Séries de Fourier e Equações Diferenciais Parciais - Exercícios Resolvidos

1 Encontre a expansão em série de Fourier de fx x3 no intervalo π π 2 Resolva o problema de valor inicial e de fronteira usando o método de separação de variáveis ut ²ux² 2 ux 0 x L t 0 u0t0 uLt0 t0 ux0 fx 0 x L 3 Encontre a solução do problema de valor inicial e de fronteira dado ²ut² ²ux² 0 x 1 t 0 u0t0 u1t 0 t 0 ux0 0 utx0 1 0 x 1 4 Use a transformada de Fourier para resolver o problema de valor inicial dado ²ux² ut ux0 xex² 1 fx a02 n1 an cosnx bn sennx a₀ 1π ππ fx dx 1π ππ x³ dx 0 Integrando ímpar Como f é impar an 1π ππ fx cosnx dx 0 pois o integrando é uma função ímpar em um intervalo simétrico Utilizando integração por partes bn 1π ππ fx Sennx dx 1π ππ x³ sennx dx 1π x³n cosnx ππ 3n ππ x² cosnx dx 1π 2π³n 1n1 3n x² sennxππ 2n ππ x sennx dx 2π n³n 1n1 3n² xn cosnxππ 1n ππ cosnx dx 2π 1n1 π³n 6n³ 1n1 21n1 n² n² π² 6n fx n1 21n1n² n² π² 6n 2 Faço uxt Xx Tt Temos Xx Tt Xx Tt 2 Xx Tt TT XX 2 XX T cT X 2X cX Tt c₁ ect Xx c₂ emx m² 2m c 0 m 1 1 c Condição periódica de contorno 1c complex Defina ic 1c u0t uLt 0 uxt C1 ect ex eixt C2 eixt C1 1 C2 0 C1 ect eixt C2 eixt 0 C2 1 eixt eixt 0 senxt 0 x nπ 1cl nπ 1c n²π²l² Cn n² π²l² 1 uxt n1 an ecnt ex sennπxL ux0 n1 on ex sennπxL fx n1 an sennπxL ex fx n1 an 0L sennπxL senmπxL dx 0L ex fx senmπxL dx 12 δnm an 2 01 ex fx sennπxL dx uxt n1 an ecnt ex sennπx ③ uxt Xx Tt TtXx Xx Tt TT XX c T cT X cX Condição periódica de contorno c 0 Defino c w² Temos Tt C1 senwt C2 coswt Xx C3 senwx C4 coswx uxt C1 senwx C2 coswxsenwt C3 coswt u0t 0 u1t 0 C2 0 w nπ uxt n1 Cn sennπxsennπt C3 cosnπt ux0 0 C3n 0 uxt n1 Cn sennπt sennπx ut n1 Cn nπ cosnπt sennπx utt0 n1 Cn nπ sennπx 1 n1 Cn nπ 01 sennπx senmπx dx 01 1 sinmπx dx 12 δnm 1m cosmπ 1 Cn nπ 1n 1 1n 0 se n é par 2n se n é ímpar Cn 2nπ2 n ímpar uxt k1 22k1 π 2 sen2k1 π t sen2k1 π x Aplicando a transformado em x ξ² ûξt ûξtt ξ² t Cξ ln û ûξt Cξ eξ² t ûξ0 Fx ex² 1i d dξ Fex² i ξ 22 eξ²4 Cξ i ξ 22 eξ²4 ûξt i ξ 22 eξ² t 14 Uxt F1i ξ 22 eξ² t 14 x 122 F1eξ² t 14 x 122 12t 12 ex²1 4t 124t 1 x ex²4t 1 x4t 132 ex²4t 1