Revisão de Fasores e Introdução à Transformada de Laplace - Análise de Circuitos

Aula 11 Revisão de Fasores e Introdução a Laplace Revisão Fasor Definição Fasor é a representação complexa da magnitude e fase de uma senoide Tensão corrente e impedância Impedância representa a oposição que um circuito oferece ao fluxo de corrente senoidal Números complexos Transformações Retangular Polar Temos 𝑧 𝑥 𝑗𝑦 Queremos 𝑧 𝑟𝜙 𝒓 𝒙𝟐 𝒚𝟐 𝝓 𝐚𝐭𝐚𝐧 𝒚 𝒙 𝒙 𝒓 𝒄𝒐𝒔 𝝓 𝒚 𝒓 𝐬𝐞𝐧𝝓 Polar Retangular Queremos 𝑧 𝑥 𝑗𝑦 Temos 𝑧 𝑟𝜙 Como a forma exponencial utiliza as relações polares assim Retangular Exponencial Transformar para polar e 𝒛 𝒓 𝒆𝒋𝝓 Polar Exponencial Apenas colocar na forma 𝒛 𝒓 𝒆𝒋𝝓 Exercício 𝒗 𝒕 𝟒 𝟒𝟕 𝒄𝒐𝒔 𝟒 𝒕 𝟔𝟑 𝟒𝟑𝒐 𝑽 Exercício Dado o circuito em regime permanente encontre a expressão 𝑣𝑐𝑡 Considere que 𝑽𝒔 𝒕 𝟏𝟎 𝐜𝐨𝐬 𝟒𝒕 𝑽 Respostas Exercício Fasor 5Ω 1 𝑗 4 01 25jΩ 100𝑜 𝕀 𝕍𝐶 𝕍𝐶 𝕍𝑠 𝑍𝑐 𝑍𝑐 𝑍𝑅 100𝑜 25𝑗 5 25𝑗 100𝑜 25 90𝑜 559 2656𝑜 𝕍𝑪 𝟒 𝟒𝟕 𝟔𝟑 𝟒𝟑𝒐 𝑽 𝕍𝐶 10 25 559 0 90 2656 𝑜 4476344𝑜 𝒗 𝒕 𝟒 𝟒𝟕 𝒄𝒐𝒔 𝟒 𝒕 𝟔𝟑 𝟒𝟑𝒐 𝑽 𝒊 𝒕 𝟏 𝟕𝟗 𝒄𝒐𝒔𝟒 𝒕 𝟐𝟔 𝟓𝟔𝒐 𝑨 Exercício 𝑓 𝑤 2 𝜋 4 2 𝜋 064𝐻𝑧 Corrente Tensão fonte x capacitor 𝒊 𝒕 𝟏 𝟕𝟗 𝒄𝒐𝒔𝟒 𝒕 𝟐𝟔 𝟓𝟔𝒐 𝑨 𝒗 𝒕 𝟒 𝟒𝟕 𝒄𝒐𝒔 𝟒 𝒕 𝟔𝟑 𝟒𝟑𝒐 𝑽 Seletores de frequência filtros passivos Exercício Diferencie cada filtro abaixo como passa altas ou passa baixas encontre a função transferência e a frequência de corte 𝐻𝜔𝑐 1 2 𝐻 𝜔 𝕍𝑜𝑢𝑡 𝕍𝑖𝑛 𝐻 𝜔 1 𝑗𝜔𝐶 𝑅 1 𝑗𝜔𝐶 𝐻 𝜔 1 𝑗𝜔𝐶 𝑗𝜔𝑅𝐶 1 𝑗𝜔𝐶 𝐻 𝜔 𝐻𝜙 1 2 𝐻 𝐻𝜔𝑐 1 2 1 1 𝜔𝑐𝑅𝐶 2 𝝎𝒄 𝟏 𝑹𝑪 𝜔𝑐 1 𝑅𝐶 Seletores de frequência filtros passivos Passa baixas 𝐻 𝜔 1 1 𝑗𝜔𝑅𝐶 21 𝜔𝑐𝑅𝐶 2 𝐻 𝜔 𝑅 𝑅 1 𝑗𝜔𝐶 𝐻 𝜔 1 1 1 𝑗𝜔𝑅𝐶 𝐻 𝜔 𝐻𝜙 1 2 𝐻 𝐻𝜔𝑐 1 2 1 1 1 𝜔𝑐𝑅𝐶 2 2 1 1 𝜔𝑐𝑅𝐶 2 𝝎𝒄 𝟏 𝑹𝑪 2 1 1 𝜔𝑐𝑅𝐶 2 𝜔𝑐 1 𝑅𝐶 Seletores de frequência filtros passivos Passa altas Transformada de Laplace ℒ 𝑓 𝑡 𝐹 𝑠 න 0 𝑓 𝑡 𝑒𝑠𝑡𝑑𝑡 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑠 𝜎 𝑗𝜔 Definição Transformada de Laplace é uma transformação integral de uma função ft do domínio do tempo para o domínio da frequência complexa fornecendo Fs Analisar circuitos com ampla gama de variedade de entradas e respostas A transformada de Laplace transforma equações diferenciais em equações algébricas Os pares de transformadas de Laplace permitem a resolução de circuitos complexos no domínio da frequência e também o retorno ao domínio do tempo através da transformada inversa de Laplace Os parâmetros definidos no domínio da frequência são muito importantes para a análise do circuito no domínio do tempo Definida por Pierre Simon Laplace Transformada de Laplace Domínio do tempo xt ht yt htxt Laplace Laplace inversa de Laplace Xs Hs Ys HsXs Domínio da frequencia PROF HENRIQUE AMORIM Circuito de segunda ordem no tempo 𝒗 𝑹 𝟏 𝑳 න 𝟎 𝒕 𝒗𝒅𝝉 𝑰𝟎 𝑪 𝒅𝒗 𝒅𝒕 𝟎 𝟏 𝑹 𝒅𝒗 𝒅𝒕 𝒗 𝑳 𝑪 𝒅𝟐𝒗 𝒅𝒕𝟐 𝟎 𝒅𝟐𝒗 𝒅𝒕𝟐 𝟏 𝑹𝑪 𝒅𝒗 𝒅𝒕 𝒗 𝑳𝑪 𝟎 Somando as corrente Diferenciando em relação a t 𝐼0 constante Reorganizando os coeficientes e arranjando as derivadas em ordem crescentes chegamos a EDO de segunda ordem abaixo Circuito RLC paralelo análise no domínio do tempo equações diferenciais Este exemplo analisa um circuito de segunda ordem diretamente no tempo Ainda é necessário isolarmos a variável de interesse Veremos futuramente este exemplo no domínio de Laplace Transformada de Laplace Para obtermos a transformada de Laplace e a transformada inversa de Laplace iremos comparar pares de transformada Tabela de transformada A seguir alguns exemplos da obtenção das transformadas ℒ 𝑓 𝑡 𝐹 𝑠 න 0 𝑓 𝑡 𝑒𝑠𝑡𝑑𝑡 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑠 𝜎 𝑗𝜔 Considere o degrau unitário 𝑓 𝑡 𝑢 𝑡 ቊ1 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 0 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 0 Transformada de Laplace ℒ 𝑓 𝑡 𝐹 𝑠 න 0 𝑓 𝑡 𝑒𝑠𝑡𝑑𝑡 𝑓 𝑡 𝑢 𝑡 ቊ1 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 0 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 0 𝐹 𝑠 න 0 1𝑒𝑠𝑡𝑑𝑡 𝐹 𝑠 𝑒𝑠𝑡 𝑠 อ 0 0 1 𝑠 ℒ 𝑢 𝑡 𝑈 𝑠 1 𝑠 Transformada de Laplace ℒ 𝑓 𝑡 𝐹 𝑠 න 0 𝑓 𝑡 𝑒𝑠𝑡𝑑𝑡 𝑓 𝑡 𝑒𝛼𝑡 ℒ 𝑓 𝑡 𝐹 𝑠 න 0 𝑒𝛼𝑡 𝑒𝑠𝑡𝑑𝑡 න 0 𝑒 𝑠𝛼 𝑡𝑑𝑡 ℒ 𝑓 𝑡 𝐹 𝑠 1 𝑠 𝛼 𝑒 𝑠𝛼 𝑡 อ 0 0 1 𝑠 𝛼 ℒ 𝑓 𝑡 𝐹 𝑠 1 𝑠 𝛼 Transformada de Laplace ℒ 𝑓 𝑡 𝐹 𝑠 න 0 𝑓 𝑡 𝑒𝑠𝑡𝑑𝑡 𝑓 𝑡 𝑑𝑓 𝑡 𝑑𝑡 ℒ 𝑓 𝑡 𝐹 𝑠 න 0 𝑑𝑓 𝑡 𝑑𝑡 𝑒𝑠𝑡𝑑𝑡 න 𝑢𝑑𝑣 𝑢𝑣 න 𝑣𝑑𝑢 𝑢 𝑒𝑠𝑡 𝑑𝑢 𝑠 𝑒𝑠𝑡𝑑𝑡 𝑑𝑣 𝑑𝑓 𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑣 𝑓𝑡 ℒ 𝑓 𝑡 𝑒𝑠𝑡 𝑓 𝑡 ቮ 0 𝑠 න 0 𝑓 𝑡 𝑒𝑠𝑡𝑑𝑡 ℒ 𝑓 𝑡 𝑠𝐹 𝑠 𝑓0 Transformada de Laplace ℒ 𝑓 𝑡 𝐹 𝑠 න 0 𝑓 𝑡 𝑒𝑠𝑡𝑑𝑡 𝑓 𝑡 න 0 𝑡 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ℒ 𝑓 𝑡 𝐹 𝑠 න 0 න 0 𝑡 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 𝑒𝑠𝑡𝑑𝑡 න 𝑢𝑑𝑣 𝑢𝑣 න 𝑣𝑑𝑢 𝑢 න 0 𝑡 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑢 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑣 𝑒𝑠𝑡𝑑𝑡 𝑣 1 𝑠 𝑒𝑠𝑡 ℒ 𝑓 𝑡 න 0 𝑡 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑒𝑠𝑡 𝑠 ቮ 0 න 0 𝑒𝑠𝑡 𝑠 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 ℒ 𝑓 𝑡 1 𝑠 𝐹𝑠 Propriedades da Transformada de Laplace Fator de escala ൯ 𝐹 𝑘 𝑓 𝑡 𝑘 𝐹𝑠 ൯ 𝐹 𝑓1 𝑡 𝑓2 𝑡 𝑓3 𝑡 𝐹1 𝑠 𝐹2 𝑠 𝐹3𝑠 Linearidade Deslocamento no tempo Deslocamento na frequência 𝐹 𝑓𝑡 𝛼 𝑒𝛼𝑠 𝐹𝑠 𝐹 𝑒𝛼𝑡 𝑓 𝑡 𝐹𝑠 𝛼 Elementos de circuito Tempo Laplace fasor 𝒗 𝑹 𝒊 𝒊 𝒗 𝑹 𝑽𝒔 𝐑 𝑰𝒔 𝑰𝒔 𝑽𝒔 𝑹 𝑽 𝒔 𝑰 𝒔 𝒁𝑳 𝒔 𝒔𝑳 𝑽 𝒔 𝑰 𝒔 𝒁𝑹 𝒋𝝎 𝑹 𝒗𝒕 𝑳 𝒅𝒊 𝒅𝒕 𝒊𝒕 𝟏 𝑳 න 𝟎 𝒕 𝒗 𝝉 𝒅𝝉 𝒊 𝟎 𝑽 𝒔 𝒔 𝑳 𝑰 𝒔 𝑳 𝑰𝟎 𝑰 𝒔 𝑽 𝒔 𝑳 𝒔 𝑰𝟎 𝒔 𝑽 𝒔 𝑰 𝒔 𝒁𝑹 𝒔 𝑹 𝑽 𝒋𝝎 𝑰 𝒋𝝎 𝒁𝑳 𝒋𝝎 𝒋𝝎𝑳 𝑽 𝒔 𝑰 𝒔 𝒁𝑪 𝒔 𝟏 𝒔𝑪 𝒗𝒕 𝟏 𝑪 න 𝟎 𝒕 𝒊 𝝉 𝒅𝝉 𝒗 𝟎 𝒊 𝒕 𝑪 𝒅𝒗 𝒅𝒕 𝑽 𝒔 𝑰 𝒔 𝑪 𝒔 𝑽𝟎 𝒔 𝑰 𝒔 𝒔 𝑪 𝑽 𝒔 𝑪 𝑽𝟎 𝑽 𝒋𝝎 𝑰 𝒋𝝎 𝒁𝑪 𝒋𝝎 𝟏 𝒋𝝎𝑪 Resistor Indutor Capacitor Elementos de circuito Laplace Resistor Indutor Capacitor OU OU Tabela de Laplace Pares de transformada 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑚𝑖𝑛ú𝑠𝑐𝑢𝑙𝑜 𝑓𝑟𝑒𝑞𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑚𝑎𝑖ú𝑠𝑐𝑢𝑙𝑜 Revisão Função Transferência Hs Entrada Xs Saída Ys Função transferência Hs é a razão entre a resposta de saída Ys e a excitação de entrada Xs suponde que as condições iniciais sejam iguais a zero Sistema Linear Função Transferência 𝐻 𝑠 𝐺𝑎𝑛ℎ𝑜 𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑛𝑠ã𝑜 𝑉𝑜𝑠 𝑉𝑖𝑠 𝑉𝑜 𝐻 𝑠 𝑉𝑖 𝐻 𝑠 𝐺𝑎𝑛ℎ𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 𝐼𝑜𝑠 𝐼𝑖𝑠 𝐼𝑜 𝐻 𝑠 𝐼𝑖 Obtendo a função transferência é possível modelar a saída do sistema em relação a excitação de entrada Domínio do tempo convolução Domínio da frequência multiplicação 𝑦 𝑡 ℎ 𝑡 𝑥𝑡 𝑌 𝑠 𝐻 𝑠 𝑋𝑠 𝑦 𝑡 න 0 𝑡 𝑥 𝜆 ℎ 𝑡 𝜆 𝑑𝜆 Exemplo Exemplo Calcule a função transferência do circuito abaixo 𝑅𝑒𝑠𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎 𝐻 𝑠 104 𝑠 104 Exemplo Exemplo Calcule a função transferência do circuito abaixo 𝑉𝑜𝑠 𝐻 𝑠 𝑉𝑖𝑠 𝑉𝑜 𝑠 106 𝑠 106 𝑠 100 𝑉𝑖𝑠 𝐻 𝑠 106 106 100 𝑠 𝐻 𝑠 104 𝑠 104 Função Transferência 𝐻 𝑠 𝑘 𝑠𝑚 𝑎𝑚1 𝑠𝑚1 𝑎1 𝑠 𝑎0 𝑠𝑛 𝑏𝑛1 𝑠𝑛1 𝑏1 𝑠 𝑏0 𝐻 𝑠 𝑘 𝑠 𝑧1 𝑠 𝑧2 𝑠 𝑧𝑚 𝑠 𝑝1 𝑠 𝑝1 𝑠 𝑝𝑚 Forma Fatorada Parâmetros de uma função transferência 𝑚 𝑔𝑟𝑎𝑢 𝑑𝑜 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑛 𝑔𝑟𝑎𝑢 𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑎𝑖 𝑒 𝑏𝑖 𝑐𝑜𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑆𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑖𝑧á𝑣𝑒𝑖𝑠 𝑚 𝑛 Forma Polinomial 𝑧𝑖 𝑟𝑎í𝑧𝑒𝑠 𝑑𝑜 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟 Zeros da FT 𝑝𝑖 𝑟𝑎í𝑧𝑒𝑠 𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑟 Polos da FT Função Transferência O exemplo resolvido anteriormente possui 𝐻 𝑠 104 𝑠 104 𝑁𝑒𝑛ℎ𝑢𝑚 𝑧𝑒𝑟𝑜 𝑈𝑚 1 𝑃𝑜𝑙𝑜 𝑒𝑚 104 𝑝1 104 Exemplo Exemplo Encontre os zeros e polos dos circuitos Exemplo Exemplo Encontre os zeros e polos dos circuitos 𝐻 𝑠 1 𝑠𝐶 𝑅 1 𝑠𝐶 1 𝑠𝑅𝐶 1 1 𝑅𝐶 𝑠 1 𝑅𝐶 𝐻 𝑠 𝑠𝐿 𝑅 𝑠𝐿 𝑠 𝑠 𝑅 𝐿 𝒔𝒆𝒎 𝒛𝒆𝒓𝒐𝒔 𝒑𝟏 𝟏 𝑹𝑪 𝒛𝟏 𝟎 𝒑𝟏 𝑹 𝑳 Exemplo Exemplo Calcule Vos caso a entrada seja um degrau unitário Encontre vot através da Transformada Inversa de Laplace 𝐻 𝑠 1 𝑅𝐶 𝑠 1 𝑅𝐶 𝑉𝑜 𝑠 𝐻 𝑠 𝑉𝑖𝑠 Exemplo Exemplo Calcule Vos caso a entrada seja um degrau unitário Encontre vot através da Transformada Inversa de Laplace 𝐻 𝑠 1 𝑅𝐶 𝑠 1 𝑅𝐶 𝑉𝑜 𝑠 𝐻 𝑠 𝑉𝑖𝑠 𝑢 𝑡 1 𝐹 𝑢 𝑡 1 𝑠 𝑉𝑖𝑠 𝑉𝑜 𝑠 1 𝑅𝐶 𝑠 𝑠 1 𝑅𝐶 Exemplo Exemplo Calcule Vos caso a entrada seja um degrau unitário Encontre vot através da Transformada Inversa de Laplace 𝑉𝑜 𝑠 1 𝑅𝐶 𝑠 𝑠 1 𝑅𝐶 1 𝑠 1 𝑠 1 𝑅𝐶 𝒆𝒙𝒑𝒂𝒏𝒔ã𝒐 𝒆𝒎 𝒇𝒓𝒂çõ𝒆𝒔 𝒑𝒂𝒓𝒄𝒊𝒂𝒊𝒔 ℒ1 1 𝑠 1 𝑠 1 𝑅𝐶 𝑣𝑜 𝑡 1 𝑒 𝑡 𝑅𝐶 𝑣𝑐 𝑡 𝑣𝑠 1 𝑒𝑡 𝜏 𝑠𝑒 𝑣𝑠 1 𝑣𝑐 𝑡 1 𝑒 𝑡 𝑅𝐶 𝒄𝒐𝒏𝒇𝒆𝒓𝒆