Transformada de Laplace em Circuitos Elétricos - Análise e Aplicações

Aula 12 Transformada de Laplace II Matérias que serão discutidas Nilsson Circuitos Elétricos Capítulos 12 13 e 14 LAPLACE Capítulo 8 Circuitos de Segunda ordem no domínio do tempo Revisão ℒ 𝑓 𝑡 𝐹 𝑠 𝑓 𝑡 𝑒𝑠𝑡𝑑𝑡 0 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑠 𝜎 𝑗𝜔 A transformada de Laplace é uma ferramenta que auxilia a análise e interpretação de circuitos elétricos Definida por 𝐹 𝑘 𝑓 𝑡 𝑘 𝐹𝑓𝑡 𝐹 𝑓1 𝑡 𝑓2 𝑡 𝑓3 𝑡 𝐹 𝑓1 𝑡 𝐹 𝑓2 𝑡 𝐹𝑓3𝑡 𝐹 𝑑 𝑑𝑡 𝑓 𝑡 𝑠𝐹 𝑠 𝑓 0 𝐹 𝑓 𝑡 𝑡 0 𝐹 𝑠 𝑠 Algumas propriedades Revisão Elementos de circuito Tempo Laplace fasor 𝒗 𝑹 𝒊 𝒊 𝒗 𝑹 𝑽𝒔 𝐑 𝑰𝒔 𝑰𝒔 𝑽𝒔 𝑹 𝑽 𝒔 𝑰 𝒔 𝒁𝑳 𝒔 𝒔𝑳 𝑽 𝒔 𝑰 𝒔 𝒁𝑹 𝒋𝝎 𝑹 𝒗𝒕 𝑳 𝒅𝒊 𝒅𝒕 𝒊𝒕 𝟏 𝑳 𝒗 𝝉 𝒅𝝉 𝒊 𝟎 𝒕 𝟎 𝑽 𝒔 𝒔 𝑳 𝑰 𝒔 𝑳 𝑰𝟎 𝑰 𝒔 𝑽 𝒔 𝑳 𝒔 𝑰𝟎 𝒔 𝑽 𝒔 𝑰 𝒔 𝒁𝑹 𝒔 𝑹 𝑽 𝒋𝝎 𝑰 𝒋𝝎 𝒁𝑳 𝒋𝝎 𝒋𝝎𝑳 𝑽 𝒔 𝑰 𝒔 𝒁𝑪 𝒔 𝟏 𝒔𝑪 𝒗𝒕 𝟏 𝑪 𝒊 𝝉 𝒅𝝉 𝒗 𝟎 𝒕 𝟎 𝒊 𝒕 𝑪 𝒅𝒗 𝒅𝒕 𝑽 𝒔 𝑰 𝒔 𝑪 𝒔 𝑽𝟎 𝒔 𝑰 𝒔 𝒔 𝑪 𝑽 𝒔 𝑪 𝑽𝟎 𝑽 𝒋𝝎 𝑰 𝒋𝝎 𝒁𝑪 𝒋𝝎 𝟏 𝒋𝝎𝑪 Resistor Indutor Capacitor Revisão Elementos de circuito Laplace Resistor Indutor Capacitor OU OU Tabela de Laplace Pares de transformada 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑚𝑖𝑛ú𝑠𝑐𝑢𝑙𝑜 𝑓𝑟𝑒𝑞𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑚𝑎𝑖ú𝑠𝑐𝑢𝑙𝑜 Revisão Função Transferência Hs Entrada Xs Saída Ys Função transferência Hs é a razão entre a resposta de saída Ys e a excitação de entrada Xs suponde que as condições iniciais sejam iguais a zero Sistema Linear Função Transferência 𝐻 𝑠 𝐺𝑎𝑛𝑜 𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑛𝑠ã𝑜 𝑉𝑜𝑠 𝑉𝑖𝑠 𝑉𝑜 𝐻 𝑠 𝑉𝑖 𝐻 𝑠 𝐺𝑎𝑛𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 𝐼𝑜𝑠 𝐼𝑖𝑠 𝐼𝑜 𝐻 𝑠 𝐼𝑖 Obtendo a função transferência é possível modelar a saída do sistema em relação a excitação de entrada Domínio do tempo convolução Domínio da frequência multiplicação 𝑦 𝑡 𝑡 𝑥𝑡 𝑌 𝑠 𝐻 𝑠 𝑋𝑠 𝑦 𝑡 𝑥 𝜆 𝑡 𝜆 𝑑𝜆 𝑡 0 Exemplo Exemplo Calcule a função transferência do circuito abaixo 𝑅𝑒𝑠𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎 𝐻 𝑠 104 𝑠 104 Exemplo Exemplo Calcule a função transferência do circuito abaixo 𝑉𝑜𝑠 𝐻 𝑠 𝑉𝑖𝑠 𝑉𝑜 𝑠 106 𝑠 106 𝑠 100 𝑉𝑖𝑠 𝐻 𝑠 106 106 100 𝑠 𝐻 𝑠 104 𝑠 104 Função Transferência 𝐻 𝑠 𝑘 𝑠𝑚 𝑎𝑚1 𝑠𝑚1 𝑎1 𝑠 𝑎0 𝑠𝑛 𝑏𝑛1 𝑠𝑛1 𝑏1 𝑠 𝑏0 𝐻 𝑠 𝑘 𝑠 𝑧1 𝑠 𝑧2 𝑠 𝑧𝑚 𝑠 𝑝1 𝑠 𝑝1 𝑠 𝑝𝑚 Forma Fatorada Parâmetros de uma função transferência 𝑚 𝑔𝑟𝑎𝑢 𝑑𝑜 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑛 𝑔𝑟𝑎𝑢 𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑎𝑖 𝑒 𝑏𝑖 𝑐𝑜𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑆𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑖𝑧á𝑣𝑒𝑖𝑠 𝑚 𝑛 Forma Polinomial 𝑧𝑖 𝑟𝑎í𝑧𝑒𝑠 𝑑𝑜 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟 Zeros da FT 𝑝𝑖 𝑟𝑎í𝑧𝑒𝑠 𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑟 Polos da FT Função Transferência O exemplo resolvido anteriormente possui 𝐻 𝑠 104 𝑠 104 𝑁𝑒𝑛𝑢𝑚 𝑧𝑒𝑟𝑜 𝑈𝑚 1 𝑃𝑜𝑙𝑜 𝑒𝑚 104 𝑝1 104 Exemplo Exemplo Encontre os zeros e polos dos circuitos Exemplo Exemplo Encontre os zeros e polos dos circuitos 𝐻 𝑠 1 𝑠𝐶 𝑅 1 𝑠𝐶 1 𝑠𝑅𝐶 1 1 𝑅𝐶 𝑠 1 𝑅𝐶 𝐻 𝑠 𝑠𝐿 𝑅 𝑠𝐿 𝑠 𝑠 𝑅 𝐿 𝒔𝒆𝒎 𝒛𝒆𝒓𝒐𝒔 𝒑𝟏 𝟏 𝑹𝑪 𝒛𝟏 𝟎 𝒑𝟏 𝑹 𝑳 Exemplo Exemplo Calcule Vos caso a entrada seja um degrau unitário Encontre vot através da Transformada Inversa de Laplace 𝐻 𝑠 1 𝑅𝐶 𝑠 1 𝑅𝐶 𝑉𝑜 𝑠 𝐻 𝑠 𝑉𝑖𝑠 Exemplo Exemplo Calcule Vos caso a entrada seja um degrau unitário Encontre vot através da Transformada Inversa de Laplace 𝐻 𝑠 1 𝑅𝐶 𝑠 1 𝑅𝐶 𝑉𝑜 𝑠 𝐻 𝑠 𝑉𝑖𝑠 𝑢 𝑡 1 𝐹 𝑢 𝑡 1 𝑠 𝑉𝑖𝑠 𝑉𝑜 𝑠 1 𝑅𝐶 𝑠 𝑠 1 𝑅𝐶 Exemplo Exemplo Calcule Vos caso a entrada seja um degrau unitário Encontre vot através da Transformada Inversa de Laplace 𝑉𝑜 𝑠 1 𝑅𝐶 𝑠 𝑠 1 𝑅𝐶 1 𝑠 1 𝑠 1 𝑅𝐶 𝒆𝒙𝒑𝒂𝒏𝒔ã𝒐 𝒆𝒎 𝒇𝒓𝒂çõ𝒆𝒔 𝒑𝒂𝒓𝒄𝒊𝒂𝒊𝒔 ℒ1 1 𝑠 1 𝑠 1 𝑅𝐶 𝑣𝑜 𝑡 1 𝑒 𝑡 𝑅𝐶 𝑣𝑐 𝑡 𝑣𝑠 1 𝑒𝑡 𝜏 𝑠𝑒 𝑣𝑠 1 𝑣𝑐 𝑡 1 𝑒 𝑡 𝑅𝐶 𝒄𝒐𝒏𝒇𝒆𝒓𝒆 Expansão em frações parciais 1 Raízes reais distintas 2 Raízes complexas conjugadas 3 Raízes reais repetidas 4 Raízes complexas repetidas 5 Raízes racionais impróprias As frações podem se encontrar nas seguintes configurações Objetivo Facilitar a obtenção da transformada inversa de Laplace no contexto de circuitos Entendemos por raízes ou polos as raízes do denominador da fração Reais distintas As expansões em frações parciais seguem algoritmos Cada configuração citada no slide anterior possui algumas particularidades Para reais distintas temos 𝑁 𝑠 𝐷 𝑠 𝐾1 𝑠 𝛼1 𝐾1 𝑠 𝛼2 𝐾𝑛 𝑠 𝛼𝑛 𝐹 𝑠 10 𝑠 𝑠 2 𝟓 𝑠 𝟓 𝑠 2 Os algoritmos serão discutidos através de exemplos após cada exemplo veremos as aplicações no contexto de circuitos Abaixo temos uma função racional já decomposta em funções parciais O algoritmo visa calcular as constantes K vide equação acima Passo 1 Explicitar as frações parciais 10 𝑠𝑠 2 𝑘1 𝑠 0 𝑘2 𝑠 2 Note que os polos raiz do denominador foram propositalmente destacados Esta procedimento facilita os cálculos Reais distintas Passo 2 Multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador das frações parciais um a um e igualar a variável s ao valor do polo Assim obteremos os valores das constantes K O grau do polinómio do denominador define o número de contates K consequentemente o número de equações parciais 10 𝑠𝑠 2 𝒔 0 𝑠 0 𝑘1 𝑠 0 𝒔 0 𝑘2 𝑠 2 𝒔 0 10 0 2 𝑠 0 𝑘1 𝑘2 𝑠 2 0 𝒌1 5 Substituindo pelo valor da raiz 10 𝑠 2 𝑠 0 𝑘1 𝑘2 𝑠 2 s Reais distintas Repetindo o Passo 2 para encontrar a segunda constante K 10 𝑠 𝑠 2 𝒔 𝟐 𝒔 𝟐 𝑘1 𝑠 𝒔 𝟐 𝑘2 𝒔 𝟐 𝒔 𝟐 Substituindo pelo valor da raiz 10 𝑠 𝑠 2 𝑘1 𝑠 𝒔 𝟐 𝑘2 10 2 𝑠 2 𝑘1 𝑠 𝟐 𝟐 𝑘2 𝑘2 5 Sempre que multiplicamos os termos pela relação spolo eliminamos as constantes k das frações parciais que não possuem a relação spolo no denominador portanto encontraremos as constantes uma a uma Reais distintas Resolvendo de um forma mais automática 𝑭 𝒔 𝟏𝟎 𝒔𝒔 𝟐 𝑵 𝒔 𝑫 𝒔 Polos 𝒑𝟏 𝟎 𝒑𝟐 𝟐 𝒌𝒏 𝑵 𝒑𝒏 𝑫 𝒑𝒏 𝒅𝒆𝒏 𝒌𝒏 𝑘1 𝑁 𝑝1 𝐷 𝑝1 𝑑𝑒𝑛 𝑘1 10 0 2 𝟓 𝑘2 𝑁 𝑝2 𝐷 𝑝2 𝑑𝑒𝑛 𝑘2 10 2 𝟓 𝑭 𝒔 𝟏𝟎 𝒔 𝒔 𝟐 𝟓 𝒔 𝟓 𝒔 𝟐 Reais distintas Exemplo 2 𝑭 𝒔 𝟏𝟖𝒔𝟐 𝟔𝟔𝒔 𝟓𝟒 𝒔 𝟏𝒔 𝟐𝒔 𝟑 𝑵 𝒔 𝑫 𝒔 Polos 𝒑𝟏 𝟏 𝒑𝟐 𝟐 𝒑𝟑 𝟑 𝒌𝒏 𝑵 𝒑𝒏 𝑫 𝒑𝒏 𝒅𝒆𝒏 𝒌𝒏 𝑘1 𝑁 𝑝1 𝐷 𝑝1 𝑑𝑒𝑛 𝑘1 18 1 2 66 1 54 𝟏 𝟐𝟏 𝟑 3 𝑘2 𝑁 𝑝2 𝐷 𝑝2 𝑑𝑒𝑛 𝑘2 18 2 2 66 2 54 𝟐 𝟏𝟐 𝟑 6 𝑘3 𝑁 𝑝3 𝐷 𝑝3 𝑑𝑒𝑛 𝑘3 18 3 2 66 3 54 𝟑 𝟏 𝟑 𝟐 9 𝑭 𝒔 𝟏𝟖𝒔𝟐 𝟔𝟔𝒔 𝟓𝟒 𝒔 𝟏𝒔 𝟐𝒔 𝟑 𝟑 𝒔 𝟏 𝟔 𝒔 𝟐 𝟗 𝒔 𝟑 Reais distintas Exemplo 3 𝑭 𝒔 𝟔𝒔𝟐 𝟖𝒔 𝟓𝟒 𝟐𝒔 𝟏𝟒𝒔 𝟐𝒔 𝟑 𝑵 𝒔 𝑫 𝒔 Polos 𝒑𝟏 𝟎 𝟓 𝒑𝟐 𝟎 𝟓 𝒑𝟑 𝟑 𝒌𝒏 𝑵 𝒑𝒏 𝑫 𝒑𝒏 𝒅𝒆𝒏 𝒌𝒏 𝑘1 𝑁 𝑝1 𝐷 𝑝1 𝑑𝑒𝑛 𝑘1 6 05 2 8 05 54 4 05 2 05 3 𝟓 𝟏𝟓 𝑘2 𝑁 𝑝2 𝐷 𝑝2 𝑑𝑒𝑛 𝑘2 6 05 2 8 05 54 2 05 1 05 3 𝟖 𝟓 𝑘3 𝑁 𝑝3 𝐷 𝑝3 𝑑𝑒𝑛 𝑘3 6 3 2 8 3 54 2 3 1 4 3 2 𝟏 𝟐 𝑭 𝒔 𝟔𝒔𝟐 𝟖𝒔 𝟓𝟒 𝟐𝒔 𝟏𝟒𝒔 𝟐𝒔 𝟑 𝟓 𝟏𝟓 𝟐𝒔 𝟏 𝟖 𝟓 𝟒𝒔 𝟐 𝟏 𝟐 𝒔 𝟑 𝟐 𝟓𝟕𝟓 𝒔 𝟎 𝟓 2125 𝒔 𝟎 𝟓 𝟏 𝟐 𝒔 𝟑 Exercício Exercício De acordo com o circuito abaixo encontre condições iniciais iguais a zero 𝑹 𝟐𝟎𝟎𝛀 𝒆 𝑪 𝟎 𝟐𝒎𝑭 a O circuito no domínio de Laplace b A função transferência c Encontre Vos considerando uma entrada degrau d Encontre vot através da transformada inversa de Laplace Exercício Exercício De acordo com o circuito abaixo encontre condições iniciais iguais a zero a O circuito no domínio de Laplace b A função transferência 𝐻 𝑠 𝑉0 𝑉𝑖 5000 𝑠 200 5000 𝑠 5000 200 𝑠 5000 25 𝑠 25 Exercício Exercício De acordo com o circuito abaixo encontre condições iniciais iguais a zero c Encontre Vos considerando uma entrada degrau 𝐻 𝑠 𝑉0 𝑉𝑖 25 𝑠 25 𝑉𝑜 𝐴 25 𝑠𝑠 25 𝑨𝒖 𝒕 𝑨 𝒕 𝟎 𝑽𝒊 𝑨 𝒔 Exercício Exercício De acordo com o circuito abaixo encontre condições iniciais iguais a zero d Encontre vot através da transformada inversa de Laplace 𝑉𝑜 𝐴 25 𝑠𝑠 25 𝐾1 𝑠 𝐾2 𝑠 25 𝐾1 𝐴 25 0 25 𝐴 𝐾2 𝐴 25 25 𝐴 𝑉𝑜 𝐴 25 𝑠𝑠 25 𝐴 𝑠 𝐴 𝑠 25 Exercício 𝑉𝑜 𝐴 25 𝑠𝑠 25 𝐴 𝑠 𝐴 𝑠 25 ℒ1𝑉𝑜 𝑣𝑜 𝑡 𝐴 𝐴 𝑒25𝑡 𝐶𝑜𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑛𝑑𝑜 𝜏 𝑅𝐶 004 1 𝜏 25 𝑣𝑜 𝑡 𝐴 1 𝑒25𝑡 𝑉 Exercício De acordo com o circuito abaixo encontre condições iniciais iguais a zero d Encontre vot através da transformada inversa de Laplace Circuitos de Segunda ordem RLC Circuitos de segunda ordem são caracterizados por EDOs de segunda ordem São compostos por Resistores capacitores e indutores 𝒅𝟐𝒗 𝒅𝒕𝟐 𝟏 𝑹𝑪 𝒅𝒗 𝒅𝒕 𝒗 𝑳𝑪 𝟎 Neste exemplo iremos caracterizar a resposta natural de um circuito RLC paralelo Para que a resposta seja diferente de zero é necessário considerar condições iniciais tais condições são a tensão inicial do capacitor eou a corrente inicial do indutor Neste caso não é possível calcular a função transferência pois estamos considerando as condições iniciais Iremos utilizar o recurso da Transformada de Laplace para facilitar a obtenção dos dados Circuitos de Segunda ordem RLC 𝑉 𝑠 𝑍𝑒𝑞 𝑠 𝐼𝑠 𝐼 𝑠 𝐶 𝑉0 𝐼0 𝑠 𝑍𝑒𝑞 𝑠 𝑅 𝑠𝐿 1 𝑠𝐶 Obtendo a relação em no domínio de Laplace Circuitos de Segunda ordem RLC 𝑍𝑒𝑞 𝑠 𝑅 𝑠𝐿 1 𝑠𝐶 𝑍𝑒𝑞 𝑠 𝑅 𝑠𝐿 𝑠𝐶 𝑠𝐿 1 𝑠𝐶 𝑅 𝑠𝐿 𝑠2𝐿𝐶 1 𝑍𝑒𝑞 𝑠 𝑠𝐿 𝑠2𝐿𝐶 1 𝑅 𝑠𝑅𝐿 𝑠2𝐿𝐶 1 𝑠𝐿 𝑠2𝐿𝐶 1 𝑅 𝑠𝑅𝐿 𝑅𝐿𝐶𝑠2 𝑠𝐿 𝑅 𝑍𝑒𝑞 𝑠 𝑠𝑅𝐿 𝑅𝐿𝐶𝑠2 𝑠𝐿 𝑅 𝒔 𝟏 𝑪 𝒔𝟐 𝒔 𝟏 𝑹𝑪 𝟏 𝑳𝑪 𝑉 𝑠 𝑍𝑒𝑞 𝑠 𝐼𝑠 𝐼 𝑠 𝐶 𝑉0 𝐼0 𝑠 𝑍𝑒𝑞 𝑠 𝑅 𝑠𝐿 1 𝑠𝐶 Circuitos de Segunda ordem RLC 𝑍𝑒𝑞 𝑠 𝑠 1 𝐶 𝑠2 𝑠 1 𝑅𝐶 1 𝐿𝐶 𝑉 𝑠 𝑍𝑒𝑞 𝑠 𝐼𝑠 𝐼 𝑠 𝐶 𝑉0 𝐼0 𝑠 𝑍𝑒𝑞 𝑠 𝑅 𝑠𝐿 1 𝑠𝐶 𝑉 𝑠 𝑠 1 𝐶 𝑠2 𝑠 1 𝑅𝐶 1 𝐿𝐶 𝐶 𝑉0 𝐼0 𝑠 𝑽 𝒔 𝒔 𝑽𝟎 𝑰𝟎 𝑪 𝒔𝟐 𝒔 𝟏 𝑹𝑪 𝟏 𝑳𝑪 Quais são os polos deste sistema Circuitos de Segunda ordem RLC 𝑉 𝑠 𝑠 𝑉0 𝐼0 𝐶 𝑠2 𝑠 1 𝑅𝐶 1 𝐿𝐶 Quais são os polos deste sistema 𝑎 1 𝑏 1 𝑅𝐶 𝑐 1 𝐿𝐶 Como o denominar resultou em uma equação do segundo grau precisamos utilizar bhaskara para encontrar os polos 𝑝12 𝑏 𝑏2 4𝑎𝑐 2𝑎 𝑏 2 𝑏 2 2 𝑎𝑐 𝑎 𝑝1 1 2𝑅𝐶 1 2𝑅𝐶 2 1 𝐿𝐶 𝑝2 1 2𝑅𝐶 1 2𝑅𝐶 2 1 𝐿𝐶 Circuitos de Segunda ordem RLC 𝛼 1 2𝑅𝐶 𝑒 𝜔0 1 𝐿𝐶 𝛼 𝐹𝑟𝑒𝑞𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑁𝑒𝑝𝑒𝑟 𝜔0 𝐹𝑟𝑒𝑞𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑠𝑜𝑛â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑝1 𝛼 𝛼2 𝜔0 2 𝑝2 𝛼 𝛼2 𝜔0 2 𝑝1 1 2𝑅𝐶 1 2𝑅𝐶 2 1 𝐿𝐶 𝑝2 1 2𝑅𝐶 1 2𝑅𝐶 2 1 𝐿𝐶 Circuitos de Segunda ordem RLC 𝛼2 𝜔0 2 Raízes reais distintas Resposta superamortecida 𝛼2 𝜔0 2 Raízes complexas conjugadas Resposta subamortecida 𝛼2 𝜔0 2 Raízes reais e iguais Resposta criticamente amortecida 𝛼 1 2𝑅𝐶 𝑒 𝜔0 1 𝐿𝐶 𝛼 𝐹𝑟𝑒𝑞𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑁𝑒𝑝𝑒𝑟 𝜔0 𝐹𝑟𝑒𝑞𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑠𝑜𝑛â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑝1 𝛼 𝛼2 𝜔0 2 𝑝2 𝛼 𝛼2 𝜔0 2 Circuitos de Segunda ordem RLC Exemplo Calcule a reposta natural no domínio do tempo do circuito abaixo 𝑅 200Ω 𝐿 50𝑚𝐻 𝐶 02𝜇𝐹 𝑣𝑐 0 12𝑉 𝑉0 𝑖𝐿 0 30𝑚𝐴 𝐼0 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒐𝒔𝒕𝒂 𝑣 𝑡 14𝑒5000𝑡 26𝑒20000𝑡 𝑉 Circuitos de Segunda ordem RLC Exemplo Calcule a reposta natural no domínio do tempo do circuito abaixo 𝑅 200Ω 𝐿 50𝑚𝐻 𝐶 02𝜇𝐹 𝑣𝑐 0 12𝑉 𝑉0 𝑖𝐿 0 30𝑚𝐴 𝐼0 𝑉 𝑠 12 𝑠 15 104 𝑠 𝑝1𝑠 𝑝2 𝑉 𝑠 𝑠 𝑉0 𝐼0 𝐶 𝑠2 𝑠 1 𝑅𝐶 1 𝐿𝐶 𝑝12 𝛼 𝛼2 𝜔0 2 𝛼 1 2𝑅𝐶 12500 𝑒 𝜔0 1 𝐿𝐶 10000 Resposta superamortecida 𝜶𝟐 𝝎𝟎 𝟐 Circuitos de Segunda ordem RLC Exemplo Calcule a reposta natural no domínio do tempo do circuito abaixo 𝑉 𝑠 12 𝑠 15 104 𝑠 𝑝1𝑠 𝑝2 𝑝1 12500 125002 100002 12500 7500 5000 𝛼 1 2𝑅𝐶 12500 𝑒 𝜔0 1 𝐿𝐶 10000 𝑝2 12500 125002 100002 12500 7500 20000 Circuitos de Segunda ordem RLC Exemplo Calcule a reposta natural no domínio do tempo do circuito abaixo 𝑉 𝑠 12 𝑠 15 104 𝑠 5000 𝑠 20000 Expansão em frações parciais 𝑉 𝑠 12 𝑠 15 104 𝑠 5000 𝑠 20000 𝐾1 𝑠 5000 𝐾2 𝑠 20000 Circuitos de Segunda ordem RLC Exemplo Calcule a reposta natural no domínio do tempo do circuito abaixo 𝑉 𝑠 12 𝑠 15 104 𝑠 5000 𝑠 20000 𝐾1 12 5000 15 104 5000 20000 210000 15000 14 𝐾2 12 20000 15 104 20000 5000 390000 15000 26 Expansão em frações parciais 𝑽 𝒔 𝟏𝟒 𝒔 𝟓𝟎𝟎𝟎 𝟐𝟔 𝒔 𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎 Circuitos de Segunda ordem RLC Exemplo Calcule a reposta natural no domínio do tempo do circuito abaixo 𝑉 𝑠 14 𝑠 5000 26 𝑠 20000 𝓛𝟏 𝑽 𝒔 𝒗 𝒕 𝟏𝟒 𝒆𝟓𝟎𝟎𝟎𝒕 𝟐𝟔 𝒆𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎𝒕 𝑽 𝑉 𝑠 12 𝑠 15 104 𝑠 5000 𝑠 20000 Circuitos de Segunda ordem RLC 𝒗 𝒕 𝟏𝟒 𝒆𝟓𝟎𝟎𝟎𝒕 𝟐𝟔 𝒆𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎𝒕 𝑽 O gráfico da tensão pode ser visualizado na figura abaixo note que a tensão inicial é igual a tensão do capacitor que a tensão estabiliza em zero uma vez que a resposta é natural e também que não há um sobre sinal ou seja a tensão não atravessa o eixo x antes de estabilizar Esta resposta é conhecida por superamortecida O capacitor e o indutor realizam trocas de energia ou seja o campo elétrico do capacitor é convertido em campo magnético no indutor e viceversa Quanto maior o valor de R por mais tempo essas inversões ocorrem O resistor rouba energia do sistema