Transformada de Laplace em Circuitos Elétricos - Análise e Aplicações

Aula 13 Transformada de Laplace III Matérias que serão discutidas Nilsson Circuitos Elétricos Capítulos 12 13 e 14 LAPLACE Capítulo 8 Circuitos de Segunda ordem no domínio do tempo Expansão em frações parciais 1 Raízes reais distintas 2 Raízes complexas conjugadas 3 Raízes reais repetidas 4 Raízes complexas repetidas 5 Raízes racionais impróprias As frações podem se encontrar nas seguintes configurações Objetivo Facilitar a obtenção da transformada inversa de Laplace no contexto de circuitos Entendemos por raízes ou polos as raízes do denominador da fração Reais distintas As expansões em frações parciais seguem algoritmos Cada configuração citada no slide anterior possui algumas particularidades Para reais distintas temos 𝑁 𝑠 𝐷 𝑠 𝐾1 𝑠 𝛼1 𝐾1 𝑠 𝛼2 𝐾𝑛 𝑠 𝛼𝑛 𝐹 𝑠 10 𝑠 𝑠 2 𝟓 𝑠 𝟓 𝑠 2 Os algoritmos serão discutidos através de exemplos após cada exemplo veremos as aplicações no contexto de circuitos Abaixo temos uma função racional já decomposta em funções parciais O algoritmo visa calcular as constantes K vide equação acima Passo 1 Explicitar as frações parciais 10 𝑠𝑠 2 𝑘1 𝑠 0 𝑘2 𝑠 2 Note que os polos raiz do denominador foram propositalmente destacados Esta procedimento facilita os cálculos Circuitos de Segunda ordem RLC Paralelo 𝛼2 𝜔0 2 Raízes reais distintas Resposta superamortecida 𝛼2 𝜔0 2 Raízes complexas conjugadas Resposta subamortecida 𝛼2 𝜔0 2 Raízes reais e iguais Resposta criticamente amortecida 𝛼 1 2𝑅𝐶 𝑒 𝜔0 1 𝐿𝐶 𝛼 𝐹𝑟𝑒𝑞𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑁𝑒𝑝𝑒𝑟 𝑟𝑎𝑑𝑠𝑒𝑔 𝜔0 𝐹𝑟𝑒𝑞𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑠𝑜𝑛â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑟𝑎𝑑𝑠𝑒𝑔 𝑝1 𝛼 𝛼2 𝜔0 2 𝑝2 𝛼 𝛼2 𝜔0 2 Circuitos de Segunda ordem RLC Exemplo Calcule a reposta natural no domínio do tempo do circuito abaixo 𝑉 𝑠 14 𝑠 5000 26 𝑠 20000 𝓛𝟏 𝑽 𝒔 𝒗 𝒕 𝟏𝟒 𝒆𝟓𝟎𝟎𝟎𝒕 𝟐𝟔 𝒆𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎𝒕 𝑽 𝑅 200Ω 𝐿 50𝑚𝐻 𝐶 02𝜇𝐹 𝑣𝑐 0 12𝑉 𝑉0 𝑖𝐿 0 30𝑚𝐴 𝐼0 Circuitos de Segunda ordem RLC 𝒗 𝒕 𝟏𝟒 𝒆𝟓𝟎𝟎𝟎𝒕 𝟐𝟔 𝒆𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎𝒕 𝑽 O gráfico da tensão pode ser visualizado na figura abaixo note que a tensão inicial é igual a tensão do capacitor que a tensão estabiliza em zero uma vez que a resposta é natural e também que não há um sobre sinal ou seja a tensão não atravessa o eixo x antes de estabilizar Esta resposta é conhecida por superamortecida O capacitor e o indutor realizam trocas de energia ou seja o campo elétrico do capacitor é convertido em campo magnético no indutor e viceversa Quanto maior o valor de R por mais tempo essas inversões ocorrem O resistor rouba energia do sistema Circuitos de Segunda ordem RLC Exemplo Calcule a reposta natural no domínio do tempo do circuito abaixo 𝑅 3125𝛺 𝐿 50𝑚𝐻 𝐶 02𝜇𝐹 𝑣𝑐 0 12𝑉 𝑉0 𝑖𝐿 0 30𝑚𝐴 𝐼0 Neste exemplo iremos avaliar a resposta natural de um circuito RLC paralelo o mesmo circuito analisado anteriormente entretanto com uma resistência maior Circuitos de Segunda ordem RLC Exemplo Calcule a reposta natural no domínio do tempo do circuito abaixo 𝑅 3125𝛺 𝐿 50𝑚𝐻 𝐶 02𝜇𝐹 𝑣𝑐 0 12𝑉 𝑉0 𝑖𝐿 0 30𝑚𝐴 𝐼0 𝑽 𝒔 𝑽𝟎 𝒔 𝑰𝟎 𝑪 𝒔𝟐 𝒔 𝑹𝑪 𝟏 𝑳𝑪 𝒔𝟐 𝒔 𝑹𝑪 𝟏 𝑳𝑪 Função no domínio de s Eq Característica Circuitos de Segunda ordem RLC 𝑅 3125𝛺 𝐿 50𝑚𝐻 𝐶 02𝜇𝐹 𝑣𝑐 0 12𝑉 𝑉0 𝑖𝐿 0 30𝑚𝐴 𝐼0 𝑽 𝒔 𝟏𝟐 𝒔 𝟏𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒔𝟐 𝒔 𝑹𝑪 𝟏 𝑳𝑪 𝛼 1 2𝑅𝐶 1 2 3125 02 106 𝟖𝟎𝟎 𝑒 𝛼2 𝟔 𝟒 𝟏𝟎𝟓 𝑝1 𝛼 𝛼2 𝜔0 2 𝑝2 𝛼 𝛼2 𝜔0 2 Atenção as constantes são validades para RLC paralelo 𝜔0 2 1 𝐿𝐶 1 50 103 02 106 𝟏𝟎𝟎𝟎 𝟏𝟎𝟓 𝑝12 1 2𝑅𝐶 1 2𝑅𝐶 2 1 𝐿𝐶 Circuitos de Segunda ordem RLC 𝑅 3125𝛺 𝐿 50𝑚𝐻 𝐶 02𝜇𝐹 𝑣𝑐 0 12𝑉 𝑉0 𝑖𝐿 0 30𝑚𝐴 𝐼0 𝑽 𝒔 𝟏𝟐 𝒔 𝟏𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒔𝟐 𝒔 𝑹𝑪 𝟏 𝑳𝑪 𝛼 800 𝛼2 64 105 𝜔0 2 1000 105 𝑝1 𝛼 𝛼2 𝜔0 2 800 64 105 1000 105 𝑝2 𝛼 𝛼2 𝜔0 2 800 64 105 1000 105 𝒑𝟏 𝟖𝟎𝟎 𝟗𝟗𝟔𝟕 𝟗𝟓𝒋 𝒑𝟐 𝟖𝟎𝟎 𝟗𝟗𝟔𝟕 𝟗𝟓𝒋 Circuitos de Segunda ordem RLC 𝑅 3125𝛺 𝐿 50𝑚𝐻 𝐶 02𝜇𝐹 𝑣𝑐 0 12𝑉 𝑉0 𝑖𝐿 0 30𝑚𝐴 𝐼0 𝑽 𝒔 𝟏𝟐 𝒔 𝟏𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒔𝟐 𝒔 𝑹𝑪 𝟏 𝑳𝑪 𝒑𝟏 𝟖𝟎𝟎 𝟗𝟗𝟔𝟕 𝟗𝟓𝒋 𝒑𝟐 𝟖𝟎𝟎 𝟗𝟗𝟔𝟕 𝟗𝟓𝒋 𝑉 𝑠 12 𝑠 150000 𝑠 𝑝1𝑠 𝑝2 𝑉 𝑠 12 𝑠 150000 𝑠 800 996795𝑗𝑠 800 996795𝑗 Circuitos de Segunda ordem RLC 𝒑𝟏 𝟖𝟎𝟎 𝟗𝟗𝟔𝟕 𝟗𝟓𝒋 𝒑𝟐 𝟖𝟎𝟎 𝟗𝟗𝟔𝟕 𝟗𝟓𝒋 𝑉 𝑠 12 𝑠 150000 𝑠 𝑝1𝑠 𝑝2 𝑉 𝑠 12 𝑠 150000 𝑠 800 996795𝑗𝑠 800 996795𝑗 𝐾1 12 𝑠 150000 𝑠 𝑝2 ቤ𝑠 𝑝1 12 800 996795𝑗 150000 800 996795𝑗 800 996795𝑗 𝟔 𝟖𝒊 𝐾2 12 𝑠 150000 𝑠 𝑝1 ቤ𝑠 𝑝2 12 800 996795𝑗 150000 800 996795𝑗 800 996795𝑗 𝟔 𝟖𝒊 𝒙 𝒚𝒋 𝑴𝒆𝒋𝜽 𝑴 𝒙𝟐 𝒚𝟐 𝜽 𝐚𝐭𝐚𝐧 𝒚 𝒙 Relembrando 𝑲𝟏 𝟏𝟎𝒆𝒋𝟓𝟑𝟏𝟑𝒐 𝑲𝟐 𝟏𝟎𝒆𝒋𝟓𝟑𝟏𝟑𝒐 No segundo quadrante somamos 180º de 𝜃 No terceiro quadrante subtraímos 180º de 𝜃 Circuitos de Segunda ordem RLC 𝒑𝟏 𝟖𝟎𝟎 𝟗𝟗𝟔𝟕 𝟗𝟓𝒋 𝒑𝟐 𝟖𝟎𝟎 𝟗𝟗𝟔𝟕 𝟗𝟓𝒋 𝑉 𝑠 12 𝑠 150000 𝑠 𝑝1𝑠 𝑝2 10𝑒5313𝑜𝑗 𝑠 800 996795𝑗 10𝑒5313𝑜𝑗 𝑠 800 996795𝑗 𝑉 𝑠 12 𝑠 150000 𝑠 800 996795𝑗𝑠 800 996795𝑗 ℒ1 𝑉 𝑠 𝑣 𝑡 10𝑒5313𝑜𝑗 𝑒 800996795𝑗 𝑡 10𝑒5313𝑜𝑗 𝑒 800996795𝑗 𝑡 Circuitos de Segunda ordem RLC 𝒗 𝒕 𝟐𝟎 𝒆𝟖𝟎𝟎𝒕 𝒄𝒐𝒔 𝟗𝟗𝟔𝟕 𝟗𝟓𝒕 𝟓𝟑 𝟏𝟑𝒐 𝑽 ℒ1 𝑉 𝑠 𝑣 𝑡 10𝑒5313𝑜𝑗 𝑒 800996795𝑗 𝑡 10𝑒5313𝑜𝑗 𝑒 800996795𝑗 𝑡 𝑣 𝑡 10𝑒5313𝑜𝑗 𝑒800𝑡 𝑒996795𝑗𝑡 10𝑒5313𝑜𝑗 𝑒800𝑡 𝑒996795𝑗𝑡 𝑐𝑜𝑠 𝑠 𝑒𝑗𝑥 𝑒𝑗𝑥 2 2 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑒𝑗𝑥 𝑒𝑗𝑥 𝑣 𝑡 10 𝑒800𝑡𝑒5313𝑜𝑗 𝑒996795𝑗𝑡 𝑒5313𝑜𝑗 𝑒996795𝑗𝑡 𝑣 𝑡 10 𝑒800𝑡𝑒𝑗5313𝑜996795𝑡 𝑒𝑗5313𝑜996795𝑡 Circuitos de Segunda ordem RLC Pspice Matlab Circuitos de Segunda ordem RLC Abaixo uma amostra do comportamento da tensão A cada carga e descarga do capacitorindutor uma parte da energia é dissipada pelo resistor assim o circuito tende a estabilizar em 0V No próximo slide avalie o a polaridade da tensão vs a direção da corrente Circuitos de Segunda ordem RLC Intervalo 0 e 1 Intervalo 2 e 3 Intervalo 1 e 2 Intervalo 3 e 4 No capacitor a tensão não varia de forma abrupta no indutor a corrente não varia de forma abrupta Circuitos de Segunda ordem RLC Considerando mesmo circuito RLC 𝑅 𝑋𝛺 𝐿 50𝑚𝐻 𝐶 02𝜇𝐹 𝑣𝑐 0 12𝑉 𝑉0 𝑖𝐿 0 30𝑚𝐴 𝐼0 𝑽 𝒔 𝑽𝟎 𝒔 𝑰𝟎 𝑪 𝒔𝟐 𝒔 𝑹𝑪 𝟏 𝑳𝑪 𝑠12 1 2𝑅𝐶 1 2𝑅𝐶 2 1 𝐿𝐶 Uma vez que os parâmetro RLC são reais e maiores que zero o valor dos polos será sempre negativo Circuitos de Segunda ordem RLC A velocidade de resposta possui um valor crítico ou seja estaciona mais rápido quando obtemos uma resposta criticamente amortecida A relação é encontrada quando os polos do sistema são reais e iguais 𝑠12 1 2𝑅𝐶 1 2𝑅𝐶 2 1 𝐿𝐶 𝛼2 𝜔0 2 1 2𝑅 02 106 2 1 50 103 02 106 𝑹 𝟐𝟓𝟎𝛀 R só pode ser positivo Circuitos de Segunda ordem RLC Se aumentar o valor de R acima do valor crítico termos um sistema subamortecido uma vez que a frequência de Neper será menor que a frequência angular com isso serão necessários novos ciclos para estabilizar o sistema 𝛼2 𝜔0 2 Circuitos de Segunda ordem RLC Análise do lugar das raízes SuperAmortecido SubAmortecido Criticamente Amortecido Os polos devem ficar do lado esquerdo Quanto mais afastados do eixo real maior a frequência de amortecimento Quanto mais próximas entre si maior a velocidade de acomodação Tabela de respostas Número do par Natureza das raízes 𝑭𝒕 𝒇 𝒕 1 Reais e distintas 𝐾 𝑠 𝛼 𝐾𝑒𝛼𝑡 𝑢𝑡 2 Reais e repetidas 𝐾 𝑠 𝛼 2 𝐾𝑡 𝑒𝛼𝑡 𝑢𝑡 3 Complexas e distintas 𝐾 𝑠 𝛼 𝑗𝛽 𝐾 𝑠 𝛼 𝑗𝛽 2 𝐾 𝑒𝛼𝑡 cos𝛽𝑡 𝜃 𝑢𝑡 4 Complexas e repetidas 𝐾 𝑠 𝛼 𝑗𝛽 2 𝐾 𝑠 𝛼 𝑗𝛽 2 2𝑡 𝐾 𝑒𝛼𝑡 cos𝛽𝑡 𝜃 𝑢𝑡 Nos pares 1 e 2 𝐾 é uma quantidade real ao passo que nos pares 3 e 4 K é a quantidade complexa 𝐾𝜃 Exercício Exercício Encontre a frequência de Neper a frequência angular do circuito RLC em série Calcule a função transferência Exercício 𝑉𝑜 𝑉𝑖 𝑅 𝑠𝐿 𝑉𝑜 𝑠𝐶 0 𝑉𝑜 1 𝑅 𝑠𝐿 𝑠𝐶 𝑉𝑖 𝑅 𝑠𝐿 𝑉𝑜 1 𝑠𝑅𝐶 𝑠2𝐿𝐶 𝑅 𝑠𝐿 𝑉𝑖 𝑅 𝑠𝐿 𝑉𝑜 𝑉𝑖 𝐻 𝑠 1 1 𝑠𝑅𝐶 𝑠2𝐿𝐶 𝑉𝑜 𝑉𝑖 𝐻 𝑠 𝑅 𝑠𝐿 𝑠2 𝑠 𝑅 𝐿 1 𝐿𝐶 𝑝12 𝛼 𝛼2 𝜔0 2 𝑝12 𝑏 2 𝑏 2 2 𝑐 𝜶 𝑹 𝟐𝑳 𝝎𝟎 𝟏 𝑳𝑪 Exercício Encontre a frequência de Neper a frequência angular do circuito RLC em série Calcule a função transferência