Lista 4 - Inferência - Estatística 2022-1

4ª LISTA DE EXERCÍCIOS - Inferência Profa. Patrícia Viana da Silva 1) Suponha que uma concentração de cloreto no sangue (mmol/L) tenha uma distribuição normal com média 104 e desvio padrão 5.. a) Qual a probabilidade de a concentração equivaler a 105? Menos que 105? No máximo 105? E mais que 105? b) Qual a probabilidade de a concentração de cloreto ser diferente da média por mais de 1 desvio padrão? Essa probabilidade depende de e ? c) Como você caracteriza os 0,1% valores mais extremos da concentração de cloreto? d) Uma amostra de 12 concentrações de cloreto foi obRda. Qual a probabilidade da soma das concentrações estar acima de 1350? E qual a probabilidade da média das concentrações estar entre 94 e 126? e) Suspeita-se que a presença de outras substâncias tenha afetado a média da concentração de cloreto. Sabendo que a amostra do item anterior forneceu uma média de 108,5, forneça um intervalo de 99% de confiança para a média da população e conclua sobre a suspeita. 2) As medidas a seguir foram registradas para o tempo de secagem, em horas, de certa marca de Rnta látex: 3,4; 2,5; 4,8; 2,9; 3,6; 2,8; 3,3; 5,6; 3,7; 2,8; 4,4; 4,0; 5,2; 3,0; 4,8. Assumindo que as medidas representam uma amostra aleatória de uma população normal, determine um intervalo de 99% e de 95% de confiança do tempo médio de secagem. 3) Foram coletados dados de viscosidade (em u.v.) de um líquido produzido em batelada. 40 amostras foram obRdas e apresentaram média de 14,875 e desvio padrão de 0,948. Apresente um IC de 95% e de 90% para a viscosidade média. Podemos concluir que a viscosidade média da população é igual a 15,5? 4) Os resultados de um teste de turvação realizado em 15 amostras de areia de teste foram (em microampères): 26,7 25,8 24,0 24,9 26,4 25,9 24,4 21,7 24,1 25,9 27,3 26,9 27,3 24,8 23,6 a) Calcule o limite de confiança superior com nível de confiança de 95%. b) Que suposição sobre a população foi necessária? 5) Os dados que seguem sobre a voltagem de quebra de circuitos carregados eletricamente foram obRdos de um estudo: 1470 1510 1690 1740 1900 2000 2030 2100 2190 2200 2290 2380 2390 2480 2500 2580 2700 As informações forneceram forte apoio à suposição de que a voltagem de quebra é aproximadamente distribuída de forma normal. Seja a variância da distribuição da voltagem de quebra. Informe uma estimativa pontual e um IC de 95% para e para com base nesta amostra. 6) Defina: a) Função poder de um teste. b) Erro Rpo I c) Erro Rpo II. d) Região críRca. e) Nível de significância. f) Nível descriRvo. 7) Dez mensurações são feitas para a resistência de certo Rpo de fio, fornecendo valores X1, X2, ..., X10, com ohms ohms. Obtenha um intervalo de confiança para µ, com coeficiente de confiança 0,90. Que suposição foi necessária? 8) Em uma auditoria, 79 processos foram verificados durante uma semana especifica. Desses, 3 mostraram erros. Obtenha um intervalo de confiança para a proporção de processos errados usando coeficiente de confiança de 99%. 9) Seja X o tempo em aRvidade de certo Rpo de empresa (em meses). Admita-se que 100 dessas empresas sejam pesquisadas, fornecendo uma média de 51,2 meses. Suponha-se que σ = 8 meses, construa um intervalo de 90% de confiança para a média de tempo de aRvidade desse Rpo de empresa. Que suposição adicional você uRlizou? 10) Uma empresa possui grande número de empregados, um novo treinamento foi proposto, mas não houve o controle de quantos receberam o treinamento. Três milhares de funcionários são escolhidos ao acaso, desses, verificou-se que 1578 já fizeram o treinamento. Forneça um intervalo de 90% de confiança para a proporção de funcionários que receberam o treinamento. 11) Nas situações abaixo, escolha como hipótese nula, H0, aquela que leve a um erro Rpo I mais importante. Descreva quais os dois erros em cada caso. a) O trabalho de um operador de radar é detectar aeronaves inimigas. Quando surge alguma coisa estranha na tela, ele deve decidir entre as hipóteses: i) está começando um ataque; ii) tudo bem, apenas uma leve interferência. b) Num júri, um indivíduo está sendo julgado por um crime. As hipóteses sujeitas ao júri são: i) o acusado é inocente; ii) o acusado é culpado. c) Um pesquisador acredita que descobriu uma vacina contra o resfriado. Ele irá conduzir uma pesquisa de laboratório para verificar a veracidade da afirmação. De acordo com o resultado, ele lançará ou não a μ σ σ2 σ2 σ X = 10,48 s = 1 9 10 ∑ i=1 (Xi − ¯X) 2 = 1,36 vacina no mercado. As hipóteses que podem testar são: i) a vacina é eficaz; ii) a vacina não é eficaz. 12) Um fabricante fornece fusíveis, 90 por cento dos quais funcionam adequadamente. Inicia-se um novo processo cujo objeRvo é aumentar a proporção de fusíveis que funcionam adequadamente. Tiramos uma amostra de 80 fusíveis e contamos 71 com funcionamento adequado. O novo processo pode ser considerado superior se consideramos 1% de erro Rpo I? 13) Suponha que X tenha uma distribuição com variância desconhecida. Deseja-se testar se a média populacional é igual ou diferente do valor 30 a parRr de uma amostra de tamanho 12 que resultou nos seguintes valores 27,1; 29,3; 31,5; 33,0; 30,1; 30,9; 28,4; 32,4; 31,6; 28,9; 27,3 e 29,1. Que conclusão você chegaria se o nível de significância fosse fixado em 0,01? 14) Você suspeita que um dado seja viciado, isto é, que a probabilidade de obter “seis” é maior que 1/6. Você decide testar a hipótese de que o dado é não viciado jogando-o 5 vezes e rejeitando a hipótese se ocorrer a face “seis” 4 ou 5 vezes. Qual a probabilidade de cometer o erro Rpo I? 15) Dados os valores 4, 6, 3, 6 e 6 de uma amostra de cinco observações da variável X, normalmente distribuída, teste ao nível de significância de 5%, a hipótese de que a média da população é 1, contra a hipótese alternaRva de que é maior do que 1. 16) Uma amostra de 11 valores da variável aleatória X, que tem distribuição normal, apresentou os valores tabelados a seguir: Teste ao nível de significância de 5%, a hipótese de que a média da população é 3,7 contra a hipótese de que é maior do que 3,7. 17) Três ações estão sendo avaliados para um invesRmento. Cada aRvo foi verificado durante 200 dias e o resultado é classificado como alta ou baixa e apresentado na tabela abaixo. Teste se a probabilidade de cada aRvo apresentar alta é superior a 0,25. 18) Uma estação de televisão afirma que 60% dos televisores estavam ligados num de seus programas. Uma rede compeRdora deseja contestar essa afirmação e decide usar uma amostra de 200 famílias. Qual deve ser o procedimento adotado para avaliar a veracidade da afirmação da estação? Admita que, da pesquisa, obRvemos 104 famílias que estavam assisRndo o programa. Qual a conclusão a respeito da afirmação? 19) Processos de certo Rpo passam obrigatoriamente por dois setores de uma empresa, A e B. Mediu-se o tempo (em dias) que cinco deles leva para sair dos dois setores e os resultados estão na tabela abaixo. Com nível de significância de 10%, poderíamos afirmar que os processos demoram mais no setor A que no setor B? 20) Uma máquina está produzindo peças de metal com formato cilíndrico. Uma amostra é reRrada e seus diâmetros são 1,01; 0,97; 1,03; 1,04; 0,99; 0,98; 0,99; 1,01 e 1,03 censmetros. a) Determine um intervalo de confiança de 99% para o diâmetro médio das peças dessa máquina, assumindo uma distribuição aproximadamente normal. b) Há uma suspeita de que a máquina está produzindo diâmetros maiores que 1 cm o que traria problemas para a produção. Ao nível de significância de 1% verifique se a suspeita é confirmada. c) A verificação do item (b) poderia ser realizada com o intervalo de confiança do item a)? Por quê? 21) Em geral, uma em cada 30 pessoas que chegam a um aeroporto carrega objetos suspeitos em suas bagagens. Em um dia comum das 50 pessoas selecionadas para checagem de bagagens 5 passaram pela revista com sucesso. Há indicação de aumento de objetos suspeitos? URlize α = 3%. 22) Um estudo de tempo de garanRa de um produto está sendo realizado e de informações anteriores sabe-se que seu desvio padrão é de 5,6 anos. Assumindo uma distribuição normal dê o tamanho mínimo de amostra para que um erro amostral de 2 anos seja superado apenas com probabilidade de 0,03. Valores de X Frequência 4,5 4 4,0 4 3,5 2 3,0 1 Classificação Ação 1 2 3 Alta 144 152 140 Baixa 56 48 60 Total 200 200 200 Processo Setor A Setor B 1 80 75 2 72 70 3 65 60 4 78 72 5 85 78