros conceitos matemáticos o que o torna fundamental na fase de alfabetização matemática quando a criança aprende e utiliza a leitura e a escrita da linguagem matemática De forma análoga o letramento matemático ocorrerá a partir do conceito de número e dos demais conceitos matemáticos quando a criança inicia a compreensão desses conceitos dentro de seu contexto sócio cultural 1 Em que momento devemos introduzir os símbolos dos números 2 Devemos esperar as crianças manifestarem seu interesse pelo número para mostrarlhes a escrita dos números unidade 4 41 unidade4 O conceito de número O conceito de número Julgamos importante discutir o conceito de número considerando dois aspectos O primeiro porque trata de um assunto que consideramos fundamental para a construção de outros conceitos matemáticos Em segundo lugar porque mesmo sendo um assunto visto na escola desde a educação infantil ainda há pontos a serem discutidos no que diz respeito à sua construção e desenvolvimento conceituais Segundo a professora suíça Constance Kamii o número na perspectiva piagetiana é uma síntese de dois tipos de relação que a criança elabora entre os objetos uma é a ordem e a outra é a inclusão hierárquica A criança que faz uma ordenação correta conta objetos espalhados numa mesa por exemplo de modo que todos os objetos sejam contados sem repetir nenhum deles Não é necessário que a criança ordene os objetos mas que o faça mentalmente Mas somente a ordenação não garante a quantificação É necessário que a criança elabore a inclusão hierárquica ou seja que ela perceba que ao contar de um a sete por exemplo ela inclua mentalmente um em dois dois em três três em quatro e assim sucessivamente Kamii 2006 ressalta que a simples contagem de um a sete não significa que ela compreende o que significa a quantidade sete As palavras repetidas um dois três significa apenas uma sequência de elementos individuais como se ela estivesse dizendo Maria Carlos Pedro Segundo a pesquisadora ao lhe apresentar sete objetos a criança só consegue quantificar o conjunto numericamente se puder colocálos todos numa única relação que sintetize ordem e inclusão hierárquica KAMII 2006 Esquematicamente podemos representar Ao pedirmos a uma criança de aproximadamente quatro anos de idade que mostre os sete elementos de um conjunto ela poderá apontar apenas para último elemento Sete 42 A criança quantifica os objetos a partir do momento em que coloca os números numa relação de inclusão hierárquica Segundo Constance Kamii Piaget explica a obtenção da estrutura hierárquica da inclusão de classes pela mobilidade crescente do pensamento da criança incluindo a reversibilidade cortar o todo em duas partes e recolocar as partes juntas formando um todo Por essa razão é tão importante que as crianças possam colocar todos os tipos de conteúdos objetos eventos e ações dentro de todos os tipos de relações e dessa forma seu pensamento se torna mais móvel e um dos resultados dessa mobilidade é a estrutura lógicomatemática de número Kamii 2006 lembra que os números não podem ser ensinados como se fossem um conhecimento social convencionado pela sociedade Como o Natal por exemplo A celebração do Natal é um conhecimento social arbitrário tanto que uns não comemoram Da mesma forma que é arbitrário chamar uma cadeira de cadeira Certamente que conhecimentos sociais para serem construídos precisam de estruturas lógicomatemáticas mesmo porque alguns conceitos demoram ser compreendidos como o conceito trabalho dignidade educação etc Segundo Kamii As pessoas que acreditam que os conceitos numéricos devem ser ensinados através da transmissão social falham por não fazerem a distinção fundamental entre o conhecimento social e o lógicomatemático No conhecimento lógicomatemático a base fundamental do conhecimento é a própria criança e absolutamente nada é arbitrário neste domínio Por exemplo 23 dá o mesmo resultado em todas as culturas Na verdade toda cultura que construir algum sistema de matemática terminará construindo exatamente a mesma matemática porque este é um sistema de relações no qual absolutamente nada é arbitrário Para citar um outro exemplo da natureza universal e nãoarbitrária do conhecimento lógico matemático podemos dizer que há mais animais do que vacas em todas as culturas KAMII 2006 p25 A autora lembra ainda que as palavras um dois três quatro são exemplos de conhecimento social Nos diversos idiomas existem palavras diferentes que também servem para contar Sete 43 unidade4 No entanto a ideia subjacente de número pertence ao conhecimento lógicomatemático o qual é universal Aspectos pedagógicos Considerando a autonomia como uma finalidade ampla da educação Constance Kamii acredita que a construção do número é o principal objetivo no ensino da aritmética para as crianças de 4 a 6 anos A pesquisadora alerta que é importante que a criança quantifique objetos na escola Essa sugestão baseiase na hipótese de que o pensamento envolvido na tentativa da criança de quantificar objetos deve ajudála a construir o número considerando que ela está num estágio relativamente elevado para fazêlo No mais o desenvolvimento da inteligência se faz pelo uso Dessa forma mesmo se uma criança não sabe usar perfeitamente o dinheiro não significa que o adulto não possa pedir a ela para comprar algo A própria estrutura mental se constrói a partir da quantificação de objetos Kamii 2006 lembra que o objetivo do professor não deve ser o de ficar observando se o aluno vai acertar uma quantificação A atenção do professor deve estar localizada no pensamento que se desenvolve na cabeça da criança quando ela tenta conseguir um número de xícaras suficiente para todos ou dois gomos de laranja para cada um em sua mesa id p38 Pesquisas demonstram também que vários aspectos do pensamento lógicomatemático desenvolvemse juntos Kamii 2006 afirma que os grupos de crianças que conservam o número mais cedo também conservam outras quantidades e fazem inclusão de classe mais cedo id p 39 Portanto as crianças não constroem o número isoladamente à parte do resto de seu conhecimento lógicomatemático Colocando as diversas coisas em relação as crianças constroem o conhecimento lógicomatemático e estabelecem também outros tipos de relação A noção de número tem uma natureza geral e por isso é importante incentivar as crianças a estabelecer todos os tipos de relação entre eventos objetos ações pessoas etc Com relação à representação dos números através dos numerais e das palavras que os representam ou seja seus signos Kamii id acredita que na escola essa representação é muito enfatizada A contagem a leitura e a escrita são importantes mas é muito mais importante que ela construa a estrutura mental de número A pesquisadora afirma que 44 se a criança tiver construído esta estrutura terá maior facilidade em assimilar os signos a ela Se não a construiu toda a contagem leitura e escrita de numerais será feita apenas de memória decorando id p 39 É importante que o ensino dos signos seja feito quando há um real interesse das crianças Quando as crianças contam espontaneamente isso lhes dá alegria e não há motivo para que seja impedida Contudo o professor deve reconhecer a diferença entre contar de memória e contar com significado numérico Este último só pode ocorrer a partir da construção de uma estrutura lógicomatemática na cabeça da criança Kamii id ressalta que mesmo existindo no dia a dia da criança a compreensão dos números só acontecerá quando a partir do seu interior a criança tiver uma estrutura mental para isso Complementa afirmando que é tarefa do professor encorajar o pensamento espontâneo da criança mesmo que saibamos o quanto isso é difícil pois muitos de nós fomos treinados para pedir às crianças as respostas certas Com relação à interação entre crianças é importante a confrontação de duas ideias erradas Se duas crianças têm respostas erradas para uma determinada pergunta a partir do momento em que uma tenta convencer a outra seus raciocínios podem se modificar Para encerrar esta breve discussão sobre o ensino do número apresentamos os seis princípios de ensino estabelecidos por Constance Kamii 1 A criação de todos os tipos de relações encorajar a criança a estar alerta e colocar todos os tipos de objetos eventos e ações em todas as espécies de relações 2 A quantificação de objetos a Encorajar as crianças a pensarem sobre número e quantidades de objetos quando estes sejam significativos para elas b Encorajar a criança a quantificar objetos logicamente e a comparar conjuntos em vez de encorajá las a contar c Encorajar a criança a fazer conjuntos com objetos móveis 3 Interação social com os colegas e os professores a Encorajar a criança a trocar ideias com seus colegas b Imaginar como é que a criança está pensando e intervir de acordo com aquilo que parece estar sucedendo em sua cabeça 45 unidade4 A sequência numérica Complementando a noção de número apresentada anteriormente discutiremos de forma breve alguns apontamentos do pesquisador francês Gérard Vergnaud Segundo ele a noção de número é a noção mais importante da matemática ensinada na escola básica Vergnaud 2009 p 125 destaca que longe de ser uma noção elementar ela se apoia em outras noções tais como a de aplicação de correspondência biunívoca de relação de equivalência de relação de ordem Na criança pequena ele é indissociável da noção de medida Finalmente é a possibilidade de fazer adições que dá à noção de número seu caráter especifico em relação às noções sobre as quais ela se baseia Com relação à contagem que se caracteriza como um dos primeiros processos operatórios com os números Vergnaud 2009 ressalta que a criança pequena aprende os primeiros números muito cedo e normalmente fora da escola Desde dois ou três anos ela sabe pronunciar um e dois sendo que este último significa muitos A sequência numérica falada um dois três quatro etc é progressivamente estendida quando a criança cresce Esta sequência chega a cinco seis ou sete para a maior parte das crianças de 5 anos e podendo chegar a dez e ir além para algumas crianças Quando a criança enuncia essa sequência numérica ela pode estar situada em dois níveis diferentes a No nível da simples recitação do canto como se diz às vezes a criança então se limita a recitar as palavras que ela sabe que devem vir uma após a outra Muitas vezes aliás ocorre de ela se enganar Mas mesmo quando ela se engana e recita a sequência dos n primeiros números não se poderia afirmar que por conta disso ela sabe contar até n como às vezes se diz de forma errônea Na verdade a atividade de contar implica não apenas que a criança recite a sequência numérica mas que ao mesmo tempo faça corresponder esta recitação à exploração de um conjunto de objetos b no nível da contagem propriamente dito a recitação da sequência numérica é então acompanhada de gestos da mão e de movimentos dos olhos que mostram que a criança executa sua atividade de estabelecer uma correspondência entre o conjunto de objetos de um lado e a sequência numérica falada de outro VERGNAUD 2009 p 125 Esta é a primeira forma muito rústica de aplicação numérica que se é possível imaginar 46 Vérgnaud 2009 p 126 representa da seguinte forma Quando a disposição espacial dos objetos fica desalinhada a criança se engana com muita frequência Na ausência de uma ação sistemática ela conta duas vezes o mesmo objeto e esquece que o fez De qualquer forma ela pode contar apenas quantidades pequenas Segundo o autor ao mesmo tempo que desenvolve esta atividade de contagem a criança deve captar outros aspectos do número aqueles que estão ligados às noções de equivalência e ordem as quais não necessariamente implicam o uso da sequência numérica falada Acreditamos que o conceito de número que apresentamos nessa unidade possa servir como uma das peças fundamentais para elaborarmos planos com vistas a uma alfabetização matemática significativa a partir da qual as crianças possam compreender os usos que fazem dos conceitos e do sistema simbólico da matemática Esperamos também que junto com seus professores na perspectiva do letramento matemático crianças e jovens possam construir seu conhecimento matemático com vistas a uma participação efetiva nas atividades sociais compreendendo melhor as coisas do mundo que os cercam O cálculo mental trabalhando com os números Dentre diversas possibilidades de abordagem dos números e operações na escola escolhemos discutir um pouco mais profundamente sobre o cálculo mental por ser este uma forma de cálculo utilizada por todas as pessoas e pela importância de incentivarmos seu uso no meio escolar iniciando inclusive com um trabalho na educação infantil e anos iniciais do Ensino Fundamental Podemos utilizar a expressão cálculo mental para designar o cálculo de cabeça ou de cor sem ajuda externa Na nossa perspectiva acreditamos que este cálculo aceita inclusive Coleção de objetos Sequência numérica falada um dois três quatro 47 unidade4 o uso dos dedos para auxiliar as operações pois os dedos são ferramentas que nos acompanham sempre e podem ser coadjuvantes em importantes estratégias Em pesquisas realizadas por Gonçalves 2008 o uso dos dedos mostrou ser um recurso natural para auxiliar o cálculo mental Este recurso foi utilizado como forma de apoio em contagens ordenações e comparações Segundo o autor a utilização dos dedos é variável em suas formas e os sujeitos que tiveram um bom desempenho em solução de problemas também utilizaram os dedos mostrando que este recurso não pode ser associado ao mal desempenho dos alunos ou a suas dificuldades Afirma ainda que segundo suas observações é fundamental conhecer o funcionamento do sistema decimal para cálculos mais complexos ou seja mesmo na utilização do cálculo mental é necessário conhecer o nosso sistema de numeração e suas regras Segundo Gómez 1995 p 32 o cálculo mental pode substituir o cálculo escrito na maioria das situações cotidianas em que não se requer uma calculadora considerando que cada vez menos existem oportunidades para usar cálculo escrito na vida diária As aulas de matemática na escola são praticamente o único lugar onde se realiza cálculo escrito O autor faz uma citação profética mas muito próxima do real chegará o dia em que será suficiente uma combinação de métodos mentais confiáveis e habilidades para se usar uma calculadora para enfrentar praticamente todos as situações GÓMEZ 1995 p33 Mesmo considerando este argumento importante o pesquisador ressalta que as razões utilitárias não são as principais que constam nos documentos oficiais recentes que incentivam o abandono do cálculo escrito longo ou com números grandes a substituição destes pela calculadora e uma consideração menor para o cálculo tradicional em benefício do cálculo variado aquele que convenha segundo a situação mental estimado aproximado escrito ou misto Assim devese reconhecer que os cálculos longos e complicados normalmente devem ser feitos com calculadora Não obstante a aritmética mental ser uma valiosa destreza o conhecimento de tabuadas com as operações básicas é essencial O cálculo mental tornase importante devido ao papel que pode desempenhar quando é contemplado na sala de aula como cálculo pensado inteligente lúdico e não somente como um conjunto de regras que simplesmente fomentam um grupo de habilidades As propostas didáticas mais antigas são baseadas na rapidez exercitação da memória e 48 desenvolvimento da agilidade da mente Para o pesquisador a escola hoje pede um ensino de exploração e reflexão e não um ensino mecânico Ao invés de padronização devem ser estimuladas autonomia e flexibilidade Em vez de cálculo em solidão e silêncio onde o professor só vê se a resposta está correta hoje se pede verbalização explicitação diálogo olhar para os erros e aprender com eles A aprendizagem do cálculo mental supõe a reflexão e verbalização de diversas estratégias usadas em uma determinada operação O professor na escola deve tirar proveito de erros avaliar e reorientar o processo escolhido GÓMEZ 1995 p 34 O autor acrescenta que mostrar mais de uma regra que pode ser aplicada em uma situação é fundamentalmente algo promovido por meio do diálogo e da explicitação das diversas estratégias usadas na solução dos problemas que possuem um enunciado O cálculo mental é valioso em muitos aspectos para a educação matemática de crianças e jovens Vamos ressaltar alguns desses aspectos GÓMEZ 1995 p 34 a O cálculo mental pode contribuir para a compreensão e sentido do número ao se considerar a forma como é constituído de comandos e fatores do valor de posição e das ordens de unidade dos modos equivalentes derivados da estrutura decimal e dos contextos culturais dúzias moedas nacionais Também pode contribuir para um sentimento de domínio dos números grandes vendoos globalmente e não como números isolados em relação a outros números e dentro de regras recorrentes do sistema de numeração b O cálculo mental tem um domínio interessante para contrastar as concepções dos estudantes com os procedimentos de cálculo e seu envolvimento com a matemática uma vez que faz emergir processos cognitivos que de outra maneira no cálculo com algoritmos padronizados permanecem escondidos c O cálculo mental contribui para enriquecer e flexibilizar a experiência e compreensão algorítmica ao trabalhar com regras históricoculturais vinculadas a propriedades estruturais fundamentais associatividade e distributividade as quais ao fazêlas funcionar adquirem um sentido que vai mais além do que o mero conhecimento de sua existência abstrata Também pode estimular a procura de soluções por caminhos alternativos a investigação de formas abreviadas de cálculo e o prestar atenção a todos os passos do procedimento que se diversificam e se estendem 49 unidade4 d O cálculo mental influencia no desenvolvimento de capacidades cognitivas uma vez que favorece a versatilidade e a independência de procedimentos a reflexão para decidir e escolher a auto eficácia a confiança em si mesmo a confiança e intuição no cálculo aritmético e o interesse na concentração e O cálculo mental pode estimular a análise de situações numéricas bem como ser objeto de estudo em si mesmo em um enfoque de aritmética generalizada estimular a generalização dos processos descobertos já que além de capacitar para relacionar comparar selecionar ou dar prioridade a alguns dados ou a algumas relações numéricas frente a outras na hora de operar se postula também que leva a aprofundar os conhecimentos matemáticos intuitivos que antecipam a formalização resultando em fator importante na transição do idioma da aritmética para a álgebra e viceversa f O cálculo mental pode dar uma visão participativa da matemática pode ser lúdico já que sua componente divertida e desafiadora dá lugar a uma grande diversidade de jogos na matemática recreativa pode ser revitalizador do cálculo posto que não há rotina e por último pode ser motivacional e fazer adeptos considerando que é uma arte que requer habilidade e prazer pessoal Grande defensor do cálculo mental Anthony Ralston professor do Imperial College de Londres enfatiza a importância de percebermos os benefícios para os alunos ao aprenderem a efetuar mais aritmética mental do que aquilo que é comum atualmente nas escolas O autor ressalta a importância de um lugar de destaque para o cálculo mental no currículo pois a aritmética mental não é apenas uma passagem para os algoritmos tradicionais de cálculo bem pelo contrário é uma parte independente do currículo por direito próprio Segundo Ralston 2000 p 37 há vantagens significativas em aprender a efetuar aritmética mental com muitos dígitos para além da eficiência de calcular A maioria das crianças poderá achála difícil mas se lograrem sucesso poderão melhorar o sentido numérico e aprender a organizar mentalmente um processo de raciocínio não trivial pensar com a cabeça em vez de só pensar na cabeça que deveria ter o benefício paralelo de aumentar a duração do tempo de atenção 50 Anthony Ralston propõe para os primeiros oito anos de escolaridade o seguinte 1 Ênfase na aritmética mental a partir do momento em que é introduzida pela primeira vez uma ideia aritmética para além da contagem por si só uma atividade mental claro Isso significa que à medida que é apresentada uma operação aritmética é de se esperar que as crianças façam cálculos mentais com essa operação em muitas variadas e substanciais experiências com números a partir do préescolar 2 Permitir a calculadora a partir do préescolar assim como encorajar a sua utilização É óbvio que a parte do currículo relativa à aritmética mental deve ser avaliada num ambiente sem calculadora tal como a aplicação da aritmética mental na resolução de problemas A finalidade da utilização da calculadora não deve ser o valor negativo de evitar a aritmética de papel e lápis mas o valor significativo de fornecer exercícios e problemas que desenvolvam o sentido numérico e a compreensão da aritmética 3 Os materiais manipuláveis e outros modelos aritméticos por exemplo o modelo da área para a multiplicação devem continuar a desempenhar um papel importante Da mesma forma os professores podem usar os algoritmos escritos para ilustrar as operações aritméticas quando for útil e conveniente 4 É de se esperar que as crianças trabalhem e pensem muito em toda a sua instrução matemática Apesar de serem necessários muitos exercícios para criar boas calculadoras mentais o esforço envolvido é menor do que o habitual hoje em dia nos exercícios escritos rotineiros 5 Uma das principais vantagens de diminuir com a aritmética de papel e lápis e substituí la por um currículo aritmética mentalcalculadora é para Ralston o tempo adicional que se disponibilizaria para estudar outra matemática no ensino elementar 6 Uma crítica à extinção do cálculo escrito é feita porque el fornece aos alunos uma introdução inicial à abstração Mas também a aritmética mental o faz Segundo Ralston a abstração é uma das ideias mais importantes em matemática e de modo algum fora do alcance dos alunos do ensino elementar A partir dessas reflexões sobre o cálculo mental esperamos que o professor se sensibilize 51 unidade4 para o desenvolvimento de atividades que estimulem seu uso Na verdade não são necessárias atividades de alta complexidade O professor pode utilizar o cálculo mental nos diálogos e ações mais corriqueiros na sala de aula O importante é levar o aluno a desenvolver processos próprios de operações matemáticas além de proporcionar situações de interação entre ele e os colegas ATIVIDADE 1 Leia o fragmento de uma entrevista relatada por Seber 1997 A aluna Ligia de 7 anos e 2 meses diz Se eu tenho 5 reais porque às vezes a minha mãe me dá 5 reais eu sei que dá pra comprar cinco pães de queijo Cada pão de queijo custa 1 real Eu como um pão de queijo todo dia Se eu tenho 5 reais daí voltam 4 reais porque eu só compro um pão de queijo e então sobra dinheiro pra comprar mais quatro O homem da cantina precisa dar o trocado certo Eu fico vendo se tá certo se sobra dinheiro pra comprar mais pão de queijo Eu não gosto de comprar coisa cara Outro dia eu fui com a minha mãe numa lojaTinha uma boneca linda só que muito cara Falei pra minha mãe Mãe Essa boneca custa 60 pães de queijo Nossa é muito cara Querendo investigar um pouco mais a entrevistadora pergunta Quanto custava a boneca Lígia Custava 60 reais Com esse dinheiro eu posso comprar 60 pães de queijo É muito é um monte Dá pra comer bastante A partir das discussões sobre conceito de número como você analisa o fragmento destacado acima considerando a compreensão de Lígia sobre as quantidades envolvidas 2 Elabore algumas atividades simples que possam ser realizadas junto a crianças na faixa de 4 a 6 anos para poderem desenvolver a ideia inicial de número a partir da ordenação e da inclusão hierárquica e considerando também a importância de se estabelecerem diversos tipos de relações 3 Converse com educadores de séries iniciais que você conheça e procure saber como é realizada a abordagem inicial do conceito de número Identifique possíveis falhas e também ações relevantes desses educadores Promova uma 52 discussão com seus colegas sobre o assunto Envolva questões relativas ao uso do cálculo mental na sala de aula 4 Por que na frase ensino do número usada na última parte dessa unidade utilizamos aspas 5 Elabore uma atividade que utiliza somente cálculo mental Num primeiro momento planeje ações com adiçãosubtração e num segundo momento com multiplicaçãodivisão Aplique a atividade com seus alunos e avalie se for significativa 53 Pra final de conversa Um ponto que abordamos durante o texto no qual reconhecemos ser necessário um maior aprofundamento trata da oralidade na educação matemática A pouca fala possibilitada pela linguagem matemática inibe e coloca as pessoas em posição de defesa Como a fala é muito utilizada no dia a dia há de se pretender falar algo de matemática o que se torna muito difícil em certas ocasiões Lembramos aqui de forma muito breve uma passagem do livro Letramento e Alfabetização de Leda Tfouni 2004 que nos diz que devese aceitar que tanto pode haver características orais no discurso escrito quanto traços de escrita no discurso oral TFOUNI 2004 p42 Muitas questões precisam ser aprofundadas e outras tantas serem abordadas na constituição de significados e conceitos que possam estabelecer novas metas na educação matemática com vistas a um letramento matemático Estamos certos de que o mais importante não é se vamos usar o termo letramento matemático ou outro qualquer O mais importante é que possamos refletir sobre as diversas questões sobre letramento atemático e educação matemática suscitadas neste texto e outras tantas que certamente aparecem quando estamos desempenhando nossa tarefa de educador ou educadora A partir dessas discussões ações mais eficazes no ensino da matemática podem acontecer Para finalizar ressaltamos a importância de os educadores estarem sempre discutindo com seus pares sobre questões teóricopráticas e sempre que possível manterem se atualizados através de leituras e participação em eventos no campo da educação matemática O autor 54 SUGESTÕES DE LEITURA ALENCAR E S Novas contribuições da psicologia aos processos de ensino e aprendizagem São Paulo Cortez 2001 BRITO M R F org Solução de problemas e a matemática escolar Campinas Alínea 2006 BRIZUELA B M Desenvolvimento matemático na criança explorando notações Porto Alegre Artmed 2006 CERQUETTIABERKANE FBERDONNEAU C O ensino da matemática na educação infantil Porto Alegre Artmed 2001 CARRAHER T et al Na vida dez na escola zero São Paulo Cortez 1995 org Aprender pensando contribuições da psicologia cognitiva para a educação Petrópolis Vozes 2001 CENTURION M Números e operações São Paulo Scipione 1995 DA ROCHA FALCAO J T Psicologia da educação matemática Belo Horizonte Autêntica 2003 KAMII C JOSEPH L L Crianças pequenas continuam reinventando a aritmética séries inicias implicações da teoria de Piaget Porto Alegre Artmed 2005 KISHIMOTO T M Jogo brinquedo brincadeira e a educação São Paulo Cortez 1997 MACHADO S L A org Aprendizagem em matemática registros de representação semiótica Campinas Papirus 2003 MAGINA S et al Repensando adição e subtração contribuições da teoria dos campos conceituais São Paulo Proem 2001 55 MOYÉS L Aplicações de Vigotski à educação matemática Campinas Papirus 2004 NUNES T et al Educação matemática números e operações numéricas São Paulo Cortez 2005 PARRA C SAIZ I orgs Didática da matemática reflexões psicopedagógicas Porto Alegre Artmed 2001 SCHLIEMANN A A compreensão de conceitos aritméticos ensino e pesquisa Campinas Papirus 1998 PANIZZA M org Ensinar matemática na educação infantil e nas séries iniciais Porto Alegre Artmed 2006 RIZZO G Jogos inteligentes a construção do raciocínio na escola natural Rio de Janeiro Bertrand Brasil 2001 VILA A CALLEJO M L Matemática para aprende a pensar o papel das crenças na resolução de problemas Porto Alegre Artmed 2006 Revistas na área de Educação Matemática Zetetiké UNICAMP Campinas Bolema UNESP Rio Claro Educação Matemática em Revista Sociedade Brasileira de Educação Matemática 56 REFERÊNCIAS DAMBROSIO U Etnomatemática São Paulo Ática p 1519 1990 O elo entre as tradições e a modernidade In Etnomatemática Belo Horizonte Autêntica 2001 p 8388 DANYLUK O Alfabetização matemática as primeiras manifestações da escrita infantil Porto Alegre Sulina 1998 GÓMEZ A B Tipologia de los errores en el cálculo mental un estudio en el contexto educativo Enseñanza de las ciencias Madrid v 13 n 3 p 313325 1995 GONÇALVES H A Educação matemática e cálculo mental uma análise de invariantes operatórios a partir da teoria dos campos conceituais de Gérard Vergnaud 2008 n 345 Tese Doutorado em Educação Universidade Federal Fluminense Niterói 2008 GOULART C Letramento e polifonia um estudo de aspectos discursivos do processo de alfabetização Revista Brasileira de Educação Rio de Janeiro n 18 p 62 setdez 2001 HOLANDA A B Dicionário Aurélio da língua portuguesa São Paulo Positivo Livros 2008 KAMII C A criança e o número Campinas Papirus 2006 KLEIMAN AB et al Os significados do letramento Campinas Mercado de Letras 1995 MACHADO N J Matemática e língua materna análise de uma impregnação mútua São Paulo Cortez 2001 MOYSÉS S A Alfabetização estratégia do código ou confronto da história Educação e Sociedade São Paulo v 22 p 8492 setdez 1985 NUNES T BRYANT P Crianças fazendo matemática Porto Alegre Artmed 1997 57 OECD Sample tasks from Pisa 2000 assesment Reading mathematical and scientific literacy Paris França OECD Print 2002 RALSTON A Fim à aritmética de papel e lápis Educação e Matemática Lisboa n 59 p 3641 2000 ROJO R et al Alfabetização e letramento Campinas Mercado de Letras 1998 SEBER M G Piaget o diálogo com a criança e o desenvolvimento do raciocínio São Paulo Scipione 1997 SCHLIEMANN A L Da matemática da vida diária à matemática da escola In Carraher D A compreensão de conceitos aritméticos ensino e pesquisa Campinas Papirus 1998 p 1138 SKOVSMOSE O Educação matemática crítica a questão da democracia Campinas Papirus 2004 SMOLE K C S A matemática na educação infantil a teoria das inteligências múltiplas na prática escolar Porto Alegre Artes Médicas 2000 SOARES M Novas práticas de leitura e escrita letramento na cibercultura Educação e Sociedade Campinas v 23 n 81 p 86 dez 2002 SOARES M Letramento e alfabetização as muitas facetas Revista Brasileira de Educação São Paulo Pontifícia Universidade Católica de São Paulo n 25 p 517 2004 STUBBS M A língua na educação In STUBBS M et al Língua materna letramento variação e ensino São Paulo Parábola 2002 p 77 TOLEDO M E R O Numeramento e escolarização o papel da escola no enfrentamento das demandas matemáticas cotidianas In Letramento no Brasil habilidades matemáticas São Paulo Global 2004 p 59 TFOUNI L V Letramento e alfabetização São Paulo Cortez 2004 58 VERGNAUD G A teoria dos campos conceituais In BRUN J Didáctica da matemática Lisboa Instituto Piaget 1996 cap3 p 155191 VERGNAUD G A criança a matemática e a realidade problemas do ensino da matemática na escola elementar Curitiba Ed da UFPR 2009