Cultura Aritmética e Modelos Matemáticos: A Interação entre Cultura e Mente

Dados de Catalogação na Publicação CIP Internacional Câmara Brasileira do Livro SP Brasil Schliemann Analúcia Dias S37n Na vida de5 na escola zero 1 Analúcia Dias Schliemann David William Carraher Terezinha Nunes Carraher 10 ed São Paulo Corte5 1995 Bibliografia ISBN 8524901 128 1 Matiiiática Aspcctos psicológicos 2 Matemática E S L I O e ensino I Ceiiilicr Dnid Yilliiini 11 Carraher Terezidia Ntines 111 Tittilo índices para catálogo sistemático 1 Aprendizagem em matemática Psicologia educacional 370156 2 MatemSitica Aspectos psicológicos Educação 370156 3 Matemática Ensino 5107 TEREZJNHA CARRAHER ANAUJCIA SCHLIEMANN DAVID CARRAHER I edição Capítulo 8 Cultura aritmética e modelos matemáticos A cultura e a mente humana interagem de formas fasci nantes A cultura é produto entre outras coisas da mente humana Por outro lado a cultura direciona o desenvolvimen to da mente de diversas maneiras aprendemos a língua falada por aqueles que nos cercam organizamos nossas operações com números de Forma consistente com o sistema de nume ração usado em nossa cultura classificamos objetos pessoas e acontecimentos de acordo com as categorias significativas em nossa sociedade Nenhuma dessas direções seguida por nosso pensamento precisa ser concebida como a única da qual somos capazes se tivéssemos nascido em outro lugar apren deríamos outra língua usaríamos outro sistema de numera ção e classificaríamos objetos pessoas e acontecimentos de acordo com outros conceitos No entanto crescemos usando esses instrumentos culturais língua sistema de numera ção e somos cercados por pessoas que também os utili zam Nossa tendência termina por considerálos como naturais e não culturais como a maneira correta de organizar siste mas de numeração e sistemas conceituais A passagem de correto para superior é um passo muito pequeno e que acon tece com muito pouco esforço frequentemente agimos como se nossas Formas de adaptação cultural fossem superiores a outras Quando a escola transmite maneiras particulares de 1 kalar calcular e categorizar e especialmente quando a es I I cola adota a nossa maneira ficamos ainda mais convictos da perfeição de nossos instrumentos culturais e da inferiori I 1 dade de outros modos de adaptação as tarefas de representa i ção comunicação e raciocínio Os universais dessas funções sHo obscurecidos pelas diferenças Frequentemente termina mos por chegar a infeliz conclusão de que as pessoas que usam os recursos intelectuais privilegiados pela escola são elas próprias privilegiadas intelectualmente os outros são por extensão do mesmo raciocínio inferiores Discutimos nesse trabalho os universais e as peculiarida des na adaptação a mesma cultura de pessoas engajadas em di versas formas de interação numa sociedade complexa indus trializada e repleta de oportunidades para a obtenção de ex periências com números Um dos grupos tem pais instruídos e teve o privilégio de viver cercado na escola e em casa dos modos escolares de falar e pensar São pessoas que aprendem a matemática escolar desde cedo antes que tenham tido ne cessidade de utilizála fora da sala de aula O outro grupo vem de camadas pobres da população em que o lazer necessário a freqüência a escola não esteve disponível a seus pais nem a eles próprios na infância um grupo que provavelmente teve necessidade de utilizar a matemática na vida antes de têla aprendido na sala de aula Quando as crianças pobres come çam a frequentar a escola em geral entre sete e nove anos a qualidade do ensino que Ihes é oferecido e as necessidades de suas vidas são tais que elas provavelmente aprendem mais cedo e mais matemática fora do que dentro da escola Esses dois grupos de pessoas utilizando os mesmos universais da mente humana parecem abordar os problemas de matemática de formas bastante distintas As diferenças são superficiais ou profundas Residem ris nível dos calculos ou encontramse nos modelos matemáticos usados na concepção dos proble mas Há vantagens de uma abordagem sobre a outra Os mo delos ou conceitos usados têm o mesmo poder e a mesma eficiência I A análise conceitos i A questão das diferenças e semelhanças entre conceitos i 1 aprendidos dentro e fora da escola vem interessando psicólo i1 gos por muito tempo nas mais diversas condições de compa ração vcr Bruner 1966 Luria 1976 Scribner e Cole 1973 The Quartely Newsletter of the Laboratory of Comparative Human Cognition 1983 A fim de analisar as semelhanças e diferenças entre conceitos porém precisamos adotar uma abordagem específica ao estudo de conceitos No entanto os modelos teóricos usados nessas análises têmse mostrado insa tisfatórios por não permitirem comparações mais sutis entre os conceitos resultantes da aprendizagem dentro e fora da es cola Frequentemente as teorias apóiamse mais sobre pres supostos a respeito da forma de aprendizagem na educação formal e informal predizendo a partir dessas diferentes for mas de aprendizagem a formação de conceitos diferentes No entanto as análises hoje existentes sobre as formas de apren dizagem não confimam nem as expectativas sobre como pro cede a aprendizagem nem oferecem suporte teórico 5s predi ções sobre a relação entre formas específicas de instrução e seus resultados Por exemplo Greenfield Lave 1982 sugeri ram que a aprendizagem em situações práticas é obtida por observação havendo poucas verbalizações enquanto a apren dizagem escolar seria predominantemente verbal Temse pro posto ver Scribner Cole 1973 que é exatamente o caráter verbal da aprendizagem escolar que favorece a abstração e a generalização No entanto esse pressuposto sobre a ausên cia de verbalização nas situações cotidianas não foi confir mado por exemplo nos estudos de atividades na feira Ao fazer os cálculos do valor da compra e demonstrar que a quan tidade de troco dado é correta os feirantes o fazem oralmente explicitando os passos de seu raciocinio como parte da ética da relação vendedorfreguês Além disso as próprias explica ções sobre que tipo de conceito resulta de que processo de aprendizagem são frequentemente feitas não a partir de aná lises teóricas consistentes mas constituem explicações geradas após a obtenção de resultados específicos um tipo de ex plicação que denominamos post hoc por ser criada após a observação o que dificulta nossa possibilidade de avaliar se a teoria usada na explicação teria realmente conduzido àquelas previsões para uma revisão recente desta literatura ver Dasen 1987 Vergnaud 1985 propôs recentemente uma nova abordagem ao estudo de conceitos que temos utilizado nessas comparações entre os conceitos cotidianos e os escolares Os conceitos segundo Vergnaud envolvem um conjunto de situações que têm seu significado um conjunto de invariantes que pode ser visto como as propriedades distintivas do conceito e um conjunto de símbolos utilizados na representação do conceito Esses três aspectos dos conceitos não são independentes mas interligados No entanto sua separação para o estudo e comparação de conceitos é extremamente útil O conjunto de situações usadas na escola para a aprendizagem dos conceitos pode ser restrito ou amplo dependendo da prática pedagógica efetiva de cada professor No entanto essas situações estão sempre distanciadas das práticas diárias Não resolvemos um problema sobre dinheiro na escola usando dinheiro Não resolvemos um problema de cortar um pedaço de arame em partes iguais medindo e cortando Não resolvemos um problema de bolinhas de gude entre crianças distribuindo bolinhas de gude Além disso os estudantes via de regra não têm um interesse particular na solução do problema e frequentemente não tentam nem mesmo avaliar se a solução que encontraram foi razoável Seu objetivo na escola é utilizar alguma fórmula ou operação que o professor ensinou aplicada o procedimento encontrado o número o problema está resolvido Em contraste os modelos matemáticos na vida diária são instrumentos para entregar soluções de problemas onde o significado desempenha um papel fundamental Os resultados não são simplesmente números são indicações de decisões a serem tomadas quanto dar de troco que cumprimento de parede construir etc Um resultado extraordinário por isso precisamos saber avaliar a solução encontrada Numa venda ninguém dará de troco mais do que o de receita numa subtração feita na escola em contraste não é incomum encontrar estudantes que admitem como resto um número maior do que o minuendo Tradicionalmente as teorias psicológicas preocupamse apenas com os invariantes um conceito é concebido como o mesmo e se envolve os mesmos invariantes Por exemplo falamos em conservação de número conservação de comprimento conservação de área etc como sendo todos exemplos do mesmo conceito o conceito de conservação aplicado a conteúdos diferentes Ao utilizarmos essa abordagem partíamos ao estudo de conceitos pressupomos que a criança que demonstra a capacidade de compreender a conservação de número que é geralmente a primeira aplicação da conservação observada ao longo do desenvolvimento já é capaz de compreender que duas quadrilhas continuam iguais quando mudamos apenas sua disposição espacial A teoria piagetiana tem desta forma dificuldades em explicar a chamada mudança horizontal por que não se observa todas as aplicações do conceito de conservação simultaneamente uma vez que a capacidade de compreender que as quantidades independem da disposição de suas partes não é exposta e está presente na criança que conserva o número Ao concentrarse unicamente na matéria lógicamatemática que aqui estamos denominando invariantes a teoria piagetiana tem dificuldades em explicar as diferenças de desenvolvimento entre situações diversas em que esses invariantes podem ser compreendidos Podemos com na posição piagetiana tratar os invariantes como demonstrando a capacidade básica do sujeito de raciocinar de forma coerente com uma estrutura lógicomatemática o que nos permite discutir as semelhanças e diferenças entre a competência matemática desenvolvida dentro e fora da escola No entanto isso não significa tratar todos os usos de uma estrutura como definindo um mesmo conceito às significados e simbolizações diferentes ligados a um só tipo de invariantes correspondem diferentes modos de analisar a ação durante a resolução de problemas os quais indubitavelmente têm sua organização conceitual dos sujeitos Em síntese embora os invariantes possuam sua universalidade os conceitos definidos pelos mesmos invariantes não são idênticos porque as diferenças culturais que operam na criação de situações de representação resultam em diferentes organizações conceituais um modelo matemático mais complexo utilizado no trabalho Em seu trabalho os mestres devem realizar cálculos utilizando do seu compreensão do desenho na escola a qual é um instru aprendizado em sua experiência escolar anterior Os detalhes desses estudos apareceram nos capítulos precedentes neste capítulo buscamos apenas uma visão geral dos resultados considerando as diferenças e semelhanças entre a matemática da vida e a matemática da escola A finalidade dessa análise é a busca de uma conclusão mais geral para as relações entre matemática na vida e matemática na escola Observase que a criança decompôs o problema em passos que parecem ser 1 200 é igual a 100 100 2 como 100 30 70 3 30 é 35 5 então 100 35 65 5 e somando os outros 100 havia sido deixados de lado para usar a terminologia das próprias crianças 200 35 é 165 O algoritmo escolar de empréstimo utilizaria os seguintes passos 1 200 é igual a 190 10 2 10 5 é 5 3 9 do 190 3 do 35 é 4 1 0 é 1 5 leiase o resultado como 165 Cinquenta com 50 100 com 100 quatro carros 40 Oito carros dá 40 Dois carros dá 400 Doze carros 600 Usando ou não os mesmos agrupamentos que utilizamos ao calcular pelo algoritmo escolar da multiplicação A divisão por meio de agrupamentos repetidos também é baseada na distributividade e depende do conhecimento da tabuada de multiplicar do mesmo modo que o algoritmo escolar O conhecimento de modelos matemáticos mais complexos O conhecimento de escalas O teste de hipóteses é uma estratégia que revela o que denominamos conhecimento da arte em contraste como o conhecimento da matemática revelado pela estratégia de descoberta da relação O conhecimento da arte inclui além da utilização de estratégias de solução de problemas de matemática nas situações cotidianas o conhecimento das escalas que são usadas de sua denominação e de vários pares numéricos gerados pela relação dentro das escalas Ao trabalhar por teste de hipóteses o mestredeobras utiliza todos esses conhecimentos No entanto o método de resolução de problemas que ele utiliza não é generalizável Apenas as escalas conhecidas são utilizadas A limitação do método porém não está na sua concepção matemática nos invariantes mas na ausência de descontextualização da noção de escalas Ao invés de buscar qualquer relação entre pares de números os sujeitos que trabalham por teste de hipóteses buscam as relações que eles já conhecem Este tipo de desenvolvimento tem levado pesquisadores a considerar as habilidades desenvolvidas na vida diária como concretas primitivas de nível inferior ver Berry e Irvine 1986 para uma discussão atual desta questão No entanto apesar de apontarmos as limitações do método de teste de hipóteses não consideramos esses adjetivos como apropriados A estratégia consiste em tratar como razões pelas quais valores habituais sim mas uma relação entre pares de valores nada em de concreto BIBLIOGRAFIA BERRY J IRVINE S Bricolage savages do it daily In STERNBERG R WAGNER R Orgs Practical Intelligence Cambridge Cambridge University Press 1986 BRUNER J Toward a theory of instruction Cambridge MA Harvard University Press 1966 CARRAHER TN From drawings to buildings mathematical scales at work International Journal of Behavioral Development 1987 nº 9 p 52744 ABYANT P BRYANT PE Addition and subtraction as everyday and mathematical concepts Trabalho apresentado na ISSBD China Satellite Conference Pequim julho de 1987 CARRAHER DW SCHLIEMANN AD Mathematics in the streets and in schools British Journal of Developmental Psychology nº 3 1985 p 219 Written and oral mathematics Journal for Research in Mathematics Education vol 18 nº 2 1987 p 8397 COLE M GRIFFIN P Cultural amplifiers reconsidered In OLSON D Org The social foundations of language and thought Nova Iorque Norton 1980 p 34364 DASEN P Savoirs quotidiens et éducation informelle Document de travail DSPF nº 22 Universidade de Genebra 1987 GOODY J Literacy in traditional societies Cambridge Cambridge University Press 1968 GREENFIELD P LAVE J Cognitive aspects of informal education In WAGNER E STEVENSON H Orgs Cultural perspectives on child education São Francisco WH Freeman Co 1982 LABORATORY OF Comparative Human Cognition Culture and cognitive development In KESSEN W Org Mussers handbook of child psychology Vol 1 History theory and method 4a ed Nova Iorque Wiley 1983 p 295356 LURIA A Cognitive development Cambridge MA Harvard University Press 1976 RESNICK L Syntax and semantics in learning to subtract In CARPENTER T MOSEER J ROMBERG T Orgs Addition and subtraction a cognitive perspective Hillsdale NJ Erlbaum 1982 SEMADENI M Org Minnesota symposium on child development vol 19 Hillsdale NJ Erlbaum 1986 SCRIBNER S COLE M Cognitive consequences of formal and informal education Science nº 182 1973 p 55359 Conclusões As questões que nos ocuparam nestes estudos são problemas vivos ainda não resolvidos nós consideramos que algumas coisas nós aprendemos No capítulo 2 aprendemos que as mesmas crianças que cometem erros absurdos na escola sabem muito bem a matemática de que precisam para sobreviver Aprendemos com isso que não é possível culpar as crianças de seus fracassos na escola a escola precisa descobrir o conhecimento dessas crianças e expandilo Talvez sua política tenha sido até hoje de a reprimílo No capítulo 3 aprendemos que a matemática oral não é caótica ela é organizada em heurísticas flexíveis que se ajustam aos problemas mas que têm uma descrição geral e uma relação codificada com as operações aritméticas No ensino de fórmulas por melhor que sejam alguns problemas da vida diária não ficam claros mas a maneira não quer saber simplesmente o que podemos fazer mas quer saber quais são as suas regras subjacentes isso mostra Nos três capítulos subsequentes exploraremos a organização de suas ações enquanto revelamos como isso pode ser simples mas construído pelos sujeitos mais complexos podem ser muito mais elaboradas Assim um desdobramento do que parece em ocasiões no aspecto do jogo de IBM como apenas com apostas relativas a números mas muitos deles podem desenvolver uma compreensão de que as tabelas que usam para calcular o preço das apostas lhes permitem saber o número de combinações de quaisquer elementos ainda que esses elementos nada tenham a ver com o jogo Os mestresdeobras lidam com poucas escalas mas uma grande porcentagem deles desenvolve uma compreensão que lhes permite resolver problemas com escalas que não são usadas em seu trabalho Os feirantes precisam de poucas regras subtrativas para realizar seu trabalho mas podem desenvolver uma concepção algébrica das equivalências entre os pesos nos dois pratos das balanças que lhes permite compreender situações que envolvem incógnitas dos lados do sinal de igual as quais ainda encontram em sua prática na feira De um modo geral aprendemos também que a escolaridade pouco afeta o desempenho desses trabalhadores em seu trabalho Apenas quando decidimos investigar a questão da transferência das habilidades desenvolvidas no trabalho para outros contextos é que em alguns casos a escolarização mostrou efeitos positivos Desejamos agora refletir sobre as implicações mais amplas desses resultados A inteligência na vida cotidiana Implicações para a psicologia Durante muitos anos o estudo da inteligência foi dominado pelos testes de QI Segundo Sternberg 1986 essa situação teve consequências inesperadas e indesejáveis Primeiro a concentração de esforços no desenvolvimento de testes de inteligência desviou a atenção dos estudiosos de um problema mais central que era a própria concepção teórica de inteligência Os testes eram desenvolvidos para predizer o desempenho em certas situações seja de modo especial o desempenho acadêmico sem uma teoria mais sólida sobre a natureza da inteligência Segundo os criadores e usuários de testes de inteligência tornaramse avessos a incluir o número Tanto por razões metodológicas quanto por uma relação com suas práticas anteriores houve uma hesitação em estabelecer uma ligação clara entre o desempenho acadêmico e a inteligência prática seu argumento de que tarefas acadêmicas são criadas e apresentadas aos sujeitos por outras pessoas tendo frequentemente te baixo valor intrínseco Além disso elas estão isoladas como tarefas para o indivíduo e contêm todas as informações necessárias sem conter informações adicionais Em contraste na vida cotidiana os sujeitos devem definir eles próprios os problemas a serem solucionados buscar as informações necessárias e desconsiderar outras informações disponíveis porém irrelevantes tomando decisões de vários tipos inclusive de não fazer nada e passar a tarefa a outros Scribner e seus colaboradores mostraram que uma boa solução acadêmica para um problema prático não seja a melhor solução prática para aquele problema Scribner 1986 observou a atitude de contadores controladores de indústrias e marcadores de laticínios em uma usina de leite e mostrou que o cálculo pelas vias tradicionais acadêmicas era menos eficiente e poderia gerar mais erros do que os procedimentos usados por seus trabalhados experientes Essa crítica às abordagens correntes ao estudo da inteligência não é apenas um comentário teórico sem repercussões para a prática psicológica Ela deve sem dúvida acautelarnos para a utilização dos modelos correntes em psicologia para a mensuração da inteligência As consequências da rotação de uma criança com números referentes a seu QI ou com níveis de desenvolvimento são sérias demais para que continuemos usando esses procedimentos na prática sem a necessária consideração de seu contexto De modo especial essa prática é de valor duvidoso na escola onde não podemos responder às mais elementares questões sobre um aluno mesmo após terem um QI do 90 Está na segunda série Vai aprender o que e que ensinamos Ou Paulinho está na primeira série e ainda não resolve adequadamente as provas referentes ao início do período operativo concreto Portanto ainda que pareça ao psicólogo nãopesquisador que as questões que discutimos são acadêmicas mas não interessados na prática essa análise deve levarnos todos a uma reflexão profunda sobre o papel da psicologia na escola De fato a análise dos procedimentos orais que fizemos no capítulo anterior mostramnos que as crianças que faziam a matemática oralmente usavam as mesmas propriedades das operações aritméticas das quais dependem os algoritmos Se desejamos concluir algo sobre suas habilidades seremos forçados a reconhecer que elas têm as habilidades necessárias para a compreensão dos algoritmos No entanto elas não aprenderam os algoritmos Por quê Tomemos o algoritmo da divisão como exemplo pois as crianças tiveram 50 de respostas corretas quando resolvemos as divisões oralmente em contraste com 4 quando a resolução foi feita por escrito Examinemos um exemplo de uma criança que resolveu todos os problemas corretamente e que quando tentava a solução escrita e não a encontrava recorria à matemática oral Ao dividir 100 por 4 no papel 100 bolinhas de gude para 4 crianças ela montou a conta como a professora havia ensinado e disse Um dividido por quatro não dá pega o zero Zero dividido por quatro não dá abaixa o zero e em algum momento um zero quociente Pego a zero o segundo zero do 100 Zero como assim não dá abaixa o zero Após essa tentativa que mesmo trouxe um resultado incorreto chegou ao resultado correto pelo método oral distribuindo imediatamente 20 bolinhas para cada um vendo que ainda lhe restavam 20 distribuindo mais 5 para cada um esgotando assim as 100 bolinhas Está bastante claro em sua tentativa de resolução por escrito que a criança havia aprendido uma parte substancial das regras para a divisão Substantivos concretos aprendemos na escola são aqueles de desenho objetos que podemos ver e pegar matematicamente como materiais concretos e uma matemática que podemos ver a bastões cubinhos palitos de picolé etc podendose pegar No entanto qual a relação entre apenas palitos e cubos e a matemática Estamos usando os palitos apenas para substituir os dedos Por que não deixamos a criança contar com os dedos que ela tem em qualquer lugar e pode usar para resolver contas coisas que fazemos no cotidiano A matemática com materiais concretos não pressupõe simplesmente que temos objetos à nossa disposição saindo da aula pressupõe que essas relações refletem um modelo matemático Os materiais concretos são usados porque refletem uma matemática particular de fato pressupõese que subjacente aos materiais concretos existem princípios lógicomatemáticos os quais desejamos ensinar busca refletir a estrutura do sistema decimal utilizando cubos pequenos como unidades varas formadas por dez cubinhos como dezenas e placas formadas por cem cubinhos 10 por 10 como representação material de um conceito A estrutura do material busca refletir a estrutura do sistema de numeração No entanto o material apesar de ser formado por objetos pode ser considerado como um conjunto de objetos abstratos porque esses objetos existem apenas na escola para finalidade de ensino e não têm qualquer conexão com o mundo da criança Uma representação material pode ser mais concreta no sentido de que tem mais relações com uma realidade representada esse grau de abstração não dependendo da possibilidade que temos de ver ou pegar a representação mas da relação concreta com o que está sendo representado Quando o material concreto não representa uma situação conhecida da vida da criança quando ele não tem relação com a vida da criança esse material pode de fato ser considerado como uma representação material abstrata Esse tipo de representação do sistema decimal pode ser contrastado por exemplo com a utili BIBLIOGRAFIA CARRAHER TN The decimal system understanding and notation In STREBELAND L Org Proceedings of the Ninth International Conference for the Psychology of Mathematics Education vol 1 Utrecht University of Utrecht 1985 p 288303 CARRAHER DW SCHLIEMANN AD Cultura escola ideologia e cognição Cadernos de Pesquisa nº 57 1986 p 7885 CARRAHER D SCHLIEMANN AD Fracasso escolar Uma questão social Cadernos de Pesquisa nº 45 1983 p 319 CECI SJ LIKER J Academic and nonacademic intelligence an experimental separation In STERNBERG RJ WAGNER RK Orgs Practical intelligence Nature and origins of competence in the everyday world Cambridge University Press 1986 p 11942 GRISELL E The validity of occupational aptitude tests Nova Iorque Wiley 1986 HUGHES M Children and 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