Aula sobre Seletores de Frequencia em Circuitos Eletricos - Analise e Respostas

Aula 16 Seletores de frequência II Matérias que serão discutidas Nilsson Circuitos Elétricos Capítulos 12 13 e 14 LAPLACE Capítulo 8 Circuitos de Segunda ordem no domínio do tempo Tabela de respostas Número do par Natureza das raízes 𝑭𝒕 𝒇 𝒕 1 Reais e distintas 𝐾 𝑠 𝛼 𝐾𝑒𝛼𝑡 𝑢𝑡 2 Reais e repetidas 𝐾 𝑠 𝛼 2 𝐾𝑡 𝑒𝛼𝑡 𝑢𝑡 3 Complexas e distintas 𝐾 𝑠 𝛼 𝑗𝛽 𝐾 𝑠 𝛼 𝑗𝛽 2 𝐾 𝑒𝛼𝑡 cos𝛽𝑡 𝜃 𝑢𝑡 4 Complexas e repetidas 𝐾 𝑠 𝛼 𝑗𝛽 2 𝐾 𝑠 𝛼 𝑗𝛽 2 2𝑡 𝐾 𝑒𝛼𝑡 cos𝛽𝑡 𝜃 𝑢𝑡 Nos pares 1 e 2 𝐾 é uma quantidade real ao passo que nos pares 3 e 4 K é a quantidade complexa 𝐾𝜃 Seletores de frequência e uma entrada senoidal No domínio do tempo temos 𝒙 𝒕 𝑨 𝐜𝐨𝐬𝝎𝒕 𝝓 𝐻 𝑠 𝑌 𝑠 𝑋 𝑠 Considere um sistema com a seguinte função transferência 𝐻𝑠 Sabemos que ℒ 𝑥 𝑡 𝑋𝑠 𝑿 𝒔 𝑨 𝒔 𝒄𝒐𝒔 𝝓 𝝎 𝒔𝒆𝒏 𝝓 𝒔𝟐 𝝎𝟐 Portanto 𝒀 𝒔 𝑯 𝒔 𝑨 𝒔 𝒄𝒐𝒔 𝝓 𝝎 𝒔𝒆𝒏 𝝓 𝒔𝟐 𝝎𝟐 Seletores de frequência 𝑌 𝑠 𝐻 𝑠 𝐴 𝑠 𝑐𝑜𝑠 𝜙 𝜔 𝑠𝑒𝑛 𝜙 𝑠2 𝜔2 Esta resposta possui dois polos complexos conjugados relacionados a entrada senoidal e mais N polos referentes a função transferência Expandindo em frações parciais temos 𝒀 𝑺 𝑲𝟏 𝒔 𝒋𝝎 𝑲𝟏 𝒔 𝒋𝝎 𝒅𝒐𝒔 𝒕𝒆𝒓𝒎𝒐𝒔 𝒈𝒆𝒓𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒑𝒐𝒓 𝑯𝒔 𝐾1 𝐻 𝑠 𝐴 𝑠 𝑐𝑜𝑠 𝜙 𝜔 𝑠𝑒𝑛 𝜙 𝑠 𝑗𝜔 ቮ 𝑠 𝑗𝜔 Para 𝐾1 temos 𝐾1 𝐻 𝑗𝜔 𝐴 𝑗𝜔 𝑐𝑜𝑠 𝜙 𝜔 𝑠𝑒𝑛 𝜙 2𝑗𝜔 Seletores de frequência 𝐾1 𝐻 𝑗𝜔 𝐴 𝑗𝜔 𝑐𝑜𝑠 𝜙 𝜔 𝑠𝑒𝑛 𝜙 2𝑗𝜔 Evidenciando 𝜔 multiplicando numerador e denominador por 𝑗 1𝑗 𝐾1 𝐻 𝑗𝜔 𝐴 𝑐𝑜𝑠 𝜙 𝑗 𝑠𝑒𝑛 𝜙 2 Temos Pela identidade de Euler 𝐾1 𝐴 2 𝐻 𝑗𝜔 𝑒𝑗𝜙 𝐻 𝑗𝜔 é função no domínio de Laplace que pode ser expressa na sua forma exponencial 𝑯 𝒋𝝎 𝑯 𝒋𝝎 𝒆 𝒋𝜽𝝎 Onde 𝜃𝜔 𝑎𝑡𝑔 ℑ𝐻𝑗𝜔 ℜ 𝐻 𝑗𝜔 𝑥 𝑗𝑦 𝑀 𝑒𝑗𝜙 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑀 𝑥 𝑗𝑦 𝑒 𝜙 𝑎𝑡𝑔 𝑦 𝑥 𝑎𝑡𝑔 ℑ𝑥 𝑦𝑗 ℜ 𝑥 𝑦𝑗 Clareando Seletores de frequência 𝐾1 𝐴 2 𝐻 𝑗𝜔 𝑒𝑗𝜙 𝐻 𝑗𝜔 𝐻 𝑗𝜔 𝑒 𝑗𝜃𝜔 Onde 𝜃𝜔 𝑎𝑡𝑔 ℑ𝐻𝑗𝜔 ℜ 𝐻 𝑗𝜔 Temos Portanto 𝑲𝟏 𝑨 𝟐 𝑯 𝒋𝝎 𝒆 𝒋𝜽 𝝎 𝝓 Sabemos que 𝐾 𝑠 𝛼 𝑗𝛽 𝐾 𝑠 𝛼 𝑗𝛽 2 𝐾 𝑒𝛼𝑡 cos𝛽𝑡 𝜙 𝒚𝒓𝒑 𝒕 𝑨𝑯𝒋𝝎𝒄𝒐𝒔𝝎𝒕 𝝓 𝜽𝝎 Assim 𝐾1 𝐻 𝑠 𝐴 𝑠 𝑐𝑜𝑠 𝜙 𝜔 𝑠𝑒𝑛 𝜙 𝑠 𝑗𝜔 ቮ 𝑠 𝑗𝜔 Seletores de frequência Os termos relacionados a função transferência refletem o comportamento transiente da resposta Como a análise é definida para o regimento permanente consideramos que 𝑡 assim a resposta transiente tende a zero Frequência de corte A frequência de corte é definida pela razão 𝑯 𝒋𝝎𝒄 𝟏 𝟐 𝑯𝒎𝒂𝒙 A constante Hmax é interpretada como a amplitude máxima da função transferência para os filtros passa baixas Hmax corresponde a Hj0 1 e para os filtros passa altas o Hmax corresponde a Hj1 ou seja para calcularmos a frequência de corte tanto para passa baixas como passa altas consideramos Hmax 1 Frequência de corte Para a configuração RC passa baixas a função transferência é 𝐻 𝑠 1 𝑅𝐶 𝑠 1 𝑅𝐶 𝐻 𝑗𝜔𝑐 1 𝑅𝐶 𝑗𝜔𝑐 1 𝑅𝐶 𝐻 𝑗𝜔𝑐 1 𝑅𝐶 𝜔𝑐2 1 𝑅𝐶 2 1 2 1 𝑅𝐶 𝜔𝑐2 1 𝑅𝐶 2 𝜔𝑐 2 1 𝑅𝐶 2 1 𝑅𝐶 2 𝜔𝑐2 1 𝑅𝐶 2 1 𝑅𝐶 2 2 𝝎𝒄 𝟏 𝑹𝑪 obs se a configuração da função transferência for de um filtro passa altas a frequência de corte será a mesma Frequência de corte Para a configuração RL passa baixas a função transferência é 𝐻 𝑗𝜔𝑐 𝑅 𝐿 𝑗𝜔𝑐 𝑅 𝐿 𝐻 𝑗𝜔𝑐 𝑅 𝐿 𝜔𝑐2 𝑅 𝐿 2 1 2 𝑅 𝐿 𝜔𝑐2 𝑅 𝐿 2 𝜔𝑐 2 R 𝐿 2 R 𝐿 2 𝜔𝑐2 R 𝐿 2 R 𝐿 2 2 𝝎𝒄 𝑹 𝑳 obs se a configuração da função transferência for de um filtro passa altas a frequência de corte será a mesma 𝐻 𝑠 𝑅 𝐿 𝑠 𝑅 𝐿 Seletores de frequência Filtro passa baixa passivo de primeira ordem Configuração RC Configuração RL 𝑯 𝒔 𝟏 𝑹𝑪 𝒔 𝟏 𝑹𝑪 𝝎𝒄 𝒔 𝝎𝒄 𝑯 𝒔 𝑹 𝑳 𝒔 𝑹 𝑳 𝝎𝒄 𝒔 𝝎𝒄 Seletores de frequência 𝑥𝑟𝑝 𝑡 𝐴𝑐𝑜 𝑠 𝑤𝑡 𝜙൯ 𝑦𝑟𝑝 𝑡 𝐴𝐻 𝑗𝑤 𝑐𝑜 𝑠 𝑤𝑡 𝜙 𝜃𝑤൯ Analisando a resposta em regime permanente 𝑺𝒆 𝝎 𝟎 𝐻 𝑗0 1 𝑅𝐶 𝑗0 1 𝑅𝐶 1 𝐻 𝑗0 1 A amplitude do sinal de saída é igual a amplitude do sinal de entrada 𝑦𝑟𝑝 𝑡 𝐴 1 𝑐𝑜 𝑠 𝑤𝑡 𝜙 0 ൯ 𝑦𝑟𝑝 𝑡 𝐴 𝑐𝑜 𝑠 𝑤𝑡 𝜙 𝑺𝒆 𝝎 𝐻 𝑗 1 𝑅𝐶 𝑗 1 𝑅𝐶 0 𝐻 𝑗 0 𝑦𝑟𝑝 𝑡 𝐴 0 𝑐𝑜 𝑠 𝑤𝑡 𝜙 𝜃𝜔 ൯ 𝑦𝑟𝑝 𝑡 0 𝑐𝑜 𝑠 𝑤𝑡 𝜙 𝜃𝜔 A amplitude do sinal de saída é zero CIRCUITO RC Seletores de frequência 𝑥𝑟𝑝 𝑡 𝐴𝑐𝑜 𝑠 𝑤𝑡 𝜙൯ 𝑦𝑟𝑝 𝑡 𝐴𝐻 𝑗𝑤 𝑐𝑜 𝑠 𝑤𝑡 𝜙 𝜃𝑤൯ Analisando a resposta em regime permanente 𝑺𝒆 𝝎 𝟎 𝐻 𝑗0 𝑅 𝐿 𝑗0 𝑅 𝐿 1 𝐻 𝑗0 1 A amplitude do sinal de saída é igual a amplitude do sinal de entrada 𝑦𝑟𝑝 𝑡 𝐴 1 𝑐𝑜 𝑠 𝑤𝑡 𝜙 0 ൯ 𝑦𝑟𝑝 𝑡 𝐴 𝑐𝑜 𝑠 𝑤𝑡 𝜙 𝑺𝒆 𝝎 𝐻 𝑗 R 𝐿 𝑗 R 𝐿 0 𝐻 𝑗 0 𝑦𝑟𝑝 𝑡 𝐴 0 𝑐𝑜 𝑠 𝑤𝑡 𝜙 𝜃𝜔 ൯ 𝑦𝑟𝑝 𝑡 0 𝑐𝑜 𝑠 𝑤𝑡 𝜙 𝜃𝜔 A amplitude do sinal de saída é zero CIRCUITO RL Curvas de bode Em circuitos elétricos e em sistemas de controle as curvas de Bode são gráficos da resposta em frequência de um sistema Esta representação é composta por um gráfico de magnitude geralmente em decibéis e um gráfico de fase expressando o deslocamento de fase Em ambos os gráficos a frequência é plotada em escala logarítima décadas O gráfico de amplitude é do tipo loglog plot enquanto o gráfico de fase é um gráfico linlog plot Como originalmente concebido por Hendrik Wade Bode na década de 1930 o as linhas representam uma aproximação assintótica da resposta em frequência usando segmentos de reta Decibel O decibel dB é uma unidade logarítmica usada para expressar a razão de dois valores de uma quantidade física Normalmente um dos valores é um valor de referência O Decibel corresponde a 1 décimo do Bel 1decibel bel10 A unidade Bel ou Decibel é uma homenagem ao cientista Alexander Graham Bell inventor do telefone Originalmente o decibel era utilizado para mensurar a perda de sinal energia nos circuitos de telégrafo e telefone Decibel Como o decibel analisa a atenuação ou ganho de energia podemos definilo da seguinte forma 𝐺𝑃 10 log10 𝑃𝑜 𝑃𝑖 Considerando o ganho de tensão ou corrente sem alterar a impedância de saída temos 𝐺𝑉 10 log10 𝑉𝑜2 𝑍 𝑉𝑖 2 𝑍 10 log10 𝑉𝑜 𝑉𝑖 2 20 log10 𝑉𝑜 𝑉𝑖 𝐺𝐼 10 log10 𝐼𝑜2 𝑍 𝐼𝑖 2 𝑍 10 log10 𝐼𝑜 𝐼𝑖 2 20 log10 𝐼𝑜 𝐼𝑖 Seletores de frequência A atenuação das frequências pode ser visualizada nos gráficos abaixo Gráfico de bode GanhodB x Frequêncialog10 Gráfico do ganho x frequência Seletores de frequência 104 𝜔𝑐 200 𝑟𝑎𝑑𝑠 Comportamento de um filtro passa baixas passivo RC gerado a partir do Matlab O gráfico superior está em escala linear O gráfico inferior está em decibel log10 𝐻 𝑗𝜔 𝜔𝑐 𝜔2 𝜔𝑐2 20 log10𝐻𝑗𝜔 Seletores de frequência Década 1415 𝑑𝑏 3398 𝑑𝑏 𝚫 𝟏𝟗 𝟖𝟑 𝒅𝒃 Se 𝜔 𝜔𝑐 𝐻𝑗𝜔 1 2 𝟐𝟎 𝐥𝐨𝐠𝟏𝟎 𝟏 𝟐 𝟑 𝟎𝟏𝒅𝒃 Seletores de frequência Porque podemos afirmar que passada a frequência de corte um filtro passa baixas de primeira ordem decai 20dbdécada 𝑯𝒋𝝎 𝝎𝒄 𝝎𝟐 𝝎𝒄𝟐 Considerando o intervalo 𝜔1 102𝜔𝑐 e 𝜔2 103𝜔𝑐 temos 𝐻𝑗102𝜔𝑐 𝜔𝑐 104𝜔𝑐2 𝜔𝑐2 𝐻𝑗102𝜔𝑐 𝜔𝑐 𝜔𝑐 2104 1 𝐻𝑗102𝜔𝑐 𝜔𝑐 102𝜔𝑐 1 102 20 log10 𝐻 𝑗102𝜔𝑐 20 log10 1 log10 102 20 log10 𝐻 𝑗102𝜔𝑐 20 0 2 40𝑑𝑏 𝐻𝑗103𝜔𝑐 𝜔𝑐 106𝜔𝑐2 𝜔𝑐2 𝐻𝑗103𝜔𝑐 𝜔𝑐 𝜔𝑐 2106 1 𝐻𝑗103𝜔𝑐 𝜔𝑐 103𝜔𝑐 1 103 20 log10 𝐻 𝑗103𝜔𝑐 20 log10 1 log10 103 20 log10 𝐻 𝑗103𝜔𝑐 20 0 3 60𝑑𝑏 Desta forma podemos afirmar que Se 𝜔 𝜔𝑐 o ganho decai 20bddécada Seletores de frequência 𝑯 𝒔 𝒔 𝒔 𝟏 𝑹𝑪 𝒔 𝒔 𝝎𝒄 𝑯 𝒔 𝒔 𝒔 𝑹 𝑳 𝒔 𝒔 𝝎𝒄 Filtro passa altas passivo de primeira ordem Configuração RC Configuração RL Seletores de frequência 𝑥𝑟𝑝 𝑡 𝐴𝑐𝑜 𝑠 𝑤𝑡 𝜙൯ 𝑦𝑟𝑝 𝑡 𝐴𝐻 𝑗𝑤 𝑐𝑜 𝑠 𝑤𝑡 𝜙 𝜃𝑤൯ Analisando a resposta em regime permanente 𝑺𝒆 𝝎 𝟎 𝐻 𝑗0 𝑗0 𝑗0 1 𝑅𝐶 0 𝐻 𝑗0 0 𝑦𝑟𝑝 𝑡 𝐴 0 𝑐𝑜 𝑠 𝑤𝑡 𝜙 𝜃𝜔 ൯ 𝑦𝑟𝑝 𝑡 0 𝑐𝑜 𝑠 𝑤𝑡 𝜙 𝜃𝜔 𝑺𝒆 𝝎 𝐻 𝑗 𝑗 𝑗 1 𝑅𝐶 𝐼𝑁𝐷 𝑦𝑟𝑝 𝑡 𝐴 1 𝑐𝑜 𝑠 𝑤𝑡 𝜙 0 ൯ 𝑦𝑟𝑝 𝑡 1 𝑐𝑜 𝑠 𝑤𝑡 𝜙 A amplitude do sinal de saída é zero CIRCUITO RC 𝐻 𝑠 1 1 1 𝐻 𝑗 1 𝐿𝐻𝑜𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙 Entrada igual a saída Seletores de frequência 𝑥𝑟𝑝 𝑡 𝐴𝑐𝑜 𝑠 𝑤𝑡 𝜙൯ 𝑦𝑟𝑝 𝑡 𝐴𝐻 𝑗𝑤 𝑐𝑜 𝑠 𝑤𝑡 𝜙 𝜃𝑤൯ Analisando a resposta em regime permanente 𝑺𝒆 𝝎 𝟎 𝐻 𝑗0 0 0 𝑅 𝐿 0 𝐻 𝑗0 0 𝑦𝑟𝑝 𝑡 𝐴 0 𝑐𝑜 𝑠 𝑤𝑡 𝜙 𝜃𝜔 ൯ 𝑦𝑟𝑝 𝑡 0 𝑐𝑜 𝑠 𝑤𝑡 𝜙 𝜃𝜔 𝑺𝒆 𝝎 𝐻 𝑗 𝑅 𝐿 𝐼𝑁𝐷 𝑦𝑟𝑝 𝑡 𝐴 1 𝑐𝑜 𝑠 𝑤𝑡 𝜙 0 ൯ 𝑦𝑟𝑝 𝑡 1 𝑐𝑜 𝑠 𝑤𝑡 𝜙 A amplitude do sinal de saída é zero CIRCUITO RL 𝐻 𝑗 1 1 1 𝐻 𝑗 1 𝐿𝐻𝑜𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙 Entrada igual a saída Seletores de frequência A atenuação das frequências pode ser visualizada nos gráficos abaixo Gráfico de bode GanhodB x Frequêncialog10 Gráfico do ganho x frequência Seletores de frequência 𝜔𝑐 200 𝑟𝑎𝑑𝑠 Comportamento de um filtro passa altas passivo RC gerado a partir do Matlab O gráfico superior está em escala linear O gráfico inferior está em decibel log10 𝐻 𝑗𝜔 𝜔𝑐 𝜔2 𝜔𝑐2 20 log10𝐻𝑗𝜔 104 Seletores de frequência Porque podemos afirmar que passada a frequência de corte um filtro passa baixas de primeira ordem decai 20dbdécada 𝑯𝒋𝝎 𝝎 𝝎𝟐 𝝎𝒄𝟐 Considerando o intervalo 𝜔1 103𝜔𝑐 e 𝜔2 102𝜔𝑐 temos 𝐻𝑗103𝜔𝑐 103𝜔𝑐 106𝜔𝑐2 𝜔𝑐2 𝐻𝑗103𝜔𝑐 103𝜔𝑐 𝜔𝑐 2106 1 𝐻𝑗103𝜔𝑐 103𝜔𝑐 𝜔𝑐 103 20 log10 𝐻 𝑗103𝜔𝑐 20 log10 103 20 log10 𝐻 𝑗103𝜔𝑐 60𝑑𝑏 Desta forma podemos afirmar que Se 𝜔 𝜔𝑐 o ganho sobe 20bddécada 𝐻𝑗102𝜔𝑐 102𝜔𝑐 104𝜔𝑐2 𝜔𝑐2 𝐻𝑗102𝜔𝑐 102𝜔𝑐 𝜔𝑐 2104 1 𝐻𝑗102𝜔𝑐 102𝜔𝑐 𝜔𝑐 102 20 log10 𝐻 𝑗102𝜔𝑐 20 log10 102 20 log10 𝐻 𝑗102𝜔𝑐 40𝑑𝑏 Frequência de corte Exemplo Projete um filtro passa baixas RC com uma frequência de corte de 500Hz usando um capacitor de 50nF e desenhe o diagrama de bode para o ganho de tensão Frequência de corte Exemplo Projete um filtro passa baixas RC com uma frequência de corte de 500Hz usando um capacitor de 50nF e desenhe o diagrama de bode para o ganho de tensão 𝜔𝑐 2𝜋𝑓𝑐 𝑓𝑐 𝜔𝑐 2𝜋 𝒇𝒄 𝟏 𝟐𝝅 𝑹 𝟓𝟎 𝟏𝟎𝟗 𝑹 𝟔𝟑𝟔𝟔𝜴 𝜔𝑐 1 𝑅𝐶 𝜔𝑐 3𝑑𝑏 20𝑏𝑑𝑑é𝑐𝑎𝑑𝑎 Seletores de frequência 𝐻 𝑠 𝑅 𝑠𝐿 1 𝑠𝐶 𝑅 𝑠𝑅𝐶 𝑠2𝐿𝐶 1 𝑠𝑅𝐶 𝒔 𝑹 𝑳 𝒔𝟐 𝒔 𝑹 𝑳 𝟏 𝑳𝑪 𝑝12 𝑏 2 𝑏 2 2 𝑐 𝑎 𝑎2 𝜔𝑜2 𝜶 𝑹 𝟐𝑳 𝝎𝒐 𝟏 𝑳𝑪 𝑯 𝒔 𝟐𝜶 𝒔 𝒔𝟐 𝟐𝜶 𝒔 𝝎𝒐𝟐 Seletores de frequência 𝑆𝑒 𝜔 0 𝑆𝑒 𝜔 O circuito ao lado representa um esquema de um filtro de segunda ordem passivo na configuração passa faixa série Ao avaliarmos os dois extremos da frequência concluímos que a saída Vo é igual a zero para ambos Quando obtemos o valor máximo de Vo Seletores de frequência 𝑆𝑒 𝜔 𝜔𝑜 A frequência central deste filtro é definida quando a soma das impedância do indutor e do capacitor forem igual a zero Ou seja frequência de ressonância 1 𝑗𝜔𝑜𝐶 𝑗𝜔𝑜𝐿 0 1 𝑗𝜔𝑜𝐶 𝑗𝜔𝑜𝐿 1 𝐿𝐶 𝜔𝑜2 𝝎𝒐 𝟏 𝑳𝑪 Seletores de frequência Gráfico de bode GanhodB x Frequêncialog10 Gráfico de resposta em frequência Ganho𝐻𝑗𝜔 x Frequência𝜔 Os gráfico apresentam os mesmos dados porém em formas distintas Seletores de frequência Diferente dos filtros de primeira ordem este filtro apresenta duas frequências de corte filtro de segunda ordem que limitam uma determinada faixa de frequência Para definirmos as frequências de corte seguimos o mesmo raciocínio utilizado para os filtros de primeira ordem 𝐻 𝑗𝜔𝑐 1 2 𝐻𝑚𝑎𝑥 𝐻𝑚𝑎𝑥 𝐻 𝑗𝜔𝑜 1 𝐻 𝑗𝜔𝑐 𝑅 𝐿 𝑗𝜔𝑐 𝑗𝜔𝑐 2 𝑅 𝐿 𝑗𝜔𝑐 1 𝐿𝐶 𝐻 𝑗𝜔𝑐 𝑅 𝐿 𝜔𝑐 1 𝐿𝐶 𝜔𝑐2 2 𝑅 𝜔𝑐 𝐿 2 Seletores de frequência 𝐻 𝑗𝜔𝑐 1 2 𝐻𝑚𝑎𝑥 𝑅 𝐿 𝜔𝑐 1 𝐿𝐶 𝜔𝑐 2 2 𝑅 𝜔𝑐 𝐿 2 1 2 Esta equação resulta em dois valores válidos para 𝜔𝑐 que são 𝝎𝒄𝟏 𝑹 𝟐𝑳 𝑹 𝟐𝑳 𝟐 𝟏 𝑳𝑪 𝝎𝒄𝟏 𝜶 𝜶𝟐 𝝎𝒐𝟐 𝝎𝒄𝟐 𝑹 𝟐𝑳 𝑹 𝟐𝑳 𝟐 𝟏 𝑳𝑪 𝝎𝒄𝟐 𝜶 𝜶𝟐 𝝎𝒐𝟐 Seletores de frequência Podemos também calcular a largura da banda pela subtraindo as duas frequência de corte calculadas anteriormente 𝛽 𝜔𝑐2 𝜔𝑐1 𝛽 𝛼 𝛼2 𝜔𝑜 2 𝛼 𝛼2 𝜔𝑜 2 𝛽 2 𝛼 𝛽 𝑅 𝐿 Seletores de frequência A qualidade do filtro ou fator de mérito define a seletividade do filtro em relação as frequência de filtragem É definido pela razão entre a frequência central e a largura da banda Quanto maior a qualidade maior a seletividade e menor a faixa de frequência filtrada 𝑄 𝜔𝑜 𝛽 1 𝐿𝐶 𝑅 𝐿 𝑸 𝑳 𝑪 𝑹𝟐 Seletores de frequência 𝑯 𝒔 𝜷 𝒔 𝒔𝟐 𝜷 𝒔 𝝎𝒐𝟐 Parâmetros 𝜔𝑜 Frequência central Frequência de ressonância 𝜔𝑐1𝑐2 Frequências de corte 𝛽 Largura da banda 𝑄 Fator de Qualidade Filtro passa faixa série Passivo 𝜔𝑜 1 𝐿𝐶 𝛽 𝑅 𝐿 𝜔𝑐1𝑐2 𝛽 2 𝛽 2 2 𝜔𝑜2 𝑄 𝜔𝑜 𝛽 OU 𝛼 𝑅 2𝐿 𝜔𝑐1𝑐2 𝜔𝑜 1 2𝑄 1 1 2𝑄 2 Seletores de frequência Exercício Relacionando os extremos da frequência classifique o filtro abaixo Seletores de frequência 𝑯 𝒔 𝒔𝟐 𝝎𝒐𝟐 𝒔𝟐 𝜷 𝒔 𝝎𝒐𝟐 Parâmetros 𝜔𝑜 Frequência central Frequência de ressonância 𝜔𝑐1𝑐2 Frequências de corte 𝛽 Largura da banda 𝑄 Fator de Qualidade Filtro rejeita faixa série Passivo 𝜔𝑜 1 𝐿𝐶 𝛽 𝑅 𝐿 𝜔𝑐1𝑐2 𝛽 2 𝛽 2 2 𝜔𝑜2 𝑄 𝜔𝑜 𝛽 OU 𝛼 𝑅 2𝐿 𝜔𝑐1𝑐2 𝜔𝑜 1 2𝑄 1 1 2𝑄 2 Filtro de segunda ordem passivo Passa Faixa Configuração Série Configuração Paralelo 𝐻 𝑠 𝛽 𝑠 𝑠2 𝛽 𝑠 𝜔𝑜 2 𝜔𝑜 1 𝐿𝐶 𝛽 𝑅𝑠 𝐿 𝜔𝑜 1 𝐿𝐶 𝛽 1 𝑅𝑝𝐶 Filtro de segunda ordem passivo Rejeita Faixa Configuração Série Configuração Paralelo 𝐻 𝑠 𝑠2 𝜔𝑜2 𝑠2 𝛽 𝑠 𝜔𝑜 2 𝜔𝑜 1 𝐿𝐶 𝛽 1 𝑅𝑝𝐶 𝜔𝑜 1 𝐿𝐶 𝛽 𝑅𝑠 𝐿 Filtro de segunda ordem passivo Rejeita Faixa Exercício Use um capacitor de 20nF para projetar um filtro passa faixa RLC em série como A frequência central deverá ser 20KHz e o fator de qualidade 5 𝑯 𝒔 𝜷 𝒔 𝒔𝟐 𝜷 𝒔 𝝎𝒐𝟐 𝜔𝑜 1 𝐿𝐶 𝛽 𝑅 𝐿 𝜔𝑐1𝑐2 𝛽 2 𝛽 2 2 𝜔𝑜2 𝑄 𝜔𝑜 𝛽 OU 𝜔𝑐1𝑐2 𝜔𝑜 1 2𝑄 1 1 2𝑄 2 Filtro de segunda ordem passivo Rejeita Faixa Exercício Use um capacitor de 20nF para projetar um filtro passa faixa RLC em série como A frequência central deverá ser 20KHz e o fator de qualidade 5 𝜔𝑜 1 𝐿𝐶 2 𝜋 20 103 1 𝐿 20 109 𝐿 317𝑚𝐻 𝑄 𝜔𝑜 𝛽 5 2 𝜋 20 103 𝛽 𝛽 25120 𝑟𝑎𝑑𝑠𝑒𝑔 𝛽 𝑅 𝐿 25120 𝑅 317 103 𝑅 7963Ω