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Engenharia Aeronáutica ·
Álgebra Linear
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Algebra das Transformac oes Lineares e Matriz de uma transformac ao Exercıcios sobre transformac ao linear Algebra Linear Fısica Medica e de Materiais Jocelino Sato1 Semana 11 1Universidade Federal de Uberlˆandia Uberlˆandia Brazil Jocelino Sato Algebra Linear Fısica Medica e de Materiais Algebra das Transformac oes Lineares e Matriz de uma transformac ao Exercıcios sobre transformac ao linear Algebra das Transformac oes Lineares 1 Algebra das Transformac oes Lineares e Matriz de uma transformac ao O espaco vetorial L V W Matriz de uma transformac ao linear 2 Exercıcios sobre transformac ao linear Jocelino Sato Algebra Linear Fısica Medica e de Materiais Algebra das Transformac oes Lineares e Matriz de uma transformac ao Exercıcios sobre transformac ao linear O espaco vetorial L V W O espaco vetorial L V W Sejam V e W espacos de dimensao finita Denotaremos por L V W o conjunto das transformac oes lineares T V W Quando V W usaremos a seguinte notac ao simplificada L V V L V Dados T e S em L V W esta definida as aplicac ao T S e λT dadas respectivamente por T S v T v S v 1 λT v λT v 2 Jocelino Sato Algebra Linear Fısica Medica e de Materiais O espaço vetorial LVW Deixamos para o leitor verificar que LVW com essa operação de adição e operação de multiplicação por escalar possui uma estrutura de espaço vetorial Observe que o elemento neutro da adição é a transformação nula ou seja a transformação T LVW definida por Tv W vetor nulo de W para v V Registramos isso no Teorema Theorem O conjunto LVW formado pelas transformações lineares T V W com as operações de adição e multiplicação por escalar definidas em 1 e 2 é um espaço vetorial Além disso fixado uma base B v1 v2vn de V e uma base C w1w2wm de W o conjunto das n m transformações lineares Tij 1 i n 1 j m definidas pelas igualdade Tijvk wj se i k W se i k formam uma base para LVW logo dimLVW nm Algebra das Transformac oes Lineares e Matriz de uma transformac ao Exercıcios sobre transformac ao linear O espaco vetorial L V W O espaco vetorial L V W Se U V e W sao espacos vetoriais dados T L U V e S L V W definimos a aplicac ao composta da maneira usual S T u S T u w W E imediato verificar que S T L U W Jocelino Sato Algebra Linear Fısica Medica e de Materiais Matriz de uma transformação linear Sejam V e W espaços de dimensão finita Fixado uma base B v1v2vn de V e uma base C w1w2wm de W Se T V W é uma transformação linear então sabemos que T fica totalmente determinada pelos valores Tvi i 12n Além disso podemos escrever de modo único Tvj i1m tij wi i12n em tij 𝕂 𝕂 ℝ ou 𝕂 ℂ Matriz de uma transformação linear Mais ainda para v α1v1 α2v2 αnvn temos i1m βi wi Tv j1n αj Tvj j1n αj i1m tij wi i1m j1n tij αj wi βi j1n tij αj em que Tal igualdade se matricialmente como TvC β1 β2 βmC t11 t12 t1n t21 t22 t2n tm1 tm2 tmnα1 α2 αn com TCB Tv1C Tv2C TvnCmn Mmn𝕂 Álgabra das Transformações Lineares e Matriz de uma transformação Exercícios sobre transformação linear Matriz de uma transformação linear Matriz de uma transformação linear Portanto uma transformação linear T fica completamente definida pela matriz TCB MmnK cuja jésima coluna são as coordenadas do vetor T vj com relação a base C w1 w2 wm de W Além disso as coordenadas vB do vetor v em relação à base B v1 v2 vn de V e as coordenadas TvC do vetor Tv em relação à base C estão relacionadas pela igualdade TvC TCB vB A matriz TCB é chamada matriz da transformação linear T em relação às bases B e C Quando V W e B C por simplicidade denotaremos essa matriz por TB Jocelino Sato Álgebra Linear Física Médica e de Materiais Álgabra das Transformações Lineares e Matriz de uma transformação Exercícios sobre transformação linear Matriz de uma transformação linear Matriz de uma transformação linear Resumindo temos Theorem Sejam V e W espaços de dimensão finita Fixado uma base B v1 v2 vn de V e uma base C w1 w2 wm se T V W é uma transformação linear então para todo v α1v1 α2v2 αnvn V temos TvC TCB vB em que vB α1 α2 αn B e TCB Tv1C Tv2C TvnC Jocelino Sato Álgebra Linear Física Médica e de Materiais Álgabra das Transformações Lineares e Matriz de uma transformação Exercícios sobre transformação linear Matriz de uma transformação linear Matriz de uma transformação linear Example Sejam B v1 v2 vn e C w1 w2 wm V bases de um espaço de dimensão finita V Se I V V é o operador identidade temos Iv1 v1 m11w1 m21w2 mn1wn Iv2 v2 m12w1 m22w2 mn2wn Ivn vn m1nw1 m2nw2 mnnwn Portanto ICB v1C v2C vnC MCB matriz bloco por coluna em que MCB é a matriz de mudança de base da base B para a base C Jocelino Sato Álgebra Linear Física Médica e de Materiais Example Sejam B v1 v2 vn e C w1 w2 wm V bases de um espaço de dimensão finita V Se I V V é o operador identidade temos Iv1 v1 m11 w1 m21 w2 mn1 wn Iv2 v2 m12 w1 m22 w2 mn2 wn Ivn vn m1n w1 m2n w2 mnn wn Portanto ICB v1C v2C vnC MCB matriz bloco por coluna em que MCB é a matriz de mudança de base da base B para a base C Algebra das Transformac oes Lineares e Matriz de uma transformac ao Exercıcios sobre transformac ao linear Matriz de uma transformac ao linear Matriz de uma transformac ao linear Example Alem disso para v α1v1 α2v2 αnvn vB α1 α2 αn B temse a igualdade vC I vC MB CvB Jocelino Sato Algebra Linear Fısica Medica e de Materiais Theorem Sejam U V e W são espaços vetoriais de dimensão finita com bases B C e D respectivamente a Se T S LUV e λ K a combinação de aplicações T λS LUV e T λSBC TBC λλSBC b Se T LUV e S LVW então a composta S T LUW e S TBD SCD TBC em que denotam composição aplicações e a multiplicação de matrizes c Se T LVW possui uma inversa T1 LWV então TBC é uma matriz inversível com T1CB TBC1 Algebra das Transformac oes Lineares e Matriz de uma transformac ao Exercıcios sobre transformac ao linear Matriz de uma transformac ao linear Matriz de uma transformac ao linear Corollary Sejam V e W espacos vetoriais reais de dimensao finita n dim V e m dim W Fixado uma base B de V e uma base de C de W a aplicac ao F L V W Mmn R que associa T L V W a sua matriz TB C Mmn K e um isomorfismo linear ou seja L V W e Mmn K sao isomorfos Jocelino Sato Algebra Linear Fısica Medica e de Materiais Definition Dizemos que duas matrizes A e B em MnR são semelhantes se existe uma matriz inversível P em MnR tal que B P1 A P A relação de semelhança é reflexiva transitiva e simétrica pois temos as relações A In1 A In reflexiva B P1 A P A P B P1 simétrica B P1 A P e C Q1 B Q C Q1 P1 A P Q P Q1 A P Q transitiva Algebra das Transformac oes Lineares e Matriz de uma transformac ao Exercıcios sobre transformac ao linear Matriz de uma transformac ao linear Matriz de uma transformac ao linear Theorem Sejam V um espaco de dimensao finita Fixado uma base B v1 v2 vn de V se T V V e um operador linear entao para todo v α1v1 α2v2 αnvn V temos T vB TB vB em que TB e a matriz do operador linear em relac ao a base B Jocelino Sato Algebra Linear Fısica Medica e de Materiais Theorem Continuação Além disso se C u1 u2 un é uma outra base de V com matriz de mudança de base MCB da base C para base B então para todo v β1 u1 β2 u2 βn un V temos T vC MBC TB MCB vC em que a matriz TC MBC TB MCB MCB1 TB MCB é a matriz do operador T em relação a base C Logo as matrizes TB e TB são matrizes semelhantes Demonstração Podemos justificar essa igualdade de duas maneiras diferentes A primeira usa as definições de matriz de uma transformação e de matriz de mudança de base Precisamente temos vB MCB vC T vB MCB T vC T vC MCB1 T vB Logo podemos escrever T vC MCB1 T vB MCB1 TB vB MCB1 TB MCBvC para todo v V donde TC MCB1 TB MCB Demonstração A segunda justificativa é obtida observando que uma vez fixado as bases C e B e considerando o operadores identidade I V V temos as matrizes e ICB MCB e IBC MBC MCB1 Logo considerando a composição T I T T podemos escrever TC IBC TB ICB MCB1 TB MCB Example Seja T mathbbR2 longrightarrow P1mathbbR a transformação linear definida por Tab a abx px para ab in mathbbR2 Considerando as bases canônicas B e1 10 e2 01 de mathbbR2 e C 1x temos Te1 1x 11 1x Longrightarrow Te1c left beginarrayc 1 1 endarray rightc Te2 x 01 1x Longrightarrow Te2c left beginarrayc 0 1 endarray rightc Logo a matriz de T em relação ao par de bases B e C é dada por left T rightcB left Te1c quad Te2c right left beginarraycc 1 0 1 1 endarray right Example Continuação Essa matriz possui uma inversa left left T rightcB right1 frac111 01 left beginarraycc 1 1 0 1 endarray rightt left beginarraycc 1 0 1 1 endarray right left T1 rightBc Assim usando a igualdade T1qxB left T1 rightBC qxc temos que o isomorfismo inverso de T satisfaz T11B left beginarraycc 1 0 1 1 endarray right left beginarrayc 1 0 endarray rightc left beginarrayc 1 1 endarray rightB Longrightarrow T11 1e1 1 e2 T1xB left beginarraycc 1 0 1 1 endarray right left beginarrayc 0 1 endarray rightc left beginarrayc 0 1 endarray rightB Longrightarrow T1x 0e1 1 e2 Portanto T1abx aT11 bT1x a11 b01 aba Example Continuação Uma maneira alternativa de obter a lei de formação do isomorfismo inverso T1 o usar a dualidade px alpha beta x Tab a abx Longleftrightarrow T1 px ab Da igualdade px alpha beta x T ab a abx obtemos o sistema alpha a beta ab Longrightarrow a alpha e b beta a beta alpha ou seja T1 alpha beta x alphabeta alpha in mathbbR2 Example A matriz de T R3 R2 definido por Txyz x y x z xyz R3 em relação às bases canônicas B v1 100 v2 010 v3 001 do R3 e C u1 10 u2 01 do R2 é T 1 1 0 0 1 1 Pois Tv1 11 1u1 1u2 Tv2 10 1u1 1u2 Tv3 01 0u1 1u2 Algebra das Transformac oes Lineares e Matriz de uma transformac ao Exercıcios sobre transformac ao linear Algebra das Transformac oes Lineares 1 Algebra das Transformac oes Lineares e Matriz de uma transformac ao O espaco vetorial L V W Matriz de uma transformac ao linear 2 Exercıcios sobre transformac ao linear Jocelino Sato Algebra Linear Fısica Medica e de Materiais Algebra das Transformac oes Lineares e Matriz de uma transformac ao Exercıcios sobre transformac ao linear Exercıcios sobre transformac ao linear Exercıcio Sejam B u1 1 3 u2 2 4 e C v1 1 1 1 v2 2 2 0 v3 3 0 0 bases de R2 e R3 respectivamente e seja T R2 R3 a transformac ao linear dada por T x y x 2y x 0 Encontre a matriz TC B Jocelino Sato Algebra Linear Fısica Medica e de Materiais Solution Temos as igualdades Tu1 T13 710 0v1 12 v2 83 v3 Tu1C 0 12 83C Tu2 T24 620 0v1 1v2 43 v3 Tu2C 0 1 43C Portanto TBC Tp1C Tp2C 0 0 12 1 83 43 Exercício Sejam B p1x 2 p2x x uma base de P1R e C q1x 1 q2x x2 q3x x23 uma base P2R e sejam F P1R P2R e G P2R P2R transformações lineares tais que FBC 0 0 4 0 0 3 e GCC 1 12 13 0 2 0 0 0 123 Determine o que se pede a Calcule os valores Fp1x e Fp2x imagem dos vetores p1x e p2x pela transformação F e em seguida encontre uma fórmula para Fp em que px a0 a1 x b Calcule os valores Gq1x Gq2x e Gq3x imagem dos vetores q1x q2x e q3x pela transformação G e em seguida encontre uma fórmula para Gq em que qx b0 b1 x b2 x2 c Seja T a composta das transformações G e F ou seja T G F Determine a matriz TBC Exercícios sobre transformação linear Solution Solução do item a Temos as igualdades Fp1xC Fp2xC FBC 0 0 4 0 0 3 e assim podemos escrever Fp1xC 0 4 0C 0q1x 4q1x 0q2x F2 2x Fp2xC 0 0 3C 0q1x 0q1x 3q2x Fx x2 Exercícios sobre transformação linear Solution Continuação Agora dado um vetor arbitrário px a0 a1 x em P1R suas coordenadas α βB na base B satisfazem a igualdade a0 a1 x px α p1x β p2x 2 α β x logo α a02 e β a1 Assim da linearidade da transformação F podemos escrever Fa1 a1 x Fα p1x β p2x α Fp1x β Fp2x a02 F2 a1 Fx a02 2x a1 x2 a0 x a1 x2 x a0 a1 x x px ou seja Fpx x px para todo px em P1R Exercícios sobre transformação linear Solution Continuação Agora dado um vetor arbitrário px a0 a1 x em P1R suas coordenadas α βB na base B satisfazem a igualdade a0 a1 x px α p1x β p2x 2 α β x logo α a02 e β a1 Assim da linearidade da transformação F podemos escrever Fa1 a1 x Fα p1x β p2x α Fp1x β Fp2x a02 F2 a1 Fx a02 2x a1 x2 a0 x a1 x2 x a0 a1 x x px ou seja Fpx x px para todo px em P1R Solution Solução do item b Temos as igualdades Gq1xC Gq2xC Gq3xC GCC 1 12 13 0 2 83 0 0 123 e assim podemos escrever Gq1xC 1 0 0C 1 q1x 0 q1x 0 q2x G1 1 Gq2xC 12 2 0C 12 q1x 2 q1x 0 q2x Gx2 12 x Gq3xC 13 83 123C 13 q1x 83 q1x 123 q2x Gx23 13 43 x 43 x2 Algebra das Transformac oes Lineares e Matriz de uma transformac ao Exercıcios sobre transformac ao linear Exercıcios sobre transformac ao linear Solution Continuac ao Agora dado um vetor arbitrario q x b0 b1x b2x2 em P2 R suas coordenadas α β γ C na base C satisfazem a igualdade b0 b1x b2x2 q x αq1 xβq2 xγq3 x α β 2 x γ 3x2 logo α b0 β 2b1 e γ 3b2 Jocelino Sato Algebra Linear Fısica Medica e de Materiais Solution Continuação Assim da linearidade da transformação G podemos escrever Gb0 b1 x b2 x2 Gα q1 x β q2x γ q3x α Gq1x β Gq2x γ Gq3x b0 G1 2 b1 Gx2 3 b2 Gx23 b0 2 b1 12 x 3 b2 13 43 x 43 x2 b0 b1 1 2x b2 1 2x2 q1 2x ou seja Gqx q1 2x para todo qx em P2ℝ Algebra das Transformac oes Lineares e Matriz de uma transformac ao Exercıcios sobre transformac ao linear Exercıcios sobre transformac ao linear Solution Soluc ao do item c Sabemos que a matriz de uma composta e dada pelo produto das matrizes das transformac oes envolvidas Precisamente para T G F temos TC B GC C FC B 1 1 2 1 3 0 2 8 3 0 0 12 3 0 0 4 0 0 3 2 1 8 8 0 12 Jocelino Sato Algebra Linear Fısica Medica e de Materiais Solution Continuação Uma outra maneira de obter tal matriz é primeiro obtendo sua lei de formação Para um vetor arbitrário px a0 a1 x em P1ℝ temos T G Fa0 a1 x GFa0 a1 x Ga0 x a1 x2 a0 1 2x a1 1 2x2 a0 a1 2 a0 4 a1 x 4 a1 x2 Solution Continuação Usando as bases B p1x 2 p2x x C q1x 1 q2x x2 q3x x23 obtemos as igualdades Tp1x T2 2 4x 1q1x 8q2x 0q3x Tp1xC 1 8 0c Tp2x Tx 1 4x 4x2 1q1x 8q2x 12q3x Tp2xC 1 8 12c Algebra das Transformac oes Lineares e Matriz de uma transformac ao Exercıcios sobre transformac ao linear Exercıcios sobre transformac ao linear Solution Continuac ao Portanto novamente obtemos a matriz TC B 2 1 8 8 0 12 Jocelino Sato Algebra Linear Fısica Medica e de Materiais Exercício Seja T M2R M2R o operador linear dado por Ta b c d 2ab 2b 2c 3d Mostre que ele é um isomorfismo linear e em seguida determine seu inverso Solution Seja B A1 1 0 0 0 A2 0 1 0 0 A3 0 0 1 0 A4 0 0 0 1 a matriz canônica do M2R Temos TA1 2A1 2A1 0A2 0A3 0A4 TA2 A1 2A2 1A1 2A2 0A3 0A4 TA3 2A3 0A1 0A2 2A3 0A4 TA4 3A4 0A1 0A2 0A3 3A4 Solution Continuação Logo a matriz TB T A1 quad T A2 quad T A3 quad T A4 beginbmatrix 2 1 0 0 0 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 endbmatrixB tem determinante diferente de zero e concluímos que T é um isomorfismo Algebra das Transformac oes Lineares e Matriz de uma transformac ao Exercıcios sobre transformac ao linear Exercıcios sobre transformac ao linear Solution Continuac ao Alem disso 2 1 0 0 1 0 0 0 0 2 0 0 0 1 0 0 0 0 2 0 0 0 1 0 0 0 0 3 0 0 0 1 2 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 2 0 0 0 0 1 0 0 0 1 2 0 0 0 0 1 0 0 0 1 3 2 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 2 0 0 0 0 1 0 0 0 1 2 0 0 0 0 1 0 0 0 1 3 1 0 0 0 1 2 1 4 0 0 0 1 0 0 0 1 2 0 0 0 0 1 0 0 0 1 2 0 0 0 0 1 0 0 0 1 3 Jocelino Sato Algebra Linear Fısica Medica e de Materiais Solution Continuação Portanto T1B beginbmatrix frac12 frac14 0 0 0 frac12 0 0 0 0 frac12 0 0 0 0 frac13 endbmatrix e podemos escrever T1 A1 frac12 A1 0 A2 0 A3 0 A4 beginbmatrix frac12 0 0 0 endbmatrix T1 A2 frac14 A1 frac12 A2 0 A3 0 A4 beginbmatrix frac14 frac12 0 0 endbmatrix T1 A3 0 A1 0 A2 frac12 A3 0 A4 beginbmatrix 0 0 frac12 0 endbmatrix T1 A4 0 A1 0 A2 0 A3 frac13 A4 beginbmatrix 0 0 0 frac13 endbmatrix Solution Continuação O que fornece T1 left beginbmatrix a b c d endbmatrix right a T1 A1 b T1 A2 c T1 A3 d T1 A4 a beginbmatrix frac12 0 0 0 endbmatrix b beginbmatrix frac14 frac12 0 0 endbmatrix c beginbmatrix 0 0 frac12 0 endbmatrix d beginbmatrix 0 0 0 frac13 endbmatrix beginbmatrix fraca2 fracb4 fracb2 fracc2 fracd3 endbmatrix Solution Continuação Apenas para verificar observe que T1 T a b c d T1 2a b 2b 2c 3d 2a b2 2b4 2b2 2c2 3d3 a b c d
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em L V W esta definida as aplicac ao T S e λT dadas respectivamente por T S v T v S v 1 λT v λT v 2 Jocelino Sato Algebra Linear Fısica Medica e de Materiais O espaço vetorial LVW Deixamos para o leitor verificar que LVW com essa operação de adição e operação de multiplicação por escalar possui uma estrutura de espaço vetorial Observe que o elemento neutro da adição é a transformação nula ou seja a transformação T LVW definida por Tv W vetor nulo de W para v V Registramos isso no Teorema Theorem O conjunto LVW formado pelas transformações lineares T V W com as operações de adição e multiplicação por escalar definidas em 1 e 2 é um espaço vetorial Além disso fixado uma base B v1 v2vn de V e uma base C w1w2wm de W o conjunto das n m transformações lineares Tij 1 i n 1 j m definidas pelas igualdade Tijvk wj se i k W se i k formam uma base para LVW logo dimLVW nm Algebra das Transformac oes Lineares e Matriz de uma transformac ao Exercıcios sobre transformac ao linear O espaco vetorial L V W O espaco vetorial L V W Se U V e W sao espacos vetoriais dados T L U V e S L V W definimos a aplicac ao composta da maneira usual S T u S T u w W E imediato verificar que S T L U W Jocelino Sato Algebra Linear Fısica Medica e de Materiais Matriz de uma transformação linear Sejam V e W espaços de dimensão finita Fixado uma base B v1v2vn de V e uma base C w1w2wm de W Se T V W é uma transformação linear então sabemos que T fica totalmente determinada pelos valores Tvi i 12n Além disso podemos escrever de modo único Tvj i1m tij wi i12n em tij 𝕂 𝕂 ℝ ou 𝕂 ℂ Matriz de uma transformação linear Mais ainda para v α1v1 α2v2 αnvn temos i1m βi wi Tv j1n αj Tvj j1n αj i1m tij wi i1m j1n tij αj wi βi j1n tij αj em que Tal igualdade se matricialmente como TvC β1 β2 βmC t11 t12 t1n t21 t22 t2n tm1 tm2 tmnα1 α2 αn com TCB Tv1C Tv2C TvnCmn Mmn𝕂 Álgabra das Transformações Lineares e Matriz de uma transformação Exercícios sobre transformação linear Matriz de uma transformação linear Matriz de uma transformação linear Portanto uma transformação linear T fica completamente definida pela matriz TCB MmnK cuja jésima coluna são as coordenadas do vetor T vj com relação a base C w1 w2 wm de W Além disso as coordenadas vB do vetor v em relação à base B v1 v2 vn de V e as coordenadas TvC do vetor Tv em relação à base C estão relacionadas pela igualdade TvC TCB vB A matriz TCB é chamada matriz da transformação linear T em relação às bases B e C Quando V W e B C por simplicidade denotaremos essa matriz por TB Jocelino Sato Álgebra Linear Física Médica e de Materiais Álgabra das Transformações Lineares e Matriz de uma transformação Exercícios sobre transformação linear Matriz de uma transformação linear Matriz de uma transformação linear Resumindo temos Theorem Sejam V e W espaços de dimensão finita Fixado uma base B v1 v2 vn de V e uma base C w1 w2 wm se T V W é uma transformação linear então para todo v α1v1 α2v2 αnvn V temos TvC TCB vB em que vB α1 α2 αn B e TCB Tv1C Tv2C TvnC Jocelino Sato Álgebra Linear Física Médica e de Materiais Álgabra das Transformações Lineares e Matriz de uma transformação Exercícios sobre transformação linear Matriz de uma transformação linear Matriz de uma transformação linear Example Sejam B v1 v2 vn e C w1 w2 wm V bases de um espaço de dimensão finita V Se I V V é o operador identidade temos Iv1 v1 m11w1 m21w2 mn1wn Iv2 v2 m12w1 m22w2 mn2wn Ivn vn m1nw1 m2nw2 mnnwn Portanto ICB v1C v2C vnC MCB matriz bloco por coluna em que MCB é a matriz de mudança de base da base B para a base C Jocelino Sato Álgebra Linear Física Médica e de Materiais Example Sejam B v1 v2 vn e C w1 w2 wm V bases de um espaço de dimensão finita V Se I V V é o operador identidade temos Iv1 v1 m11 w1 m21 w2 mn1 wn Iv2 v2 m12 w1 m22 w2 mn2 wn Ivn vn m1n w1 m2n w2 mnn wn Portanto ICB v1C v2C vnC MCB matriz bloco por coluna em que MCB é a matriz de mudança de base da base B para a base C Algebra das Transformac oes Lineares e Matriz de uma transformac ao Exercıcios sobre transformac ao linear Matriz de uma transformac ao linear Matriz de uma transformac ao linear Example Alem disso para v α1v1 α2v2 αnvn vB α1 α2 αn B temse a igualdade vC I vC MB CvB Jocelino Sato Algebra Linear Fısica Medica e de Materiais Theorem Sejam U V e W são espaços vetoriais de dimensão finita com bases B C e D respectivamente a Se T S LUV e λ K a combinação de aplicações T λS LUV e T λSBC TBC λλSBC b Se T LUV e S LVW então a composta S T LUW e S TBD SCD TBC em que denotam composição aplicações e a multiplicação de matrizes c Se T LVW possui uma inversa T1 LWV então TBC é uma matriz inversível com T1CB TBC1 Algebra das Transformac oes Lineares e Matriz de uma transformac ao Exercıcios sobre transformac ao linear Matriz de uma transformac ao linear Matriz de uma transformac ao linear Corollary Sejam V e W espacos vetoriais reais de dimensao finita n dim V e m dim W Fixado uma base B de V e uma base de C de W a aplicac ao F L V W Mmn R que associa T L V W a sua matriz TB C Mmn K e um isomorfismo linear ou seja L V W e Mmn K sao isomorfos Jocelino Sato Algebra Linear Fısica Medica e de Materiais Definition Dizemos que duas matrizes A e B em MnR são semelhantes se existe uma matriz inversível P em MnR tal que B P1 A P A relação de semelhança é reflexiva transitiva e simétrica pois temos as relações A In1 A In reflexiva B P1 A P A P B P1 simétrica B P1 A P e C Q1 B Q C Q1 P1 A P Q P Q1 A P Q transitiva Algebra das Transformac oes Lineares e Matriz de uma transformac ao Exercıcios sobre transformac ao linear Matriz de uma transformac ao linear Matriz de uma transformac ao linear Theorem Sejam V um espaco de dimensao finita Fixado uma base B v1 v2 vn de V se T V V e um operador linear entao para todo v α1v1 α2v2 αnvn V temos T vB TB vB em que TB e a matriz do operador linear em relac ao a base B Jocelino Sato Algebra Linear Fısica Medica e de Materiais Theorem Continuação Além disso se C u1 u2 un é uma outra base de V com matriz de mudança de base MCB da base C para base B então para todo v β1 u1 β2 u2 βn un V temos T vC MBC TB MCB vC em que a matriz TC MBC TB MCB MCB1 TB MCB é a matriz do operador T em relação a base C Logo as matrizes TB e TB são matrizes semelhantes Demonstração Podemos justificar essa igualdade de duas maneiras diferentes A primeira usa as definições de matriz de uma transformação e de matriz de mudança de base Precisamente temos vB MCB vC T vB MCB T vC T vC MCB1 T vB Logo podemos escrever T vC MCB1 T vB MCB1 TB vB MCB1 TB MCBvC para todo v V donde TC MCB1 TB MCB Demonstração A segunda justificativa é obtida observando que uma vez fixado as bases C e B e considerando o operadores identidade I V V temos as matrizes e ICB MCB e IBC MBC MCB1 Logo considerando a composição T I T T podemos escrever TC IBC TB ICB MCB1 TB MCB Example Seja T mathbbR2 longrightarrow P1mathbbR a transformação linear definida por Tab a abx px para ab in mathbbR2 Considerando as bases canônicas B e1 10 e2 01 de mathbbR2 e C 1x temos Te1 1x 11 1x Longrightarrow Te1c left beginarrayc 1 1 endarray rightc Te2 x 01 1x Longrightarrow Te2c left beginarrayc 0 1 endarray rightc Logo a matriz de T em relação ao par de bases B e C é dada por left T rightcB left Te1c quad Te2c right left beginarraycc 1 0 1 1 endarray right Example Continuação Essa matriz possui uma inversa left left T rightcB right1 frac111 01 left beginarraycc 1 1 0 1 endarray rightt left beginarraycc 1 0 1 1 endarray right left T1 rightBc Assim usando a igualdade T1qxB left T1 rightBC qxc temos que o isomorfismo inverso de T satisfaz T11B left beginarraycc 1 0 1 1 endarray right left beginarrayc 1 0 endarray rightc left beginarrayc 1 1 endarray rightB Longrightarrow T11 1e1 1 e2 T1xB left beginarraycc 1 0 1 1 endarray right left beginarrayc 0 1 endarray rightc left beginarrayc 0 1 endarray rightB Longrightarrow T1x 0e1 1 e2 Portanto T1abx aT11 bT1x a11 b01 aba Example Continuação Uma maneira alternativa de obter a lei de formação do isomorfismo inverso T1 o usar a dualidade px alpha beta x Tab a abx Longleftrightarrow T1 px ab Da igualdade px alpha beta x T ab a abx obtemos o sistema alpha a beta ab Longrightarrow a alpha e b beta a beta alpha ou seja T1 alpha beta x alphabeta alpha in mathbbR2 Example A matriz de T R3 R2 definido por Txyz x y x z xyz R3 em relação às bases canônicas B v1 100 v2 010 v3 001 do R3 e C u1 10 u2 01 do R2 é T 1 1 0 0 1 1 Pois Tv1 11 1u1 1u2 Tv2 10 1u1 1u2 Tv3 01 0u1 1u2 Algebra das Transformac oes Lineares e Matriz de uma transformac ao Exercıcios sobre transformac ao linear Algebra das Transformac oes Lineares 1 Algebra das Transformac oes Lineares e Matriz de uma transformac ao O espaco vetorial L V W Matriz de uma transformac ao linear 2 Exercıcios sobre transformac ao linear Jocelino Sato Algebra Linear Fısica Medica e de Materiais Algebra das Transformac oes Lineares e Matriz de uma transformac ao Exercıcios sobre transformac ao linear Exercıcios sobre transformac ao linear Exercıcio Sejam B u1 1 3 u2 2 4 e C v1 1 1 1 v2 2 2 0 v3 3 0 0 bases de R2 e R3 respectivamente e seja T R2 R3 a transformac ao linear dada por T x y x 2y x 0 Encontre a matriz TC B Jocelino Sato Algebra Linear Fısica Medica e de Materiais Solution Temos as igualdades Tu1 T13 710 0v1 12 v2 83 v3 Tu1C 0 12 83C Tu2 T24 620 0v1 1v2 43 v3 Tu2C 0 1 43C Portanto TBC Tp1C Tp2C 0 0 12 1 83 43 Exercício Sejam B p1x 2 p2x x uma base de P1R e C q1x 1 q2x x2 q3x x23 uma base P2R e sejam F P1R P2R e G P2R P2R transformações lineares tais que FBC 0 0 4 0 0 3 e GCC 1 12 13 0 2 0 0 0 123 Determine o que se pede a Calcule os valores Fp1x e Fp2x imagem dos vetores p1x e p2x pela transformação F e em seguida encontre uma fórmula para Fp em que px a0 a1 x b Calcule os valores Gq1x Gq2x e Gq3x imagem dos vetores q1x q2x e q3x pela transformação G e em seguida encontre uma fórmula para Gq em que qx b0 b1 x b2 x2 c Seja T a composta das transformações G e F ou seja T G F Determine a matriz TBC Exercícios sobre transformação linear Solution Solução do item a Temos as igualdades Fp1xC Fp2xC FBC 0 0 4 0 0 3 e assim podemos escrever Fp1xC 0 4 0C 0q1x 4q1x 0q2x F2 2x Fp2xC 0 0 3C 0q1x 0q1x 3q2x Fx x2 Exercícios sobre transformação linear Solution Continuação Agora dado um vetor arbitrário px a0 a1 x em P1R suas coordenadas α βB na base B satisfazem a igualdade a0 a1 x px α p1x β p2x 2 α β x logo α a02 e β a1 Assim da linearidade da transformação F podemos escrever Fa1 a1 x Fα p1x β p2x α Fp1x β Fp2x a02 F2 a1 Fx a02 2x a1 x2 a0 x a1 x2 x a0 a1 x x px ou seja Fpx x px para todo px em P1R Exercícios sobre transformação linear Solution Continuação Agora dado um vetor arbitrário px a0 a1 x em P1R suas coordenadas α βB na base B satisfazem a igualdade a0 a1 x px α p1x β p2x 2 α β x logo α a02 e β a1 Assim da linearidade da transformação F podemos escrever Fa1 a1 x Fα p1x β p2x α Fp1x β Fp2x a02 F2 a1 Fx a02 2x a1 x2 a0 x a1 x2 x a0 a1 x x px ou seja Fpx x px para todo px em P1R Solution Solução do item b Temos as igualdades Gq1xC Gq2xC Gq3xC GCC 1 12 13 0 2 83 0 0 123 e assim podemos escrever Gq1xC 1 0 0C 1 q1x 0 q1x 0 q2x G1 1 Gq2xC 12 2 0C 12 q1x 2 q1x 0 q2x Gx2 12 x Gq3xC 13 83 123C 13 q1x 83 q1x 123 q2x Gx23 13 43 x 43 x2 Algebra das Transformac oes Lineares e Matriz de uma transformac ao Exercıcios sobre transformac ao linear Exercıcios sobre transformac ao linear Solution Continuac ao Agora dado um vetor arbitrario q x b0 b1x b2x2 em P2 R suas coordenadas α β γ C na base C satisfazem a igualdade b0 b1x b2x2 q x αq1 xβq2 xγq3 x α β 2 x γ 3x2 logo α b0 β 2b1 e γ 3b2 Jocelino Sato Algebra Linear Fısica Medica e de Materiais Solution Continuação Assim da linearidade da transformação G podemos escrever Gb0 b1 x b2 x2 Gα q1 x β q2x γ q3x α Gq1x β Gq2x γ Gq3x b0 G1 2 b1 Gx2 3 b2 Gx23 b0 2 b1 12 x 3 b2 13 43 x 43 x2 b0 b1 1 2x b2 1 2x2 q1 2x ou seja Gqx q1 2x para todo qx em P2ℝ Algebra das Transformac oes Lineares e Matriz de uma transformac ao Exercıcios sobre transformac ao linear Exercıcios sobre transformac ao linear Solution Soluc ao do item c Sabemos que a matriz de uma composta e dada pelo produto das matrizes das transformac oes envolvidas Precisamente para T G F temos TC B GC C FC B 1 1 2 1 3 0 2 8 3 0 0 12 3 0 0 4 0 0 3 2 1 8 8 0 12 Jocelino Sato Algebra Linear Fısica Medica e de Materiais Solution Continuação Uma outra maneira de obter tal matriz é primeiro obtendo sua lei de formação Para um vetor arbitrário px a0 a1 x em P1ℝ temos T G Fa0 a1 x GFa0 a1 x Ga0 x a1 x2 a0 1 2x a1 1 2x2 a0 a1 2 a0 4 a1 x 4 a1 x2 Solution Continuação Usando as bases B p1x 2 p2x x C q1x 1 q2x x2 q3x x23 obtemos as igualdades Tp1x T2 2 4x 1q1x 8q2x 0q3x Tp1xC 1 8 0c Tp2x Tx 1 4x 4x2 1q1x 8q2x 12q3x Tp2xC 1 8 12c Algebra das Transformac oes Lineares e Matriz de uma transformac ao Exercıcios sobre transformac ao linear Exercıcios sobre transformac ao linear Solution Continuac ao Portanto novamente obtemos a matriz TC B 2 1 8 8 0 12 Jocelino Sato Algebra Linear Fısica Medica e de Materiais Exercício Seja T M2R M2R o operador linear dado por Ta b c d 2ab 2b 2c 3d Mostre que ele é um isomorfismo linear e em seguida determine seu inverso Solution Seja B A1 1 0 0 0 A2 0 1 0 0 A3 0 0 1 0 A4 0 0 0 1 a matriz canônica do M2R Temos TA1 2A1 2A1 0A2 0A3 0A4 TA2 A1 2A2 1A1 2A2 0A3 0A4 TA3 2A3 0A1 0A2 2A3 0A4 TA4 3A4 0A1 0A2 0A3 3A4 Solution Continuação Logo a matriz TB T A1 quad T A2 quad T A3 quad T A4 beginbmatrix 2 1 0 0 0 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 endbmatrixB tem determinante diferente de zero e concluímos que T é um isomorfismo Algebra das Transformac oes Lineares e Matriz de uma transformac ao Exercıcios sobre transformac ao linear Exercıcios sobre transformac ao linear Solution Continuac ao Alem disso 2 1 0 0 1 0 0 0 0 2 0 0 0 1 0 0 0 0 2 0 0 0 1 0 0 0 0 3 0 0 0 1 2 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 2 0 0 0 0 1 0 0 0 1 2 0 0 0 0 1 0 0 0 1 3 2 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 2 0 0 0 0 1 0 0 0 1 2 0 0 0 0 1 0 0 0 1 3 1 0 0 0 1 2 1 4 0 0 0 1 0 0 0 1 2 0 0 0 0 1 0 0 0 1 2 0 0 0 0 1 0 0 0 1 3 Jocelino Sato Algebra Linear Fısica Medica e de Materiais Solution Continuação Portanto T1B beginbmatrix frac12 frac14 0 0 0 frac12 0 0 0 0 frac12 0 0 0 0 frac13 endbmatrix e podemos escrever T1 A1 frac12 A1 0 A2 0 A3 0 A4 beginbmatrix frac12 0 0 0 endbmatrix T1 A2 frac14 A1 frac12 A2 0 A3 0 A4 beginbmatrix frac14 frac12 0 0 endbmatrix T1 A3 0 A1 0 A2 frac12 A3 0 A4 beginbmatrix 0 0 frac12 0 endbmatrix T1 A4 0 A1 0 A2 0 A3 frac13 A4 beginbmatrix 0 0 0 frac13 endbmatrix Solution Continuação O que fornece T1 left beginbmatrix a b c d endbmatrix right a T1 A1 b T1 A2 c T1 A3 d T1 A4 a beginbmatrix frac12 0 0 0 endbmatrix b beginbmatrix frac14 frac12 0 0 endbmatrix c beginbmatrix 0 0 frac12 0 endbmatrix d beginbmatrix 0 0 0 frac13 endbmatrix beginbmatrix fraca2 fracb4 fracb2 fracc2 fracd3 endbmatrix Solution Continuação Apenas para verificar observe que T1 T a b c d T1 2a b 2b 2c 3d 2a b2 2b4 2b2 2c2 3d3 a b c d