Transformada de Laplace e Circuitos de Segunda Ordem RLC - Anotações de Aula

Aula 14 Transformada de Laplace IV Matérias que serão discutidas Nilsson Circuitos Elétricos Capítulos 12 13 e 14 LAPLACE Capítulo 8 Circuitos de Segunda ordem no domínio do tempo Circuitos de Segunda ordem RLC Paralelo 𝛼2 𝜔0 2 Raízes reais distintas Resposta superamortecida 𝛼2 𝜔0 2 Raízes complexas conjugadas Resposta subamortecida 𝛼2 𝜔0 2 Raízes reais e iguais Resposta criticamente amortecida 𝛼 1 2𝑅𝐶 𝑒 𝜔0 1 𝐿𝐶 𝛼 𝐹𝑟𝑒𝑞𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑁𝑒𝑝𝑒𝑟 𝑟𝑎𝑑𝑠𝑒𝑔 𝜔0 𝐹𝑟𝑒𝑞𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑠𝑜𝑛â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑟𝑎𝑑𝑠𝑒𝑔 𝑝1 𝛼 𝛼2 𝜔0 2 𝑝2 𝛼 𝛼2 𝜔0 2 Circuitos de Segunda ordem RLC Considerando mesmo circuito RLC 𝑅 𝑋𝛺 𝐿 50𝑚𝐻 𝐶 02𝜇𝐹 𝑣𝑐 0 12𝑉 𝑉0 𝑖𝐿 0 30𝑚𝐴 𝐼0 𝑽 𝒔 𝑽𝟎 𝒔 𝑰𝟎 𝑪 𝒔𝟐 𝒔 𝑹𝑪 𝟏 𝑳𝑪 𝑠12 1 2𝑅𝐶 1 2𝑅𝐶 2 1 𝐿𝐶 Uma vez que os parâmetro RLC são reais e maiores que zero o valor dos polos será sempre negativo Circuitos de Segunda ordem RLC A velocidade de resposta possui um valor crítico ou seja estaciona mais rápido quando obtemos uma resposta criticamente amortecida A relação é encontrada quando os polos do sistema são reais e iguais 𝑠12 1 2𝑅𝐶 1 2𝑅𝐶 2 1 𝐿𝐶 𝛼2 𝜔0 2 1 2𝑅 02 106 2 1 50 103 02 106 𝑹 𝟐𝟓𝟎𝛀 R só pode ser positivo Circuitos de Segunda ordem RLC Se aumentar o valor de R acima do valor crítico termos um sistema subamortecido uma vez que a frequência de Neper será menor que a frequência angular com isso serão necessários novos ciclos para estabilizar o sistema 𝛼2 𝜔0 2 Tabela de respostas Número do par Natureza das raízes 𝑭𝒕 𝒇 𝒕 1 Reais e distintas 𝐾 𝑠 𝛼 𝐾𝑒𝛼𝑡 𝑢𝑡 2 Reais e repetidas 𝐾 𝑠 𝛼 2 𝐾𝑡 𝑒𝛼𝑡 𝑢𝑡 3 Complexas e distintas 𝐾 𝑠 𝛼 𝑗𝛽 𝐾 𝑠 𝛼 𝑗𝛽 2 𝐾 𝑒𝛼𝑡 cos𝛽𝑡 𝜃 𝑢𝑡 4 Complexas e repetidas 𝐾 𝑠 𝛼 𝑗𝛽 2 𝐾 𝑠 𝛼 𝑗𝛽 2 2𝑡 𝐾 𝑒𝛼𝑡 cos𝛽𝑡 𝜃 𝑢𝑡 Nos pares 1 e 2 𝐾 é uma quantidade real ao passo que nos pares 3 e 4 K é a quantidade complexa 𝐾𝜃 Seletores de frequência e uma entrada senoidal No domínio do tempo temos 𝒙 𝒕 𝑨 𝐜𝐨𝐬𝝎𝒕 𝝓 𝐻 𝑠 𝑌 𝑠 𝑋 𝑠 Considere um sistema com a seguinte função transferência 𝐻𝑠 Sabemos que ℒ 𝑥 𝑡 𝑋𝑠 𝑿 𝒔 𝑨 𝒔 𝒄𝒐𝒔 𝝓 𝝎 𝒔𝒆𝒏 𝝓 𝒔𝟐 𝝎𝟐 Portanto 𝒀 𝒔 𝑯 𝒔 𝑨 𝒔 𝒄𝒐𝒔 𝝓 𝝎 𝒔𝒆𝒏 𝝓 𝒔𝟐 𝝎𝟐 Seletores de frequência 𝑌 𝑠 𝐻 𝑠 𝐴 𝑠 𝑐𝑜𝑠 𝜙 𝜔 𝑠𝑒𝑛 𝜙 𝑠2 𝜔2 Esta resposta possui dois polos complexos conjugados relacionados a entrada senoidal e mais N polos referentes a função transferência Expandindo em frações parciais temos 𝒀 𝑺 𝑲𝟏 𝒔 𝒋𝝎 𝑲𝟏 𝒔 𝒋𝝎 𝒅𝒐𝒔 𝒕𝒆𝒓𝒎𝒐𝒔 𝒈𝒆𝒓𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒑𝒐𝒓 𝑯𝒔 𝐾1 𝐻 𝑠 𝐴 𝑠 𝑐𝑜𝑠 𝜙 𝜔 𝑠𝑒𝑛 𝜙 𝑠 𝑗𝜔 ቮ 𝑠 𝑗𝜔 Para 𝐾1 temos 𝐾1 𝐻 𝑗𝜔 𝐴 𝑗𝜔 𝑐𝑜𝑠 𝜙 𝜔 𝑠𝑒𝑛 𝜙 2𝑗𝜔 Seletores de frequência 𝐾1 𝐻 𝑗𝜔 𝐴 𝑗𝜔 𝑐𝑜𝑠 𝜙 𝜔 𝑠𝑒𝑛 𝜙 2𝑗𝜔 Evidenciando 𝜔 multiplicando numerador e denominador por 𝑗 1𝑗 𝐾1 𝐻 𝑗𝜔 𝐴 𝑐𝑜𝑠 𝜙 𝑗 𝑠𝑒𝑛 𝜙 2 Temos Pela identidade de Euler 𝐾1 𝐴 2 𝐻 𝑗𝜔 𝑒𝑗𝜙 𝐻 𝑗𝜔 é função no domínio de Laplace que pode ser expressa na sua forma exponencial 𝑯 𝒋𝝎 𝑯 𝒋𝝎 𝒆 𝒋𝜽𝝎 Onde 𝜃𝜔 𝑎𝑡𝑔 ℑ𝐻𝑗𝜔 ℜ 𝐻 𝑗𝜔 𝑥 𝑗𝑦 𝑀 𝑒𝑗𝜙 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑀 𝑥 𝑗𝑦 𝑒 𝜙 𝑎𝑡𝑔 𝑦 𝑥 𝑎𝑡𝑔 ℑ𝑥 𝑦𝑗 ℜ 𝑥 𝑦𝑗 Clareando Seletores de frequência 𝐾1 𝐴 2 𝐻 𝑗𝜔 𝑒𝑗𝜙 𝐻 𝑗𝜔 𝐻 𝑗𝜔 𝑒 𝑗𝜃𝜔 Onde 𝜃𝜔 𝑎𝑡𝑔 ℑ𝐻𝑗𝜔 ℜ 𝐻 𝑗𝜔 Temos Portanto 𝑲𝟏 𝑨 𝟐 𝑯 𝒋𝝎 𝒆 𝒋𝜽 𝝎 𝝓 Sabemos que 𝐾 𝑠 𝛼 𝑗𝛽 𝐾 𝑠 𝛼 𝑗𝛽 2 𝐾 𝑒𝛼𝑡 cos𝛽𝑡 𝜙 𝒚𝒓𝒑 𝒕 𝑨𝑯𝒋𝝎𝒄𝒐𝒔𝝎𝒕 𝝓 𝜽𝝎 Assim 𝐾1 𝐻 𝑠 𝐴 𝑠 𝑐𝑜𝑠 𝜙 𝜔 𝑠𝑒𝑛 𝜙 𝑠 𝑗𝜔 ቮ 𝑠 𝑗𝜔 Seletores de frequência 𝒚𝒓𝒑 𝒕 𝑨𝑯𝒋𝝎𝒄𝒐𝒔𝝎𝒕 𝝓 𝜽𝝎 Exercício Considere uma fonte senoidal 𝑥 𝑡 aplicada em um sistema com a seguinte função transferência 𝐻𝑠 abaixo determine a resposta no domínio do tempo 𝑥 𝑡 120 cos 5000𝑡 30𝑜 𝑉 𝐻 𝑠 1000𝑠 5000 𝑠2 6000 𝑠 25 106 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒐𝒔𝒕𝒂 𝒗𝒓𝒑 𝒕 𝟐𝟎 𝟐 𝒄𝒐𝒔𝟓𝟎𝟎𝟎𝒕 𝟏𝟓𝒐 𝑽 Seletores de frequência 𝑦𝑟𝑝 𝑡 𝐴𝐻𝑗𝜔𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 𝜙 𝜃𝜔 Exercício Considere uma fonte senoidal 𝑥 𝑡 aplicada em um sistema com a seguinte função transferência 𝐻𝑠 abaixo determine a resposta no domínio do tempo 𝑥 𝑡 120 cos 5000𝑡 30𝑜 𝑉 𝐻 𝑠 1000𝑠 5000 𝑠2 6000 𝑠 25 106 𝜔 5000 𝜙 30𝑜 𝐴 120 𝐻 𝑗𝜔 10005000𝑗 5000 5000𝑗26000 5000𝑗 25 106 1 6 𝑗 6 2 6 45𝑜 𝒚𝒓𝒑 𝒕 𝟏𝟐𝟎 𝟔 𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝟓𝟎𝟎𝟎𝒕 𝟑𝟎𝒐 𝟒𝟓𝒐 𝟐𝟎 𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝟓𝟎𝟎𝟎𝒕 𝟏𝟓𝒐 Seletores de frequência Exercício O amplificador operacional é ideal e está operando na região linear Calcule a saída de regime permanente 𝑦𝑡 V 𝑥 𝑡 200 10 cos 8000𝑡 𝑚𝑉 𝑅𝑒𝑠𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎 𝑦 𝑡 4 𝑐𝑜𝑠 8000𝑡 16157 𝑉 Seletores de frequência Exercício O amplificador operacional é ideal e está operando na região linear Calcule a saída de regime permanente 𝑦𝑡 V 𝑌 𝑠 𝑍𝑓 𝑍𝑠 𝑋𝑠 𝑌 𝑠 𝑋 𝑠 𝐻 𝑠 𝑍𝑓 𝑍𝑠 𝑍𝑓 𝐶𝑓 𝑅𝑓 𝑍𝑠 𝐶𝑠 𝑅𝑠 𝐶𝑓 𝑠 1 250 1012 𝑠 4 109 𝑠 𝑅𝑓 𝑠 250 103 𝐶𝑠 𝑠 1 5 109 𝑠 02 109 𝑠 𝑅𝑠 𝑠 25 103 Seletores de frequência Exercício O amplificador operacional é ideal e está operando na região linear Calcule a saída de regime permanente 𝑦𝑡 V 𝐻 𝑠 𝑍𝑓 𝑍𝑠 𝑍𝑓 1 𝑍𝑠 𝑍𝑓 4 109 250 103 𝑠 4 109 𝑠 250 103 4 109 250 103 𝑠 4 109 250 103𝑠 𝑠 𝑍𝑠 02 109 25 103𝑠 𝑠 𝑍𝑓 1000 1012 4 109 250 103𝑠 4 109 16000 𝑠 𝐻 𝑠 4 109 𝑠 16000 40 106𝑠 𝑠 8000 1 𝑍𝑠 s 02 109 25 103𝑠 40 106𝑠 𝑠 8000 Seletores de frequência Exercício O amplificador operacional filtro ativo de segunda ordem passa faixa é ideal e está operando na região linear Calcule a saída de regime permanente 𝑦𝑡 V 𝐻 𝑠 𝑍𝑓 𝑍𝑠 𝑍𝑓 1 𝑍𝑠 𝐻 𝑠 160 103𝑠 𝑠 16000 𝑠 8000 𝐻 𝑠 4 109 𝑠 16000 40 106𝑠 𝑠 8000 𝑥 𝑡 200 10 cos 8000𝑡 𝑚𝑉 𝑨 𝟐𝟎𝟎 𝟏𝟎 𝝎 𝟖𝟎𝟎𝟎 𝝓 𝟎𝟎 𝐻 𝑗8000 160 103𝑗8000 𝑗8000 16000 𝑗8000 8000 𝑯 𝒋𝟖𝟎𝟎𝟎 𝟒𝟎 𝟏𝟔𝟏 𝟓𝟕𝒐 Seletores de frequência Exercício O amplificador operacional é ideal e está operando na região linear Calcule a saída de regime permanente 𝑦𝑡 V 𝐴 200 10 𝜔 8000 𝜙 00 𝐻 𝑗8000 40 16157𝑜 𝑦𝑟𝑝 𝑡 𝐴𝐻𝑗𝜔𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 𝜙 𝜃𝜔 𝑦 𝑡 200 10 40 𝑐𝑜𝑠 8000𝑡 0 16157 103 𝒚 𝒕 𝟒 𝒄𝒐𝒔 𝟖𝟎𝟎𝟎𝒕 𝟏𝟔𝟏 𝟓𝟕 𝑽