Autovalores Autovetores Conicas Quadricas e Rotacao de Eixos Algebra Linear

Autovalores e autovetores Classificac ao das cˆonicas e quadricas Rotac ao de eixos Algebra Linear Fısica Medica e de Materiais Jocelino Sato1 Semana 14 1Universidade Federal de Uberlˆandia Uberlˆandia Brazil Jocelino Sato Algebra Linear Fısica Medica e de Materiais Autovalores e autovetores Classificac ao das cˆonicas e quadricas Rotac ao de eixos Autovalores e autovetores 1 Autovalores e autovetores Autovalores e autovetores de uma matriz Autovalores e autovetores de um operador linear Exercıcios sobre autovalores e autovetores 2 Classificac ao das cˆonicas e quadricas Rotac ao de eixos Diagonalizac ao de matrizes Classificac ao das cˆonicas Classificac ao das quadricas Rotac ao de eixos Jocelino Sato Algebra Linear Fısica Medica e de Materiais Se A é uma matriz quadrada de ordem n I é a identidade de ordem n e λ um escalar então as coordenadas um vetor não nulo v x1 x2 xn Rn é uma solução do sistema homogêneo representado matricialmente por A λI x1 x2 xnt 0 0 0t A x1 x2 xnt λI x1 x2 xnt 0 0 0t quando v verifica a igualdade Av λIv λv Aqui como é usual estamos identificando o vetor v e a matriz coluna dado seu transposto vt Autovalores e autovetores Classificac ao das cˆonicas e quadricas Rotac ao de eixos Autovalores e autovetores de uma matriz Autovalores e autovetores de uma matriz Definition Um vetor naonulo v x1 x2 xn em Rn e chamado um autovetor da matriz quadrada A Mn R se Av e um multiplo escalar de v ou seja se existe um escalar λ tal Av λv 1 Ou equivalentemente quando v e uma soluc ao nao trivial do sistema representado matricialmente pela igualdade A λIn v 2 em que e o vetor nulo de Rn O escalar λ R e chamado um autovalor de A e dizemos que v e um autovetor associado a λ Jocelino Sato Algebra Linear Fısica Medica e de Materiais Recordamos que o sistema 2 tem uma solução não trivial se e somente se a matriz A λI for não inversiva ou seja se para algum escalar λ tivermos det A λIn a11 λ a12 a1n a21 a22 λ a2n an1 an2 ann λ pAλ 3 λn cn1 λn1 c1 λ c0 4 1nλ λ1λ λ2λ λn 1n λ λ1m1λ λ2m2 λ λnmn 0 5 em que λi é uma raiz complexa com multiplicidade mi e m1 m2 mk n Autovalores e autovetores Classificac ao das cˆonicas e quadricas Rotac ao de eixos Autovalores e autovetores de uma matriz Autovalores e autovetores de uma matriz Definition O polinˆomio pA λ det A λI e denominado polinˆomio caracterıstico da matriz A Assim λ e um autovalor da matriz A se e somente se for uma raiz da chamada equac ao caracterıstica pA λ det A λIn 0 6 Resumimos o exposto acima no seguinte Teorema Theorem Se A e uma matriz em Mn R e λ e um numero real entao as seguintes afirmac oes sao equivalentes a λ e um autovalor de A b O sistema homogˆeneo A λIn tem soluc oes nao triviais c Existe um vetor naonulo v tal que Av λv d λ e uma soluc ao da equac ao caracterıstica det A λIn pA λ 0 Jocelino Sato Algebra Linear Fısica Medica e de Materiais Observação Recordamos que se r α βi é uma raiz com multiplicidade m de pAr 0 então sua conjugada α βi é também uma raiz com multiplicidade m e assim na decomposição 5 aparece o fator λ α i βmλ α βim λ 2αr α2 β2m Observação Na igualdade detA λIn pAλ λn cn1 λn1 c1 λ c0 a O coeficiente c0 satisfaz as igualdades c0 p0 detA b O coeficiente cn1 satisfaz as igualdades cn1 1n1 i1n αi 1n1 trA em que trA denominado traço da matriz A é dado pela soma dos seus elementos diagonais Example No caso particular de uma matriz 2 2 A a b c d temos a igualdade pAλ detA λI a λ b c d λ a λd λ cd λ2 a d λ ad cd λ2 trA λ detA E consequentemente os autovalores são λ1 e λ2 dados por λ1 λ2 trA trA2 4 detA 2 Example O polinômio característico da matriz A 2 3 0 1 é dado por pAλ detA λI 2 λ 3 0 1 λ λ2 trA detA λ2 2 1λ 21 30 λ2 3λ 2 2 λ1 λ Portanto os autovalores da matriz A são λ1 1 e λ2 2 além disso temos a Os autovetores associados ao autovalor λ₁ 1 são os vetores v x y não nulo soluções dos sistema homogêneo A λ₁Ix y 0 0 1 3 0 0x y 0 0 x 3y 0 v 3y y y 3 1 Portanto todo múltiplo escalar não nulo do vetor v 3 1 é um autovetor associado ao autovalor λ₁ 1 b Os autovetores associados ao autovalor λ₂ 2 são os vetores w x y não nulo soluções dos sistema homogêneo A λ₂Ix y 0 0 0 3 0 1x y 0 0 3y 0 y x ℝ w x 0 x 1 0 Portanto todo múltiplo escalar não nulo do vetor w 1 0 é um autovetor associado ao autovalor λ₂ 2 Quando v é um autovetor da matriz A existe uma relação geométrica entre os vetores Av e v A igualdade Av λv diz que cada vetor na reta r pela origem e tem como vetor diretor o vetor v é transformado de volta à mesma reta quando multiplicado por A Em particular no caso do exemplo anterior temos 2 3 0 13α 1α 3α 1α 1 3α 1α α ℝ 2 3 0 1β 0 2β 0 2 β 0 β ℝ Example A matriz A dada por A 2 1 1 2 3 4 1 1 2 tem o polinômio característico pAλ detA λI3 2 λ 1 1 2 3 λ 4 1 1 2 λ λ3 3λ2 λ 3 λ 1λ 1λ 3 As solução da equação característica pAλ 0 são os autovalores da matriz A λ1 1 λ2 1 e λ3 3 Example Continuação Para determinar os autovetores associados ao autovalor λ1 1 temos que encontrar os vetores não nulos v x y z solução do seguinte sistema linear A λ1 I3 x y z 2 1 1 1 2 3 1 4 1 1 2 1 x y z 0 0 0 3x y z 0 2x 4y 4z 0 x y z 0 x y z 0 3x y z 0 2x 4y 4z 0 x y z 0 2y 2z 0 2y 2z 0 x y z 0 2y 2z 0 Logo devemos ter y z x y z 0 e podemos escrever v 0 z z z0 1 1 Example Continuação Os autovetores associados a λ2 1 são da forma w x1 1 0 com 0 x ℝ Pois A λ2 I3 x y z 2 1 1 1 2 3 1 4 1 1 2 1 x y z 0 0 0 x y z 0 2x 2y 4z 0 x y 3z 0 x y z 0 2z 0 2z 0 x y 0 z 0 e finalmente os autovetores associados ao autovalor λ3 3 são do tipo t x2 3 1 para 0 x ℝ Autovalores e autovetores Classificac ao das cˆonicas e quadricas Rotac ao de eixos Autovalores e autovetores de um operador linear Autovalores e autovetores de um operador linear Usando os resultados sobre mudanca de base mostraremos que podemos usar a representac ao matricial na definic ao do conceito de autovalor e autovetor de um operador linear Iniciamos esse estudo com resultados preliminares sobre matriz e determinantes Temos o seguinte Theorem Sejam A e B matrizes semelhantes em Mn R isto e existe uma matriz inversıvel P com B P1AP Temos a det A det B b Os polinˆomios caracterısticos pA λ det A λIn e pB λ det B λIn sao iguais Consequentemente A e B possuem os mesmos autovalores e portanto os mesmos autovetores associados Jocelino Sato Algebra Linear Fısica Medica e de Materiais Prova do item a O Teorema de Binet diz que det XY det X det Y det Y det X Consequentemente se X é uma matriz inversiva então XX1 In e obtemos det X det X1 det In 1 Como A e B são matrizes semelhantes existe uma matriz inversível P tal que B P1 A P Logo podemos escrever det B det P1 A P det P1 det A det P det A det P1 det P det A 1 det A Prova do item b A prova do item b é consequência imediato do item a uma vez que temos as igualdades B λ In P1 A P λ P1 P P1 A P λ In P P1 A λ In P Ou seja B λ In e A λ In são matrizes semelhantes Logo pelo item a temos pB λ det B λ In det A λ In pA λ Autovalores e autovetores Classificac ao das cˆonicas e quadricas Rotac ao de eixos Autovalores e autovetores de um operador linear Autovalores e autovetores de um operador linear Theorem Dado um espaco vetorial de dimensao finita V sobre R seja T um operador linear sobre V Se α e β sao duas bases de V entao a matriz de T em relac ao a base α Tα α e a matriz de T em relac ao a base β Tβ β satisfazem a igualdade Tβ β Iα β Tα α Iβ α 9 em que Iβ α e a matriz de mudanca da base β para a base α e Iα β e a matriz de mudanca da base α para a base β Jocelino Sato Algebra Linear Fısica Medica e de Materiais Autovalores e autovetores Classificac ao das cˆonicas e quadricas Rotac ao de eixos Autovalores e autovetores de um operador linear Autovalores e autovetores de um operador linear Demonstrac ao Segue do conceito de coordenadas que para todo v V vale as igualdades vα Iβ α vβ vβ Iα β vα T vβ Iα β T vα Por outro lado as coordenadas de T v nas bases a e β satisfazem as igualdades T vα Ta α vα Ta α Iβ α vβ T vβ Tβ β vβ em que Ta α e a matriz de T em relac ao a base α e Tβ β a matriz de T em relac ao a base β respectivamente Jocelino Sato Algebra Linear Fısica Medica e de Materiais Continuação Assim podemos escrever T νβ Iβα T να Iβα Tαα να Iβα Tαα Iαβ νβ ν V logo supondo β ν1 ν2 νn temos Tββ T ν1β T ν2β T νnβ Iβα Tαα Iαβ ν1β Iβα Tαα Iαβ ν2β Iβα Tαα Iαβ νnβ Iβα Tαα Iαβ Corollary Seja V um espaço vetorial de dimensão finita sobre ℝ e sejam α e β bases do espaço V Se T é um operador linear sobre V então det Tββ det Tαα Corollary Seja V um espaço vetorial de dimensão finita sobre ℝ e sejam α e β bases do espaço V Se T é um operador linear sobre V então det Tββ det Tαα Demonstração Considerando P Iαβ matriz de mudança de base da base β para base α segue da teoria da mudança de base que P¹ Iβα e portanto a igualdade dada pelo Teorema Tββ Iβα Tαα Iβα 10 fornece o Corolário Autovalores e autovetores Classificac ao das cˆonicas e quadricas Rotac ao de eixos Autovalores e autovetores de um operador linear Autovalores e autovetores de um operador linear Definition Sejam V um espaco vetorial de dimensao finita sobre R e T V V um operador linear sobre V Um numero λ R e um autovalor do operador T se existe um vetor nao nulo v V tal que T v λv λI v T λI v 0 O vetor v e denominado um autovetor de T associado a λ Equivalentemente um autovetor de T associado a um autovalor λ e um vetor do ker T λI em que I e o operador identidade Jocelino Sato Algebra Linear Fısica Medica e de Materiais Autovalores e autovetores Classificac ao das cˆonicas e quadricas Rotac ao de eixos Autovalores e autovetores de um operador linear Autovalores e autovetores de um operador linear Afirmac ao Se V e um espaco vetorial de dimensao finita e β e uma base qualquer de V entao 1 Um autovalor do operador T e um autovalor de qualquer matriz A Tβ β de T em relac ao a qualquer base β de V Observe que se B Tα α entao pelo Teorema 12 pB λ det B λIn 0 det A λIn pA λ Logo a noc ao de autovalor de um operador linear independe da base escolhida para determinar sua matriz 2 Um vetor v e um autovetor de T associado a λ se e somente se a matriz de coordenadas vβ e um autovetor de Tβ β associado a λ Jocelino Sato Algebra Linear Fısica Medica e de Materiais Autovalores e autovetores Classificac ao das cˆonicas e quadricas Rotac ao de eixos Exercıcios sobre autovalores e autovetores Exercıcios sobre autovalores e autovetores Exercıcio Seja T R3 R3 o operador linear dado por T x y z 2x x z 2x 3y 4z x y z Determine seus autovetores Jocelino Sato Algebra Linear Fısica Medica e de Materiais Autovalores e autovetores Classificac ao das cˆonicas e quadricas Rotac ao de eixos Exercıcios sobre autovalores e autovetores Exercıcios sobre autovalores e autovetores Solution Seja B e1 1 0 0 e2 0 1 0 e3 0 0 1 a base canˆonica do R3Temos T e1 T 1 0 0 2 2 1 2e1 2e2 e3 T e2 T 0 1 0 1 3 1 1e1 3e2 e3 T e3 T 0 0 1 1 4 2 1e1 4e2 2e3 Portanto TB B A 2 1 1 2 3 4 1 1 2 em que A e a matriz do exemplo 8 Jocelino Sato Algebra Linear Fısica Medica e de Materiais Autovalores e autovetores Classificac ao das cˆonicas e quadricas Rotac ao de eixos Exercıcios sobre autovalores e autovetores Exercıcios sobre autovalores e autovetores Solution Continuac ao Logo conforme contas desenvolvidas neste exemplo temos que λ1 1 λ2 1 e λ3 3 sao autovalores de T e a os autovetores associados ao autovalor λ1 1 da forma v z 0 1 1 0 z R b agora os autovetores associados a λ2 1 sao da forma w x1 1 0 com 0 x R c finalmente os autovetores associados ao autovalor λ3 3 sao do tipo t x2 3 1 para 0 x R Jocelino Sato Algebra Linear Fısica Medica e de Materiais Autovalores e autovetores Classificac ao das cˆonicas e quadricas Rotac ao de eixos Exercıcios sobre autovalores e autovetores Exercıcios sobre autovalores e autovetores Exercıcio Ache os autovalores e autovetores correspondentes da transformac ao linear dada por T M2R M2R tal que TA At Isto e T e a transformac ao que leva uma matriz na sua transposta Jocelino Sato Algebra Linear Fısica Medica e de Materiais Solution Seja B A₁ A₂ A₃ A₄ a base canônica de M₂ℝ Temos A₁ 1 0 0 0 A₂ 0 1 0 0 A₃ 0 0 1 0 e A₄ 0 0 0 1 com TA₁ A₁ 1A₁ 0A₂ 0A₃ 0A₄ TA₂ A₃ 0A₁ 0A₂ 1A₃ 0A₄ TA₃ A₂ 0A₁ 1A₂ 0A₃ 0A₄ TA₄ A₄ 0A₁ 0A₂ 0A₃ 1A₄ Solution Continuação Portanto temos TBB T A1B T A2B T A3B T A4B 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 M Solution Continuação Assim ρMλ detM λI 1 λ 0 0 0 0 λ 1 0 0 1 λ 0 0 0 0 1 λ 111 1 λ λ 1 1 λ 1 λ2 133 λ 1 1 λ 1 λ2 λ2 1 A igualdade ρMλ 1 λ2 λ2 1 1 λ3 λ 1 diz que os autovalores de T são λ1 1 e λ2 1 Além disso temos Solution Continuação a os autovetores A a b c d associados ao autovalor λ1 1 são soluções da equação TA At 1A a c b d a b c d a a d d c b b c Logo a 0 d e b c e concluímos que os autovetores associados a λ1 1 são da forma A 0 c c 0 c 0 1 1 0 0 c ℝ b os autovetores associados ao autovalor λ₂ 1 são soluções da equação TA At 1A a c b d a b c d a ℝ d ℝ c b b c Logo a e d são números arbitrários e b c e concluímos que os autovetores associados a λ₂ 1 são da forma A a c c d a1 0 0 0 c0 1 1 0 d0 0 0 1 0 a c d ℝ Autovalores e autovetores Classificac ao das cˆonicas e quadricas Rotac ao de eixos Exercıcios sobre autovalores e autovetores Exercıcios sobre autovalores e autovetores Solution Continuac ao Uma soluc ao alternativa para determinar os autovetores e considerar os autovetores da matriz M 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 Jocelino Sato Algebra Linear Fısica Medica e de Materiais Considerando o autovalor λ₁ 1 para x x₁ x₂ x₃ x₄ temos vB 0 x₂ x₂ 0 0A₁ x₂A₂ x₂A₃ 0A₄ 0 x₂ x₂ 0 x₂ 0 1 1 0 Logo vB 0 x₂ x₂ 0 0A₁ x₂A₂ x₂A₃ 0A₄ 0 x₂ x₂ 0 x₂ 0 1 1 0 Agora no caso do autovalor λ₂ 1 temos M 1 I₄ x₁ x₂ x₃ x₄ 0 x₂ x₃ x₂ x₃ 0 0 0 0 0 x₁ x₄ ℝ e x₂ x₃ Logo vB x₁ x₂ x₂ x₄ x₁A₁ x₂A₂ x₂A₃ x₄A₄ x₁ x₂ x₂ x₄ Autovalores e autovetores Classificac ao das cˆonicas e quadricas Rotac ao de eixos Autovalores e autovetores 1 Autovalores e autovetores Autovalores e autovetores de uma matriz Autovalores e autovetores de um operador linear Exercıcios sobre autovalores e autovetores 2 Classificac ao das cˆonicas e quadricas Rotac ao de eixos Diagonalizac ao de matrizes Classificac ao das cˆonicas Classificac ao das quadricas Rotac ao de eixos Jocelino Sato Algebra Linear Fısica Medica e de Materiais Autovalores e autovetores Classificac ao das cˆonicas e quadricas Rotac ao de eixos Diagonalizac ao de matrizes Diagonalizac ao de matrizes Dizemos que uma matriz quadrada A e dita diagonalizavel se existir uma matriz invertıvel P p11 p12 p1n p21 p22 p2n 0 0 pn1 pn2 pnn tal que o produto P1AP e uma matriz diagonal Ou seja A e diagonalizavel se A e semelhante a uma matriz diagonal B λ1 0 0 0 λ2 0 0 0 0 λn P1AP Neste caso dizemos que a matriz P diagonaliza A Jocelino Sato Algebra Linear Fısica Medica e de Materiais Autovalores e autovetores Classificac ao das cˆonicas e quadricas Rotac ao de eixos Diagonalizac ao de matrizes Diagonalizac ao de matrizes Example A matriz A 2 1 1 2 3 4 1 1 2 e diagonalizavel De fato considerando a matriz P v1 v2 v3 cujas colunas sao os autovetores da matriz A obtemos P 0 1 2 1 1 3 1 0 1 e P1 1 4 1 4 5 4 1 2 1 2 1 2 1 4 1 4 1 4 1 0 0 0 1 0 0 0 3 1 4 1 4 5 4 1 2 1 2 1 2 1 4 1 4 1 4 2 1 1 2 3 4 1 1 2 0 1 2 1 1 3 1 0 1 Observe que os elementos diagonais da matriz sao P os autovalores λi da matriz A assciados aos autovalores vi Jocelino Sato Algebra Linear Fısica Medica e de Materiais Autovalores e autovetores Classificac ao das cˆonicas e quadricas Rotac ao de eixos Diagonalizac ao de matrizes Diagonalizac ao de matrizes O exemplo acima ilustra uma situac ao geral dado pelo teorema a seguir Theorem Se A e uma matriz em Mn R entao as seguintes afirmac oes sao equivalentes 1 A e diagonalizavel 2 A tem n autovetores linearmente independentes Jocelino Sato Algebra Linear Fısica Medica e de Materiais Precisamente temos que existe uma matriz inversível P ρ₁₁ p₁₂ p₁n ρ₂₁ p₂₂ p₂n 0 0 ρn₁ pₙ₂ pnn tal que P¹AP λ₁ 0 0 0 λ₂ 0 0 0 0 λn B se e somente se AP PB P λ₁ 0 0 0 λ₂ 0 0 0 0 λn P λ₁p₁₁ λ₂p₁₂ λnp₁n λ₁p₂₁ λ₂p₂₂ λnp₂n 0 λ₁pn₁ λ₁pn₂ λnpnn λP₁ λ₂P₂ λnPₙ A matriz que diagonaliza A é uma matriz P P₁ P₂ Pn cujas colunas são dadas pelos autovetores da matriz A E os elementos diagonais do produto P¹AP são seus autovalores correspondentes mesmo indices Portanto temos o seguinte procedimento para diagonalizar uma matriz diagonalizável A Passo 1 Resolva o problema de autovaloresautovetores determinado n autovetores linearmente independentes da matriz A digamos v₁ v₂ vn Passo 2 Construa a matriz bloco por coluna P P₁ P₂ Pn cujos vetorescoluna Pᵢ são os autovetores vi 1 i n Passo 3 A matriz P¹AP é a matriz diagonal principal com elementos λ₁ λ₂ λn na diagonal principal onde λᵢ é o autovalor associado ao autovetor vi 1 i n As matrizes simétricas A são sempre diagonalizáveis e a matriz P que a diagonaliza tem propriedades especiais Theorem Se A é uma matriz em Mₙℝ então as seguintes afirmações são equivalentes 1 A é simétrica 2 A tem um conjunto ortonormal de n autovetores 3 A é ortogonalmente diagonalizável isto é existe uma matriz ortogonal P P¹ Pᵗ inversa igual a transposta que diagonaliza A Precisamente a matriz bloco por coluna P P₁ P₂ Pn cujos vetorescoluna Pᵢ são os versores de autovetores vᵢ 1 i n da matriz A que podem ser escolhidos de forma adequada de modo que detP 1 é tal matriz Diagonalização de matrizes As matrizes simétricas A são sempre diagonalizáveis e a matriz P que a diagonaliza tem propriedades especiais Theorem Se A é uma matriz em Mn R então as seguintes afirmações são equivalentes 1 A é simétrica 2 A tem um conjunto ortonormal de n autovetores 3 A é ortogonalmente diagonalizável isto é existe uma matriz ortogonal P P1 Pt inversa igual a transposta que diagonaliza A Precisamente a matriz bloco por coluna P P1 P2 Pn cujos vetorescoluna Pi são os versores de autovetores vi 1 leq i leq n da matriz A que podem ser escolhidos de forma adequada de modo que det P 1 é tal matriz Observação Existem situações em que a aplicação direta sem adaptações do roteiro anterior para determinar P não funciona E não iremos abordar essa situação neste curso Autovalores e autovetores Classificac ao das cˆonicas e quadricas Rotac ao de eixos Classificac ao das cˆonicas Classificac ao das cˆonicas Com a noc ao de diagonalizac ao podemos determinar a menos de uma translac ao a equac ao canˆonica de uma quadrica ou cˆonica bem como identificar um sistema de coordenadas rotac ao de eixos em relac ao ao qual teremos uma simplificac ao parcial da equac ao cartesiana do objeto em estudo Identificando n uplas de Rn com vetores coluna ou linha a equac ao cartesiana de uma cˆonica ax2 bxy cy2 dx ey f 0 11 pode ser representada matricial Jocelino Sato Algebra Linear Fısica Medica e de Materiais Classificação das cônicas De fato fazendo xy X x y e A a b2 b2 c temos a igualdade ax2 bxy cy2 cx ey f x y a b2 b2 c x y d e X f XtAX d e X f 0 em que a expressão XtAX ax2 bxy cy2 12 é denominada forma quadrática associada à cônica de equação 11 Autovalores e autovetores Classificac ao das cˆonicas e quadricas Rotac ao de eixos Classificac ao das cˆonicas Classificac ao das cˆonicas Rotac ao de eixos Theorem Classificac ao das cˆonicas Seja C uma cˆonica de equac ao cartesiana C ax2 bxy cy2 dx ey f 0 com a ou b ou c nao nulo e seja X tAX sua forma quadratica associada Existe um sistema de eixos coordenados xy obtido por uma rotac ao do sistema de coordenadas xy em relac ao ao qual a equac ao de C tem a forma sem termos cruzados λ1 x2 λ2 y2 dx ey f 0 em que λ1 e λ2 sao os autovalores de A e portanto 4λ1λ2 4 det A 4ac b2 Jocelino Sato Algebra Linear Fısica Medica e de Materiais Classificação das cônicas Rotação de eixos Theorem Continuação A relação entre xy e xy é dada pela equação x y P x y Leftrightarrow x y P1 x y e os coeficientes d e e se relacionam com d e e pela igualdade d e e d P Leftrightarrow d e e d P1 onde P v1 v2 diagonaliza A ortogonalmente com detP 1 Uma base B para o sistema de coordenadas x y é formada por autovetores vi da matriz A pode ser necessário reordenar os autovetores de forma que det P 1 Autovalores e autovetores Classificac ao das cˆonicas e quadricas Rotac ao de eixos Classificac ao das cˆonicas Classificac ao das cˆonicas Rotac ao de eixos Theorem Continuac ao E a classificac ao da cˆonica e feita segundo os autovalores temos 1 Se λ1λ2 0 b2 4ac 0 esta equac ao representa uma elipse ou suas degenerac oes um ponto ou o vazio 2 Se λ1λ2 0 b2 4ac 0 esta equac ao representa uma hiperbole ou sua degenerac ao par de retas concorrentes 3 Se λ1λ2 0 b2 4ac esta equac ao representa uma parabola ou suas degenerac oes par de retas paralelas uma reta ou o vazio Alem disso a cˆonica sera nao degenerada se 4acf bde ae2 cd2 fb2 0 discriminate da cˆonica Jocelino Sato Algebra Linear Fısica Medica e de Materiais Autovalores e autovetores Classificac ao das cˆonicas e quadricas Rotac ao de eixos Classificac ao das cˆonicas Classificac ao das cˆonicas Corollary Considerando a equac ao parcialmente simplificada dada no Teorema λ1 x2 λ2 y2 dx ey f 0 temos duas situac oes a considerar Jocelino Sato Algebra Linear Fısica Medica e de Materiais Corollary Continuação I Nenhum dos autovalores λ1 e λ2 é zero Neste caso após uma translação x x x0 ȳ y y0 obtemos uma equação da forma λ1 x2 λ2 ȳ2 f 0 e concluímos que 1 Se λ1 e λ2 forem ambos positivos então para f 0 teremos uma elipse caso contrário teremos os casos degenerados 0 em que para f 0 teremos o ponto P x0 y0 e para f 0 teremos o conjunto vazio 2 Se λ1 e λ2 forem ambos negativos então para f 0 teremos uma elipse caso contrário teremos os casos degenerados 0 em que para f 0 teremos o ponto P x0 y0 e para f 0 teremos o conjunto vazio 3 Se λ1 e λ2 tiverem sinais opostos então para f 0 teremos uma hipérbole caso contrário teremos um par de retas concorrentes Corollary Continuação II Um dos autovalores λ1 e λ2 é zero Se λ1 0 o caso λ2 0 é análogo então λ2 0 a equação parcialmente simplificada após uma translação x x x0 ȳ y y0 se reduz a uma equação da forma λ ȳ2 a x f 0 Neste caso concluímos que 1 Se a é diferente de zero temos uma parábola 2 Se a é zero poderemos ter um par de retas paralelas uma reta ou um conjunto vazio Example Seja C a cônica cuja equação é 5x2 4xy 8y2 36 0 A forma matricial dessa equação é x y 5 2 2 8 x y 36 0 com forma quadrática associada Xt A X 5x2 4xy 8y2 em que A 5 2 2 8 e X x y A equação característica de A é pAλ det 5 λ 2 2 8 λ 5 λ8 λ 4 λ2 13λ 36 0 λ1 13 sqrt169 1442 9 e λ2 13 sqrt169 1552 4 Example Continuação Além disso a a equação de autovetores associado a λ1 9 é 00 4 22 1 xy 4x 2y 0 2x y 0 Logo y 2x e os autovetores são da forma v x 2x x1 2 Em particular v1 1212 15 1 2 é um autovetor unitário associado a λ1 9 Example Continuação b Por outro lado equação de autovetores associado λ2 4 é 00 1 22 4 xy x 2y 0 2x 4y 0 Logo x 2y e os autovetores são da forma 2y y y 2 1 Em particular v2 2121 15 2 1 é um autovetor unitário associado a λ2 4 Temos 15 25 25 15 15 1 4 1 e portanto devemos considerar P P1 P2 v1 v2 ou seja P 15 25 25 15 cosθ senθ senθ cosθ em que θ arccos 15 Example Continuação Para essa matriz ortogonal temos P1 Pt 15 252515 x y P1 xy 15 252515 xy 15 x 2y 15 2x y d e 0 0 P 0 0 E no sistema de coordenadas xy devemos ter C 9 x2 4 y2 36 C x24 y29 1 Autovalores e autovetores Classificac ao das cˆonicas e quadricas Rotac ao de eixos Classificac ao das cˆonicas Classificac ao das cˆonicas Example Continuac ao Jocelino Sato Algebra Linear Fısica Medica e de Materiais Example Seja C a cônica cuja equação é x2 3xy y2 10x 10y 5 0 A forma matricial dessa equação é x y 1 32 32 1 x y 10 10 x y 5 0 o que fornece a forma quadrática associada Xt A X x2 3xy y2 em que A 1 32 32 1 e X x y A equação característica de A é pAλ 1 λ2 322 0 λ1 12 e λ2 52 Example Continuação Assim a a equação de autovetores associado a λ1 12 é 0 0 32 32 32 32 x y 32 x 32 y 0 32 x 32 y 0 Logo x y e os autovetores são da forma v yy y11 Em particular v1 11 11 12 11 é um autovetor unitário associado a λ1 12 Example Continuação b Por outro lado equação de autovetores associado λ2 52 0 0 32 32 32 32 x y 32 x 32 y 0 32 x 32 y 0 Logo x y e os autovetores são da forma v yy y 11 Em particular v2 1111 12 11 é um autovetor unitário associado a λ2 52 Temos 12 12 12 12 12 1 1 1 e portanto devemos considerar P P1 P2 v2 v1 ou seja P 12 12 12 12 com P1 Pt 12 12 12 12 Example Continuação Para essa matriz ortogonal temos x y P1 x y 12 12 12 12 x y 12 x y 12 x y d e e d P 10 10 12 12 12 12 102 0 Finalmente após completando quadrados e divisão membro a membro por 302 obtemos a hipérbole C x26 y230 1 com x 12 x y y 12 x y Autovalores e autovetores Classificac ao das cˆonicas e quadricas Rotac ao de eixos Classificac ao das cˆonicas Classificac ao das cˆonicas Example Continuac ao Jocelino Sato Algebra Linear Fısica Medica e de Materiais Analogamente a equação cartesiana de uma quád rica com centro de simetria ax2 by2 cz2 dxy exz fyz gx hy iz j 0 13 pode ser representada por uma igualdade envolvendo produto matricial De fato fazendo x y z X x y z e A a d2 e2 d2 b f2 e2 f2 c temos a igualdade ax2 by2 cz2 dxy exz fyz gx hy iz j x y z a d2 e2 d2 b f2 e2 f2 c x y z g h i X j Xt A X g h i X j 0 A expressão Xt A X ax2 by2 cz2 dxy exz fyz 14 é denominada forma quadrática associada à quád rica de equação 13 E para X PX obtemos 0 X Pt A P X g h i PX j 0 Autovalores e autovetores Classificac ao das cˆonicas e quadricas Rotac ao de eixos Classificac ao das quadricas Rotac ao de eixos Classificac ao das quadricas Rotac ao de eixos Theorem Classificac ao das quadricas com centro de simetria Seja Q uma quadricas com centro de simetria de equac ao cartesiana Q ax2 by2 cy2 dxy exz fyz gx hy jz i 0 e seja X tAX sua forma quadratica associada Existe um sistema de eixos coordenados xyz obtido por uma rotac ao do sistema de coordenadas xyz em relac ao ao qual a equac ao de Q tem a forma sem termos cruzados λ1 x2 λ2 y2 λ3 z2 gx hy jz i 0 em que λ1 λ2 e λ3 sao os autovalores de A Jocelino Sato Algebra Linear Fısica Medica e de Materiais Theorem Continuação Temos as seguintes relações onde P diagonaliza A ortogonalmente com detP 1 Uma base B para o sistema de coordenadas x y z é formada por autovetores vᵢ da matriz A pode ser necessário ortogonalizar eou reordenar os autovetores de forma que detP 1 Autovalores e autovetores Classificac ao das cˆonicas e quadricas Rotac ao de eixos Classificac ao das quadricas Rotac ao de eixos Classificac ao das quadricas Rotac ao de eixos Theorem Continuac ao Alem disso segundo os sinais dos autovalores temos as seguintes possibilidades 1 Se λ1 0 λ2 0 e λ3 0 temse um elipsoide ou suas degenerac oes 2 Se λ1 0 λ2 0 e λ3 0 temse um hiperboloide de uma folha de eixo paralelo a v3 ou suas degenerac oes 3 Se λ1 0 λ2 0 e λ3 0 temse um hiperboloide de duas folhas de eixo paralelo a v3 ou suas degenerac oes 4 Se apenas um dos autovalores se anula e os outros dois tem o mesmo sinal temse um paraboloide elıptico ou suas degenerac oes 5 Se apenas um dos autovalores se anula e os outros dois tem sinais opostos temse um paraboloide hiperbolico ou suas degenerac oes Em qualquer dos casos um completamento de quadrados seguida de uma manipulac ao algebrica realizac ao de translac ao fornece a equac ao reduzida da quadrica que permite uma melhor classificac ao Jocelino Sato Algebra Linear Fısica Medica e de Materiais Example Descreva a superfície quádricа cujа equação é 4x² 4y² 4z² 4xy 4xz 4yz 3 0 A forma matricial da quadrática é 0 4x² 4y² 4z² 4xy 4xz 4yz 3 x y z 4 2 2 2 4 2 2 2 4 x y z 0 0 0 X 3 XᵗAX 0 0 0 X 3 0 em que a expressão XᵗAX 4x² 4y² 4z² 4xy 4xz 4yz Example Continuação A equação característica de A é pᴬλ det 4 λ 2 2 2 4 λ 2 2 2 4 λ λ³ 12λ² 36λ 32 0 λ 2² λ 8 λ₁ 8 λ₂ 2 Example Continuação Assim temos a a equação de autovetores associado a λ₁ 8 é 0 0 0 4 2 2 2 4 2 2 2 4 x y z que fornece o sistema 4x 2y 2z 0 2x 4y 2z 0 2x 2y 4z 0 x y 2z 0 2x y z 0 x 2y z 0 x y 2z 0 3y 3z 0 Logo y z e x 2z y z e assim os autovetores associados são da forma v z z z z 1 1 1 Autovalores e autovetores Classificac ao das cˆonicas e quadricas Rotac ao de eixos Classificac ao das quadricas Rotac ao de eixos Classificac ao das quadricas Rotac ao de eixos Example Continuac ao Em particular considerando v1 1 3 1 1 1 temos que v1 e um vetor unitario associado ao autovetor λ1 8 Jocelino Sato Algebra Linear Fısica Medica e de Materiais Example Continuação b a equação de autovetores associado a λ₂ 2 é 0 0 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y z que fornece o sistema 2x 2y 2z 0 2x 2y 2z 0 2x 2y 2z 0 x y z 0 z x y Logo os autovetores associados são da forma v x y x y x 1 0 1 y 0 1 1 Example Continuação Em particular considerando v 1 0 1 0 1 1 1 1 0 v₂ 12 1 1 0 12 12 0 w 1 0 1 0 1 1 1 1 2 v₃ ww 16 1 1 2 16 16 26 temos que v₂ v₃ são vetores ortonormais associados ao autovetor λ₂ 2 Example Continuação Como temos o determinante v₁ v₂ v₃ 13 12 16 13 12 16 13 0 26 1 podemos considerar P P₁ P₂ P₃ v₁ v₂ v₃ ou seja P 13 12 16 13 12 16 13 0 26 com P¹ Pᵗ 13 13 12 13 13 0 13 0 26 Example Continuação Para essa matriz ortogonal temos X x y z PX 13 12 16 13 12 16 13 0 26 x y z X P¹ x y z 13 13 13 12 12 0 16 16 26 x y z 13 x 13 y 13 z 12 x 12 y 16 x 16 y 26 z g h j g h j P 0 0 0 13 12 16 13 12 16 13 0 26 0 0 0 Example Continuação Portanto no sistema de coordenadas x y z devemos ter 0 PXᵗ APX 0 0 0 PX 3 Xᵗ Pᵗ AP X 0 0 0 PX 3 x y z 8 0 0 0 2 0 0 0 2 x y z 0 0 0 x y z 3 8x² 2y² 2z² 3 Logo a quádrcia em estudo é um elipsóide C 8 x² 38 y² 32 z² 32 1 com x y z 13 x 13 y 13 z 12 x 12 y 16 x 16 y 26 z Example Vamos usar o Teorema para mostrar que a quádricas Q x2 y2 2z2 8xy 4xz 4yz 2x 0 é um hiperbolóide de duas folha De fato temos a representação matricial x2 y2 2z2 8xy 4xz 4yz 2x x y z 1 4 2 4 1 2 2 2 2 x y z 2 0 0 X Xt AX 2 0 0 X 0 em que a expressão Xt AX x2 y2 2z2 8xy 4xz 4yz é a forma quadrática associada Example Continuação A equação característica de A é pAlambda det 1 4 2 4 1 2 2 2 2 lambda3 27 lambda 54 0 lambda 32 lambda 6 lambda1 6 lambda2 3 logo Example Continuação a a equação de autovetores associado a lambda1 6 é 000 5 4 2 4 5 2 2 2 8 x y z que fornece o sistema 5x 4y 2z 0 4x 5y 2z 0 2x 2y 8z 0 x y 4z 0 5x 4y 2z 0 4x 5y 2z 0 x y 4z 0 5x 4y 2z 0 4x 5y 2z 0 x y 4z 0 9y 18z 0 Logo y 2z e x 2z e assim os autovetores associados são da forma v 2z 2z z z 2 2 1 Autovalores e autovetores Classificac ao das cˆonicas e quadricas Rotac ao de eixos Classificac ao das quadricas Rotac ao de eixos Classificac ao das quadricas Rotac ao de eixos Example Continuac ao Em particular considerando v1 1 4 4 1 2 2 1 1 3 2 2 1 temos que v1 e um vetor unitario associado ao autovetor λ1 6 Jocelino Sato Algebra Linear Fısica Medica e de Materiais Autovalores e autovetores Classificac ao das cˆonicas e quadricas Rotac ao de eixos Classificac ao das quadricas Rotac ao de eixos Classificac ao das quadricas Rotac ao de eixos Example Continuac ao b a equac ao de autovetores associado a λ2 3 e 0 0 0 4 4 2 4 4 2 2 2 1 x y z que fornece o sistema 4x 4y 2z 0 4x 4y 2z 0 2x 2y z 0 2x 2y z 0 z 2 y x Logo os autovetores associados sao da forma v x y 2 y x x 1 0 2 y 0 1 2 Jocelino Sato Algebra Linear Fısica Medica e de Materiais Example Continuação Em particular considerando v2 1sqrt14 102 1sqrt5 102 w 012 012 1sqrt5 102 1sqrt5 102 012 45 102 451 25 v3 ww 13sqrt5 451 25 13 sqrt5 452 temos que v2 v3 são vetores ortonormais associados ao autovetor λ2 3 Example Continuação Como v1 v2 v3 23 1sqrt5 43 sqrt5 23 0 53 sqrt5 13 2sqrt5 23 sqrt5 1 podemos considerar a matriz P P1 P2 P3 v1 v2 v3 ou seja P 23 1sqrt5 43 sqrt5 23 0 53 sqrt5 13 2sqrt5 23 sqrt5 com P1 Pt 23 23 13 1sqrt5 0 2sqrt5 43 sqrt5 53 sqrt5 23 sqrt5 Autovalores e autovetores Classificac ao das cˆonicas e quadricas Rotac ao de eixos Classificac ao das quadricas Rotac ao de eixos Classificac ao das quadricas Rotac ao de eixos Example Continuac ao Para essa matriz ortogonal temos X x y z PX 2 3 1 5 4 3 5 2 3 0 5 3 5 1 3 2 5 2 3 5 x y z X x y z P1 x y z 2 3 2 3 1 3 1 5 0 2 5 4 3 5 5 3 5 2 3 5 x y z 2 3x 2 3y 1 3z 1 5x 2 5z 4 3 5x 5 3 5y 2 3 5z Jocelino Sato Algebra Linear Fısica Medica e de Materiais Example Continuação g h j 2 0 0 23 1sqrt5 43 sqrt5 23 0 53 sqrt5 13 2sqrt5 23 sqrt5 43 2sqrt5 83 sqrt5 Pt A P 23 23 13 1sqrt5 0 2sqrt5 43 sqrt5 53 sqrt5 23 sqrt5 1 4 2 4 1 2 2 2 2 23 1sqrt5 43 sqrt5 23 0 53 sqrt5 13 2sqrt5 23 sqrt5 6 0 0 0 3 0 0 0 3 Example Continuação Assim no sistema de coordenadas x y z devemos ter devemos ter 0 PXt APX 2 0 0 PX Xt Pt AP X 2 0 0 PX x y z 6 0 0 0 3 0 0 0 3 x y z 43 25 835 x y z 6x2 3 y2 3 z2 43 x 25 y 835 z 0 Example Continuação Completando quadrados obtemos C 6 x 192 3 y 5152 3 z 45452 6 192 3 5152 3 45452 692 3 552 9 3 8052 92 6 25 3 9 3 8052 92 11752 92 Portanto a quádricas em estudo é um hiperbolóide de duas folhas C x 19211712150 y 51521174050 z 454521174050 1 com X x y z 23 x 23 y 13 z 15 x 25 z 435 x 535 y 235 z